精品解析：上海市南汇第一中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试卷

南汇一中2024学年第一学期9月初三数学随堂练习 一．选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例．本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确． 故选：D． 2. 在中，点D、E分别在边的延长线上（如图），下列四个选项中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可． 【详解】解：当时，，A选项正确，符合题意； 当时，不能判定，B、C选项错误，不符合题意； 当时，不能判定，D选项错误，不符合题意． 故选：A． 3. 已知，下列说法中不正确的是（ ） A. 与方向相反 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了向量的定义：既有大小，又有方向的量叫做向量，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴与方向相反，故正确； B．∵，∴或与共线，故不正确； C．∵，∴，故正确； D．∵，∴，故正确； 故选：B． 4. 已知与相似，又，，那么不可能是（ ） A. 40° B. 60° C. 80° D. 100° 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形的内角和定理即可求出∠C，然后根据相似三角形的性质和对应情况分类讨论即可得出∠D可能的度数，从而作出判断． 【详解】解：∵中，， ∴∠C=180°－∠A－∠B=80° ∵与相似 ∴∠D=∠A=40°或∠D=∠B=60°或∠D=∠C=80° ∴不可能是100° 故选：D． 【点睛】此题考查的是相似三角形的性质和三角形内角和定理，根据相似三角形的性质分类讨论是解题关键． 5. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB． 【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm）， 第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm）， 因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯， 所以图1和图2中的两个三角形相似， ∴， ∴（cm）， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力有一定的要求． 6. 如图，.要使，给出下列需要添加的条件:①；②；③，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】图中已知条件是∠ACB=∠BDC=90°，所以根据“两角法”、“两边及其夹角法”进行添加条件即可． 【详解】解：∠ACB=∠BDC=90°， ①若添加，可得∠ABC=∠BCD，可以判定，故①正确； ②若添加BC2=AC∙CD即时，不能判定，故②错误； ③若添加时，可以判定，故③正确； 故选：B． 【点睛】本题考查的是利用对应角判定相似三角形，指出对应角相等或对应边成比例即可． 二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 如果，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，将已知去分母转化为，再代入进行约分即可．掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8. 在比例尺为1：20 000的地图上，相距4厘米的两地A、B的实际距离为_________米． 【答案】800； 【解析】 【分析】设A、B两地间的实际距离为xm，根据比例线段得，求解即可. 【详解】设A. B两地间的实际距离为xm， 根据题意得， 解得x=800 所以A. B两地间的实际距离为800m. 故答案为800 【点睛】此题考查比例线段，解题关键在于结合实际列出比例式. 9. 点P是线段的黄金分割点，，若，则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】由黄金分割点可知，较大部分比较小部分，等于整体比较大部分，等于，代入求值即可． 本题考查黄金比例，掌握黄金比例的比值是解决本题的关键． 【详解】解：点P是线段AB的黄金分割点， ， 故答案为：． 10. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了向量的运算：向量的线性运算，先去括号，再运用向量的加减运算进行计算，即可作答． 【详解】解：． 故答案为： 11. 两个相似三角形对应高的比为，且已知这两个三角形的周长差为，则较小的三角形的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】依据相似三角形对应高的比等于相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵两个相似三角形对应高的比为2：3，即相似比为2：3， ∴它们周长的比是2：3， 设较小的三角形的周长为2x，则较大的三角形的周长为3x， 由题意得，3x-2x=4， 解得，x=4， 则2x=8， ∴较小的三角形的周长为8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，解题时注意：相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 12. 中，，，点是的重心，则点到的中点的距离是______． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了重心的性质，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意画出图形，首先根据重心的性质得到是边上的中线，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到，然后根据重心的性质求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵点是的重心， ∴是边上的中线 ∵，， ∴ ∵点是的重心， ∴ ∴． 故答案为：1． 13. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，若，则=_________. 【答案】 【解析】 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB＝CD，即可证得△DEF∽△BAF，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴△DEF∽△BAF， ∴， ∵DE：EC＝2：3， ∴DE：CD＝DE：AB＝2：5， ∴＝4：25，即=． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 14. 如图，已知中，已知点、分别在边、上，，，若的面积为3，则的面积为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出的面积，平行线分线段成比例得到，再根据同高三角形的面积比等于底边比，求出的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵的面积为3， ∴的面积为1， ∴的面积， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为； 故答案为：12． 15. 如图，从点发出一束光，经轴反射，过点，则这束光从点到点所经过的路径的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先过点作轴于，由，，即可得，，，由题意易证得，根据相似三角形的对应边成比例，即可得，又由勾股定理即可求得这束光从点到点所经过的路径的长．此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及点与坐标的性质．此题难度适中，解此题的关键是掌握辅助线的作法，掌握入射光线与反射光线的关系． 【详解】解：如图，过点作轴于， ，， ，，， 根据题意得：， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 16. 如图：在的内接矩形，长边在边上，于，交于，已知，，，那么______． 【答案】6 【解析】 【分析】由四边形是矩形，得到，， ，，因为，所以证明四边形是矩形，然后，因为，所以证明，列式代入数值，进行计算，即可作答．本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质．关键是由平行线构造相似三角形，利用相似三角形的性质列方程求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ∵于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵于，， ∴， ∴分别是的高， ∵， ∴设， ∵， ∴， ， ， 即， 解得， 故答案为：6． 17. 定义：如果将一个三角形绕着它一个角的顶点旋转后．使这个角的一边与另一边重叠，再将旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边互相重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个角的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形． 如图，在中，，，，△是以点为转似中心的其中一个转似三角形，那么以点为转似中心的另一个转似三角形△（点、分别与、对应）的边的长为______． 【答案】##7.5 【解析】 【分析】根据题意将绕点顺时针旋转，使与重叠，再将三角形放大使重叠的两边与重合得△，先根据条件，由相似三角形的性质可得出答案． 【详解】解：根据题意作图如下， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，相似三角形的判定与性质的运用，解答时理解题意和运用相似三角形的对应边成比例求解是关键． 18. 已知，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于、两点，且点的坐标为，连接，与轴相交于点，点在轴上，如果和相似，则点的坐标为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，相似三角形的判定与性质，一次函数的解析式与图象性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由一次函数的性质得；勾股定理得，，再设直线的解析式为，运用待定系数法解出直线的解析式为，易得，运用相似三角形的性质，得或，所以进行分类讨论，依据三边成比例列式计算，即可作答． 【详解】解：∵直线与轴、轴相交于、两点， ∴当时，则； 当时，则； ∴； ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴设直线的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为； ∵连接，与轴相交于点， ∴当时，则； ∴， ∴，， ∵点在轴上， ∴设 ∵，和相似， ∴或， ∴当时，如图： ， 则 ， 解得 ， ∴， 当时，， 则， 此时无解； ∴当时，， 则 ， 此时； ∴当时，， 则 ， 此时无解； 综上：点的坐标为为或， 故答案为：或． 三．解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 已知，，求：代数式的值. 【答案】8 【解析】 【分析】设=k，将x、y、z用k表示出来，然后再通过求出k，进而确定x、y、z的值，最后代入求解即可. 【详解】解：设=k，则x=2k，y=3k，z=4k 又，即2k-3k+4k=6，解得k=2 所以x=4，y=6，z=8 所以=12-12+8=8 【点睛】本题考查了条件代数式求值，解答的关键在于通过设中间量k，辅助求出x、y、z. 20. 已知，如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，且＝，设． （1）用表示（直接写出答案）． （2）设，在答题卷中所给的图上画出的结果． 【答案】（1）； （2）由（1）知， ∴ ， 延长AE交BC延长线于点G，如图所示， 则． 理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， 又∵（对顶角相等）， ∴， ∴ ， ∵＝， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴，即． 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的平行定理即可表示； （2）由（1）中结论得到，延长AE交BC延长线于点G，通过平行四边形的性质得到，再根据对应边成比例得到，从而有，即可求解． 【详解】解：（1）∵＝，即 ， ， ∴， （2） 略 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算、平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握平面向量的线性运算、平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质． 21. 已知如图，，它们依次交直线a，b于点A、B、C和点D、E、F. （1）如果，，，求DE的长. （2）如果，，，求BE的长. 【答案】（1）DE的长为9；（2）BE的长为11； 【解析】 【分析】（1）由果，，可得AC=14，然后根据平行线等分线段定理得到，然后将已知条件代入即可求解； （2）过D作DH∥AC，分别交BE,CF于H，说明四边形ABGD和四边形BCHG是平行四边形，然后根据平行四边形的性质得CH=BG=AD=9；进一步说明FH=CF-DH=5，然后再按照平行线等分线段定理得到，最后代入已知条件求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴AC=AB+BC=14 ∵ ∴ ∴ (2)过D作DH∥AC，分别交BE,CF于H. ∵ ∴四边形ABGD和四边形BCHG是平行四边形， ∴CH=BG=AD=9 ∴FH=CF-DH=5 ∵ ∴ ∴ ∴BE=BG+GE=9+2=11. 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的知识，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 22. 如图，△ABC中，PC平分∠ACB，PB＝PC． （1）求证：△APC∽△ACB； （2）若AP＝2，PC＝6，求AC的长． 【答案】（1） 证明：∵PB＝PC， ∴∠B＝∠PCB， ∵PC平分∠ACB， ∴∠ACP＝∠PCB， ∴∠B＝∠ACP， ∵∠A＝∠A， ∴△APC∽△ACB． （2）无解 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得∠B＝∠PCB，根据PC平分∠ACB，得∠ACP＝∠PCB，即∠B＝∠ACP，又因为∠A＝∠A，即可得△APC∽△ACB； （2）根据相似三角形的判定得，根据题意AP＝2，PC＝6得AB＝8，即可得AC＝4，又因为AP+AC＝PC＝6，与与三角形的任意两边之和大于第三边相矛盾，所以无法求出AC的长，此题无解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵△APC∽△ACB， ∴， ∵AP＝2，PC＝6， ∴AB＝8， ∴ AC＝4， ∵AP+AC＝PC＝6， 这与三角形的任意两边之和大于第三边相矛盾， ∴该题无解． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的三边关系，解题的关键是掌握这些知识点． 23. 已知，如图， 求证：（1）（2） 【答案】 （1）在△ADE和△ABC中， （2）在△ADB和△AEC中， 【解析】 【分析】（1）由已知可证△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的对应角相等，角的和差关系证明结论； （2）观察所证结论，考虑证明△ADB和△AEC相似，利用已知比，公共角证明相似，得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是利用已知比证明相似三角形，利用相似三角形的性质得比例． 24. 如图，在中，点，，分别在，，边上，四边形是菱形，与交于点，已知，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ，， ， ， 又， ， ， ； （2）． 【解析】 【分析】（1）结合菱形性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质即可得证； （2）设菱形的边长为，则，，证明，由相似性质求出的值，可得，再由推得即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：设菱形的边长为，则，， ， ， ， ，解得， ， ，， 由（1）得， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是菱形性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 25. 已知在梯形中，，，且，， （1）如图：为上的一点，满足，求的长； （2）如果点在上移动（点与点、不重合），且满足，交直线与于点，同时交直线于点，那么 ①当点在线段DC的延长线上时，设，，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； ②当时，写出的长（不必写出解题过程） 【答案】（1）的长为或 （2）①；② 的长为或 【解析】 【分析】本题考查了列二次函数，相似三角形的判定和性质，等腰梯形； （1）①当时，，而，因此，此时三角形与三角形相似．利用相似三角形的性质可得出关于，，，的比例关系式，，的值题中已经告诉，可以先用表示出，然后代入上面得出的比例关系式中求出P的长． （2）①与（1）的方法类似，只不过把换成了，那么只要用就能表示出了．然后按得出的关于，，，的比例关系式，得出，的函数关系式． ②和①的方法类似，但是要多一步，要先通过平行得出三角形和相似，根据的长，用表示出，然后根据，，，的比例关系用表示出，然后按①的步骤进行求解即可． 【小问1详解】 解：是梯形，，． ， ，， ， ． ，即：， 解得：或． 【小问2详解】 ①由（1）可知： ，即：， ． ②当时， ， ，即或， ， 解得：或， 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南汇一中2024学年第一学期9月初三数学随堂练习 一．选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，点D、E分别在边的延长线上（如图），下列四个选项中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，下列说法中不正确的是（ ） A. 与方向相反 B. C. D. 4. 已知与相似，又，，那么不可能是（ ） A. 40° B. 60° C. 80° D. 100° 5. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ） A. B. C. D. 6. 如图，.要使，给出下列需要添加的条件:①；②；③，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 如果，那么_______． 8. 在比例尺为1：20 000的地图上，相距4厘米的两地A、B的实际距离为_________米． 9. 点P是线段的黄金分割点，，若，则____________． 10. 计算：______． 11. 两个相似三角形对应高的比为，且已知这两个三角形的周长差为，则较小的三角形的周长为_______． 12. 中，，，点是的重心，则点到的中点的距离是______． 13. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，若，则=_________. 14. 如图，已知中，已知点、分别在边、上，，，若的面积为3，则的面积为______． 15. 如图，从点发出一束光，经轴反射，过点，则这束光从点到点所经过的路径的长为______． 16. 如图：在的内接矩形，长边在边上，于，交于，已知，，，那么______． 17. 定义：如果将一个三角形绕着它一个角的顶点旋转后．使这个角的一边与另一边重叠，再将旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边互相重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个角的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形． 如图，在中，，，，△是以点为转似中心的其中一个转似三角形，那么以点为转似中心的另一个转似三角形△（点、分别与、对应）的边的长为______． 18. 已知，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于、两点，且点的坐标为，连接，与轴相交于点，点在轴上，如果和相似，则点的坐标为_______． 三．解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 已知，，求：代数式的值. 20. 已知，如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，且＝，设． （1）用表示（直接写出答案）． （2）设，在答题卷中所给的图上画出的结果． 21. 已知如图，，它们依次交直线a，b于点A、B、C和点D、E、F. （1）如果，，，求DE的长. （2）如果，，，求BE的长. 22. 如图，△ABC中，PC平分∠ACB，PB＝PC． （1）求证：△APC∽△ACB； （2）若AP＝2，PC＝6，求AC的长． 23. 已知，如图， 求证：（1）（2） 24. 如图，在中，点，，分别在，，边上，四边形是菱形，与交于点，已知，． （1）求证：； （2）求的长． 25. 已知在梯形中，，，且，， （1）如图：为上的一点，满足，求的长； （2）如果点在上移动（点与点、不重合），且满足，交直线与于点，同时交直线于点，那么 ①当点在线段DC的延长线上时，设，，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； ②当时，写出的长（不必写出解题过程） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $