精品解析：江苏省镇江市丹徒区高资中学四校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级阶段性数学课堂练习 说明：1．本试卷共5页，满分120分．考试时间100分钟． 2．考生必须在答卷纸上指定区域内作答，在本试卷上和其他位置作答一律无效． 一．填空题（每小题2分，共24分） 1. 将一元二次方程化为一般形式为______． 2. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为_______． 3. 已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2－8x＋15=0的根，则该等腰三角形的周长为________． 4. 已知与，当时，______． 5. 关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_______． 6. 已知、、是的三边长，那么关于的方程的根的情况是______． 7. 已知，是方程的两个根，则的值为______． 8. 如图，在中，若，则弦所对的弧的度数为______． 9. 如图，已知的半径为，的一条弦，若内的一点恰好在上，则线段的长度为整数的值有______个． 10. 如图，的直径，半径，点D在弧上，，，垂足分别为E、F，若点E为的中点，弧的度数为______． 11. 已知关于的一元二次方程的两根分别为，，则关于方程的两根分别为______． 12. 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．已知实数、满足，则的最大值为______． 二．选择题（每小题3分，共18分） 13. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 14. 已知关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ） A. B. 1 C. 1或 D. 15. 如图，在中，，，，为的中点．以为圆心，为半径作，若、、三点中只有一点在内，则的半径的值不能是（ ） A. 2.5 B. 2.6 C. 2.8 D. 3 16. 如图，是的直径，弦垂直于点E，连接，则下列结论不一定的是（　　） A. B. C. D. 17. 绍兴市是著名的桥乡，如图，有一座圆弧形石拱桥，桥顶到水面的距离为，它的跨度也为，则桥拱半径为（ ） A. B. C. D. 18. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ） A. 只有①②④ B. 只有①②③ C. 只有②③④ D. 只有①② 三．解答题 19. 解下列一元二次方程： （1）（用公式法）； （2）（用因式分解法）； （3）（用适当的方法）； （4）（用适当的方法）． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根小于0，求k的取值范围． 21. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了个，求这两周的平均增长率． 22. 如图，在中，． （1）若，则的度数为______°； （2）若，，求的半径． 23. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，其中一个动点到达终点时，另一个也随之停止运动． （1）几秒后，的面积等于？ （2）的面积能否等于？说明理由． （3）几秒后，的长度等于？ 24. 阅读下面的材料：的根为，．，． 综上所述得，设的两根为、，则有，． 请利用这一结论解决下列问题： （1）若矩形的长和宽是方程的两个根，则矩形的周长为______，面积为______． （2）若是的一个根，求方程的另一个根及的值． （3）直角三角形的斜边长是，另两条直角边的长分别是的方程：的解，求的值． 25. 阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程通过因式分解可以把它转化，解方程和，可得方程的解． 问题： （1）方程的解是，______，______； （2）求方程的解； （3）拓展：解方程：时，可以用“换元法”转化．设，则有，原方程可化为：．将解方程的过程补充完整，求出的值． 26. 某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草． （1）如图1，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度为多少米； （2）现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，均为全等的直角三角形，其中，设米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为2m，且竖向道路出口位于和之间，横向弯折道路出口位于和之间． ①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a的代数式表示）； ②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级阶段性数学课堂练习 说明：1．本试卷共5页，满分120分．考试时间100分钟． 2．考生必须在答卷纸上指定区域内作答，在本试卷上和其他位置作答一律无效． 一．填空题（每小题2分，共24分） 1. 将一元二次方程化为一般形式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程一般式，先去括号，再移项合并同类项，根据的形式进行判定即可求解． 【详解】解：， 去括号得，， 移项合并同类项，， 故答案为： ． 2. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为_______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法是解题的关键；因此此题根据配方法可直接进行求解． 【详解】解： ， ∴， ∴； 故答案为13． 3. 已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2－8x＋15=0的根，则该等腰三角形的周长为________． 【答案】19或21或23　 【解析】 【详解】试题分析：解方程x2﹣8x+15=0得x=3或x=5，分以下几种情况：①当等腰三角形的三边长为9、9、3时，其周长为21；②当等腰三角形的三边长为9、9、5时，其周长为23；③当等腰三角形的三边长为9、3、3时，3+3＜9，不符合三角形三边关系定理，舍去；④当等腰三角形的三边长为9、5、5时，其周长为19；综上，该等腰三角形的周长为19或21或23， 考点：一元二次方程的解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质． 4. 已知与，当时，______． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，由得出关于x的一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：当时， 即， 整理得： 即， ∴或， 故答案为：2或． 5. 关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_______． 【答案】k＜2且k≠1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k－1≠0且∆=（－2）2－4（k－1）＞0， 解得：k＜2且k≠1． 故答案为：k＜2且k≠1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式＝b2﹣4ac：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当＝0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根． 6. 已知、、是的三边长，那么关于的方程的根的情况是______． 【答案】没有实数根 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，一元二次方程根的判别式，不等式的性质等知识， 由三角形三边关系可得出，，然后代入根的判别式且利用不等式的性质可得出， 进而即可得出答案． 【详解】解：∵、、是的三边长， ∴，, ∴，, 关于的方程， ， ∴关于的方程无实数根， 故答案为：没有实数根． 7. 已知，是方程的两个根，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解．根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出：，，，将其代入原式中即可求出结论． 【详解】解：∵α，β是方程的两个根， ∴，．且． 由此可得：，． ∴． 故答案为： 8. 如图，在中，若，则弦所对的弧的度数为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．在优弧上取一点，连接、，在劣弧上取一点，连接、，利用圆周角定理求出，再利用圆内接四边形性质求出即可． 【详解】解：如图，在优弧上取一点，连接、，在劣弧上取一点，连接、， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴弦所对的弧的度数为或， 故答案为：或． 9. 如图，已知的半径为，的一条弦，若内的一点恰好在上，则线段的长度为整数的值有______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．连接，过点作于点，根据垂直于弦的直径平分这条弦可得，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可得，求出的范围，计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 则， 在中，，， 故， 则， ∴线段的长度为整数的值有、、、，共个， 故答案为：． 10. 如图，的直径，半径，点D在弧上，，，垂足分别为E、F，若点E为的中点，弧的度数为______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，弧与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，解题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线． 连接，交于点，进而得出四边形是矩形，结合已知条件证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点G， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点E为的中点，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴弧的度数为， 故答案为：． 11. 已知关于的一元二次方程的两根分别为，，则关于方程的两根分别为______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的同解问题，理解方程的解，掌握解法是解题的关键．根据题意将关于方程变形为即可得到或，即可求解． 【详解】解：由得 ， 一元二次方程的两根分别为，， 或， ，； 故答案为：，． 12. 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．已知实数、满足，则的最大值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，不等式的性质，由已知式子表示出y，代入中，配方后再利用非负数的性质以及不等式的性质求出最大值即可． 【详解】解： ∵， ∴ ∴， ∴当时，有最大值，最大值为：2． 故答案为：2． 二．选择题（每小题3分，共18分） 13. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念依次判断即可． 【详解】解：A、，移项合并后无二次项，是一元一次方程，不符合题意； B、，当时，是一元一次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、，等式左边不是整式，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的概念是解答本题的关键．判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 14. 已知关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ） A. B. 1 C. 1或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解及一元二次方程的定义即可求出的值． 【详解】解：当时，， 解得， 因为，， 所以． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 15. 如图，在中，，，，为的中点．以为圆心，为半径作，若、、三点中只有一点在内，则的半径的值不能是（ ） A. 2.5 B. 2.6 C. 2.8 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理和点与圆的位置关系，根据题意求得，在分别讨论、、三点与点A的长度和位置关系，求得满足要求的范围，结合选项即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵D为的中点， ∴． 当的半径时，点D在上，点C、B在圆外， 当的半径时，点C在上，点D在圆内，点B在圆外， 当的半径时，点B在上，点C、D在圆内， 当的半径满足时，点D在内， 当的半径满足时，点C、D在内， 当的半径满足时，点B、C、D在内， ∴若B、C、D三点中只有一点在内， 则的半径r的取值范围是． 故选：A． 16. 如图，是的直径，弦垂直于点E，连接，则下列结论不一定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：∵是的直径，弦垂直于点E， ∴ ∴， 而不一定成立， 故选：B． 17. 绍兴市是著名的桥乡，如图，有一座圆弧形石拱桥，桥顶到水面的距离为，它的跨度也为，则桥拱半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理以及勾股定理解题的关键．连接，由垂径定理求出，设桥拱半径为r，根据勾股定理即可求出r， 【详解】解：连接， ∵， ∴， 设桥拱半径为r，则， 在中，， 即， 解得：， 故选：B． 18. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ） A. 只有①②④ B. 只有①②③ C. 只有②③④ D. 只有①② 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实数根与判别式的关系，以及根的定义和等式性质，牢固掌握相应关系并灵活应用是解题关键． 根据一元二次方程实数根与判别式的关系，其中有两个实数根、有两个不相等的实数根、无解，以及求根公式和等式的性质逐个排除即可． 【详解】解：①若，即， 则是原方程的解，即方程至少有一个根， ∴由一元二次方程的实数根与判别式的关系与判别式的关系可知：， 故①正确； ②∵方程有两个不相等的实根， ∴， ∴， 又∵方程的判别式为， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故②正确； ③是方程的一个根， ∴， ∴， ∴或，即有两种可能性， 故③错误； ④若是一元二次方程的根， ∴根据求根公式得：或， ∴或， ∴， 故④正确． 故选：A． 三．解答题 19. 解下列一元二次方程： （1）（用公式法）； （2）（用因式分解法）； （3）（用适当的方法）； （4）（用适当的方法）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）代入公式法解一元二次方程即可． （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． （3）利用配方法解一元二次方程即可． （4）先提公因式，然后直接利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ， ∴， ∴， 【小问2详解】 ， ∴， 【小问3详解】 ， ∴， ∴， 【小问4详解】 ， ∴， 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根小于0，求k的取值范围． 【答案】（1） 证明：， 方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用因式分解法解一元二次方程可得出的值，结合方程有一个根小于0，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，即， ，． 方程有一个根小于0， ． 【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法求出一元二次方程的根． 21. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了个，求这两周的平均增长率． 【答案】（1）售价应定为每个元． （2）这两周的平均增长率为． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设售价应定为每个元，则每个利润为元，销量为个，再利用总利润为元，再建立方程解题即可； （2）由（1）得：当售价为每个元时，销量为个，设这两周的平均增长率为，再结合增长率的含义建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设售价应定为每个元，则 ， 整理得：， 解得：，； ∵更大优惠让利消费者， ∴不符合题意， ∴商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为每个元． 【小问2详解】 解：由（1）得：当售价为每个元时，销量为（个）， 设这两周的平均增长率为，则 ， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴这两周的平均增长率为． 22. 如图，在中，． （1）若，则的度数为______°； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，已知，，得到，，结合，得到，得到，结合，即可求得的度数； （2）连接并延长，交与，已知，，得到，，在中，求得， 设，则，在中，根据勾股定理即可求得的半径． 【小问1详解】 解：连接， 在中， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：130 【小问2详解】 解：连接并延长，交与， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为 【点睛】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 23. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，其中一个动点到达终点时，另一个也随之停止运动． （1）几秒后，的面积等于？ （2）的面积能否等于？说明理由． （3）几秒后，的长度等于？ 【答案】（1）1秒后的面积等于 （2）不能等于，理由： 设经过秒以后面积为8， ， 整理得：， ， 的面积不能等于． （3）当时，的长度等于 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理和解一元二次方程，以及判别式的应用． （1）设经过秒以后面积为4，列出方程求解，同时求得x的取值范围，取满足题意的解即可； （2）设经过秒以后面积为8，列出方程利用判别式判断方程是否有解即可； （3）在中，利用得，求解并求得满足题意得解． 【小问1详解】 解：设经过秒以后面积为4，则 ， 整理得：， 解得：或， ， ， 答：1秒后的面积等于 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，在中，， ，整理得， 解得，（不合题意舍去）， 当时，的长度等于． 24. 阅读下面的材料：的根为，．，． 综上所述得，设的两根为、，则有，． 请利用这一结论解决下列问题： （1）若矩形的长和宽是方程的两个根，则矩形的周长为______，面积为______． （2）若是的一个根，求方程的另一个根及的值． （3）直角三角形的斜边长是，另两条直角边的长分别是的方程：的解，求的值． 【答案】（1），； （2）另一根为，； （3）． 【解析】 【分析】（）设矩形的长和宽分别为，，然后根据一元二次方程根与系数的关系得，，通过面积和周长即可求解； （）设，是方程的两个根，其中，然后根据一元二次方程根与系数的关系得，最后解方程组即可； （）设两条直角边的长分别为，，则，，由勾股定理得：，再通过完全平方公式和解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：设矩形的长和宽分别为，， ∵，是方程的两个根， ∴，， ∴矩形的周长为，面积为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设，是方程的两个根，其中， ∴，即， 解得：， ∴另一根为，； 【小问3详解】 解：设两条直角边的长分别为，， ∵，是方程的两个根， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符合题意，舍去， ∴的值为． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，勾股定理，完全平方公式，解一元二次方程，二元一次方程组，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 25. 阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程通过因式分解可以把它转化，解方程和，可得方程的解． 问题： （1）方程的解是，______，______； （2）求方程的解； （3）拓展：解方程：时，可以用“换元法”转化．设，则有，原方程可化为：．将解方程的过程补充完整，求出的值． 【答案】（1）3，（或，3） （2），， （3）， 【解析】 【分析】（1）先提公因式，然后进行因式分解，计算求解即可； （2）先提公因式，然后进行因式分解，计算求解即可； （3）因式分解法解，可求（舍去），则，配方法解方程得，，，然后根据二次根式有意义的条件检验即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得，，，， 故答案为：3，； 【小问2详解】 解：， ， ∴， ∴， 解得，，，； 【小问3详解】 解：， 设，则， ∴原方程可化为：， ， 解得，（舍去）， ∴，即， ∴， ∴， 解得，，， 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； ∴方程的解为，． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，换元法解一元二次方程，配方法解一元二次方程，二次根式有意义的条件等知识．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，换元法解一元二次方程，配方法解一元二次方程，二次根式有意义的条件是解题的关键． 26. 某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草． （1）如图1，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度为多少米； （2）现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，均为全等的直角三角形，其中，设米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为2m，且竖向道路出口位于和之间，横向弯折道路出口位于和之间． ①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a的代数式表示）； ②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a的值． 【答案】（1）1米； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）设小道进出口的宽度为米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可； （2）①先用a表示出四个直角三角形的面积，从而表示出剩余花草区域的面积；②由①和题目意思列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设小道进出口的宽度为米， 依题意得． 整理，得． 解得，，． （不合题意，舍去）， ； 答：小道进出口的宽度应为1米； 【小问2详解】 解：①剩余的种植花草区域的面积为： ②由，得： ， 解得：（舍去）． 故． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，面积的表示，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程，注意根据实际意义舍根． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $