精品解析：浙江省杭州市钱塘区学正中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷

2024学年第一学期10月阶段性练习 九年级数学问卷 考生须知： 1．本试卷分问卷和答卷两部分．满分120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，必须在答卷的密封区内填写班级、姓名、学号． 3．所有答案都必须做在答卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 4．考试结束后，只上交答卷． 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列各式中,y是x的二次函数的为(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析即可． 【详解】解：A、y是x的二次函数，故此选项正确； B、不是二次函数，故此选项错误； C、不是二次函数，故此选项错误； D、不是二次函数，故此选项错误； 故选A． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 2. 下列事件为必然事件的是（　　） A. 明天要下雨 B. a是实数，|a|≥0 C. ﹣3＜﹣4 D. 打开电视机，正在播放新闻 【答案】B 【解析】 【分析】根据事情发生的可能性大小进行判断，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】A. 明天要下雨，是随机事件，不符合题意； B. a是实数，|a|≥0，是必然事件，符合题意； C. ﹣3＜﹣4，是不可能事件，不符合题意 D. 打开电视机，正在播放新闻，是随机事件，不符合题意 故选B 【点睛】本题考查了必然事件，随机事件，不可能事件，实数的性质，有理数大小比较，掌握相关知识是解题的关键． 3. 已知二次函数，当x=３时，y的值为（ ） A. 4 B. -4 C. 3 D. -3 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意得，将代入到中，得， 故选A． 4. 二次函数的图象平移后得到，则下列平移方法正确的是（ ） A. 向左平移2个单位，向下平移2个单位 B. 向左平移1个单位，向上平移2个单位 C. 向右平移1个单位，向下平移1个单位 D. 向右平移2个单位，向上平移1个单位 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移问题，掌握次函数的平移特征是解题的关键．解答本题可根据二次函数平移的特征，左右平移自变量x加减（左加右减），上下平移y加减（下加上减），据此便能得出答案． 【详解】由的图象平移后得到， 平移方法可为向右平移1个单位，向下平移1个单位 故答案为：C． 5. 已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断． 【详解】当x=1时,y1=−(x+1) +2=−(1+1) +2=−2； 当x=2时,y=−(x+1) +2=−(2+1) +2=−7； 所以. 故选A 【点睛】此题考查二次函数顶点式以及二次函数的性质，解题关键在于分析函数图象的情况 6. 将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨2元，其销售量就减少10个．设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A. y=（x﹣35）（400﹣5x） B. y=（x﹣35）（600﹣10x） C. y=（x+5）（200﹣5x） D. y=（x+5）（200﹣10x） 【答案】A 【解析】 【分析】设商品的售价为x元，则每个商品的利润为（x-35）,根据题意求出销售量200-，进而求解. 【详解】设商品的售价为x元，获得利润为y元, 由题意得：y=（x﹣35）（400﹣5x）， 故选A. 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是“商品单价每上涨2元，其销售量就减少10个”. 7. 若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当x≤1时，函数值y随x的增大而减小可知二次函数的对称轴x=m≥1，故可得出关于m的取值范围． 【详解】解：∵二次函数y=（x-m）2-2，中，a=1＞0， ∴此函数开口向上， ∵当x≤1时，函数值y随x的增大而减小， ∴二次函数的对称轴x=m≥1． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键． 8. 烟花厂为国庆节特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=−t2+12t+30,若这种礼炮在点火升空到最高点引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为（ ） A. 3s B. 4s C. 5s D. 6s 【答案】B 【解析】 【分析】礼炮到最高点爆炸，那么所需时间为t=,代入相应数据才能正确解答. 【详解】解：当礼炮到达最高点时，即为抛物线的顶点，此时t=，故选B. 【点睛】考查二次函数的应用；判断出所求时间为二次函数的顶点坐标的横坐标的值是解决本题的关键. 9. 已知点，，都在抛物线（）上点在点左侧，下列选项正确的是（　　）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出二次函数的大致图像，利用数形结合的思想求解． 【详解】解：根据抛物线解析式可知抛物线的对称轴为，再根据可以画出抛物线的大致图像，分为两种情况： 当时，如图所示，根据二次函数图像的性质可得，故选项错误，选项正确； 当时，如图所示，根据二次函数图像的性质可得，故、选项错误； 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，根据题意画出函数的大致图像利用数形结合的思想解题是解决本题的关键． 10. 已知函数在上的最大值是1，最小值是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在给定范围内的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是，得出；再求得当时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得的下限． 【详解】函数的对称轴为直线， 当时，有最小值，此时， 函数在上的最小值是， ； 当时，，对称轴为直线， 当时，， 函数在上的最大值是1，且； ． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 将一个正六面体骰子掷一次，它的点数恰好是4的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】考查了列表法和树状图法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．注意本题是放回实验．列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可． 【详解】解：将一个正六面体骰子掷一次，共有6种等可能的情况，点数是4的只有1种情况， ∴点数是4的概率是． 故答案为：． 12. 若抛物线y＝（a－1）x2（a为常数）开口向上，则a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线开口向上可得，进而求解． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 13. 抛物线与轴的交点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出，然后求出的值，即可以得到与轴的交点坐标． 【详解】解：令，得， 故抛物线与轴的交点坐标是：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识，正确把握二次函数图象上点的坐标特征是解题关键，此题较容易． 14. 如图，若抛物线上的，Q两点关于它的对称轴 对称，则Q点的坐标为 ____ . 【答案】（﹣2，0） 【解析】 【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称， ∴P，Q两点到对称轴x=1的距离相等， ∴Q点的坐标为：（﹣2，0）． 故答案为：（﹣2，0） 15. 若，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，由，得，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，的最大值为， 故答案为：． 16. 对于二次函数（），有下列说法： ①对于任何满足条件的a，该函数的图象都经过点和两点； ②若该函数图象的对称轴为直线，则必有； ③当时，y随x的增大而增大； ④若，是图象上的两点，若总成立，则． 以上说法正确的是______（填序号）． 【答案】①④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的对称性、增减性，是解题关键． ①把已知两点坐标代入二次函数，即可判断； ②根据，得到对称轴，即可作出判断； ③抛物线的开口向下，对称轴，得到当时，y随x的增大而增大，即可判断； ④根据，得到，根据，抛物线的开口向下，得到对称轴，解出即可判断． 【详解】解：对于（）， 当时， ， 则二次函数的图象都经过点； 当时，， 则二次函数的图象都经过点， 则说法①正确； ∵二次函数的对称轴为直线，， ∴， ∴， 则说法②错误； ∵， ∴抛物线的开口向下， ∵， ∴当时， y随x的增大而增大； 即说法③错误； ∵， ∴， ∵总成立， ∴对称轴， 解得， 则说法④正确． 综上，说法正确的是①④． 故答案为：①④． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 已知二次函数． （1）求出此二次函数图象的顶点坐标； （2）求出y随x的增大而减小时，x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将二次函数的解析式化成顶点式即可求得顶点坐标； （2）根据函数的图象的顶点坐标确定其对称轴，然后结合其开口方向确定其增减性，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 解：∵， ∴对称轴为， 又∵ ∴二次函数的图象开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小． 故y随x的增大而减小时，x的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 18. 二次函数（a，b，c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： … … … … （1） ． （2）求该二次函数的解析式． 【答案】（1）0； （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了使用待定系数法求解二次函数解析式，二次函数的性质等知识，掌握二次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据二次函数的对称性即可得出n的值； （2）根据表格的数据利用待定系数法即可求解． 【小问1详解】 解：由当时，， 当时，， 可知：抛物线的对称轴为：， ∵， ∴与关于对称轴对称， ∴， 故答案为：0； 【小问2详解】 解：根据表格可知：抛物线经过点，，， 则有： ，解得：， ∴二次函数的解析式为：； 19. 甲、乙两人进行摸牌游戏，现有四张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，4，5，将四张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上，甲从中随机抽取一张牌，记录下数字后，乙再从余下的牌中随机抽取一张． （1）请用列表法或画树状图的方法，列出两人抽取数字的所有结果； （2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为3的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释． 【答案】（1）树状图见解析；（2）公平，证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合题意，根据列表法或者树状图法的性质分析，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，根据概率的性质计算，即可完成求解． 【详解】（1）树状图如下： （2）根据（1）的结论，两人抽取数字的所有结果共有12种，并且它们出现的可能性相同； 记“两人抽取的数字和为2的倍数”为事件，有，，，，四种结果， ∴； 记“两人抽取的数字和为3的倍数”为事件，有，，，，四种结果， ∴； ∵ ∴这个游戏是公平的． 【点睛】本题考查了概率的知识；解题的关键是熟练掌握概率公式、列表法、树状图法求概率的性质，从而完成求解． 20. 已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为（－1，0），与y轴的交点坐标为（0，－3） （1）求此二次函数的解析式； （2）求此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标 （3）根据图象回答：当x取何值时，y＜0？ 【答案】（1）y=－2x－3 （2）（3，0） （3）－1＜x＜3 【解析】 【分析】（1）将（－1，0）和（0，－3）两点坐标代入解析式求解即可得出； （2）将y=0代入（1）中求到的解析式，解方程即可得到另一个交点的坐标； （3）观察图象，当图象在x轴下方时找出x的取值范围即可． 【详解】解: （1）由二次函数的图象经过（－1，0）和（0，－3）两点， 得 解这个方程组，得 ∴抛物线的解析式为 （2）令，得 解这个方程，得，． ∴此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）． （3）观察图象可知，当时，y＜0． 【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握待定系数法和函数的性质是解题关键． 21. 如图，把一边长为的正方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的盒子． （1）要使折成的盒子底面积为，那么剪掉的正方形边长为多少？ （2）折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形边长；如果没有，说明理由． 【答案】（1）； （2）最大值为，剪掉的正方形边长为 【解析】 【分析】（1）设剪掉的正方形边长为，根据题意列方程求解即可得到答案； （2）设剪掉的正方形边长为，根据题意列出函数解析式，即可求出侧面积最大值和剪掉的正方形边长． 【小问1详解】 解：设剪掉的正方形边长为，根据题意，得 ． 解得：，（舍） 答：剪掉的正方形边长为； 【小问2详解】 解：设剪掉的正方形边长为， 则长方形盒子的侧面积为： ． 当时，有最大值． 即长方形盒子的侧面积最大值为，剪掉的正方形边长为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的实际运用，，利用已知关系正确列出方程与函数式是解题关键． 22. 篮球运动员投篮后，球运动的路线为抛物线的一部分（如图），抛物线的对称轴为直线求： （1）球运动路线的函数表达式和自变量的取值范围； （2）球在运动中离地面的最大高度． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式． （1）设抛物线的解析式为，将和代入求得、的值可得答案，求出时的值可得的取值范围； （2）由所求抛物线的顶点式求解可得． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线的对称轴为直线 设抛物线的解析式为， 将和代入，得： ， 则抛物线的解析式为， 当时，， 解得：（负值舍去） ； 【小问2详解】 由知抛物线的顶点坐标为，， 球在运动中离地面的最大高度为． 23. 已知二次函数（m是常数，且）． （1）证明：不论m取何值，该二次函数图象总与x轴有两个交点； （2）若，是该二次函数图象上的两个不同点，求二次函数表达式和的值； （3）若点，点也均在此函数图象上，且满足，求m的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）二次函数的解析式为，； （3）． 【解析】 【分析】（1）只需证明恒大于0即可； （2）由点，可知关于二次函数对称轴对称，则有二次函数的对称轴为直线，然后问题可求解； （3）由题意易得二次函数的对称轴为直线，然后根据可知，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：根据题意： ∴不论m取何值时，该二次函数图象总与x轴有两个交点； 【小问2详解】 解：由题意可知点，关于二次函数的对称轴对称， ∴该二次函数的对称轴为直线， ∵该二次函数的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 把点代入得：， 解得：； 【小问3详解】 解：由（2）可知二次函数的对称轴为直线， ∵，且该二次函数的图象开口向上， ∴点C到对称轴的距离小于点D到对称轴的距离， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及抛物线与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 24. 二次函数的图象经过点，，且最低点的纵坐标为． （1）求，和的值； （2）若直线经过点，求的值； （3）记（1）中的二次函数图象在点，之间的部分图象为（包含，，两点），若直线与有公共点，请结合图象探索实数的取值范围． 【答案】（1），，； （2）； （3）当或时，直线与有公共点． 【解析】 【分析】考查待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． （1）根据和的纵坐标相同，则一定是对称点，则可以求得对称轴，则抛物线的顶点坐标即可求得，然后利用待定系数法求得抛物线的解析式即可求出，和的值； （2）先求出点，进而代入一次函数即可得解； （3）当直线与有公共点时，可以分别计算直线经过点和时的的值，根据图象可得结论． 【小问1详解】 解：∵ 抛物线过点，， ∴抛物线的对称轴． ∵抛物线最低点的纵坐标为， ∴抛物线的顶点是． ∴抛物线的表达式是，即． ∴，， 把代入抛物线表达式， 求得； 【小问2详解】 解：由（）得， ∴， ∵直线经过点， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：如图， 当经过点时，得，， 当经过点时，−，， 综上所述，当或时，直线与有公共点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期10月阶段性练习 九年级数学问卷 考生须知： 1．本试卷分问卷和答卷两部分．满分120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，必须在答卷的密封区内填写班级、姓名、学号． 3．所有答案都必须做在答卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 4．考试结束后，只上交答卷． 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列各式中,y是x的二次函数的为(    ) A. B. C. D. 2. 下列事件为必然事件的是（　　） A. 明天要下雨 B. a是实数，|a|≥0 C. ﹣3＜﹣4 D. 打开电视机，正在播放新闻 3. 已知二次函数，当x=３时，y的值为（ ） A. 4 B. -4 C. 3 D. -3 4. 二次函数的图象平移后得到，则下列平移方法正确的是（ ） A. 向左平移2个单位，向下平移2个单位 B. 向左平移1个单位，向上平移2个单位 C. 向右平移1个单位，向下平移1个单位 D. 向右平移2个单位，向上平移1个单位 5. 已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨2元，其销售量就减少10个．设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A. y=（x﹣35）（400﹣5x） B. y=（x﹣35）（600﹣10x） C. y=（x+5）（200﹣5x） D. y=（x+5）（200﹣10x） 7. 若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 烟花厂为国庆节特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=−t2+12t+30,若这种礼炮在点火升空到最高点引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为（ ） A. 3s B. 4s C. 5s D. 6s 9. 已知点，，都在抛物线（）上点在点左侧，下列选项正确的是（　　）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数在上的最大值是1，最小值是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 将一个正六面体骰子掷一次，它的点数恰好是4的概率是______． 12. 若抛物线y＝（a－1）x2（a为常数）开口向上，则a的取值范围是_______． 13. 抛物线与轴的交点坐标为______． 14. 如图，若抛物线上的，Q两点关于它的对称轴 对称，则Q点的坐标为 ____ . 15. 若，则的最大值为______． 16. 对于二次函数（），有下列说法： ①对于任何满足条件的a，该函数的图象都经过点和两点； ②若该函数图象的对称轴为直线，则必有； ③当时，y随x的增大而增大； ④若，是图象上的两点，若总成立，则． 以上说法正确的是______（填序号）． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 已知二次函数． （1）求出此二次函数图象的顶点坐标； （2）求出y随x的增大而减小时，x的取值范围． 18. 二次函数（a，b，c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： … … … … （1） ． （2）求该二次函数的解析式． 19. 甲、乙两人进行摸牌游戏，现有四张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，4，5，将四张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上，甲从中随机抽取一张牌，记录下数字后，乙再从余下的牌中随机抽取一张． （1）请用列表法或画树状图的方法，列出两人抽取数字的所有结果； （2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为3的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释． 20. 已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为（－1，0），与y轴的交点坐标为（0，－3） （1）求此二次函数的解析式； （2）求此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标 （3）根据图象回答：当x取何值时，y＜0？ 21. 如图，把一边长为的正方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的盒子． （1）要使折成的盒子底面积为，那么剪掉的正方形边长为多少？ （2）折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形边长；如果没有，说明理由． 22. 篮球运动员投篮后，球运动的路线为抛物线的一部分（如图），抛物线的对称轴为直线求： （1）球运动路线的函数表达式和自变量的取值范围； （2）球在运动中离地面的最大高度． 23. 已知二次函数（m是常数，且）． （1）证明：不论m取何值，该二次函数图象总与x轴有两个交点； （2）若，是该二次函数图象上的两个不同点，求二次函数表达式和的值； （3）若点，点也均在此函数图象上，且满足，求m的取值范围． 24. 二次函数的图象经过点，，且最低点的纵坐标为． （1）求，和的值； （2）若直线经过点，求的值； （3）记（1）中的二次函数图象在点，之间的部分图象为（包含，，两点），若直线与有公共点，请结合图象探索实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $