15.3 等腰三角形（第3课时 等腰三角形的判定）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

八年级沪科版数学上册 第十五章 轴对称图形与等腰三角形 15.3　等腰三角形 第3课时　等腰三角形的判定 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解等腰三角形的判定方法的证明过程; (重点） 2.掌握等腰三角形的判定定理及它的两个推论，能运用定理和推论进行简单的推理和计算；（重点、难点） 3.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．（难点） 情景导入 之前，我们已经学习了等腰三角形、等边三角形的性质.那么怎么样的三角形是等腰三角形或等边三角形呢？ 等腰三角形的两个底角相等，反过来的命题是否是真命题呢？请与你的同学研究讨论后作出判断. 新知探究 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.（等角对等边） 已知：如图所示，在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC. 证明：过点A作AD⊥BC,D点为垂足， ∴∠ADB=∠ADC=90°.（垂直定义） 在△ADB和△ADC中， ∴△ADB≌△ADC.(AAS) ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等) 要怎样证明呢？ 由上述定理可得 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形. 推论2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 概念归纳 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，延长BC到点D，使CD=BC.连接AD,则△ACD≌△ACB. A B C D ∴ AD=AB，∠BAC=∠DAC=30°，∠BAD=60°.由推论2，得△ABD是等边三角形，∴ BD=AB BC= BD= AB. 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 例4 如图，一艘船从A处出发，以每时10n mile（海里）的速度向正北航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上.如果这艘船上午8：00从A处出发，10：00到达B处，从B处测得礁石C在北偏西60°的方向上. A B C 60° 30° （1）画出礁石C的位置； 解：（1）以B为顶点，向北偏西60°作角，这角一边与AC交于点C，则点C为礁石所在地. 课本例题 A B C 60° 30° 解：（2）∵ ∠ACB=60°-30°=30°，（三角形的外角性质） （2）求从B处到礁石C的距离； 又∵ ∠BAC=30°， ∴ ∠BCA=∠BAC, ∴ BC=BA. ∵ BA=10×（10-8）=20（n mile）， ∴ BC=20（n mile）. 即从B处到礁石C的距离是20 n mile. 课堂练习 1.已知:如图,AB与CD 交于点P,CP=PD,∠A =42°,∠CPB =138°，∠B=69° 求证:AC =PB. 证明:∵∠CPB=138° ∴∠APC=42°. 又∵∠A=42° ∴AC=PC. ∴∠BPC=138°.∴∠B=69° ∴∠D=69° ∴PD= PB. 又∵PC=PD, ∴AC=PB. 2.已知: △ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC交BC于点D,若∠B=45°,BC=10cm求 AD 的长度. 解:∵AB=AC,∠B=45° ∴△ABC 为等腰直角三角形. ∴AD平分∠BAC， ∴AD为BC边上的中线. ∴AD-BC=5 cm 3. 已知: 如图,ΔABC 中,∠ACB =90°，CD 是斜边上的高,∠A =30°. 求证:BD =AB 证明:∵∠A=30°,∠ACB=90° BC=AB 又∵CD⊥BD ∴∠DCB=∠A=30° ∴BD=BC.BD=AB. 知识点1　等腰三角形的判定 1. 如图，∠ B ＝∠ C ＝36°，∠ ADE ＝∠ AED ＝72°，则 图中的等腰三角形有(　D　) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 (第1题) 分层练习-基础 因为∠ B ＝∠ C ＝36°，所以 AB ＝ AC ，∠ BAC ＝ 108°，所以△ ABC 是等腰三角形；因为∠ ADE ＝∠ AED ＝72°，所以 AD ＝ AE ，∠ BAE ＝∠ CAD ＝72°，所以∠ BAE ＝∠ AEB ，∠ CAD ＝∠ ADC ，所以 AB ＝ BE ， AC ＝ CD ，所以△ ADE ，△ ABE ，△ ACD 都是等腰三角形；因为∠ ADE ＝72°，∠ B ＝36°，所以∠ BAD ＝36°，所以∠ B ＝∠ BAD ，所以 AD ＝ BD ，所以△ ABD 是等腰三角形，同理可得△ AEC 是等腰三角形.综上，题图中的等腰三角形有6个. 【点拨】 【答案】 D 2. [2022·宜宾]如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝5， D 是 BC 上的点， DE ∥ AB 交 AC 于点 E ， DF ∥ AC 交 AB 于点 F ，那么四边形 AEDF 的周长是(　B　) A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 (第2题) 因为 AB ＝ AC ，所以∠ B ＝∠ C . 因为 AB ∥ DE ， AC ∥ DF ，所以∠ EDC ＝∠ B ，∠ FDB ＝∠ C ，所以∠ B ＝∠ FDB ＝∠ C ＝∠ EDC ，所以 BF ＝ FD ， DE ＝ CE ，则四边形 AEDF 的周长＝ AF ＋ DF ＋ DE ＋ AE ＝ AF ＋ BF ＋ CE ＋ AE ＝ AB ＋ AC ＝10. 【点拨】 B 知识点2　 等腰三角形判定的应用 3. [2023·贵州]如图，在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ， BC ＝5， CD ＝3.按下列步骤作图：①以点 D 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 DA ， DC 于 E ， F 两点；②分别以点 E ， F 为圆心，以大于 EF 的长为半径画弧，两弧交于点 P ；③连接 DP 并延长交 BC 于点 G . 则 BG 的长是(　A　) (第3题) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【点拨】 由题意得， DG 为∠ ADC 的平分线， ∴∠ ADG ＝∠ CDG . ∵ AD ∥ BC ，∴∠ ADG ＝∠ CGD ， ∴∠ CDG ＝∠ CGD ，∴ CG ＝ CD ＝3， ∴ BG ＝ CB － CG ＝5－3＝2. 故选A. 【答案】 A 4. (荣德原创题)在下列三角形中，若 AB ＝ AC ，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(　B　) A选项，过点 B 作 BD 平分∠ ABC ，交 AC 于点 D ，则直线 BD 即为所求；C选项，作 BC 的垂直平分线可满足要求；D选项，在 BC 上截取 BD ＝ AB ，连接 AD ，则直线 AD 即为所求.故选B. 【点拨】 B 知识点2　 等边三角形的判定 5. [2023·江西]将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点 B ， C 表示的刻度分别为1，3，则线段 AB 的长为 cm. 2　 【点拨】 ∵直尺的两对边相互平行， ∴∠ ACB ＝∠α＝60°. 又∵∠ A ＝60°，∴∠ ABC ＝180°－∠ ACB －∠ A ＝180°－60°－60° ＝60°.∴∠ A ＝∠ ABC ＝∠ ACB . ∴△ ABC 是等边三角形.∴ AB ＝ BC ＝3－1＝2(cm). 6. 如图， D ， E ， F 分别是等边三角形 ABC 中边 AB ， BC ， AC 上的点，且 AD ＝ BE ＝ CF ，则△ DEF 的形状是(　A　) A. 等边三角形 B. 腰和底边不相等的等腰三角形 C. 直角三角形 D. 不等边三角形 A 7. [2022·嘉兴]小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件. 【点拨】 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. ∠ A=60° 答案不唯一 8. [新考法·转移集中法 2023·滨州]已知点 P 是等边三角形 ABC 的边 BC 上的一点，若∠ APC ＝104°，则在以线段 AP ， BP ， CP 为边的三角形中，最小内角的大小为(　B　) A. 14° B. 16° C. 24° D. 26° 分层练习-巩固 【点拨】 如图，过点 P 作 PD ∥ AB 交 AC 于点 D . ∵△ ABC 为等边三角形， ∴∠ B ＝∠ C ＝∠ BAC ＝60°， AC ＝ BC . ∵ PD ∥ AB ， ∴∠ CPD ＝∠ B ＝60°，∠ CDP ＝∠ BAC ＝60°， ∴∠ ADP ＝120°，△ CDP 为等边三角形， ∴ CP ＝ DP ＝ CD ，∴ AD ＝ BP . ∴△ ADP 就是以线段 AP ， BP ， CP 为边的三角形. ∵∠ APC ＝104°，∴∠ APD ＝∠ APC －∠ CPD ＝ 44°，∠ CAP ＝180°－∠ APC －∠ C ＝16°， ∴以线段 AP ， BP ， CP 为边的三角形的三个内角分 别为16°，44°，120°， ∴最小内角的大小为16°. 【答案】 B 9. [2022·温州]如图， BD 是△ ABC 的角平分线， DE ∥ BC ，交 AB 于点 E . (1)求证：∠ EBD ＝∠ EDB ； 【证明】∵ BD 是△ ABC 的角平分线， ∴∠ CBD ＝∠ EBD . ∵ DE ∥ BC ，∴∠ CBD ＝∠ EDB . ∴∠ EBD ＝∠ EDB . (2)当 AB ＝ AC 时，请判断 CD 与 ED 的大小关系，并说明理由. 【解】 CD ＝ ED . 理由如下： ∵ AB ＝ AC ，∴∠ C ＝∠ ABC . ∵ DE ∥ BC ，∴∠ ADE ＝∠ C ，∠ AED ＝∠ ABC . ∴∠ ADE ＝∠ AED . ∴ AD ＝ AE . ∴ CD ＝ BE . 由(1)知，∠ EBD ＝∠ EDB ， ∴ BE ＝ DE . ∴ CD ＝ ED . 10. [新考法·特殊位置法]如图，△ ABC 为等腰三角形， AB ＝ AC ， BD 为△ ABC 的一条角平分线，延长 BC 到点 E ，使 CE ＝ CD ，过点 D 作 DH ⊥ BE ，垂足为 H ，连接 DE . (1)求证： H 为 BE 的中点. 分层练习-拓展 【证明】∵ AB ＝ AC ，∴∠ ABC ＝∠4. ∵ BD 平分∠ ABC ，∴∠1＝∠2. ∵ CE ＝ CD ，∴∠3＝∠ E . ∵∠4＝∠3＋∠ E ，∠ ABC ＝∠1＋∠2， ∴∠2＝∠ E ， ∴ BD ＝ ED ，即△ BDE 为等腰三角形. 又∵ DH ⊥ BE ，∴ H 为 BE 的中点. (2)探究：当∠ A 为多少度时， AD ＝ HC ？请加以证明. 【解】当∠ A ＝90°时， AD ＝ HC . 证明如下： 在△ ABD 和△ HBD 中， ∴△ ABD ≌△ HBD ( AAS )，∴ AD ＝ DH . ∵ AB ＝ AC ，∴△ ABC 为等腰直角三角形， ∴∠4＝45°. 又∵∠ DHC ＝90°，∴△ DHC 为等腰直角三角形， ∴ DH ＝ HC ，∴ AD ＝ HC . 11. (1)观察与发现： 小明将三角形纸片 ABC ( AB ＞ AC )沿过点 A 的直线折叠，使得 AC 落在 AB 边上，折痕为 AD ，展开纸片(如图①)，再次折叠该三角形纸片，使点 A 和点 D 重合，折痕为 EF ， AD 与 EF 相交于点 O ，展开纸片后得到△ AEF (如图②)，小明认为△ AEF 是等腰三角形，你同意吗？ 请说明理由. 【解】同意.理由：连接 DE ， DF ，如图②，由第一次折叠可知 AD 平分∠ CAB ，∴∠1＝∠2， 由第二次折叠可知∠ CAB ＝∠ EDF ，∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴∠3＝∠4， 在△ AED 与△ AFD 中， ∴△ AED ≌△ AFD ( ASA )，∴ AE ＝ AF ， ∴△ AEF 是等腰三角形. (2)实践与运用： 将长方形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，折痕为 BE ，可得正方形 ABFE (如图③)，再沿过点 E 的直线折叠，使点 D 落在 BE 上的点D'处，折痕为 EG (如图④)，再展开纸片(如图⑤)，求图⑤中∠α的度数. 【解】由第一次折叠可得∠ AEB ＝∠ BEF ＝45°， ∴∠ BED ＝180°－45°＝135°. 由第二次折叠知，∠ BEG ＝∠ DEG ＝ ∠ BED ＝67.5°. ∵∠ BEF ＝45°， ∴∠α＝∠ BEG －∠ BEF ＝67.5°－45°＝22.5°. 1.已知：P，Q是△ABC的边BC上两点，并且BP=PQ=QC=AP=AQ.求∠BAC的度数. 解：∵PQ=AP=AQ， ∴△APQ是等边三角形， ∴∠PAQ=∠APQ=∠PQA=60°， 习题15.3 ∵AP=BP，AQ=CQ， ∴∠B=∠BAP, ∠C=∠QAC, ∵∠APQ=∠B+∠BAP，∴∠B=∠BAP=30°. 同理可得∠C=∠QAC=30°, ∴∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠QAC=120°. 2.已知：如图，△ABC为等边三角形，点D，E，F分别在BC，CA，AB上，且AF=BD=CE. 求证：△DEF是等边三角形. 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C，AB=BC=AC. ∵AF=BD=CE， ∴AB-AF=BC-BD=AC-CE， 即BF=AE=CD. 在△BDF与△AFE中， ∵ ∴△BDF≌△AFE.(SAS) ∴DF=FE. 同理可得DF=DE， ∴DF=EF=DE. ∴△DEF是等边三角形. 求证：等腰三角形两个底角平分线的交点到底边两端点的距离相等. 3. 证明：如图所示，△ABC为等腰三角形，AB=AC, CE平分∠ACB, BD平分∠ABC, CE与BD交于点O. ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB, 又∵CE平分∠ACB, BD平分∠ABC, ∴∠OCB= ∠ACB, ∠OBC= ∠ABC, ∴ ∠OCB=∠OBC. ∴ OB=OC. 60° 解：(1)如图所示，B1即为此时船的位置. 本节的例4中，这艘船到达B处后继续以原来速度向北航行，中午某时到达B1处， 从B1处测得礁石C在南偏西60°的方向上. (1)画出此时船的位置； 4. (2)求从B1处到礁石C的距离. (2)∵∠B1AC=30°，∠B1BC=60°， ∴∠ACB=∠B1BC－∠B1AC=30°， ∴∠ACB=∠BAC.∴BC=AB. 又∵∠B1BC=∠BB1C=60°，∴B1C=BC. 60° ∴B1C=BC=AB=20 (n mile)， 即B1到礁石C的距离为20 n mile. 已知：如图，AC=DB，∠1=∠2，AC与DB相交于点O. 求证：(1)AB=DC. 5. 证明：(1)在△ABC和△DCB中， ∵ ∴△ABC≌△DCB.(SAS) ∴AB=DC. (2)OA=OD. (2)∵∠1=∠2， ∴OB=OC. 又∵AC=DB, ∴AC－OC=DB－OB. ∴OA=OD. 已知：如图，CD平分∠ACB，AE∥DC，交BC的延长线于点E.求证：△ACE是等腰三角形. 6. 证明：∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD=∠ACD. ∵AE∥DC， ∴∠BCD=∠E，∠ACD=∠CAE. ∴∠EAC=∠E. ∴△ACE是等腰三角形. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D, E分别在边BC, AC上，AD=AE, 若∠BAD=30°.求∠EDC的度数. 7. 解：设∠EDC= x°，∠B= y°. ∵AB=AC，∴∠B=∠C= y°， ∴∠AED=∠EDC+∠C=( x+ y)°. ∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=( x+ y)°， ∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=(x+ y+x)°， ∠ADC=∠B+∠BAD= y°+30°, ∴ (x+ y+x)°=y°+30°. ∴ x=15. 即∠EDC= 15°. 已知：如图，AD是△ABC的中线，∠1=2∠2.CE⊥AD，BF⊥AD，点E, F为垂足. 求证：EF=BD . 8. 解：∵∠1=2∠2，∠1+∠2=180°， ∴∠1=120°，∠BDF=∠2=60°. 又∵CE⊥AD，BF⊥AD， ∴∠CED=∠BFD=90°, ∴∠DCE=∠DBF=30°, ∴CD=2DE，BD=2DF . ∵AD是△ABC的中线， ∴ BD=CD . ∴DE=DF，∴EF=DE+DF=2DF=BD. 解：如图所示，AB=AC=2a, ∠ABC=∠ACB=15°，过C作CD垂直于BA交BA的延长线于点D. ∵∠ABC=∠ACB=15°，∴∠CAD=30°， ∴在Rt△ACD中， CD= AC=a.即腰上的高为a. 已知：一个等腰三角形的底角等于15°，腰长为2a. 求腰上的高 . 9. 已知：如图，点E，F分别在等边三角形ABC的边BC，CA上，BE=CF，AE与BF交于点G.求∠AGF的度数 . 10. 解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=60°. 在△ABE和△BCF中， ∵ ∴△ABE≌△BCF.(SAS) ∴∠BAE=∠CBF，∴∠AGF=∠ABG+∠BAE=∠ABG+∠CBF=∠ABC=60°. 已知：如图，AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，F是CD的中点. 求证：AF⊥CD. 11. 证明：连接AC， AD．在△ABC 和△AED中， ∴△ABC≌△AED.(SAS) ∴AC=AD， 又∵F是CD的中点， ∴AF⊥CD. 已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM和△CBN是等边三角形，AN交CM于点E，BM交CN于点F . 求证：(1)CE=CF； 12. 证明：(1)∵△ACM和△CBN是等边三角形，∴AC =MC，CN =CB，∠ACM=∠BCN=60°. ∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN， 即∠ACN=∠MCB. 在△ACN和△MCB中， ∵ ∴△ACN≌△MCB, (SAS) ∴∠CAN=∠CMB. 又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠BCN=60°， ∴∠MCF=∠ACE. 在△ACE和△MCF中， ∵ ∴△ACE≌△MCF. (ASA) ∴CE=CF. (2) EF∥AB . (2)由(1)知∠ECF=60°，CE=CF， ∴△CEF是等边三角形， ∴∠FEC=60°=∠ACM, ∴EF∥AB . 等腰三角形的判定 等角对等边 定义 注意是指同一个三角形中 有两边相等的三角形是等腰三角形 推论 1.三个角都相等的三角形是等边三角形. 2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 课堂小结 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. $$