4.第四章 三角形-【加速度中考】2025年贵州中考数学课堂精讲本

第四章 三角形 第一节 线段、角、相交线与平行线 【教材链接】人教:七上P125~P141,七下P1~P27,八上P48-P52、P60-P61,八下P42-P43 北师:七上P106~P121,七下P38~P54.八上P162-P177,八下P22~P32、P146. 题多练过基础 护教七下P64改编如图,直线4,1:被直线l.1.所 (3)若FH-3,则点F到直线4。的距离为3; 截,交点分别为A,B.C.D.BD是/ABC的平分线,F (4)连接AC.若AC是BCD的平分线.请回答下 为BD上一点,FH|BC于点H.G为BC的中点 列问题: ①下列条件中,能够证明//1。的是a,c,d; a1-2;b.2=3;c. 4-180*-3- 2;d.5-22. ②若直线 /,4-56,1-39”,则 3 (1)若H为BG的中点,GH-2,则BC=8; 85)578); (2)若 ABC-58{*}24'.则 ABC余角的度数 ③若直线//,点A到/:的距离为5,点F到/ 为 31{36' ,ABC补角的度数为 12136 的距离为1,则点F到/。的距离为 4. ABD-29.2; 教材知识构体系 (1)经过两点有一条直线,并且只有① 一条直线(两点确定一条直线) 两个基本事实 (2)两点之间,② 线段最短 线段的和与差:如图①,在线段AC上取一点B,则有③AB +BC=AC;AB-AC-④BC; _ BC-e -AB 我·把拟计我 图① 图② 线段的中点:如图②,点B把线段AC分成相等的两条线段AB,BC,则点B叫做线段AC的中 点,即AB-BC-AC 两点之间的距离:连接两点之间的线段的长度 度、分、秒的换算:1*一60,1'一60”,度、分、秒之间是60进制 [余角:如果两个角的和为 90{},那么这两个角互为余角 角及角 余角、补角补角:如果两个角的和为⑧180{},那么这两个角互为补角 平分线 性质:同角(等角)的余角相等,同角(等角)的补角 相等 [性质: 角平分线上的点到角两边的距离相等 角平分线 逆定理:角的内部到角的两边距离 相等 的点在角的平分线上 2 三线八角:对顶角、邻补角、同位角、内错角、同旁内角 ((1)在同一平面内,过一点有且只有 一 条直线与已知直线垂直 相交线 垂线的性质 (2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中, 垂线段 最短 线段垂直[性质: 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 贯四拟斑计我 平分线 逆定理:到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的 垂直平分线 上 平行公理 公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 及推论 推论:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行(注:在 同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行 (1)同位角 相等 平行线的 性质和判定 (2)内错角相等 [2023.4] (3)同旁内角 互补 定义:过一条平行线上任意一点作另一条平行线的垂线,② 垂线段 的长度叫做两 平行线间的 条平行线间的距离 距离 性质:两条平行线间的距离处处②相等 练透真题明考向 命题点7线段、直线和角 4.[2024遵义汇川区一模]如图,直线CD.EF被射 1. [2024黔东南州从江具校级模拟]如图,直线AB, 线OA,OB所截.CD/EF,若1=102{*,则 2 的度数为 CD相交于点O,若AOC-60{,BOE-40{。 (B) 则 DOE的度数为 (B) A.10{ B.20* C.0{ D.6{ ##73## D 第4题图 A.72 C.92* B.78{ D.98{} 第1题图 第2题图 5.[2024贵州一模]将一副直角三角板按如图所示 2. [2024黔南州一模]如图:点A,B,C在直线/上, 摆放, GEF-60*,MNP-45*,AB/CD.则 PB |/.PA-5cm.PB-4cm,PC-6cm,则点 下列结论不正确的是 (C) P到直线/的距离是 4cm A- 命题点2平行线的性质 3. [2023贵州,4]如图,AB/ CD,AC与BD相交于点 E.若C-40*,则A的度 第5题图 数是 A.GE/MP (B) 第3题图 B. /EFN-150* B.40{ A.39。 C.41* D.42* C. BEF-60* D. AEG- /PMN -请完成《情境作业本》(P22)中的练习题 3 34 第二节 三角形及其性质(含特殊三角形 【教材链接】人教:八上P2~P18、P75~P84,八下P21~P39; 北师:七下P81-P91,八上P1~P19,P178-P183,八下P2P21;P150~P152 题多练过基础 苏科七下P25改编已知,在△ABC中,D为BC边 (2)如图②,E,F分别为AD,AC上一点,连接 上一点,连接AD BF.CE,DF. ①若D为BC边的中点,且AD|BC,CD=2,BD AD,则△ABC的面积为4; ②若D为BC边的中点,E为AD边的中点; 图① 图 △ABC的面积为24,则△CDE的面积为 6; (1)如图①,E为AB边上一点,连接DE. ③若D为BC边的中点,F为AC边的中点,AB一6. ①若AB-9,AC-6,则BC边长度的取值范围为 3<BC15; 则DF三 3 :设△CDF的周长为C,△ABC的周 长为C,则C与C之间的数量关系为C。一2C; ②若/BAC-2B-4 ④若AD平分BAC,BAD-40{,ABC一 ③若AD是BC边上的中线,△ABD的周长比 45”,则乙ADC=85{,ACB-55{; △ADC的周长多3,AB与AC的和为13,则 若DF为ADC的高线.CAD=43{,BDA AB一8; 95,则CD-38 教材知识构体系 川改去层(和奘川) 三边都不相等的三角形 按边分 底边和腰不相等的等腰三角形 三角形的分类 等腰三角形 ① 等边三角形 按角分:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 三边关系:若一个三角形的三边分别为a,b,c,则②。一/ca十b 内角和定理:三角形的三个内角的和等于180。 三角形的边、角关系角的关系任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 任意一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 边角关系:同一个三角形中,等边对等角,大边对大角,小边对小角 短 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 等腰直角三角形 △ 图示 1.两直角边互相垂直 1.两直角边互相垂直 2.勾股定理;若直角三角 边 两腰相等 三边相等 2.三边长的比为1; 形的两直角边分别为a,b. 特殊三角 1:/2 形的性质 斜边为c,则有a^{十=^} [2023.7] 1.两锐角均为45。 每一个角都等 角 两底角相等 两锐角和等于90 2.两锐角和等于90。 于60” 3.两底角相等 1.30{角所对的直角边是 影后(和) 边角 等边对等角,等 斜边的一半 直角三角形斜边上的 关系 角对等边 2.直角三角形斜边上的中 中线等于斜边的一半 线等于斜边的一半 是轴对称图形, 是轴对称图形; 是轴对称图形,有1条 对称性 有1条对称轴 有3条对称轴 对称轴 中线 高线 角平分线 中位线 ##4 图示 B AD是△ABC AD是△ABC AD是△ABC DE是ABC 的中线 的高线 的角平分线 的中位线 BAD= CAD= AD BC.即/ADB DE /BC,DE 三角形 $BD=DC=一③ BC 性质 # BAC# ADC-90* 中的重 BC 要线段 SAp=SAr= S- A 面积 BD SApo= S S S 关系 ④ DC (1)三角形的三条角 三角形三条中线的 三角形三条高所在 平分线的交点是三 延伸 交点是三角形的 直线的交点是三角 角形的内心; 重心 形的垂心 (2)内心到三角形三 边的距离相等 36 练透真题明考向 命题点1三角形三边关系 48{*}, ABC=14{*},延长AC到点D.使得CD CB,连接BD,则 D的度数为 1. [2024遵义红花岗区一模]下列每组数分别表示 (C) B.54* C.59* A.48* 3根小木棒的长度(单位;cm).其中能搭成三角 D.62* 形的是 (B) 7.[2023贵州,705月26日,“2023中国国际大数据产 A.3.7.10 B.6,7.8 C.7,7,14 D.5,7,13 业博览会”在贵阳开幕,在“自动化立体库”中有 命题点2三角形中的重要线段 许多几何元素,其中有一个等腰三角形模型(示 2.[2023遵义新蒲新区月考]数学课上,同学们在作 意图如图所示),它的顶角为120{},腰长为12m △ABC中AC边上的高时,共画出下列四种图 则底边上的高是 (B) 形,其中正确的是 (A) B 第7题图 A.4m C.10m B.6m D.12m 3. [2024毕节织金县一模]如图,DE是△ABC的中 位线,点F在DE上,且AFB-90。若AB= 8. [2024贵阳云岩区一模]在△ABC中,C为钟 (D 7,BC-10,则EF= 角,A-48{},如果经过△ABC其中一个顶点 A.4 B.3 C.2.5 D.1.5 作一条直线能把△ABC分成两个等腰三角形. 那么 C的度数为 108{或99{或116{. 考向2 直角三角形的性质及其计算 9.[2024贵阳期末]如图,C为直线AB上的定点,D 为直线AB上的动点,直线AB外有一点P,CP= 第3题图 第4题图 4. PCB一30{,当PD最短时,则PD的长是 4. [2024贵阳期末]如图,在ABC中,D是BC的中点 若△ABC的面积为12,则△ABD的面积为6. (B) 命题点3特殊三角形及其性质 考向1 等腰三角形的性质及其计算 5.[2024毕节金沙县月考]如图,AD是等边三角形 第9题图 ABC的中线,点E在AC上,AE=AD,则 A.、3 C.23 B.2 D.4 EDC等于 (A) A.15* B.20* C.25* D.30P 10.[2024铜仁石阡具校级月考]如图,在△ABC中, ACB-90*,沿CD折 叠△CBD,使点B恰好 落在边AC上点E处; 若 B-65^*,则 ADE 第10题图 第5题图 第6题图 的度数为 (A) 6. [2024遵义红花岗区三模]如图,在△ABC中,A B.50{ A.40* C.65{ D.75P 请完成《情境作业本》(P23)中的练习题 ) 37 核心专题1 与角平分线有关的问题 类型一角平分线十平行 学法点拨 1.[人教八上P12例1改编]如图,在△ABC中,AD是△ABC的 (1)如图①,已知P是/NAM的乎 角平分线,DE/AB交AC边于点E.若AB-2AE=4,AD 分线上一点,PF1AN. 7.则△ADE的周长为 (A) 作PHIAM. 23 1# 交AM于点// 3 C.8 高A/ ### 图① 结论:PH=PF,Rt△PFA Rt△PHA. (2)如图②,已知点P在NAM的 第2题图 第1题图 平分线上. 过点P作 2.[2024贵州,14改编]如图,在四边形ABCD中,AD/BC.BC PF/AM. 5.CD-3,AB一AD一2.按下列步骤作图:①以点D为圆心 交W于点E 适当长度为半径画孤,分别交DA,DC于点E,F;②分别以点 图② 结论:AF一PF,△AFP是等腰三 接DP并延长交BC于点G,则四边形ABGD的面积为(C) 角形。 C.82 B2 A.4 D142 (3)如图③,已知P是NAM的乎 分线上一点,FP|AP 类型二含垂线条件 筵长FP交 3.[2024毕节织金县期末]如图,AD是ABC中 BAC的平分线 点 DEAB于点E,S=24,DE-4.AB-7,则AC-(C ) A.3 B4 C.5 D.6 图③ ###### 结论:/FAH是等腰三角形,FP一 HP.Rt△FAP2Rt△HAP (4)如图④,已知P是/NAM的 第3题图 第4题图 平分线上一点,F是射线AN上任意一 4.如图,D为△ABC内一点,CD平分ACB,BD)CD.CBD 点,连接PF. (D) 2/ABD.若BD-1,BC-3,则AC的长为 在AM上截取 All-AF. A.2 C.4 D.5 B.3 连接PH。 类型三构造相等线段 5.如图,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=CD,BD平分 图④ 乙ABC.若 A-130*,则C一 (C) 结论:△APF2△APH. A.258 B.40{ C.50* D.65P (5)如图,AD平分 BAC,过点 ## C作CE/AB交AD的延长线于点E 第5题图 第6题图 6.如图,在△ABC中,C-2B,AD平分BAC.若AB-6. AC-4,则CD-2. 图 38 核心专题2 与中点有关的辅助线作法 类型一含中位线 学法点拨 1.如图,在△ABC中,E,F分别为BC,AC的中点,D为AB边 1.构造中位线 上一点且DF/BC.若AB=7,BC-3,则四边形DBEF的周 # 过点D作 长为 (A) C A.10 B.5 D.15 #g# 图① ## # 第2题图 第1题图 图② 2.如图,已知四边形ABCD为矩形,AB-4.BC-6.M为BC边 2.构造中线 的中点,P为CD边上一动点,若E.F分别为AP,MP的中 构造直角三 (B) 角形斜边上A 点,则线段EF的长为 的中线 B. 2。} A.5 C.13 D3 2 图③ 类型二含中线 3. [2024贵州,16改编]如图,在菱形ABCD中,AE一5,E,F分别 连接AD 是BC,CD的中点.若AE,AF垂直平分BC,CD.则AB的长 等腰三角形 “三线合二 为 103 图④ #1 3.倍长线段 (1)如图,延长ED到点F,使 DF一ED:或作CF/BE交ED的延长 线于点F. 第3题图 第4题图 4.如图,已知四边形ABCD为矩形,其中AB一4.AD一2,点A; 长ED B分别在 MON的两条边上, MON-90,则点O与点D 之间的距离最大值为2+2/2. 图 类型倍长中线 (2)如图,延长AD到点E,使 5.[人教八上P5图片素材改编]如图,在△ABC中,AB一10,AC DE一AD;或作CE/AB交AD的延长 6.那么BC边上的中线AD的取值可以是 (B) 线于点E. A.1 B./4 C.12 D.17 倍长AD 1 第5题图 第6题图 6.如图,在△ABC中, ACB-90*,AC-6,延长AB至点D,使 图 BD-AB.若 /ACD-120*,则△ABC的面积为 93 30 第三节 全等、相似三角形 【教材链接】北师:七(下)第四章P92~P104、P108~P113;九(上)第四章P75~P123; 人教:八(上)第十二章P30~P56;九(下)第二十七章P23~P59 题多练过基础 1. 人教八上P44改编如图,在△ABC和△DEF (1)若AC-4,E为AC边上靠近点A的黄金分 中,FC=3,A=D,AC=DF,FE和AC在 割点,则AE-6-2/5; 同一条直线上. (2)若EF/AB.CE=3,AE=1.BC=8.则 (1)要使入ABC/DEF,可添加条件 A一 EF 3 -'AB DE (写出一个即可).判定依据为SS. .图中的相似三角形有 (2)若△ABC△DEF,则: △ABC△EFC,△EFOo△BAO; ①若BC-6,DF-11.则AC= 11 .EF (3)在(2)的条件下,连接AF,BE,AF与BE交 6,AE-14; 于点O.则OE与OB的数量关系为OE-3OB; ②若/A-30*,ACB-110,则/E-40* 7## (4)若将△CEF沿EF翻折,点C的对应点D恰 好落在AB上,△CEF与△ABC相似 ①当EF/AB,且AC-BC-2V2时,DE的长 为/2; 第1题图 第2题图 2.北师九上P79改编如图,在Rt△ABC中.C一 ②当AC-6,BC-8时,AD的长为 90*,点E,F分别在边AC,BC上. 一教材知识构体系 1.全等、相似三角形的性质 对应关系 全等三角形 相似三角形 ②相等 边 中位线 中线 ① 相等 等于③ 相似比 高线 角平分线 周长 面积 等于④ 相似比的平方 4 2.全等、相似三角形的判定 三角形相似的 己知条件 三角形全等的 示意图 增加条件 示意图 判定方法 判定方法 两角及其 夹边 两角对应 一组对应 对应相等(ASA) 两角 相等 边相等 两角及其一角所对边 对应相等(AAS) 两边对应成比 两边及其 夹角 两边一角 例且夹角相等 相等(SAS) 三边对应 三边 三边对应相等(SSS) ⑧ 成比例 斜边和一条 斜边和直角边对 斜边和一条直角边分 直角 直角边分别 应成比例(应用 别相等的两个直角三 三角形 时需证明) 相等 角形(HI) 3.图形的位似 性质 位似变化与坐标的关系 (1)位似图形是相似图形,具备相似图形的所有性质; 在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画 (2)对应点的连线经过同一点 出一个与原图形位似的图形,使它与原图形的相似 (3)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之 比为人,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形 比等于相似比: 上的点的坐标为(一好:一y)或(x.y)(注:有两 (4)位似图形中的对应边平行(或在同一条直线上) 种情况) 4.常见全等、相似类型 类型 模型解读 对称型全等 △ABCABD △ABC△DBE 平移型全等 △ABC△DEF _行# ##。# 8字型相似 △AOBco△DOC △AOBo△COD 41 续表 类型 模型解读 A字型相似 C() △ADE△ABC ADEoACB.BMDoEMC ###_#__1###。 旋转型 绕A点旋转 ADE.连接BD.CE,则ADEABC.ABDACE 特别地,当ABAC或AD=AE时,△ABDACE 练透真题明考向 命题点7全等、相似三角形的证明与计算 3.[2024六盘水二模]如图,D.E两点分别在△ABC 1.[2024毕节金沙县期末]如图,已知AE一AC.C . E,下列条件中,无法判定△ABC△ADE的 是 (D) 若△ADE的面积是3,则四边形BCED的面积 是 { (B) B □C12 A.6 D.15 C 第1题图 A.B-D B. BC-DE 2_ C.1-2 D.AB-AD 2. [2024黔东南州榨江县一模]如图,在矩形ABCD 第3题图 第5题图 中,AB-6cm,BC=9cm,点E,F分别在边 4. [2024贵阳修文县一模]如果两个相似三角形的 AB.BC上,AE-2cm,BD.EF交于点G,若G是 周长比为2:3,那么这两个相似三角形的面积 EF的中点,则线段BG的长度是 (D) 比为4:9. D 5.[2024黔东南州从江县二模]如图,将一副直角三 角板(含45角的直角三角板ABC及含30{}角 C 的直角三角板DCB)按图示方式叠放,斜边交 第2题图 点为点O,则△AOB与△COD的面积之比等 A.,5cm C10 B20 cm D.v3cm 于1:3.