13.1 三角形中的边角关系（第3课时 三角形中几条重要线段）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

八年级沪科版数学上册 第十三章三角形中的边角关系、命题与证明 13.1　三角形中的边角关系 第3课时 三角形中几条重要线段 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.了解三角形的角平分线、中线与高的概念，会用工具准确画出三角形的角平分线、中线与高;（重点） 2. 学会用数学知识解决实际问题的能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力;（难点） 我们在上节课把三角形按角进行了分类,请回答一下。 什么是锐角三角形、什么是直角三角形、什么是钝角三角形？ 三角形中，三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形； 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形； 有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。 复习导入 三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 角平分线： 如图 ，△ABC 中，∠1＝∠2，线段AD就是△ABC一条角平分线 三角形中，三条边、三个角是它的基本元素此外，三角形还有如下一些重要元素 新知探究 三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线． 中线： 如图 ，△ABC中，点E是BC的中点，线段AE就是△ABC的一条中线． 新知探究 高线： 从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高线，也叫做三角形的高． 如图，AH ⊥ BC，垂足为点H，则线段AH 是△ABC的边BC上的高. 新知探究 操作：1.分别画出图 中各个三角形三条边上的高． C A B D E F A B C D 锐角三角形 直角三角形 A B C D 钝角三角形 E F 三角形的高线的特征： (1)三角形三条高所在的直线交于一点． (2)锐角三角形三条高的交点在三角形的内部； 　直角三角形三条高的交点在直角顶点； 　钝角三角形三条高的交点在三角形的外部． 概念归纳 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 高在三角形内部的数量 高之间是否相交 高所在的直线是否相交 三条高所在直线的 交点的位置 3 1 1 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三角形内部 直角顶点 三角形外部 概念归纳 操作：2.任意画一个三角形，画出三边上的中线． A B C A B C A B C D E F D D E F E F O O O 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三角形的中线的特征： (1)任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，交于一点； (2)三角形的中线是一条线段； (3)三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形. 概念归纳 操作：2.任意画一个三角形，画出三角形三个角的平分线. C A B D E F A B C C B A D E F D E F 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点. 三角形的高 三角形的 中线 三角形的 角平分线 图形 特点 数量 3 3 3 位置 三条高所在的直线交于一点 在三角形内部、外部、三角形上 三条中线在三角形内部交于一点 三条角平分线在三角形内部交于一点 操作：3.一个三角形中共有几条角平分线，它们是否交于一点？同样，各有几条中线、几条高，它们是否各交于一点？ 三角形的重心与定义 三角形三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心. 重心： C A B D E F A B C C B A D E F D E F 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 观察下列语句，它们有什么特征？ ①无限不循环小数称为无理数. ②不在同一条直线上的三条线段首尾依次相连所组成的封闭图形叫做三角形. ③三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 你还能举出类似的语句吗？试着说一说. 明确所知对象的范围 揭示了对象的特征性质. 像这样能明确界定某个对象含义的语句叫做定义. 思考： 填空： （1）如果AD是△ABC的高，那么∠BDA= ； （2）如果BE是△ABC的角平分线，那么∠ABE=∠ = ∠ ； （3）如果CM是△ABC的中线，那么△ACM的面积 △BCM的面积 （填“<”“>”或“=”）. 90° EBC ABC = 课堂练习 2.如图△ABC中，AB=AC，画出底边BC上的中线、高和顶角∠A的平分线，你发现这三条线段有什么关系？ A B C 课堂练习 A B C D BD=CD AD⊥BC ∠BAD=∠CAD 等腰三角形底边上的中线、高和顶角的平分线，三条线段重合. 课堂练习 3.判断下列各图中，AD是不是△ABC中BC边上的高?如果不是，请你画出ΔABC 中BC边上的高: （1）不是；（2）不是，（3）是 (1)(2)正确画法如图所示. 课堂练习 4.列举本章学过的定义 解:不等边三角形、等腰三角形、等边三角形、角平分线、高、中线等. 课堂练习 知识点1　三角形的角平分线 1. 如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是(　D　) A. BD 是△ ABC 的角平分线 B. CE 是△ BCD 的角平分线 C. ∠3＝ ∠ ACB D. CE 是△ ABC 的角平分线 (第1题) D 分层练习-基础 2. 如图， AE 是△ ABC 的角平分线， AD 是△ AEC 的角平分线.若∠ BAC ＝80°，则∠ EAD ＝ ⁠. (第2题) 20°　 【点拨】 因为 AE 是△ ABC 的角平分线， 所以∠ CAE ＝ ∠ BAC ＝40°.因为 AD 是△ AEC 的角平分线， 所以∠ EAD ＝ ∠ CAE ＝20°. 知识点2　三角形的中线 3. 如图， AD 是△ ABC 的中线，则下列结论正确的是(　D　) A. AD ⊥ BC B. ∠ BAD ＝∠ CAD C. AB ＝ AC D. BD ＝ CD (第3题) D 4. 如图，已知 P 是△ ABC 的重心，连接 AP 并延长交 BC 于点 D ，若△ ABC 的面积为20，则△ ADC 的面积为 ⁠. (第4题) 10　 【点拨】 因为 P 是△ ABC 的重心，所以易知 AD 是△ ABC 的中线. 所以△ ADC 的面积等于△ ABC 面积的一半. 又因为△ ABC 的面积为20，所以△ ADC 的面积为10. 知识点3　三角形的高 5. [情境题·方案策略型]如图，一块三角形试验田 ABC ，需要平均四份，种植四种不同的作物，请你说3种方案在图上进行分割. 【解】答案合理即可，如图.(任意画出3种均可) 6. 在△ ABC 中，∠ BAC 是钝角，下列图中画 AC 边上的高线正确的是(　D　) D 7. 如图， AD 是△ ABC 的高， BE 平分∠ ABC 交 AD 于点 E . 若∠ C ＝76°， ∠ BED ＝64°，则∠ BAC 的度数是 ⁠. 52°　 因为 AD 是△ ABC 的高，所以∠ ADB ＝90°. 因为在△ BED 中，∠ EBD ＋∠ BED ＋∠ EDB ＝180°， ∠ BED＝64°，所以∠ EBD ＝180°－90°－64°＝26°. 因为 BE 平分∠ ABC ，所以∠ ABC ＝2∠ EBD ＝52°. 又因为∠ C ＝76°，所以∠ BAC ＝180°－∠ ABC －∠ C ＝180°－52°－76°＝52°. 8. 如图， BD ， CE 是△ ABC 的高， BD 和 CE 相交于点 O . (1)图中有哪几个直角三角形？ 【解】直角三角形有：△ BOE ，△ BCE ， △ ACE ，△ BCD ，△ COD ，△ ABD . (2)图中有与∠2相等的角吗？请说明理由. 【解】有，与∠2相等的角是∠1.理由如下： 因为 BD ， CE 是△ ABC 的高，所以∠ ADB ＝90°，∠ AEC ＝90°. 所以∠1＋∠ A ＝180°－∠ ADB ＝90°，∠2＋∠ A ＝180°－∠ AEC ＝90°. 所以∠1＝∠2.所以与∠2相等的角是∠1. (3)若∠4＝55°，∠ ACB ＝65°，求∠3，∠5的度数. 【解】因为 BD 是△ ABC 的高，所以∠ BDC ＝90°. 又因为∠ DCB ＝65°， 所以∠3＝180°－∠ DCB －∠ BDC ＝180°－65°－90°＝25°. 因为在△ BOC 中，∠4＝55°， 所以∠ BOC ＝180°－∠3－∠4＝180°－25°－55°＝100°. 所以∠5＝∠ BOC ＝100°. 易错点　不理解三角形高的定义导致出错 9. 如图， AC ⊥ BC 于 C ， CD ⊥ AB 于 D ，则图中可以作为三角形“高”的线段有(　D　) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 5条 【点拨】 可以作为三角形“高”的线段有 AC ， BC ， AD ， CD ， BD ，共5条. D 10. 如图，在锐角三角形 ABC 中， BC 边上有 E ， D ， F 三点， BD ＝ CD ，∠ BAE ＝∠ DAE ， AF ⊥ BC . (1)以 AD 为中线的三角形有 ；以 AE 为角平分线的三角形有 ；以 AF 为高的钝角三角形有 ⁠ . △ ABC 　 △ ABD 　 △ ABE ，△ ABD ，△ ADE 　 分层练习-巩固 (2)若∠ BAC ＝88°，∠ B ＝35°，求∠ CAF 的度数. 【解】在△ ABC 中，∠ BAC ＝88°，∠ B ＝35°， 所以∠ C ＝180°－88°－35°＝57°. 因为 AF ⊥ BC ，所以∠ AFC ＝90°. 所以∠ CAF ＝180°－90°－57°＝33°. 11. 如图，已知 AD ， AE 分别是△ ABC 的高和中线， AB ＝6 cm， AC ＝8 cm， BC ＝10 cm，∠ CAB ＝90°.试求： (1) AD 的长为 ⁠； 【点拨】 因为∠ BAC ＝90°， AD 是 BC 边上的高， 所以 AB · AC ＝ BC · AD . 4.8 cm　 所以 AD ＝ ＝ ＝4.8(cm)， 即 AD 的长为4.8 cm. (2)△ ABE 的面积； 【解】 方法一：因为△ ABC 是直角三角形，∠ BAC ＝90°， 所以 S△ ABC ＝ AB · AC ＝ ×6×8＝24 (cm2). 因为 AE 是△ ABC 的中线，所以 BE ＝ EC . 所以 BE · AD ＝ EC · AD ，即 S△ ABE ＝ S△ AEC . 所以 S△ ABE ＝ S△ ABC ＝12 cm2，即△ ABE 的面积是12 cm2. 方法二：由(1)知 AD ＝4.8 cm. 因为 AE 是△ ABC 的中线， BC ＝10 cm，所以 BE ＝ BC ＝5 cm. 所以 S△ ABE ＝ BE · AD ＝ ×5×4.8＝12(cm2)， 即△ ABE 的面积是12 cm2. (3)△ ACE 和△ ABE 的周长的差. 【解】因为 AE 为 BC 边上的中线，所以 BE ＝ CE . 所以△ ACE 的周长－△ ABE 的周长 ＝ AC ＋ AE ＋ CE －( AB ＋ BE ＋ AE )＝ AC － AB ＝8－6＝2(cm)， 即△ ACE 和△ ABE 的周长的差是2 cm. 12. [新考法·推理能力]如图，在△ ABC 中， AD ⊥ BC ， AE 平分∠ BAC ， ∠ B ＝70°，∠ C ＝30°. (1)∠ BAE 的度数为 ⁠. 【点拨】 因为∠ B ＋∠ C ＋∠ BAC ＝180°， 所以∠ BAC ＝180°－∠ B －∠ C ＝180°－70°－30°＝80°. 40°　 因为 AE 平分∠ BAC ，所以∠ BAE ＝ ∠ BAC ＝40°. (2)求∠ DAE 的度数. 【解】 因为 AD ⊥ BC ，所以∠ ADB ＝90°. 因为∠ ADB ＋∠ B ＋∠ BAD ＝180°， 所以∠ BAD ＝180°－90°－70°＝20°. 所以∠ DAE ＝∠ BAE －∠ BAD ＝40°－20°＝20°. (3)探究：小明认为如果条件∠ B ＝70°，∠ C ＝30°改成∠ B －∠ C ＝40°，也能得出∠ DAE 的度数.你认为能吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由. 【解】能.因为∠ B ＋∠ C ＋∠ BAC ＝180°， 所以∠ BAC ＝180°－∠ B －∠ C . 因为 AE 平分∠ BAC ， 所以∠ BAE ＝ ∠ BAC ＝ (180°－∠ B －∠ C )＝90°－ (∠ B ＋∠ C ). 因为 AD ⊥ BC ，所以∠ ADB ＝90°.因为∠ ADB ＋∠ B ＋∠ BAD ＝180°， 所以∠ BAD ＝180°－90°－∠ B ＝90°－∠ B ， 所以∠ DAE ＝∠ BAE －∠ BAD ＝90°－ (∠ B ＋∠ C )－(90°－∠ B ) ＝ (∠ B －∠ C ).因为∠ B －∠ C ＝40°，所以∠ DAE ＝ ×40°＝20°. 13. [新考法·特殊点定位法]如图，△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝8 cm， BC ＝6 cm， AB ＝10 cm，若动点 P 从点 C 开始，按 C → A → B → C 的路径运动，且速度为每秒3 cm，设运动的时间为 t s. 分层练习-拓展 (1)当 t ＝ 时， CP 把△ ABC 的周长分成相等的 两部分. (2)当 t ＝ 时， CP 把△ ABC 的面积分成相等的两 部分. 4　 　 (3)当 t 为何值时，△ BCP 的面积为18 cm2？ 【解】如图①，当点 P 在 AC 上时，因为 S△ BCP ＝18 cm2， 所以 ×6×3 t ＝18，所以 t ＝2. 如图②，当点 P 在 AB 上时，过点 C 作 CD ⊥ AB 于 D . 因为 S△ ABC ＝ AC · BC ＝ AB · CD ， 所以 CD ＝ ＝ (cm). 因为 S△ BCP ＝18 cm2，所以易得 ×(10＋8－3 t )× ＝18， 所以 t ＝ . 综上所述，当 t ＝2或 时，△ BCP 的面积为18 cm2. 1. 填空： (1)已知：等腰三角形的一条边长为3 cm，另一条边长为5 cm，则它的周长是 cm； (2)已知：等腰三角形的一条边长为2 cm，另一 条边长为5 cm，则它的周长是 cm. 11或13 12 习题13.1 2.△ABC满足下列条件时，它是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？ (1)∠A=∠B=∠C； 解：(1) ∵∠A=∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°， ∴△ABC是锐角三角形. (2)∠A+∠B=∠C； (2) ∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C+∠C=180°， 解得∠C=90°， ∴△ABC是直角三角形. (3)∠A=∠B=30°； (3) ∵∠A=∠B=30°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°-30°-30°=120°， ∴△ABC是钝角三角形. (4)∠A= ∠B= ∠C. (4) 设∠A=x°，则∠B=2x°，∠C=3x°， 那么x°+2x°+3x°=180°，解得x=30. ∴∠C=90°， ∴△ABC是直角三角形. 3. 填空： (1)已知：△ABC中，∠B+∠C=2∠A，∠B∶ ∠A=5∶3，则∠A= ，∠C= ； (2)△ABC中，∠B=∠C=2∠A，∠C= . 60° 72° 20° 4.已知：如图，BD是△ABC的中线，AB=5 cm，BC=3 cm，那么△ABD与△CBD的周长的差是多少？ 解：△ABD与△CBD的周长的差 =(AB+BD+AD)-(BC+BD+CD)=AB+AD-BC-CD. ∵BD是中线，∴AD=CD. ∴周长差=AB-BC=5-3=2 (cm). 5.在△ABC中，∠A比∠B大10°，∠C比∠A大10°，求△ABC中各角的度数. 解：设∠B=x°，则∠A=(x+10)°，∠C=∠A+10°=(x+20)°， 由三角形内角和为180°，得x°+(x+10)°+(x+20)°=180°，解得x=50， ∴∠A=60°，∠B=50°，∠C=70°. 6.在△ABC中，∠A的平分线交BC于点D，∠B=65°，∠C=50°，求∠ADB的度数. 解：如图所示，因为∠BAC+∠B+∠C=180°， ∠B=65°，∠C=50°，所以∠BAC=65°. 因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=32.5°. 所以∠ADB=180°-65°-32.5°=82.5°. 7.已知：△ABC中，AB=5，BC=2a+1，AC=12.求a的范围. 解：由题意可得12-5<2a+1<12+5， 即7<2a+1<17，∴3<a<8. 三角形的 重要线段 概念 表示法 图形 三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 ∵AD是△ABC的BC上的高线. ∴AD⊥BC ∠ADB=∠ADC=90°. 三角形 的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中点的 线段 ∵ AD是△ABC的BC上的中线. ∴ BD=CD= ½BC. 三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 ∵.AD是△ABC的∠BAC的平分线 ∴ ∠1=∠2= ½ ∠BAC 课堂小结 $$