5.专题五 二次函数与几何综合题-【加速度中考】2025年贵州中考数学课堂精讲本

专题五二次函数与几何综合题 类型一 线段问题 预备知识： i.连接两点的所有线中，线段最短： ⅱ.轴对称图形中，对应点到对称轴上任意点的距离相等 问题1：求线段长（已知A(xA,ya),B(xB,y:)） AB∥x轴 AB=|xA一xB 方法 AB∥y轴 AB=|yA一yB AB不与坐标轴平行 AB=V(xA-xB)+(y一yB)月 问题2：求线段（和）最值 利用两点间的距离公式、锐角三角函数或相似比表示出线 条线段 段，然后利用函数增减性求最值 对称轴 方法 利用对称转化线段位置，然后用“两点之 两条线段 间，线段最短”解决（如求EP十DP的最 小值可转化为求EF的长) 多角度问题串 例1如图，已知抛物线y=x+2.x一3与x轴交于A,B两点（点B在点A的左侧）， 与y轴交于点C,顶点为D.P为抛物线上位于第三象限上的一点（不与点B,C重 合)，过点P作PH⊥x轴于点H.PH与线段BC交于点M.设点P的横坐标为t 函数图象相关点的求解 (1)点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为（一3,0）·点C的坐标为(0，一3) 顶点D的坐标为一1，一4)： 点的表示 例1题图 (2)L的取值范围为一3<1<0·点P的坐标可以表示为(L,2+21一3)】 (3)线段BC所在直线的函数解析式为y=一x一3，点M的坐标为（L,一t-3)一； 线段的表示 (4)BC=32,线段MH的长可以表示为+3，线段PM的长可以表示为一2一3： 线段间的数量关系 (5)若点M将线段BC分成长度比为1：2的两部分，则点M的坐标为（一2，一1）或(-1，一2)： 若点M平分线段PH,则点M的坐标为（一L,一2）； 线段（和）最值 (6)当= 时，线段PM的长度最大，PM的最大值为号，此时点P的坐标为 116 (7)作PE⊥BC于点E,则PE的最大值为 92 8 (8)已知Q为抛物线对称轴上一点，若t=一2，则PQ+BQ的最小值为32· 综吕训绕 1.[2024齐齐哈尔]综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=2x一2与x轴交于点A,与y轴交于点C,过A,C两点的 抛物线y=a:x2十bx十c(a≠0)与x轴的另一个交点为点B(一1,0)，P是抛物线位于第四象限上的动 点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E,F (1)求该抛物线的解析式： (2)D是x轴上的任意一点，若△ACD是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标： (3)当EF=AC时，求点P的坐标： (4)在(3)的条件下，若N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M,连接NA, MP,则NA+MP的最小值为 备周图 第1题图 第1题答图 解：(1)令y=2x-2=0,解得上=4，A,01, 令x=0,得y=一2，.C(0,一2)，设抛物线的解析式为y=4(x一4)(x+1)=a(x2一3.x一4)，将点 C0,-2)代入y=4(-3x一，得-u2,42抛物线的解新式为y=2-2-2 (2)(4-25,0)或(4十2、5,0)或（一4,0】 【解法提示】：△ACD是以AC为腰的等腰三角形，∴ACAD或AC=CD设点D(x,01.:A(4, 0),C(0,-2),D(x,0),.A=20,AD=(-4),CD=x2+4,.20=(x一4尸或20=x2十4，解得 x=4士25或4（与点A重合，舍去）或-4，点D的坐标为(4-2/5,0)或(4十2√5,0)或(-4,0). 3)设点P,--2小令y=号-一2=7一2，整理得x=-3 r-a--2头 E,C,F,A四点共线，EF=AC,则c-x=x-,即x-(x-3x)=4-0,解得x=2,∴P(2,-3). 3 【解法提示如答围，作点A关于y轴的对称点A(一4,01，由1)知抛物线y=号 多一2的对称轴为直线x=,∴NM=将点A向右平移个单位长度，得到点A(一2,0，连接 AN,A"M,A"P,.NA+MP=VA'+MP=MA"+MP>A"P,当A",M,P三点共线时取得最小值 AP=2+引+容-3NA+MP的最小值为3 117 类型二 面积问题 预备知识： i.三角形的面积公式： 面积=×底×高； ⅱ.同底等高的三角形的面积相等 i.规则图形：如图①、图②，当三角形有一条边在坐标轴上与坐标轴平行时， 2AB.h: ⅱ.不规则图形：如图③，当三角形三条边与坐标轴均不平行时，S△= 2a·h. 表示四边形的面积时，可以通过作辅助线，将四边形分成多个易于求解的图形解决 面积表示 铅垂高 水平宽 图① 图② 图③ 面积最值 表示出图形的面积，然后利用函数的增减性求面积最值 ⅰ，面积定值：令图形面积的表达式等于这个定值，解方程得到参数值，进而得到所求 点的坐标： 面积数量关系 ⅱ，面积相等：①同底等高三角形的面积相等，则未知三角形的第三个顶点与已知三角 形的第三个顶点的连线与底边平行：②令两个三角形的面积表达式相等求解 多角度问题串 例2如图，已知抛物线y=x2十2x一3与x轴交于A,B两点（点B在点A的左 侧)，与y轴交于点C,抛物线的顶点为D.连接AC,BC,BD,CD,抛物线的对称 轴交x轴于点H,BC交对称轴于点E. 面积计算 (1)S△8c=6,S四边形NEH=4,S△D=3; (2)连接AE,则AE所在直线的函数表达式为y=x一1，S△x=2: 例2题图 面积表示 (3)P是x轴上方抛物线上一动点，横坐标为1.连接PA,PB,则S△=2+4一6(>1或1<一3)： (4)Q是BC下方抛物线上一动点，横坐标为m.连接QB,QC,则SAar=一 m-m-3<m<0 面积定值 (5)在(3)的条件下，若S△m=10,则点P的坐标为(2,5)或（一4,5）； 面积最值 (6)在(4)的条件下，S△ax有最大（填“大”或“小”）值为 ，此时点Q的坐标为（一，) 27 118 (6)一1拓展设问过点Q作直线I∥BC,当S△a最大时，直线I与抛物线有1个交点： 面积数量关系 (7)已知F为抛物线上一动点，连接FB,FC,若S△=S△r,则点F的坐标为一4,5)： (8)在④)的条件下，若S6e=号Sm,求点Q的坐标。 解：由(1)得Sm=3,由(4)得Sg= 3 2m9 SamS=1,即-多m m=1,解得m=7-9 6,m,=-9-57 6 将m代入y=x+2r-3,得y= 13+√/57 6 将m:代入y=x2+2x-3,得为=713 6 点Q的坐标为 y57-9,13或-957,5713 6 6 616 综吕训绣 2.[2024龙东地区]如图，抛物线y=一x2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,其中B(1,0), C(0,3). (1)求抛物线的解析式： (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P,使得△APC的面积最大.若存在，请直接写出点P坐标 和△APC的面积最大值：若不存在，请说明理由。 解：(1)将B(1,0),C(0,3)代入抛物线y=一x+bx+c, -1+b十c=0,解得 =-2 得 c=3, 3 ∴抛物线的解析式为y=一2x十3 AEOBx (2)存在 第2题图 令y=0,则-x2-2x+3=0,解得x 3,x=1,A(—3,0),.0A3. C(0,3),.0C=3 如答图，过点P作PELx轴于点 设P(x,一x2一2x十3)，点P在第二象限内，.OE=一x,AE=3十x, ∴.S△Wm=SWE十S佛形E一S△ =AE,PE+号0C+PE·0E-20A0C A E 第2题答图 =2(3+x(-2-2x+3)+2(3-x2-2x+3)(-x)-2×3×3 =-+引+器 ”<0,Sm有最大值 ∴当x=一 时，Sm取得最大值，最大值为器，此时点P的坐标为一，》)】 119