5.第五章 四边形-【加速度中考】2025年贵州中考数学课堂精讲本

第五章 四边形 第一节 平行四边形与多边形 【教材链接】北师:七(上)第四章P122~P124,八(下)第六章P134-P161 人教:八(上)第十一章P19~P25,八(下)第十八章P40~P51. 题多练过基础 1.北师八下P160改编已知正六边形ABCDEF,回 ②若AD一BC,请添加一个条件,使四边形AB 答下列问题: CD为平行四边形:AB一CD,判断依据: (1)正六边形ABCDEF的内角和等于720 两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 每一个内角等于120,外角和等于 360{ ③若 DAB一DCB,请添加一个条件,使四边 每一个外角等于 60{,共有 条对角线; 形ABCD为平行四边形:ADC=CBA (2)若正六边形ABCDEF的边长为4,则其较长 判断依据: 两组对角分别相等的四边形是平 的一条对角线长为8; 行四边形; (3)已知对角线AC与BD交于点G.则 CGD ④若AO一CO.请添加一个条件,使四边形AB CD为平行四边形: B0一DO,判断依据 (4)用形状、大小完全相同的一种或几种平面图 对角线互相平分的四边形是平行四边形; 形可进行拼接镶嵌,若用正六边形ABCDEF和 (2)若四边形ABCD为平行四边形,OA一6, 另一种正多边形进行镶嵌,则另一种正多边形 OB-3.ADB-90{*,回答下列问题 为 等边三角形. ①四边形ABCD的对称中心为点O; 2. 北师八下P138改编如图,四边形ABCD的对角 ②AD-3③,AB=3V7; 线AC,BD相交于点O,过点O的直线与AD. ③/○ABCD的面积为 18③,周长为 BC分别相交于点E,F 6/③+6/7 ,AE十BF= 3v3 ,四边形 ABFE的面积为 9③; 3③ 第2题图 连接DF,BE,则四边形BEDF的形状为 平 行四边形. (1)①若AB/CD,请添加一个条件,使四边形 ABCD为平行四边形:AD//BC ,判断依据 两组对边分别平行的四边形是平行四边形; 47 教材知识构体系 概念 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 边 两组对边分别① 平行 且② 相等 .如图中的AD/ ③ BC ,④ AD -BC 两组对角分别 相等.如图中的BAD=DCB, 角 ABC-CDA 性质 对角线⑧ 互相平分,如图中的OB一 OD,OA一 对角线 OC 对称性 平行四边形是中心对称图形,但不是轴对称图形,对称中心是 两条对角线的交点 平行四边形 [2024.8] (1)两组对边 分别平行一的四边形是平行四边形(定义): 计止回起也 (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 判定 (3)有一组对边一平行且相等 的四边形是平行四边形; (4)两组对角 分别相等 的四边形是平行四边形: (5)对角线 互相平分 的四边形是平行四边形 面积公式S一ah(a表示边BC的长,/.表示BC边上的高AE的长) 【知识拓展】1.平行四边形的两条对角线将乎行四边形分成面积相等的四个三角形; 2.若一条直线经过平行四边形的对角线的交点,则这条直线等分平行四边形的面积 (内角和定理:n边形的内角和为(n-2)×180* 外角和定理:n边形的外角和为 360” 多边形的性质对角线:过:边形一个顶点可引 一 条对角线,n边形共有 _3)条对角线 多边形 (n边形, (1)各边相等:各内角相等,各外角相等,每一个内角的度数为 (n2)×180,每一个外角的度数为 >3) 3600 正多边形的性质 (2)正边形有条对称轴 (3)对于正”边形,当为②偶数时,既是轴对称图形,又是中心对 称图形 (4)有一个外接圆和一个内切圆,它们为同心圆 练透真题明考向 命题点平行四边形的判定与性质 2. [2024责阳一模]如图,在CABCD中,E是边AD 1.[2024贵州,8]如图,7AB- 的中点,F是对角线AC的中点,若AB一6,则 EF的长是 CD的对角线AC与BD (B) 相交于点O,则下列结论 第1题图 一定正确的是 (B) A.AB-BC B.AD-BC 第2题图 C.OA-OB D.AC BD A.1.5 C.6 B3 D.12 3.[2024黔东南州一模]如图,在ABCD中,E为 .AD-4.BD-3. DC边的中点,连接AE并延长交BC的延长线 *AB-BC- AD+BD-5. 于点F. (1)求证:AD-FC: 2 (2)连接BE,若△ABE的面积为2,求○ABCD .四边形DEFB是平行四边形, 的面积. .BF=DE-5. 2* 5. [北师八(下)P145第2题改编]如图,○ABCD的 对角线AC与BD相交于点O,分别作 /DAO BCO的平分线,交线段BD于点E,F,连接 CE,AF. (1)求证:四边形AFCE是 第3题图 第3题答图 平行四边形; (1)证明:·四边形ABCD是平行四边形, (2)若BF-CF-5,且 '.AD//CB..D-FCE. FCB-30{,求四边形 ·.E为DC边的中点。:.ED一EC ABCD的面积. 第5题图 D=FCE. (1)证明:四边形ABCD是平行四边形, 在△ADE与△FCE中.ED一EC, .A-C0. AED一FEC, .AD//BC.. DAO-BCO. ..△ADEAFCE(ASA)...ADFC .AE平分 DAO)CF平分 BCO). (2)解:如答图,过点E作EH A1B于点H. . EAO-FCO..'.AE//FC. .S一 EAO-FCO. .S-AB·EH-4. 在△EOA与△FOC中.AO-CO, 4. [2024黔东南州从江县校级模拟]如图,在△ABC AOE-COF. 中,AB一BC,BD平分 '.△EOA△POC(ASA). ABC交AC于点D,E .AE一CF,..四边形AFCE是平行四边形 (2)解:CF平分OCB。FCB-30”. 为AB的中点,连接DE. 过点E作EF/BD交 .BCO-6。 第4题图 CB的延长线于点F. -BF-CF,FCB-30. (1)求证:四边形DEFB是平行四边形; '. CFO-2 FCB-60*.' BOC=90*$ (2)当AD-4,BD=3时,求CF的长. 在RtOCF中.OCF-30. (1)证明:.AB-BC,BD平分 ABC交AC于 2; 点D...AD-DC. “.E为AB的中点,.'.DE是△ABC的中位线 $.OB-OF+BF-15. 2. .'.DE//BC..'.DE//BF .SB·0C-753. .'EF//BD..'.四边形DEFB是平行四边形. (2)解:.AB一BC,BD平分/ABC交AC于点D. ..BD1AC..'. ADB-90 请完成《情境作业本》(P30~P31)中的练习题 49 第二节 矩形、菱形、正方形 【教材链接】北师:九上P2一P29; 人教:八下P52~P62. 题多练过基础 北师九上P15改编在ABCD中,对角线AC与 tanADE-2 10 ,则AE的长为 ,AB的长为 BD相交于点O. 7 5、/2 (1)①要使 ABCD为矩形,可添加的条件为 ,矩形ABCD的面积为25/2; AC一BD(写出一个即可),判断依据: 对角 (3)已知□ABCD为菱形。 线相等的平行四边形是矩形; ①若AB=4. BAD-120{*},则 /ABD=30 ②要使/□ABCD为菱形,可添加的条件为 AC 对角线AC的长为4,对角线BD的长为4/3. BD(写出一个即可),判断依据:对角线互相 垂直的平行四边形是菱形; 菱形ABCD的面积为 83 ,菱形ABCD的周 长为16; ③要使口ABCD为正方形,可添加的条件为AC BD且AC1BD(写出一个即可),判断依据:对 ②若AC-8,BD=6,过点B作BF1CD于点F, 角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形; 则菱形ABCD的高BF为 (2)已知○ABCD为矩形. (4)已知ABCD为正方形,AB=5,则ABD= ①若AB-6,乙AOB-120{},则 BAC-30{. 45 ,对角线AC-5/2,正方形ABCD的 BC-23,矩形ABCD的周长为 12+4③; 面积为 25 ,正方形ABCD的周长为 20. ②过点A作AE1BD交BD于点E,若AD-10, 教材知识构体系 知识点1 特殊四边形的性质 矩形 菱形 图形 正方形 [2024.20]2023.16][2023.20 [2024.16] ## 图示 边 对边平行且相等 对边平行,四条边相等 对边平行,四条边都相等 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 互相② 垂直平分,平分一组 互相③ 垂直平分且相等,平 对角线 相等且① 互相平分 对角 分一组对角 0 续表 菱形 图形 矩形 正方形 既是轴对称图形,又是中心对称 既是轴对称图形,又是中心对称 既是轴对称图形,又是中心对称 对称性 图形,有④2 条对称轴,对称 图形,有2 条对称轴,对称 图形,有条对称轴,对称 中心为对角线交点 中心为对角线交点 中心为对角线交点 S-ah(a为菱形的边长,h为菱 S-ab(a,b分别为矩形的长和 S-a^*}(a为正方形的边长)= 面积 形的高)一 宽) (/为正方形对角线的长) 条对角线的长) 知识点2 特殊四边形的判定 有三个角是直角 →矩形 ①一组邻边相等 ②对角线互相垂直 ①有一个角是直角 ①两组对角分别相等 ②对角线相等 ②两条对角线互相平分 /平行 正方 四边形/ 形 ③两组对边分别乎行 ④两纽对边分别相等 ①一纽邻边相等 一组对边平行且相等 ②对角线互相垂直 四条边都相等 ①有一个角是直角 ②对角线相等 知识点3 中点四边形 原四边形 中点四边形 平行四边形 平行四边形 矩形 ⑧ 萎形 菱形 矩形 正方形 正方形 练透真题明考向 命题点1矩形的性质与判定 BCE-60”,则四边形ABCE的面积是3- 1. [北师九(上)P13例1改编]如图,在矩形ABCD 3. [2024贵州,20]如图,四边形ABCD的对角线 中,对角线AC与BD相交于点O,若AO-3,则 AC与BD相交于点O,AD/BC. ABC-90^$. DB的长度是 (D) C.32 有下列条件:①AB//CD.②AD=BC A.③ B.3 D.6 (1)请从以上①②中任选 1个作为条件,求证:四边 形ABCD是矩形; (2)在(1)的条件下,若 第1题图 第2题图 第3题图 AB-3,AC-5,求四边形ABCD的面积 2.[2023贵州,16]如图,在矩形ABCD中,点E为 (1)选择①. 矩形内一点,且AB=1,AD=③, BAE=75^$; 证明:'.AD//BC.AB//CD. 1 .'.四边形ABCD是平行四边形 ..AE-BD.AB-DE. ·'ABC=90{.四边形ABCD是矩形. “ BD-BC..'.AE-BC. 选择②. .'AE//BC..'.四边形AEBC是平行四边形 证明::AD//BC.AD-BC. .ACB-90{*,.'.四边形AEBC是矩形 '.四边形ABCD是平行四边形 '.AB-CE..'.CE-DE “.'ABC-90{*}。'.四边形ABCD是矩形 (二选一即可) (2)解:. (2)解:·四边形ABCD是矩形,乙ABC-90{②, AB-3,AC-5. ·设CB-2.AC-3.'.CD-4k. ..BC=VAC-AB-4. “'AC+CD-AD. *.Smmp-AB·BC-12. '.(3)*+(4)-(52)*. 4. [2023贵州,20]如图,在Rt△ABC 中,C-90{*},延长CB至点D. .一/②(负值已舍去)...AC-3/②. 使得BD一CB,过点A.D分别 命题点2菱形的性质与判定 作AE//BD,DE//BA.AE与 j一第4题图 5.[2024贵州,16]如图,在菱形ABCD中,E,F分别 DE相交于点E.下面是两位同学的对话 是BC.CD的中点:连接AE,AF.若sin/EAF 小星:由题小红:由题 2v65 ,AE一5,则AB的长为 目的已知条 目的已知条 件,若连接 件,若连接 D BE,则可证 CE,则可证 1 明BE1CD. 明CE-DE. (1)请你选择一位同学的说法,并进行证明; 第5题图 6.解题策略开放[2024映西]如图,在△ABC中,AB 的长. 一AC,E是边AB上一点:连接CE,在BC的右 侧作BF/AC:目BF一AE,连接CF,若AC (1)选择小星的说法 13.BC=10,则四边形EBFC的面积为 60. 证明:如答图,连接BE ·AE//BD.DE/BA. :四边形ABDE是平行四边形, 第4题答图 .AE-BD. . BD-BC..'.AE-BC. 第6题图 .AE/BC..'.四边形AEBC是平行四边形 7. [2024毕节织金县校级模拟]如图,在菱形ABCD “.ACB-90*, 中,点E,F是对角线BD上的两点,DF一BE ..四边形AEBC是矩形, 连接AE,AF,CE '. EBC-90{.'BE1CD 选择小红的说法. 证明:如答图,连接BE,CE. ·.'AE//BD.DE//BA. 第7题图 '.四边形ABDE是平行四边形, (1)求证:△ADF△CBE: 2 (2)若BD=6, BAD=120*},且△AEF是等边 三角形,求CE的长. 4、10 (1)证明:.四边形ABCD是萎形, 3,则GH的长为 '.AD=CB,AD//BC...ADF=CBE. 10.[北师九(上)P28第16题改编]如图,已知四边形 [AD-CB. ABCD和四边形DEFG为G $H 在△ADF和△CBE中, ADF=CBE, 正方形,点E在线段DC上,D DF-BE. 点A.D.G在同一直线上,且 '.△ADFCBE(SAS). AD=4.DE=1.连接AC (2)解:':AD/BC,BAD-120*, CG.AE,并延长AE交CG ..ABC-60{。 第10题图 于点H. “.四边形ABCD是萎形, (1)求证:AHI|GC: '. ABE-CBE-30$$AB-CB (2)求线段AH的长 AB-CB, (1)证明:'四边形ABCD和四边形DEFG为 在△ABE和△CBE中. ABE-CBE, 正方形,..DC=DA.DG=DE,GDC= BE-BE. EDA-90”。 '.△ABE△CBE(SAS).'.AE-CE. DG-DE, “·△AEF为等边三角形, 在△GDC和△EDA中.GDC=EDA. ..AEF-60”,AE-EF-AF DC-DA. .BAE-60”- ABE-30{。 '.AGDCAEDA(SAS). '.BAE- ABE,'.AE-BE .. GCD- EAD. 同理得AF-DF,.'.BE-EF-DF :HEC- DEA. “·BD-6.CE-AE-2. .. EHC- EDA-00. 命题点③正方形的性质与判定 ..AHGC. 8.[2022贵阳,8]如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直 (2)解::四边形ABCD和四边形DEFG为正 角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形 方形,AD-4-DE-1. 若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1 .'.AD-CD-4.DG-DE=1. ADE-90$. 和3,则中间小正方形的周长是 (B) '.GC-EA-v17. A.4 B.8 C.12 D.16 由(1)得AH1GC, .Sx一 -1 AG· CEGC·AH. .×(4+1)#×4-×、17×AH C 第8题图 第9题图 9. [人教八(下)P68第8题改编]如图,在正方形 ABCD中,点E是线段DC上的点,DE-DC, 请完成《情境作业本》(P32~P33)中的练习题 核心专题3 利用“垂线段最短”解决最值问题 类型一垂线段最短 学法点拨 1.已知Rt△ABC.C-90*,AC=4.BC=3,D为AB边上一点.连 利用“垂线段最短”求最值 接CD,则CD的最小值为 (D) (1)已知动点运动轨迹为直线 C B.4 D12 A.3 求直线外的定点到动点的距离最小 2.如图,P为O上一动点,O的半径为4,以OP为一直角边作 值,利用“垂线段最短”来解决(女 图①); Rt△OPQ交直线/于点Q.若点O到直线/的距离为6,则PQ 的最小值为2v. A为直线1上一点,则PBPA 图① (2)已知两动点(点A和点B) 第2题图 和一定点(点P),动点运动轨迹确 类型二对称十垂线段最短 定,求PB+AB,可通过对称或其他 3.[人教八下P61第11题改编]如图,已知四边形ABCD为菱形,对角 方法改变定点位置,将线段和最值转 线AC,BD相交于点O.AC-6.BD-8.M.N分别为对角线BD. 化为与“垂线段最短”相关的问题(如 边CD上的动点.连接CM,MN,则CM十MN的最小值为 图②); PB+AB=PM 第3题图 第4题图 图② 4. 如图,已知RtABC.其中C-90{,BC1.AC-3.D.E分别为AC. (3)如图③,求kAP十BP的最小 AB上的动点,连接BD.DE,则BD+DE的最小值为 值,以AP为斜边,构造Rt△APC,使 sin PAC-k,则kAP+BP=PC+ 类型构造直角三角形十垂线段最短 BP二BD. $.如图,在平行四边形ABCD中,DAB=60*,AB=6,BC=2.$E 图③ 第5题图 第6题图 6.如图,在ABC中,AB=AC=5,tanA=2,BE| AC于点E.D 核心专题4 利用旋转解决全等、相似问题 类型一旋转背景下的相似 学法点拨 1.如图,已知△ABC和△CEF均为等腰直角三角形,点E在 1. 由旋转得到的相似 △ABC的内部. CAE+ CBE=90{*},连接BE,BF.若BE-1. 如图①,BAC=DAE. AF-2,则CE-6. 乙ADE=ABC,则△ADE △ABC,△ABDo△ACE 。# 第1题图 第2题图 2.如图,C为平面内一点:以点C为顶点;分别作等边三角形ABC 图① 和等边三角形CDE,连接BE,AD,BE与AD交于点O,则 2.含半角关系的全等 BOD=120*. (1)念45*角的半角关系图形 如图②.Rt△ABC中,DAE 类型二含半角关系的全等 45,将△ABD绕点A旋转45*得 3.如图,正方形ABCD的边长为4,点E,F分别在AB,AD上,若 △ACF.则△ADE△AFE,△CEF 20/2 为直角三角形,BD+EC-DE. CE-5,且 ECF-45*,则CF的长为 如图③.将△ABG绕点A旋转 90得△ACK,则△AKH2△AGH. BGCH-GH. BD 第3题图 第4题图 .K {C 4.如图,在四边形ABCD中,AB=BC,A=C-90{}B$ 135{°,K,N分别是AB,BC上的点,若△BKN的周长为AB的 D 2倍,则KDN= 22.5. 图② 图③ 5.在等边三角形ABC的两边AB,AC所在直线上分别有两点M (2)含60{}角的半角关系图形 N.D为\ABC外一点,目 MDN=60{*$,BDC=120{*,BD=$ 如图④,△ABC为等边三角形, DC.设AMN的周长为Q,等边三角形ABC的周长L,则Q与 DB=DC.将△BDE绕点D旋转 L.间的数量关系为 120*得△CDG,则△DEF2△DGF. BE+CF-EF. 第5题图 图④