2.第二章 方程（组）与不等式（组）-【加速度中考】2025年贵州中考数学课堂精讲本

第二章】 方程（组）与不等式（组） 第一节一次方程（组）及其应用 【教材链接】人教：七上P77~P112,七下P87~P112: 北师：七上P129~P153,八上P102P134, 子一题多练过基础 1.断教七上P115改编观察下列等式并填空 2.断教七下P42改编下面是小芳解关于x,y的二 ①1-x:@1-青2：③32=y+3: 2.x-3y=5, 元一次方程组 的过程 x+3y=1 ④3.x-2y=1:⑤1-x2=0:⑥3(x-1)=2x 2.x-3y=5,① (1)以上是一元一次方程的有②③@（填序号）： 解： x+3y=1,② (2)方程1-一号=2的解是1=一3，方程 ①+②，得2x+x=5+1, 义=y十3的解是y=1 解得x=2, 2 将x=2代人①，解得y=★ (3)若方程3x-2y=1与方程1-号=2的解相 小芳在解方程的过程中所用的方法为加减消元 同，则y=一5： 法，★代表的数为 季教材知识构体系 性质1：如果a=b,那么a士c=①b士 等式的性质 性质2：如果a=b,那么ac=②bc 性质3：如果4-6，那么2=⑤名(00 概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是④1的整式方程 般形式：a.x十b=0(a,b是常数，且u≠0) 次 元一次 (1)去分母：方程两边同乘各分母的⑤最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项 方程及 程 (2)⑥去括号：注意括号前系数的符号 其解法 组及 解 (3)移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边，注意移 步 项时一定要改变符号 骤 应 (4)合并同类项：把方程化成a.x=一b(a≠0)的形式 (5)系数化为1：方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解为x-⑦ 代入消元法：适用于方程组中某一个未知数的系数是1或一1，或者一个方 程的常数项为0 二元一次方程组的解法 加减消元法：适用于方程组中相同未知数的系数相同或互为相反数或成整 数倍 三元一 概念：一个方程组含有⑧三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是⑨1，并且 次方程 共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组 次 组及其解三元一次方程组的基本思路：三元一次方程组 消元 消元 (代入或加减) 二元一次方程组 (代人或加减) 解法 一元一次方程 及 利润问题：利润一售价一⑩进价：利润率=① 利润 进价 ×100% 一次方程（组）】 实际应用的常 工程（工效）问题：工作量=工作效率×工作时间 应 用 见问题及关系式 路程=速度×时间 2024.11[2024.15 2023.9] 行程问题 水中航行问题：顺水速度=静水速度②十水速 逆水速度=静水速度⑧ 水速 练透真题明考向 命题点刀解一次方程（组）】 4.[2023责州，9]《孙子算经》中有这样一道题，大意 1.[人教七（上）P98第2(2)题改编]解方程：8x=2(x一4). 为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余， 解：去括号，得8.x=2x一8 将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完.问： 移项，得8x-2x=-8, 有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程 合并同类项，得6.x=一8， 正确的是 (C) 系数化为1，得x= 3 Ax+号 =100 B.3.x+1=100 2.[2024黔东南州期末]解方程组： x十y=7, Ce+3=10 D.1=100 3.x-y=1. 3 x+y=7,① 5.[2024贵阳南明区一模]幻方是 解： 3x-y=1,@ 古老的数字问题，我国古代的 10 ①十②，得4x=8,解得x=2 《洛书》中记载了最早的幻 把x=2代入①，得2十y=7,解得= 方—一九宫格.将9个数填入 幻方的空格中，要求每一横 ∴原方程组的解为 第5题图 行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和 命题点2一次方程（组）的实际应用 相等.如图为一个三阶幻方的一部分，则图中右 3.[2024贵州，11门小红学习了等式的性质后，在甲、乙 上角空格中c的值为 (D) 两台天平的左右两边分别放人■”“●”“▲”三种物 A.-2 B.0 C.2 D.4 体，如图所示，天平都保持平衡.若设“■”与“●”的 6.[2024贵州，15]在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》 质量分别为x,y,则下列关系式正确的是(C） 中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里， 慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上 慢马需要的天数是20天。 6一1.变设问-求速度若快马每天行200里，慢马 第3题图 先行10天，快马在慢马行2000里时将其追上， A.x=y B.x=2y C.x=4y D.x=5y 则慢马每天行100里. 产请完成《情境作业本》(P6)中的练习题 10 第二节 一元二次方程及其应用 【教材链接】人教：八上P149~P159: 北师：八下P125P133 孕一题多练过基础 华师九上P46改绢已知关于x的方程(m一1).x2一 解得x=7,=一1. 2(m十1).x十m-9=0. ③因式分解法 (1)若该方程为一元二次方程，则m的取值范围 解：当m=2时，原方程可化为x2一6x一7=0， 为m≠1： 因式分解，得(x一7)(x十1)=0， (2)当m=2时，请分别用下列方法解方程. ∴.x-7=0或x十1=0， ①公式法 解得=7,7=一1. 解：当m=2时，原方程可化为一6x一7=0， ③)若x=号是该一元二次方程的一个根，则m的 6-4ac=(-6)2-4×1×(-7)=640, 方程有两个不相等的实数根， 值为9，方程的另一个根是0： (4)当m=一1时，该一元二次方程根的个数为0； =6+,6-=7,=66 2 2 (5)若该一元二次方程有两个不相等的实数根，则 ②配方法 m的取值范围是>二且m≠1：若该一元二 解：当m=2时，原方程可化为x一6.x一7=0， 移项，得x-6r=7, 次方程有两个相等的实数根，则m的值为三， 配方，得x2-6.x十9=7+9 若该一元二次方程没有实数根，则m的取值范围 整理，得(x一3)=16， 开方，得x一3=士4 是。 字教材知识构体系 概念：只含有①一个未知数，并且未知数的最高次数是②2的整式方程 一般形式：a.x2十b.x十c=0(a,b,c为常数，a≠0) 直接开平方法 因式分解法 元 解法 次 [2024.5] 公式法：求根公式为：x=一b士yB-ac(-4ac≥0) 2a 配方法 及其应 ③△0台方程有两个不相等的实数根 根的判别式（△=b一4ac)④△=0台方程有两个相等的实数根 2023.15] ⑤△0台方程无实数根 根与系数的关系：若一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,则x1十x2=⑥ 、b Tx2=⑦ 平均增长率问题：增长率一 增长量×100% 基础量 利润问题：利润=售价一进价：利润率=利润×100% 进价 实际应用中 单循环问题：游戏次数=⑧ 循环问题（设参加游戏人数为x) 2(x-l0 次 的常见问题 双循环问题：游戏次数=⑨x(x一1) 及关系式 如图①，阴影区域的宽为x,则S空=①(4一2x)b一2x 其 如图②，阴影区域的宽为x,则S白=①(a一x)(b一x) 如图③，阴影区域的宽为x,则S空=@(a一xb-x】 用 图形面积问题 图① 图@ 图③ 令练透真题明考向 命题点)一元二次方程的解法 ①利用因式分解法：x一4=0， 1.[2024贵州，5]一元二次方程x2-2x=0的解 .(十2)(x-2)=0,x1=一2，x=2. 是 (B) (任选其中两个即可】 A.x1=3,x2=1 B.x1=2,x=0 命题点2一元二次方程根的判别式 C.x1=3,.x2=-2 D.x1=-2,x2=-1 3.[2023贵州，15]若一元二次方程kx2-3.x十1=0 2.[2022贵阳，17(2)]在初中阶段我们已经学习了 有两个相等的实数根，则k的值是 一元二次方程的三种解法，它们分别是配方法 公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程 4.[2024费阳观山湖区二模]关于x的一元二次方程 中任选两个，并解这两个方程 (k一1)x一2x十1=0有两个不相等的实数根， ①x2+2x-1=0:②.x2-3x=0:③x2-4x=4: 则k的取值范围是k2且≠1 ④.x2-4=0. 命题点③一元二次方程的实际应用 解：①利用公式法：x十2一1=0， 5,人教九（上）P17第9题改编]某航空公司有若干 △=22-4×1×(-1)=4+4=8 飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一 x=b士=c-2告8-1士， 共开辟了45条航线，设这个航空公司共有飞机 2a 2 场x个，则可列方程为 (D) ∴x1=-1+/2,x=-1-√2 A.x(x+1)=45 B.x(x-1)=45 ②利用因式分解法：x2一3x=0, C2(x+1)=45 D2r-10=45 .x(x-3)=0,.x1=0,x=3 6.[北师九（上）P55第4题改编]某品牌新能源汽车 ③利用配方法：x2一4x=4, 4月份销售8万辆汽车，随着“以旧换新”政策的 等号两边都加上4，得x一4x十4=8， 推出，预计该品牌新能源汽车到6月份销售量 ∴(x-2)=8,x-2=士22， 将比4月份增加3.52万辆，则从4月份到6月 ∴x1=2+2、2,x=2-22. 份销售量的平均月增长率为20%· 章请完成《情境作业本》(P7~P8)中的练习题 第三节分式方程及其应用 【教材链接】人教：九上P1~P26: 北师：九上P30~P58. 奇一题多练过基础 浙教七下P130改绵观察下列式子： B.去分母，得2(x-1)+3(x+1)=6 ①x-2=2:@2x+写1-10：③32=3 C.解整式方程，得x=1 5 D.原方程的解为x=1 （④求方程3上的解 (1)上述方程中，是分式方程且该原分式方程有增 解：去分母，得3r=x一3， 根的是④（填序号）： 移项，得3x一x=一3， 2)解方程，含一2=3去分母时，方程两边要 合并同类项，得2=一3， 同乘x一3，变形后的方程是一2(x一3)=一1： 系数化为1，得= (8)解分式方程异十产分以下四步 检验：当x=一 2时，x(x-3)≠0， 其中错误的一步是 A.最简公分母是(x十1)(x一1) 是原分式方程的解， 令教材知识构体系 概念：①分母中含有朱知数的方程 解整式 解法步骤：分式 去分母 检验 最简公分母为0一xa是方程的3增根 方程乘②最简公分母方 整式方程xa 最简公分母不为 一a是方程的解 式增根：去分母后的整式方程的根，也是使得原分式方程分母为0的根 【抢分要点】分式方程无解有两种情况：(1)去分母后的整式方程无解：(2)去分母后的整式方程 及其应 有解，但解是增根，故分式方程无解 购买（销售）问题：数量= 总价 单价 常见类型行程问题：时间= 程 速度 分式方程的 实际应用 工程问慰：工作时间作装攀，有时可将工作总量记为单位~ 2023.19 解题步骤：实际问题 找等量关系，列分式方程 设未知数 →解方程→双检验→答 13 练透真题明考向 命题点解分式方程 4.[2022贵阳，20]国发(2022)2号文发布后，贵州迎 3 1 来了高质量快速发展，货运量持续增加.某物流 1.[2024遵义红花岗区一模]解方程：z二2=1一2- 公司有两种货车，已知每辆大货车的货运量比 解：去分母，得3=x-2+1, 每辆小货车的货运量多4吨，且用大货车运送 移项，合并同类项，得x=4 80吨货物所需车辆数与小货车运送60吨货物 检验：当x=4时，x一2≠0， 所需车辆数相同.每辆大、小货车货运量分别是 原分式方程的解为x=4 多少吨？ 2[2021毕节金沙县期未]解方程：一号-1=，16 241 解：设每辆小货车的货运量是x吨，则每辆大货 车的货运量是(x十4)吨 解：去分母，得(x-2)一(c一4)=16 去括号，得x2一4.x+4一x十4=16 根据题意得，即一2，解得：=12 移项、合并同类项，得一4x=8, 经检验，x一12是分式方程的解，且符合题意， 系数化为1，得x=一2 .x十4=12十4=16（吨） 检验：当x=一2时，(x+2)(x2)=0 答：每辆大货车的货运量是16吨，每辆小货车 ∴x=一2是原分式方程的增根， 的货运量是12吨 ∴原分式方程无解 5.[2023贵州.19]为推动乡村振兴，政府大力扶持 命题点2分式方程的应用 小型企业.根据市场需求，某小型企业为加快生 3.[2024黔南州模拟]近年来，国家提倡节能减排， 产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效 为响应号召，很多家庭都购人新能源汽车 率比更新前提高了25%，设更新设备前每天生 2024年春节，小明一家驾驶新购买的新能源汽 产x件产品.解答下列问题： 车去相距1004km的海滨城市旅游，原计划以 (1)更新设备后每天生产 件产品（用含x akm/h的速度行驶，后因要赶上新春烟花会而 的式子表示)： 提前到达，实际行驶速度为原计划速度的 (2)更新设备前生产5000件产品比更新设备后 1.3倍，结果比原计划提前了3h到达，则可列 生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天 方程为 (A) 生产多少件产品： A.1004_104=3 解：(1)1.25u a 1.3a 6000 B.1004+1004=3 21由题意知500-2=1.20 F1.3a 解得x=100 c104-104=3 经检验，x=100是分式方程的解，且符合题意， D.1004-1004+1,3 .1.25.x=1.25×100=125(件). 3a a 答：更新设备后每天生产125件产品 交请完成《情境作业本》(P9)中的练习题 第四节一次不等式（组）及其应用 【教材链接】人教：七下P113~P133: 北师：八下P36~P63. 寺一题多练过基础 北师八下P47改编已知关于x的不等式3x一a≥x (4)若不等式3一a>≥x与不等式受+2>x组成的 (a为常数). (1)当a=一1时，下列描述符合上述不等式的是 不等式组恰好有两个整数解，求α的取值范围： B(填序号)： 3x-ux,① 、 解：由题意得 A.x的3倍与1的差大于x 5+2>x,② B.x的3倍与1的和不小于x C.x的3倍与1的差不小于x 解不等式0，得≥0， D.x的3倍与1的差不大于 解不等式②，得x≤ (2)若a=2,求不等式3.x一a≥x的解集，并在数轴 ∴不等式组的解集为)≤x≤， 上表示： 解：a=2,.原不等式为3.x一2x ,不等式组恰好有两个整数解， 移项，得3x-x≥2， :不等式组的整数解为4,3， 合并同类项，得2x>2, ∴2<号a3,4<a<6 系数化为1，得x≥1， 3x-a=y, 原不等式的解集在数轴上表示如答图 (5)已知方程组 +2=x 的解满足x十y<2,求 2 -5-4-3-2-10 12345 a的取值范围。 答图 解：解方程组，得 (3)若不等式3x一u≥x的解集为x≥-1，求 v=2a-2, a的值； .x+y=3-16 解：解不等式3r一u>t,得x≥2a, ,x+y<2,.3a-16<2, 解得u<6. ≥-1，心2u=-1,a=-2 子教材知识构体系 次不 性质1：若a>b,则a士c①>b士c 应用移项，合并同类项 ac>bc 应用，去分母 性质2：若a>b,c>0,则 不等式的性质 式（组及其应用 4>b应用，系数化为1 c ac②<bc 应用，去分母 性质3：若a>b,c<0,则 ③< c b应用，系数化为1 15 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1（注意不等 一般步骤 号的方向是否改变) x<d 一元一次不等式的 ④.x>4 解法及解集表示 解集表示 T2024.4][2023.17(2) ⑤≤a ⑥x≥u 注：在数轴上表示解集时，要注意“<”和“>”在数轴上表示为空心圆 圈，“≤”和“≥”在数轴上表示为实心圆点 般步骤：(1)解每个不等式；(2)在数轴上表示各不等式的解集： (3)确定解集的公共部分：(4)写出不等式组的解集 次不等式（组）及其应 类型 在数轴上的表示 口诀 解集 (a>b) r≥0 同大取大 ⑦≥4 r>b 一元一次不等式组的 解法及解集表示 同小取小 ⑧xb I<b 大小小大 ⑨<x≤a 取中间 大大小小 ⑩无解 取不了 常用关键词 符号 解不等式（组）的实际 大于，多于，超过，高于 > 应用题时常用的关键 小于，少于，不足，低于 < 词与不等号的关系 「2024.21] 至少，不低于，不少于 至多，不超过，不高于，不大于 ≤ 一练透真题明考向 命题点)不等式的性质 命题点③不等式（组）的应用 1.[2024贵阳南明区一模]若x<y,则下列不等式中 5.[2024贵州，21改编]为增强学生的劳动意识，养 正确的是 (C) 成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动 A.2r>2y B.x-1>y-1 实践.经学校与劳动基地联系，计划组织学生参 C.-3.x>-3y D.r-y>0 加种植甲、乙两种作物的劳动实践.如果种植 命题点2不等式（组）的解法及解集表示 3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植 2.[2024贵州，4]不等式x<1的解集在数轴上表示 2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生. 正确的是 (C) 根据以上信息，解答下列问题： (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少 0 名学生？ (2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数 不超过55人，至少种植甲作物多少亩？ (3)拓展设问在(2)的条件下，若种植1亩甲 3.[2023贵州，17(2)]已知A=-1,B=一a+3.若 作物需要200元，种植1亩乙作物需要300元， A>B,求a的取值范围 且种植甲作物的费用不超过乙作物的费用，则 解：由题意得a-1>一a十3， 有几种种植方案？ 移项，合并同类项，得2>4 解：(1)设种植1亩甲作物需要x名学生，种植 系数化为1，得a>2 1亩乙作物需要y名学生 4.[2021贵阳，17(1)]有三个不等式2.x十3<-1， 3.x+2y=27 x=5, -5.x>15,3(x-1)>6,请在其中任选两个不等 根据题意得 解得 2+2y=22, y=6. 式，组成一个不等式组，并求出它的解集 答：种植1亩甲作物需要5名学生，种植1亩乙 2x十3-1,0 解：第一种组合：一5x15,@ 作物需要6名学生 (2)设种植甲作物m亩，则种植乙作物(10一m)亩， 解不等式①，得x<一2 根据题意得5m+6(10一m)≤55，解得m≥5， 解不等式②，得x<一3 .的最小值为 ∴不等式组的解集是<一3 答：至少种植甲作物5亩 2x+3<-1,① 第二种组合： (3)设种植甲作物m亩，则种植乙作物(10一m)亩， 3(x-1)>6,② 51+6(10-m)55, 解不等式①，得x<一2， 根据题意得 200≤300(10-m), 解不等式②，得x>3,.不等式组无解。 解得5m≤6. -5.x>15,① 第三种组合： ,m为正整数， 3(x-1)>6,② m可以取5,6 解不等式①，得x<一3， 有两种种植方案，分别如下 解不等式②，得x>3,不等式组无解 方案一：种植甲作物5亩，乙作物5亩 (任选其中一种组合即可】 方案二：种植甲作物6亩，乙作物4亩。 乎请完成《情境作业本》(P10~P11)中的练习题 3 17