6.第六章 圆-【加速度中考】2025年贵州中考数学课堂精讲本

第六章 圆 第一节 圆的基本性质 【教材链接】北师：七上P123P125,九下P65~P88、P97~P99: 人教：九上P78~P91,P105一P110. 子一题多练过基础 断教九上P93改组如图，⊙O是△ABC的外接圆，(2)若∠ADC=60°，则∠AOC= 120° AD是⊙O的直径，AD与BC相交于点E,连接 ∠CAD=30°； CD.OC. (3)若∠BCA=60°，∠BAD=30°： (4)若OC=5,AC=8,则CD=6:过点O作 OH LAC于点H,则cos∠AOH=多： (5)若BC⊥AD于点E,CB=6,∠CAD=30°，则 DE=3: (1)∠ACD=90°： (6)连接BD,若∠BAC=65°，则∠BDC=115° 亨教材知识构体系 圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中 定点称为①圆心，定长称为②半径，以点O为圆心的圆 记作③⊙O 弧：圆上任意两点间的部分，如图中的AC,BC,ACB.④小于半 相关 圆的弧叫做劣弧，如图中的AC,BC:⑤大于半圆的弧叫做优 概念 弧，如图中的ABG 弦：连按圆上任意两点的线段，如图中的AC.经过⑥圆心的弦叫 圆的基本性 做直径，直径是最长的弦，如图中的AB 圆心角：顶点在⑦圆心的角叫做圆心角，如图中的∠BOC 圆周角：顶点在⑧圆上，并且两边都与圆⑨相交的角叫做圆 圆的相关概念及性质 周角，如图中的∠BAC (1)圆是轴对称图形，任何一条①直径所在直线都是圆的对称轴 性质 (2)圆也是中心对称图形，①圆心是它的对称中心 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧②相等，所对的弦也⑧相等 (1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角④相等，所 弦、弧、圆 对的弦⑤相等 心角的关系推论 (2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角G相等，所 对的弧⑦相等 56 定理：垂直于弦的直径⑧平分弦，并且⑧平分弦所对的两条弧 推论：平分弦（不是直径）的直径④垂直于弦，并且④平分弦所对的 两条弧 (D)AC=2 BC (2)8 AD =BD (3)AE=BE 垂径定理与推论的延伸 垂径定理及其推论 (4)AB⊥CD 2023.23] (根据圆的对称性) (5)CD是直径 只要满足其中的两个结论，另外三个结论一定成立， 即知二推三 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 圆 圆周角定理 (1)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 及其推论 推论(2)半圆（或直径）所对的圆周角是四直角，90°的圆周角所对的弦是 @直径 质 定义：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，如图中的⊙O 圆心：（外心）三角形三条边圆垂直平分线的交点 性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 三角形的外接圆角度关系：∠BOC=2∠A 圆内接四边(1)圆内接四边形的对角四互补 形的性质 (2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角 名称 公式 中心角 0-360 心角升 半径R 边心距 边心距 r-R- 圆内接正n边形 周长 =1a (n≥3) 面积 S= 季练透真题明考向 命题点刀垂径定理的有关计算 (3)连接OA,OB,判断四边形OAEB的形状， 1.[2023贵州，23]如图，已知⊙O 并说明理由。 是等边三角形ABC的外接圆， (1)解：∠1（答案不唯一）△BCD 0 连接CO并延长交AB于点D, D (2)证明：∠ADE=∠CBE=90, 交⊙O于点E,连接EA,EB. ∠3=∠CAE-∠CAB=90° (1)开放性设问写出图中一个度 60°=30°=∠2， 第1题图 数为30的角：，图中与△ACD全等的三角 .△AED∽△CEB. (3)解：四边形OAEB为菱形 36B 形是； (2)求证：△AEDx∽△CEB: 理由如下： 第1题答图 67 如答图，△ABC为等边三角形，∠2=30°， ∴.∠ADB=90,.AD BC .∠EOB=60 .AB=AC, .OE=OB, ',△ABC为等腰三角形，.BD=CD “△EOB为等边三角形 (2)解：由题意得AB=AC=5,∠B=∠C 同理，△AOE为等边三角形， ∠B=∠E, ..AO=OB=BE=AE, ∠E=∠C,∴.DE=DC=4. 四边形OAEB为菱形 AB是⊙O的直径，·∠ADB=90°， 命题点②圆周角定理的相关证明与计算 ∠ADC=90°，∴.AD=√AC-CD=3. 2.[2024黔东南州剑河县校级模拟]如图，将一块直 5.[2024黔东南州榕江县校级模拟]如图，AB是⊙O 角三角板的一个锐角的顶点放在圆心O处，这 的直径，弦CD与AB相交于点E,∠BOD 个锐角的两边分别与⊙O相交于点A、点B,P 2∠A. 是优弧AB上一点（点P与点A,B不重合），则 (1)写出图中一对你认为全等的三角形 ∠APB的度数为 (B） (2)求证：AB⊥CD: A.15 B.30 C.45 D.90° 3)若⊙0的半径为4，能=3，求CD的长。 第2题图 第3题图 第5题图 3.[2024遵义一模]如图，在⊙O中，半径OC垂直弦 (1)解：△(CE≌△ODE AB于点D,点E在⊙O上，连接AE,CE,OB. (2)证明：：∠BC=2∠A,∠BOD=2∠A, 若∠E=30°，AB=6,则OB的长是 (B) ∴.∠BOC=∠BD. A.3 B.2√3 C.4 D.3v3 OC=OD, 4.[2024铜仁石阡县模拟]如图，△ABC中，AB 在△OCE和△(DE中，∠EC'=∠ED, AC,以AB为直径作⊙O,交BC边于点D,交 O=OE, CA的延长线于点E,连接AD,DE. ∴.△OCE≌△ODE(SAS), (1)求证：BD=CD: .∠(OEC=∠OED=90°， (2)若AB=5,DE=4,求AD的长 ∴.AB LCD 3)解：器-是，04=0B,器是 .OB=OC=4,.OE=EB=2. ,ABLCD,∴.CE=√OC-OE=23, 第4题图 ∴.CD=2CE=4V5. (1)证明：，AB是⊙O的直径， 章请完成《情境作业本》(P34)中的练习题 58 第二节与圆有关的位置关系 【教材链接】北师：九下P89~P96: 人教：九上P92~P104. 今一题多练过基础 人教九上P98改编已知AB是⊙O的直径，D是线于点E. ⊙O上一点，连接BD. ①若DE=BD=43,则∠B=30°，⊙O的半 径为4； ②若DE=8,AE=4,则AB=12: D (3)如图③，分别过点A,D作⊙O的切线，两条切 线相交于点P,连接OP,AD. 图i0 图② 图3 ①已知∠APD=60°，PD=2,则△PAD的周长为 (1)如图①，过点A作⊙O的切线，与射线BD交 6,∠DBA=60°，点O到弦AD的距离为 于点C,连接DO. 3 ①若∠C=55°，则∠AOD=70￥ ②OP与BD的位置关系为OP ∥BD: ②若⊙0的半径为4，AC-6.则CD-S ③若BD=3,AD=4,则OP的长为要。 (2)如图②，过点D作⊙O的切线，交BA的延长 一教材知识构体系 (设圆的半径为r,平面内任一点到圆心的距离为) 点与圆的 点在圆外-d① r,如右图中点A 位置关系 点在圆上台l② r,如右图中点B 点在圆内一d③ r,如右图中点C 位置关系 相离 相切 相交 d与r的关系 d④ >r d⑤ -r d⑥<r 直线与圆的位置关系 有 (设圆的半径为r,圆 的 图示 心到直线的距离为d) 位 关 交点的个数 0 切线的性质∫1)圆心到切线的距离等于⑦半径 [2024.23] (2)切线⑧垂直于过切点的半径 (1)若已知直线与圆有公共点，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可， 可简述为：有交点，连圆心，证垂直 切线的判定 (2)若未知直线与圆有公共点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半 径即可，可简述为：无交点，作垂直，证相等 59 切线长定理（如图①）：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这 一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，如图①，过⊙O 外一点P可引两条切线PA,PB,则PA=PB,PO平分 圆 ∠APB 图① 有关 定义：与三角形各边都相切的圆 圆心（内心）：三角形三个内角平分线的交点 位置 性质：三角形的内心到三角形⑨三条边的距离相等 三角形的内切圆 系 (如图②) 角度关系：∠B0=90°+2∠A 图② 【知识拓展】直角三角形内切圆的半径r=a十C(其中a,b分别为两直角边 2 长，c为斜边长) 一练透真题明考向 命题点切线的相关证明及计算 (0逃2)+3=(0B,解得OB=13 1.[2024安顺西秀区二模]如图，△ABC是⊙O的内 接三角形，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC d⊙0的半径长为号 交⊙O于点D,过点D作DE⊥AC交AC的延 2.[2024仁怀模拟]如图，AB是半圆O的直径.过 长线于点E. 点O作弦AD的垂线交半圆O于点E,交AC (1)写出DE与BC的位置关系 于点C,使∠BED=∠C (2)求证：DE是⊙O的切线： (1)求证：AC与半圆O相切： (3)若DE=3,CE=2.求⊙O的半径 (2)若AC=8,cOs∠BED=等，求AD的长. 第1题图 第1题答图 第2题图 第2题答图 (1)DE∥BC (1)证明：：BD是∠BAD与∠BED所对的弧， (2)证明：如答图，连接OD,交BC于点F, ∴.∠BAD=∠BED :AD平分∠BAC交⊙O于点D, OC⊥AD,.∠AC+∠BAD=90 ∴∠BAD=∠CAD,∴.BD=CD, ∴.∠BED+∠AOC=90 .OD垂直平分BC ∠BED=∠C,∴∠C+∠AOC=90, DE∥BC,∴.∠ODE=∠OFC=90 .∠0AC=90, ,(OD是⊙O的半径，且DEL(OD, .AB⊥AC,又OM是⊙O的半径， ∴，DE是⊙O的切线， ∴.AC与半圆O相切 (3)解：：∠CFD=∠FDE-∠E=90, (2)解：如答图，连接BD 四边形CFDE是矩形， :AB是⊙O的直径，·∠ADB=90 .BF=CF=DE=3,DF=CE=2. 由(I)得∠C=∠BAD=∠BED, ∠OFB=90°，OD=OB, ..OF+BE=OB2,OF=OD-2=OB-2, cosC=cos∠BAD=cOs∠BED= 60 在Rt△OAC中， 又：∠(0CD=∠PCO=90°， AC-8.C- c0sC=10, .△CDn△CP .OA=0C-AC=6,∴AB=12 ÷品-8品∴品-8解得0P- 3 在Rt△ABD中， .PB=OP-OB-16 cOs∠BAD=AP-4 AB5 4.[2024遵义播州区二模]如图，AB为⊙O的直径， AD=AB·cOS∠BAD=48 过⊙O上一点D作切线CD,切线CD与AB的 延长线交于点C,E为⊙O上一点，且DB=BE, 3.[2024贵州，23]如图，AB为半圆O的直径，点F 连接DE交AB于点H,连接AD,DB,BE 在半圆O上，点P在AB的延长线上，PC与半 (1)写出一个与∠A相等的角： 圆O相切于点C,与OF的延长线相交于点D, (2)求证：∠E=∠BDC: AC与OF相交于点E,DC=DE. (1)写出图中一个与∠DEC相等的角：： (3已知CD=4,CB=2,os∠BDC=25,求 (2)求证：OD⊥AB: BE的长. (3)若OA=2OE,DF=2,求PB的长 第4题图 第4题答图 第3题图 第3题答图 (1)∠BDE(答案不唯一) (1)∠DCE(答案不唯一) (2)证明：如答图，连接(OD (2)证明：如答图，连接OC CD为⊙O的切线，.OD⊥CD, ,PC与半圆O相切于点C,∴.∠(CTD=90 .∠O0DC=90 ∴.∠DCE+∠ACO=90°. ,AB为⊙O的直径，∠ADB=90° OA=OC,.∠A=∠AC ·.∠(D,A+∠OB=90,∠BDC+∠(ODB=90°， :∠DCE=∠DEC=∠AEO .∠ODA-∠BLD ∴∠A+∠AE0=90, OD=OA,∠ODA=∠A,.∠A=∠BDC ∴.∠AOE=90°，∴.(D LAB :∠E=∠A,∴.∠E=∠BDC (3)解：设OE=x,OA=2)E, (3)解：设⊙O的半径为r,则OD=(OB= ∴.A0=(0C=2x, 在Rt△OCD中，OD+CD=(OC, ∴EF=(OF-(OE=x, ∴r+42=(r+2),解得r=3,.AB=6. .DE=CD=x+2,OD=2x+2. .OC+CD=OD, ”∠A=∠BDC,∴cosA=cos∠BDC=25 51 .(2x)+(x+2)=(2x+2), ∴x=4或x=0(舍去)， 在△ABD中，”A-智-25 .OD=10,OC=O0B=8,CD=6. AD=125,BD=VAB-AD=6国 ∠DOP=∠0D=90°， .∠D+∠LDC=∠DC+∠CP=90°， BD=BE,∴.BE=BD=6 51 .∠D=∠COP 雪请完成《情境作业本》(P35~P36)中的练习题 万 61 第三节 与圆有关的计算 【教材链接】北师：九下P100~P102: 人教：九上P11山P116. 专一题多练过基础 苏科九上P85改编如图，AB是⊙O的切线，AO交 (3)若⊙O的半径为4，则BC的长为 ,扇形 ⊙O于点C,且AC=OC,连接OB. BOC的面积为 8元 (4)若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为 28- (1)∠A=30°： (5)将扇形B℃围成一个圆锥，若⊙O的半径为6， (2)若AB=3,则⊙O的半径为3，周长为23x, 则所围成圆锥的底面圆周长为2π，底面圆半径 面积为3π： 为1，底面圆面积为π，圆锥的高为35 教材知识构体系 弧长公式：1=①D πR (n是弧所对的圆心角的度数，R是半径) 180 [2024.10] 扇形 (1)S形=② nER (是弧所对的圆心角的度数，R是半径) 360 与 面积公式 (2)S扇形= 有关的 2R1是孤长，R是半径 底面周长：C=2 圆锥 底面圆面积：S=, (r是圆锥底面圆半径，l是 侧面积：S=③元 圆锥的母线长，h是圆锥的 全面积：S冬=S侧十S帐=πrl十πr 高，这三个量之间的数量关 【知识拓展】(1)圆锥的母线长为侧面展开后的扇形的④半径： 系是h2+2=) (2)圆维的侧面展开图是扇形，其弧长等于圆锥底面圆的⑤周长 练透真题明考向 命题点刀弧长的计算 抽象成如图②所示的AB,弧的半径OA=30,圆 1.[2024贵州，10]如图，在扇形 心角∠AOB=90°，则AB的长为 (C) 若 纸扇中，若∠AOB=150°， OA=24,则AB的长为(C) A.30r B.25x 第1题图 C.20元 D.10元 图D 图2 2.[2024毕节三模]连接通风口的管道经常会用到 第2题图 弯管，如图①是一段弯管，弯管的部分外轮廓可 A.30π B.20π C.15π D.100π 62 3.[人教九（上）P115第6题改编]如 OB=(OD,∴.△OBD为等边三角形， 图是一段自行车赛道，其中， .∠(0BD=60°， ∠O=∠O=90°，OA=OB= ∴∠BOC=∠OBD,.DG∥OC 30m,运动员从点A沿着赛道中 OC⊥CE,∴.DG⊥CE 线运动到点B的路程为(B) 第3题图 (3)解：S阴=Sm整w一SAw=6x一9V3. A.60πmB.30xmC.20xm D.10x m 5.[2024铜仁沿河县一模]如图，已知AB是⊙O的 命题点②阴影部分面积的相关计算 直径，点C,D在⊙O上，∠D=60°且AB=6,过 4.[2024黔东南州从江县校级模拟]如图，AB是⊙O 点O作OE⊥AC交⊙O于点F,垂足为E. 的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB,直线 (1)∠CAB的度数为： CE为⊙O的切线，CE交AB的延长线于点E, (2)求OE的长； 连接DB,BC,CA,AD (3)求阴影部分的面积. (1)求证：∠BDC=∠BCE: (2)连接DO,延长DO交AC于点F,延长DB交 CE于点G.当F为AC的中点时，求证：DG⊥CE (3)若⊙O的半径为6，在(2)的条件下，求图中 0 D 阴影部分面积 第5题图 第5题答图 解：(1)30 (2AB=6,0A=2AB=3 OF⊥AC,.∠AEO=90° 第4题图 第4题答图 ∠BAC=30,∴0E=50A=1.5. (1)证明：如答图，连接(C :AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90 (3)如答图，连接(C, ,直线CE为⊙O的切线 ∠AE0=90,∠CAB=30°， ∴.(0C⊥CE,∴.∠OE=90 .∠AOE=60 ,∠0CB+∠ACO=90,∠OCB+1BCE-90 (OF=OA,△AF是等边三角形 .∠ACO=∠BCE. 又(E LAC,∴.OE=FE .OA=(OC,∴.∠CAO=∠ACO OE=FE, ,∠CAO=∠BDC,∴.∠BDC=∠BCE 在△OEC与△FEA中，∠CEO=∠AEF, (2)证明：F为AC的中点，OF⊥AC, CE=AE, ∴.DF垂直平分AC,∴AD=CD .△OEC≌△FEA(SAS),.S隅影=Sm形xF. ,DAB,AB是⊙O的直径，.AB垂直平分CD, ∠D=60°，.∠B=60° ∴.AC=AD 又(C=(OB, ∴.△ACD为等边三角形，∴∠CAD=60°， .△OBC是等边三角形，∠BC-60°， ∴.∠BAC=∠BAD=30°， ,∴.∠COF=180°-∠AOF-∠BOC=60°， .∠BOC=∠BOD=60 ·S明影=S眉形xF= 3π 2 夺请完成《情境作业本》(P37一P38)中的练习题 63