精品解析：山东省淄博第四中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段检测数学试卷

山东省淄博第四中学2024-2025学年高二上学期 第一次阶段检测数学试卷 命题人：徐宁 校对人：张笃芳 李唯一 本试题共四大题，6页，满分150分.考试用时120分钟. 考试结束后请将答题卡和试卷一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必将本人班级、姓名、考号、座号填涂在答题卡和答题纸相应位置. 2.答第Ⅰ卷时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在试卷上的答案无效. 3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5亳米的黑色签字笔书写，作图时，可用2B铅笔，要求字体工整，笔迹清晰.务必在题号所指示的答题区域内作答，写在试卷及草稿纸上的答案无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（ ） A. B. C. D. 2. 对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 《西游记》《红楼梦》《水浒传》《三国演义》是我国著名的四大古典小说，某学校图书室将《西游记》《红楼梦》《水浒传》《三国演义》各一本赠送给三个不同的同学，每人至少一本，则《西游记》和《红楼梦》被分给同一个同学的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 袋中有5张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，有放回的摸出两张卡片.事件“第一次摸得偶数”，“第二次摸得2”，“两次摸得数字之和大于8”，“两次摸得数字之和是6”，则（ ） A. M与Q相互独立 B. N与R相互独立 C. N与Q相互独立 D. Q与R相互独立 6. 已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（ ） A. B. C. D. 7. 口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在多面体中，侧面四边形，，是三个全等且两两垂直的正方形，平面平面，E是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 非零向量，若，则 B. 若对空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若空间四个点，则三点共线 D. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 10. 已知，是随机事件，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. ，为对立事件 C. ，相互独立 D. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（ ） A. 与平面的夹角的正弦值为 B. 点到的距离为 C. 线段的长度的最大值为 D. 与的数量积的范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为______ 13. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 14. 某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加，反之降低．则独孤队不超过四局获胜的概率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知空间向量． （1）若，求； （2）若，求的值． 16. 新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于90分）． （1）求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考情分析会，试求这组中至少有1人被抽到的概率． 17. 某停车场临时停车按停车时长收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时的免费，超过半小时的部分每小时收费3元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲､乙两人在该停车场临时停车，两人停车时长互不影响且都不超过2.5小时. （1）若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同，乙停车的时长在这三个时段的可能性也相同，求甲､乙两人停车付费之和为6元的概率； （2）若甲､乙停车半小时以上且不超过1.5小时的概率分别为，，停车1.5小时以上且不超过2.5小时的概率分别为，，求甲､乙两人临时停车付费不相同的概率. 18. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（轴、轴､轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作． （1）若，，求的斜60°坐标； （2）在平行六面体中，，，N为线段D1C1的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”． ①求的斜60°坐标； ②若，求与夹角的余弦值． 19. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省淄博第四中学2024-2025学年高二上学期 第一次阶段检测数学试卷 命题人：徐宁 校对人：张笃芳 李唯一 本试题共四大题，6页，满分150分.考试用时120分钟. 考试结束后请将答题卡和试卷一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必将本人班级、姓名、考号、座号填涂在答题卡和答题纸相应位置. 2.答第Ⅰ卷时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在试卷上的答案无效. 3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5亳米的黑色签字笔书写，作图时，可用2B铅笔，要求字体工整，笔迹清晰.务必在题号所指示的答题区域内作答，写在试卷及草稿纸上的答案无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点关于平面对称时，横坐标,纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数即可得到答案. 【详解】根据点关于平面对称时， 横坐标,纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数可知， 点关于平面的对称点为， 故选：C. 2. 对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件关系，即可判断选项. 【详解】A.事件包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以，故A正确； B.包含的事件为至少一次击中目标，为样本空间，所以B错误，C正确； D.事件与事件是对立事件，所以，故D正确. 故选：B 3. 为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解. 【详解】因为，所以，可化简为：，即， 由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C 4. 《西游记》《红楼梦》《水浒传》《三国演义》是我国著名的四大古典小说，某学校图书室将《西游记》《红楼梦》《水浒传》《三国演义》各一本赠送给三个不同的同学，每人至少一本，则《西游记》和《红楼梦》被分给同一个同学的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】古典概型的应用，找准四本书分成三组的方法总数和《西游记》与《红楼梦》分在一组时的方法总数，利用求出概率. 【详解】设《西游记》《红楼梦》《水浒传》《三国演义》这四本书分别为A、B、C、D. 将四本书分成三组的情况有、、、、、共6种. 其中A、B在一组的情况有1种，所以《西游记》和《红楼梦》被分给同一个同学的概率为． 故选：A 5. 袋中有5张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，有放回的摸出两张卡片.事件“第一次摸得偶数”，“第二次摸得2”，“两次摸得数字之和大于8”，“两次摸得数字之和是6”，则（ ） A. M与Q相互独立 B. N与R相互独立 C. N与Q相互独立 D. Q与R相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法结合古典概率求出各事件的概率，再结合相互独立事件的意义逐项分析即可. 【详解】有放回摸出两张卡片的样本空间： ，共25个结果， 事件，共10个结果，， 事件，共5个结果，， 事件，共3个结果，， 事件，共5个结果，， 对于A，，，，事件M与Q不相互独立，A错误； 对于B，，，，事件N与R相互独立，B正确； 对于C，，，，事件N与Q不相互独立，C错误； ，，，事件Q与R不相互独立，D错误. 故选：B 6. 已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据每个选项中P点的坐标，求出的坐标，计算，根据结果是否等于0，结合线面垂直的性质，即可判断点是否在平面内. 【详解】对于选项A，，所以， 根据线面垂直的性质可知,故在平面内； 对于选项B，，则， 在平面内，根据线面垂直的性质可知,故不在平面内； 对于选项C，，则， 在平面内，根据线面垂直的性质可知,故不在平面内； 对于选项D，，则， 在平面内，根据线面垂直的性质可知,故不在平面内； 故选：A 7. 口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，计算，判断AD；分析事件,以及，并求对应的概率，即可判断BC. 【详解】设红球为，白球为，黄球为， 其中任取两个球的所有样本点包含，共15个， 事件所包含的样本点为，共4个， 所以， 故A错误； 表示取到的2个球，一个黄球一个白球，包含的样本点有，共6个，所以，故B错误； 事件是含有1个白球与含有两个白球的两个互斥事件和，事件是含有1个白球 或没有白球的两个互斥事件和， 事件是必然事件，因此，故C正确； 事件与是对立事件，所以，故D错误. 故选：C 8. 如图，在多面体中，侧面四边形，，是三个全等且两两垂直的正方形，平面平面，E是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把该几何体补成一个正方体，设该正方体的棱长为，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面的法向量和向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由多面体中，侧面四边形，，是三个全等且两两垂直的正方形，平面平面， 可把该几何体补成一个正方体，设该正方体的棱长为，如图所示， 以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 可得， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成角为，其中， 则， 则，即直线与平面所成角的余弦值为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 非零向量，若，则 B. 若对空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若空间四个点，则三点共线 D. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间向量的性质，以及共面向量定理，即可判断选项. 【详解】A. 非零向量，若，则，故A正确； B. ，，所以四点不共面，故B错误； C.若，，所以三点共线，故C正确； D.若，则， 所以，，是共面向量，所以不能作为基底，故D错误. 故选：AC 10. 已知，是随机事件，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. ，为对立事件 C. ，相互独立 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用对立事件、互斥事件、相互独立事件的性质直接求解. 【详解】，是随机事件，，且， 对于A， ，即， ，即， 又，故，A正确； 对于BCD，因为， 所以，由于，， 则，所以，不是对立事件； 又，所以，不是相互独立事件，故BC错误，D正确. 故选：AD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（ ） A. 与平面的夹角的正弦值为 B. 点到的距离为 C. 线段的长度的最大值为 D. 与的数量积的范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】建系，标点，设，根据向量垂直可得.对于A：利用空间向量求线面夹角；对于B：利用空间向量求点到线的距离；对于C：根据空间向量的模长公式分析求解；对于D：根据空间向量的数量积分析求解. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 可得，， 若，则，可得， 则，解得，即. 对于选项A：可知平面的法向量， 则， 所以与平面的夹角的正弦值为，故A正确； 对于选项B：因为， 所以点到的距离为，故B正确； 对于选项C：因为， 则， 且，可得当且仅当时，取到最大值， 所以线段的长度的最大值为3，故C错误； 对于选项D：因为，， 则， 且，可知当时，取到最小值； 当时，取到最大值； 所以与的数量积的范围是，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，利用坐标运算求解即可. 【详解】由投影向量的定义可知， ， 故答案为： 13. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 【答案】 【解析】 【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可． 【详解】根据题意可得基本事件数总为个. 点数和为5的基本事件有，，，共4个. ∴出现向上的点数和为5的概率为. 故答案为：. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14. 某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加，反之降低．则独孤队不超过四局获胜的概率为__________． 【答案】0.236 【解析】 【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】设为独孤队第局取胜， 由题意，独孤队取胜的可能结果为四个互斥事件：，，，， 所以独孤队取胜的概率 ． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知空间向量． （1）若，求； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量共线定理，列式求解x的值，则得，由向量模的坐标运算求解即可； （2）利用向量垂直的坐标表示，求出x的值，则得，由空间向量的夹角公式求解即可． 【小问1详解】 空间向量，，， 因为，所以存在实数k，使得， 所以，解得，所以， 则． 【小问2详解】 因为，则，解得， 所以， 故． 16. 新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于90分）． （1）求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考情分析会，试求这组中至少有1人被抽到的概率． 【答案】（1），平均分为； （2） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1可计算出值，然后用每组区间的中点值乘以相应频率再相加可得平均值； （2）由频率分布直方图得出成绩位于和上的人数，并编号，用列举法写出随机抽取的2人的所有基本事件，由概率公式计算概率． 【小问1详解】 由频率分布直方图，，， 平均分为； 【小问2详解】 由频率分布直方图得出成绩位于和上的人数比为， 抽取的6人中成绩位于上的有4人，编号为1，2，3，4，位于上的有2人，编号为， 从这6人中任取2人的基本事件有：共15个，其中这组中至少有1人被抽到的基本事件有共9个，所以所求概率为． 17. 某停车场临时停车按停车时长收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时的免费，超过半小时的部分每小时收费3元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲､乙两人在该停车场临时停车，两人停车时长互不影响且都不超过2.5小时. （1）若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同，乙停车的时长在这三个时段的可能性也相同，求甲､乙两人停车付费之和为6元的概率； （2）若甲､乙停车半小时以上且不超过1.5小时的概率分别为，，停车1.5小时以上且不超过2.5小时的概率分别为，，求甲､乙两人临时停车付费不相同的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件及列举法写出基本事件，结合古典概型的计算公式即可求解； （2）根据互斥事件及相互独立事件的概率公式，结合对立事件的概率计算公式即可求解. 【小问1详解】 设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中a，. 所以甲､乙两人停车付费（a，b）的所有可能情况为：（0，0），（0，3），（0，6），（3，0），（3，3），（3，6），（6，0），（6，3），（6，6），共9种. 其中事件“甲､乙两人停车付费之和为6元”包含（0，6），（3，3），（6，0），共3种情况， 故甲､乙两人停车付费之和为6元的概率为. 【小问2详解】 设甲停车的时长不超过半小时､乙停车的时长不超过半小时分别为事件，， 甲停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时､乙停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时分别为事件，， 甲停车的时长为1.5小时以上且不超过2.5小时､乙停车的时长在1.5小时以上且不超过2.5小时分别为事件，， 则，， 所以甲､乙两人临时停车付费相同的概率为. 所以甲､乙两人临时停车付费不相同的概率为. 18. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（轴、轴､轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作． （1）若，，求的斜60°坐标； （2）在平行六面体中，，，N为线段D1C1的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”． ①求的斜60°坐标； ②若，求与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】对于小问（1），因为，，可以通过“空间斜60°坐标系”的定义，化简为，，再计算的斜60°坐标. 对于小问（2），设，，分别为与，，同方向的单位向量，则，，，①中，通过平行六面体得到，从而得到的斜60°坐标； ②中，因为，所以，结合①中的的斜60°坐标，并通过，计算与夹角的余弦值. 【小问1详解】 由，， 知，， 所以，所以； 【小问2详解】 设，，分别为与，，同方向的单位向量， 则，，， ①， . ②因为，所以， 则， ∵， . ∴， ， 所以与的夹角的余弦值为 19. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因为，分别为，的中点，所以. 因为，所以，所以. 又，，平面， 所以平面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由中位线和垂直关系得到，，从而得到线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出线面角的正弦值； （3）求出两平面的法向量，根据二面角的正弦值列出方程，求出，得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，，所以，，两两垂直. 以为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意有，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量， 则有 令，得，，所以是平面的一个法向量. 因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 假设存在，使二面角的正弦值为， 即使二面角的余弦值为. 由（2）得，， 所以，，. 易得平面的一个法向量为. 设平面的法向量， ， 解得，令，得， 则是平面的一个法向量. 由图形可以看出二面角的夹角为锐角，且正弦值为， 故二面角的余弦值为， 则有， 即，解得，. 又因为，所以. 故存在，使二面角的正弦值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $