13.2 命题与证明（第4课时 三角形的外角）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

八年级沪科版数学上册 第十三章三角形中的边角关系、命题与证明 第4课时 三角形的外角 13.2　命题与证明 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解并掌握三角形的外角的概念． 2.能够在能够复杂图形中找出外角.（难点） 3.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和及三角形的内角和．（重点） 4.会利用三角形的外角性质解决问题. 在下图中，你能找到几个角(除了平角)？它们有什么区别？ A B C 1　 2　 有4个角：∠A，∠B，∠1，∠2. 其中∠A，∠B，∠1都在△ABC内部，都是△ABC的内角. 那∠2呢？ 情景导入 2　 A B C 1　 像这样由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 如：∠2就是△ABC的一个外角. ①顶点在三角形的一个顶点上; ②一条边是三角形的一条边; ③另一条边是三角形的某条边的延长线. 特点： 新知探究 问题1 如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？ E 在三角形每个顶点处都有两个外角. ∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE； C B A D ∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角. 问题2 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？ A B C 画一画 画出△ABC的所有外角，共有几个呢? 每一个三角形都有6个外角． 每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角. F A B C D E 1.如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？ ∠BEC是△AEC的外角; ∠AEC是△BEC的外角; ∠EFD是△BEF和△DCF的外角. 练一练 如图，△ABC的外角∠ACD与它不相邻的内角∠A，∠B有怎样的关系？尝试给出证明，并与同学交流. A B C D 提示：还记得我们证明三角形内角和定理时是怎样添加辅助线的吗？ E 延长BC至D点，并过点C作CE∥AB. ∠ACD=∠A+∠B 证明：延长BC至D点，并过点C作CE∥AB. 则有∠B=∠ECD，(两直线平行，同位角相等) ∠A=∠ACE，(两直线平行，内错角相等) 又∠ECD+∠ACE=∠ACD， ∴∠ACD=∠A+∠B.(等量代换) 新知探究 ∠ACD=∠A+∠B. A B C D 这三个角之间还有其它的关系吗？ 概念归纳 三角形内角和定理的推论 推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 2.说出下列图形中∠1和∠2的度数： A B C D ( ( ( 80 ° 60 ° ( 2 1 (1) A B C ( ( ( ( 2 1 50 ° 32 ° (2) ∠1=40 °, ∠2=140 ° ∠1=18 °, ∠2=130 ° 练一练 如图，△ABC的外角∠ACD与它不相邻的内角∠A，∠B有怎样的关系？尝试给出证明，并与同学交流. A B C D ∠ACD=∠A+∠B 这三个角之间还有其它的关系吗？ ①∠ACD ∠A(填“＞”“＜”) ②∠ACD ∠B(填“＞”“＜”) ＞ ＞ 新知探究 A B C D 这个外角和它相邻的内角又有什么关系呢？ ∠ACB+∠ACD=180°，即∠ACB与∠ACD互补. 概念归纳 三角形内角和定理的推论 推论4：三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角. 例1. 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数． 解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数． E 补充例题 解：延长BP交AC于点E， 则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE， ∠PEC＝∠ABE＋∠A， ∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°＝120°. ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°. 例1 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数． 【变式题】 (一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数. A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° 思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题. A B C D ( ( 20 ° 30 ° 解法一：连接AD并延长于点E. 在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3， 在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4. 因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2， 所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30° =101°. E ) ) 1 2 ) 3 ) 4 你发现了什么结论？ 【变式题】 (一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数. A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° E ) 1 解法二：延长BD交AC于点E. 在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE， 在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD. 所以∠BDC =∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°. 解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）. ) 2 F 解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解. 【变式题】 (一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数. 例5.已知：如图，∠1、∠2、∠3是 △ABC的三个外角 求证： ∠1+∠2+∠3=360° A B C 1 2 3 课本例题 证明 ∵∠1=∠ABC+∠ACB ∠2=∠BAC+∠ACB ∠3=∠BAC+∠ABC, （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） ∴ ∠1+∠2+∠3=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC). （等式性质） ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，（三角形内角和定理） ∴∠1+∠2+∠3=360°. 1.填空： （1）如图，∠ABC= ，∠1= ； （2）在直角三角形中，与直角相邻的外角的度数是 . A D B C E 60° 110° 1 50° 130° 90° 课堂练习 2.如图，P是△ABC内任一点，连接BP并延长交AC于点D，连接CP，用不等号“＞”或“＜”表示∠A，∠1，∠2的大小关系，并说明理由. 解：∠1＞∠2＞∠A. 2 1 B A C 理由如下： 对于△ABD，∠2是它的一个外角， D P 又∠A是与∠2不相邻的一个内角， ∴∠2＞∠A. 对于△PCD，∠1是它的一个外角， 又∠2是与∠1不相邻的一个内角， ∴∠1＞∠2. ∴∠1＞∠2＞∠A. 课堂练习 知识点1　三角形外角的定义 1. 下列各图中，∠1是△ ABC 的外角的是(　D　) D 分层练习-基础 2. [新考法·定义解释法]关于三角形的外角，下列说法中错误的是(　A　) A. 一个三角形只有三个外角 B. 三角形的每个顶点处都有两个外角 C. 三角形的每个外角是与它相邻内角的邻补角 D. 一个三角形共有六个外角 【点拨】 三角形的每个顶点处都有两个外角，一共有六个外角，故A错误，B，D 正确；根据三角形外角的定义可知C正确. A 知识点2　三角形外角的性质 3. [2023·陕西]如图，直线 l1∥ l2，点 A 在 l2上， AB ⊥ l3，垂足为 B . 若∠1＝138°，则∠2的度数为(　D　) A. 32° B. 38° C. 42° D. 48° (第3题) 如图.∵直线 l1∥ l2， ∴∠3＝∠1＝138°. ∵ AB ⊥ l3，∴∠ ABC ＝90°. ∵∠3＝∠2＋∠ ABC ， ∴∠2＝48°.故选D. D 4. [2023·大连]如图， AB ∥ CD ，∠ A ＝45°，∠ C ＝20°，则∠ E 的度数为 (　B　) A. 20° B. 25° C. 35° D. 45° (第4题) 如图. ∵ AB ∥ CD ，∴∠ A ＝∠ DFE . ∵∠ A ＝45°，∴∠ DFE ＝45°. ∵∠ DFE 是△ CEF 的一个外角， ∴∠ DFE ＝∠ C ＋∠ E .又∵∠ C ＝20°， ∴45°＝20°＋∠ E . ∴∠ E ＝25°.故选B. B 5. [2023·日照]在数学活动课上，小明同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得∠1＝23°，则∠2的度数是(　B　) A. 23° B. 53° C. 60° D. 67° 如图. ∵ BC ∥ DE ，∴∠2＝∠ BCD . 又∵∠ BCD ＝∠1＋∠ A ，∠ A ＝30°， ∴∠2＝∠1＋∠ A ＝23°＋30°＝53°. B 故选B. 6. 如图是四条互相不平行的直线 l1， l2， l3， l4相交所形成的七个角，关于这七个角的度数关系，下列结论中正确的是(　C　) A. ∠2＝∠4＋∠7 B. ∠1＋∠4＋∠6＝180° C. ∠3＝∠1＋∠7 D. ∠2＋∠3＋∠5＝360° (第6题) C 知识点3　三角形内、外角的关系 7. 如图，∠1，∠2，∠3，∠4恒满足的关系式是(　D　) A. ∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B. ∠1＋∠2＝∠4－∠3 C. ∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D. ∠1＋∠4＝∠2－∠3 (第7题) 如图.因为∠5＝∠1＋∠4，∠2＝∠5＋∠3， 所以∠1＋∠4＝∠2－∠3. D 8. [新考法·整体求值法]如图， D ， E ， F 分别是△ ABC 三边延长线上的点，∠ D ＋∠ E ＋∠ F ＝107°，则∠1＋∠2＋∠3的度数为(　A　) A. 73° B. 63° C. 83° D. 93° (第8题) 根据三角形的外角性质得∠ D ＋∠3＝∠ CAB ， ∠ E ＋∠1＝∠ ABC ，∠ F ＋∠2＝∠ ACB ， 利用三角形内角和定理及已知条件即可求解. A 易错点　忽略外角的性质中“不相邻”这一条件 9. 如图，在△ ABC 中，在 BC 的延长线上取点 D ， E ，连接 AD ， AE ，则下列式子中正确的是(　C　) (第9题) C A. ∠ ACB ＞∠ ACD B. ∠ ACB ＞∠1＋∠2＋∠3 C. ∠ ACB ＞∠2＋∠3 D. 以上都正确 ∵∠ ACB ＝∠ CAE ＋∠ E ＝∠1＋∠2＋∠3， ∴∠ ACB ＞∠2＋∠3.故C正确. 【点易错】 解答这类题时，一定要有正确的理论依据，不能单凭直觉判断. 此题学生容易 　忽略外角的性质中“不相邻”这一条件　，而错选A. 10. 定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 已知：如图，∠ ACD 是△ ABC 的外角.求证：∠ ACD ＝∠ A ＋∠ B . 分层练习-巩固 证法1：∵∠ A ＋∠ B ＋∠ ACB ＝180°(三角形内角和定理)，∠ ACD ＋∠ ACB ＝180°(平角定义)， ∴∠ ACD ＋∠ ACB ＝∠ A ＋∠ B ＋∠ ACB (等量代换). ∴∠ ACD ＝∠ A ＋∠ B (等式性质). 证法2：∵∠ A ＝76°，∠ B ＝59°， 且∠ ACD ＝135°(量角器测量所得)， 135°＝76°＋59°(计算所得)， ∴∠ ACD ＝∠ A ＋∠ B (等量代换). 下列说法正确的是(　B　) A. 证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B. 证法1用严谨的推理证明了该定理 C. 证法2用特殊到一般法证明了该定理 D. 证法2只要测量够100个三角形进行验证，就能证明该定理 B 证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结 论的正确，具有一般性，不用再证明其他形状的三角形，故A错误，B正确. 证法2用量角器测量，只能验证定理的正确性，缺少理论证明过程，也与测 量三角形的数量多少无关，故C，D错误. 11. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，∠ A ＝40°，△ ABC 的外角∠ CBD 的平分线 BE 交 AC 的延长线于点 E . (1)求∠ CBE 的度数； 【解】∵在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，∠ A ＝40°， ∴∠ CBD ＝∠ A ＋∠ ACB ＝130°. ∵ BE 是∠ CBD 的平分线， ∴∠ CBE ＝ ∠ CBD ＝65°. (2)过点 D 作 DF ∥ BE ，交 AC 的延长线于点 F ，求∠ F 的度数. 【解】∵∠ ACB ＝90°，∠ CBE ＝65°， ∴∠ CEB ＝90°－65°＝25°. ∵ DF ∥ BE ， ∴∠ F ＝∠ CEB ＝25°. 12. [新考法·分类讨论法]如图，在△ ABC 中， AD ⊥ BC 于点 D ， BE 平分∠ ABC ，若∠ ABC ＝64°，∠ AEB ＝70°. (1)求∠ CAD 的度数； 【解】 ∵ BE 平分∠ ABC ， ∴∠ ABC ＝2∠ EBC ＝64°.∴∠ EBC ＝32°. ∴∠ C ＝∠ AEB －∠ EBC ＝70°－32°＝38°. ∵ AD ⊥ BC ，∴∠ ADC ＝90°. ∴∠ CAD ＝90°－∠ C ＝90°－38°＝52°. 分层练习-拓展 (2)若点 F 为线段 BC 上的任意一点，当△ EFC 为直角三角形时，求∠ BEF 的度数. 【解】分两种情况： ①如图①所示，当∠ EFC ＝90° 时，∠ BFE ＝90°， ∴∠ BEF ＝90°－∠ EBC ＝90°－32°＝58°； ②如图②所示，当∠ FEC ＝90°时， ∠ EFC ＝90°－∠ C ＝90°－38°＝52°， ∴∠ BEF ＝∠ EFC －∠ EBC ＝52°－32°＝20°. 综上所述，∠ BEF 的度数为58°或20°. 13. [新考法·猜想验证法]如图，在△ ABC 中，∠ ABC 的平分线与△ ABC 的外角∠ ACE 的平分线交于点 D . (1)若∠ ABC ＝60°，∠ ACB ＝40°，求∠ A 和∠ D 的度数； 【解】 ∵在△ ABC 中，∠ ABC ＝60°， ∠ ACB ＝40°， ∴∠ A ＝180°－∠ ABC －∠ ACB ＝80°. ∵ BD 为∠ ABC 的平分线， CD 为∠ ACE 的平分线， ∴∠ DBC ＝ ∠ ABC ＝ ×60°＝30°， ∠ ECD ＝ (180°－∠ ACB )＝ ×140°＝70°. ∴∠ D ＝∠ DCE －∠ DBC ＝70°－30°＝40°. (2)由(1)的计算结果，猜想∠ A 和∠ D 有什么数量关系，并加以证明. 【解】∠ A ＝2∠ D . 证明如下： ∵∠ ACE ＝∠ A ＋∠ ABC ， ∴∠ ACD ＋∠ ECD ＝∠ A ＋∠ ABD ＋∠ DBC . ∵ BD 平分∠ ABC ， CD 平分∠ ACE ， ∴∠ ABD ＝∠ DBC ，∠ ACD ＝∠ ECD . ∴2∠ ECD ＝∠ A ＋2∠ DBC ， 即∠ A ＝2(∠ ECD －∠ DBC ). 又∵∠ D ＝∠ ECD －∠ DBC ， ∴∠ A ＝2∠ D . 三角形的外角 三角形内角和定理推论3： 三角形内角和定理推论4： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角. 三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 课堂小结 $$