4.微专项4 与特殊四边形有关的证明与计算-【加速度中考】2025年贵州中考数学课堂精讲本

微专项4与特殊四边形有关的证明与计算 解题微技能 L.与平行四边形的性质有关的证明或计算： (1)对边相等、对角线互相平分可得相等的线段（如图①：AB=CD,AO=CO): (2)当有角平分线的条件时，可利用“平行十角平分线”推出等腰三角形，进而得到等角、等边（如图 ①：∠ABE=∠AEB,AB=AE): (3)对边平行，可由平行线分线段成比例得到线段间的数量关系（如图①：AF:CF=EF:BF): (4)①连接对角线的交点和一边的中点的线段构造其所在三角形的中位线（如图①：OG为△DBC的 中位线)：②出现“过对角线的交点且与其中一条对角线垂直”时，可得到这条对角线的垂直平分线， 进而利用等腰三角形“三线合一”的性质求解（如图①：OH⊥AC,AH=CH): (5)过对称中心的直线平分平行四边形的面积和周长（如图①：HK平分平行四边形ABCD的面积 和周长) KE D B 图① 图@ 的 图 图① 2.与菱形的性质有关的计算： (1)求角度时，根据菱形的四条边相等和对角相等、邻角互补等，可利用等腰三角形和平行线的相关 性质，转化要求的角，找到与已知角之间存在的关系； (2)求长度（线段长或周长）时：①一般用等腰三角形的性质进行求解：②若菱形中含60°角，则连接较 短对角线，得到两个等边三角形，借助等边三角形的性质进行求解（如图②：△ABC,△ADC均为等 边三角形)： (3)求面积时，可利用“菱形的面积=对角线之积的一半”或根据“底X高”进行求解（如图②：S装m 2AC·BD=BC·h). 3.与矩形的性质有关的计算：一般可将矩形中的问题转化为直角三角形的问题去解决：矩形的两条对 角线将矩形分为四个面积相等的等腰三角形（如图③：S△0=S△m=S△0=S△0）. 4.与正方形的性质有关的计算：两条对角线将正方形分为4个全等的等腰直角三角形（如图④： △AOB≌△BOC≌△COD≌△DOA);正方形的边与对角线的长度比为1：√2（如图①：AB:AC 1:v2). 91 课堂自测 ,∠B=∠AED,.BC∥DE 1.[2024浙江]尺规作图问题： AB∥CD,.BE∥CD 如图①，E是□ABCD的边AD上一点（不包含 ,四边形BCDE为平行四边形 点A,D),连接CE.用尺规作AF∥CE,F是边 选择②.证明如下： BC上一点. .AE=BE,AE=CD,..BE=CD. 小明：如图②，以点C为圆心，AE长为半径作 AB∥CD, 弧，交BC于点F,连接AF,则AF∥CE. ,四边形BCDE为平行四边形 小丽：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC (2)由(1)可知，四边形BCDE为平行四边形， 于点F,连接AF,则AF∥CE ∴.DE=BC=10. 小明：小丽，你的作法有问题. :AD⊥AB 小丽：哦…我明白了！ .∠A=90, (1)求证：AF∥CE: ∴.AE=/DE-AD=6 (2)指出小丽作法中存在的问题， 3.[2024兰州门如图，在△ABC 中，AB=AC,D是BC的中 点，CE∥AD,AE⊥AD, EF⊥AC 图① 图四 (1)求证：四边形ADCE是 第3题图 第1题图 矩形 (1)证明：根据小明的作法知，CF=AE (2)若BC=4,CE=3,求EF的长， ,四边形ABCD是平行四边形， (1)证明：在△ABC中，AB=AC,D是BC的 .AD∥BC,.AE∥FC 中点 又：CF=AE, .ADBC,即∠ADC=∠ADB=90 ∴，四边形AFCE是平行四边形 CE∥AD,∴∠ECD=∠ADB=90° ∴.AF∥CE AELAD,∠EAD=90, (2)解：以点A为圆心，CE长为半径画弧，交C ∴.∠ADC=∠ECD-∠EAD=90°， 于点F,此时可能会有两个交点，只有其中之 四边形ADCE是矩形 符合题意，故小丽的作法有问题 (2)解：在△ABC中，AB=AC,D是BC的中 2.[2024湖南]如图，在四边形D 点，BC=4 ABCD中，AB∥CD,点E ..BD=CD= 在边AB上， 请从“①∠B=∠AED:② ,四边形ADCE是矩形， AE=BE,AE=CD”这两 第2题图 ∴.AE=CD=2,∠AEC=90° 在Rt△AEC中，AE=2,CE=3, 组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上 (填序号)，再解决下列问题： 由勾股定理得AC=√AE+CE=13. (1)求证：四边形BCDE为平行四边形： ,EF⊥AC (2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的 Sa=2AC·EF=AE·CE, 长 ..EF= AE·CE_613 解：(1)选择①.证明如下： AC 13 92 4.[2024贵阳清镇市一模]如图，在Rt△ABC中， ,BC=2,.EC=AC=23, ∠ACB=90°，∠ABC=60°，D为AB的中点，过 点D作DE∥BC,且DE=BC,连接CD,BE. A0=3,∴Sg=专X25X3=3v8. (1)请你选择一位同学的说法，并进行证明： 5.[2024六盘水水城区期中]如图，在正方形ABCD (2)若BC=2,连接AE,EC,求△AEC的面积. 中，点E在边CD上（不与点C,D重合），AE交 对角线BD于点G,GF⊥AE交BC于点F. 小星：由题月的 (1)求证：AG=FG: 己知条件，若连 接E(,则可以证 (2)若AB=10,BF=4,求BG的长 明EC'⊥AB. 小红：由题目的已知条 件，若连接AE,则可以 证明AE=AC 第5题图 第5题答图 第4题图 (1)证明：如答图，连接GC 解：(1)选择小星的说法 四边形ABCD是正方形， 证明：如答图，连接EC.DE∥BC,DE=BC ∴.AB=BC,∠ABC=90, .四边形BCDE是平行四边形， .∠ABD=∠CBD=45 在Rt△ABC中，∠A(B=90, 又BG=BG, D为AB的中点，DC=BD ∠ABC=60°， “.△AB≌△CBG(SAS), .AG=(CG,∠BAG=∠BCG ∴△BCD是等边三角形， 第I题答图 ∴，BC=DC,∴，四边形BCDE ∠ABC+∠BAG+∠AGF+∠BFG=360°， 是菱形， 且∠ABC=∠AGF=90°， ∴.ECLAB. ∠BAG+∠BFG=18O, 选择小红的说法， ∴.∠BCG∠BFG=180 证明：如答图，连接A :∠BFG+∠GFC=180°， DE∥BC,DE=BC .∠BCG=∠GFC, .四边形BCDE是平行四边形 .GC=GF,AG-GF. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中 (2)解：如答图，过点G作GH⊥BC于点H,连 点，.DC=BD 接AF ∠ABC=60, ,'AB=10,BF=4,∠ABC=∠AGF=90, ∴△BCD是等边三角形， '.AF=AB十BF=AG+GF, ∴.BC=DC,.四边形BCDE是菱形， ∴.GF=58 ∴AB垂直平分EC,.AE=AC :∠DBC=45,GH⊥BC (2)如答图，设EC与AB相交于点O在Rt△ABC ..BH=GH,BG=V2GH. 中，∠ACB=90°，∠ABC=60,∴.∠CAB=30 .GF=GH+FH, ,四边形BCDE是菱形，∴∠AOC=90°， .58=GH+(GH-4)P, .∠ACE=60 ∴.GH=7(负值已舍)， AE=AC,△AEC是等边三角形 .BG=7v2. 93