精品解析：重庆市渝中区重庆市巴蜀中学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

重庆市重庆市渝中区重庆市巴蜀中学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解． 【详解】解：∵， ∴的倒数是. 故选C 2. 已知的半径为3，圆心到直线的距离为2，则与直线的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相交或相离 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是圆与直线的位置关系．判断直线和圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为．①直线和相交，②直线和相切，③直线和相离．圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，直线与圆相切． 【详解】解：圆心到直线的距离圆的半径3， 直线与圆的位置关系为相交． 故选：B 3. 观察下列每组三角形，不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．利用相似三角形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知：A中，能判定相似，选项正确，故不符合题意； B中，即夹角相等，能判定相似，选项正确，故不符合题意； C中只有一组角相等，不能判定相似，故符合题意， D 中有一组角相等，且对顶角相等，故有两组角相等的三角形相似，选项正确，故不符合题意； 故选：C． 4. 如图，在中，，下列三角函数表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的运算，根据正弦值是对边与斜边的比值，余弦值是邻边与斜边的比值，正切值是对边与邻边的比值，进行逐个计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， 故选：D． 5. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据可得相似比为，再根据位似比即相似，相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此即可求解． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，， ∴，且， ∴， ∴， 故选：A． 6. 已知，则整数的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的减法运算，无理数的估算等知识．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，二次根式的减法运算，无理数的估算是解题的关键． 由题意知，，由，可得，然后求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， ∵， ∴整数的值是4， 故选：C． 7. “链状烷烃”是一种无环的饱和烃类化合物，它们的分子结构是一个直线状的碳原子链，每个碳原子与两个氢原子和两个相邻碳原子相连.“链状烷烃”的分子式如、可分别按如图对应展开，则中的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现字母“”和“”个数变化的规律是解题的关键．先根据已知图形得出第个图形中字母“”的个数为，字母“”的个数为，然后将代入求出m的值即可． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图形中字母“”的个数为：1，字母“”的个数为：； 第2个图形中字母“”的个数为：2，字母“”的个数为：； 第3个图形中字母“”的个数为：3，字母“”的个数为：； ， 所以第个图形中字母“”的个数为，字母“”的个数为， 当时，（个， 即中的值是． 故选：B． 8. 如图，过正六边形内切圆圆心的两条直线夹角为，圆的半径为，则图中阴影部分面积之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，记与交于点，与交于点，作于，于，连接，记与交点为，由正六边形，可知，，，，，由正六边形内切圆的半径为，可得，设，则，由勾股定理得，，可求，则正六边形的边长为2，证明，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，记与交于点，与交于点，作于，于，连接，记与交点为， ∵正六边形， ∴，，，，， ∵正六边形内切圆的半径为， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，， ∴正六边形的边长为2， ∵过正六边形内切圆圆心的两条直线夹角为， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正多边形的内角和，含的直角三角形，勾股定理，扇形面积等知识．明确阴影部分的面积是解题的关键． 9. 如图，在矩形中，为对角线上一点，连接，过点作交延长线于，若，则的值为（ ） A 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．过点E作于点N，延长交于M，证明四边形是矩形，四边形是矩形，设，则，由得到，证明，则，得到，则，得到，勾股定理得到，即可得到答案． 【详解】解：过点E作于点N，延长交于M， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 设，则 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C 10. 有两个依次排列的代数式：，用第二个代数式减去第一个代数式得到，将加8得到，将第2个代数式与相加得到第3个代数式，将加8得到，将第3个代数式与相加得到第四个代数式，……依此类推.则以下结论： ①； ②当第个代数式的值为时，或； ③ (n为正整数) ．其中正确个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可推导一般性规律为，；第个代数式为；则，可判断①的正误；当第个代数式的值为时，，可求或，可判断②的正误；，可判断③的正误． 详解】解：由题意知，， ， 第3个代数式为， ， 第四个代数式为， ， 第5个代数式为， …… ∴可推导一般性规律为，； 第个代数式； ∴，正确，故①符合要求； 当第个代数式的值为时， ，整理得，， ∴， 解得，或，错误，故②不符合要求； ，正确，故③符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的加减混合运算，整式的规律探究，完全平方公式，直接开平方法解一元二次方程等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算．熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 由题意知，． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 12. 如果，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，分式求值．熟练掌握比例的性质，分式求值是解题的关键． 由，可得，然后代入计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 13. 《周髀算经》中记载∶“偃矩以望高”，是指把“矩”(图中)的一边仰着放平，可以测量高度．如图，“矩”的一边紧贴地面，和旗杆均垂直地面．测得长，长，长，则旗杆的高度为___________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意可得，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵和均为直角， ∴， ∴， ∵长，长，长， ∴， ∴． 故答案为：7． 14. 如图，电路图上有1个小灯泡和3个开关，当电源开启后，随机选择并闭合其中2个开关，小灯泡发光的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列举法求概率．列举出所有可能的结果是解题的关键． 利用列举法求概率即可． 【详解】解：由题意知，共有闭合，，，3种等可能的结果，其中闭合，时小灯泡发光， ∴小灯泡发光的概率为， 故答案为：． 15. 如图，和均为直角三角形，点为中点，若，则的长为___________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意可证，由相似三角形的性质可得，根据点为中点，设，则，由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴设，则， ∴，则， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为： ． 16. 如果关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有负整数解，那么符合条件的所有整数的和是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组，分式方程的综合，根据一元一次不等组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”可得，再根据解分式方程可得，且，是整数，分式方程的解是负整数，由此可确定整数的值为或，由此即可求解． 【详解】解：， 由①得，， ∵关于的不等式组的解集为， ∴， 解得，， 分式方程， 移项得，，整理得， 两边同时乘以得，， 解得，， ∵关于的分式方程有负整数解， ∴，即，且， ∵， ∴，即， 解得，， ∴，且，是整数， ∴当时，的值不是负整数，不符合题意，舍去； 当时，；当时，；符合题意； ∴符合条件的所有整数的值为或， ∴， 故答案为： ． 17. 以为直径的与相切于点，弦于点连接并延长交于点F、交于点，连接．若．则___________，___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由勾股定理得，，由垂径定理可求；由与相切于点，可得，则，，如图，连接，，由圆周角定理可得，则，，证明四边形是平行四边形，则，，，证明，则，，，如图，过作的延长线于，设，则，证明，则，即，可求，由勾股定理得，，即，可求满足要求的解为，则，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵为直径，， ∴， 由题意知，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴， 如图，连接，， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 如图，过作的延长线于， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等角对等边，平行四边形的判定与性质等知识．熟练掌握切线的性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等角对等边，平行四边形的判定与性质是解题的关键． 18. 如果一个四位数满足各数位上的数字都不为0，将它的千位数字与百位数字之积记为，十位数字与个位数字之和记为，记，若为整数，则称这个四位数为“公正数”.例如：是整数，是“公正数”;不是整数，不是“公正数”.请问最大的“公正数”是___________.若自然数和都是“公正数”，其中，且为整数)，的千位上的数字比百位上的数字大1，十位上的数字比个位上的数字大2，且，规定:，则的最大值是___________. 【答案】 ①. 9981 ②. 【解析】 【分析】此题考查了数字的规律、解一元二次方程等知识， （1）根据“公正数”的定义求出即可； （2）求出，设百位上的数字为，个位数上的数字为，则千位上的数字为，十位上的数字为，其中且，为整数，由题意得到，求出，即，进一步进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴是“公正数”， 则最大的“公正数”是； 且为整数）， ∴m可为：7823，7834，7845，7856， ∵m是“公正数”， ，， ∵的千位上的数字比百位上的数字大1，十位上的数字比个位上的数字大2， 设百位上的数字为，个位数上的数字为，则千位上的数字为，十位上的数字为，其中且，为整数， ， ， ，即， 当时，，解得（负根已经舍去）； 当时，，解得，（负根已经舍去）；其他情况不满足题意， ①当，时， ， ； ②当，时 ， ； ∴k的值为或． 即最大值为； 故答案为：， 三、解答题(本大题8个小题，19题10分，20题8分，21-26题各10分) 19. 计算: （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，分式的乘除混合运算， （1）先算零次幂，去绝对值，二次根式的性质化简，再根据实数的加减运算法则计算即可； （2）根据分式的除法运算法则，运用乘法公式分解因式，将除法变成乘法，能约分的要约分，再分子乘分子作积的分子，分母乘分母作积的分母，由此即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 学习小组在学习菱形时，进行了进一步地深入研究，他们发现，过菱形的一个顶点作对边的垂线，两个垂足的连线与菱形的这个顶点所引的对角线垂直．请你根据他们的想法与思路，完成以下作图与填空． （1）如图，在菱形中，用尺规过点A作的垂线，垂足为，连接 (不写作法，保留作图痕迹)． （2）已知：在菱形中，为对角线，于点于点，连接EF，求证：． 证明：四边形是菱形，为对角线， ① ， ， ② ， ， ， ③ ， 又， ． 同学们进行了更进一步的研究：两个垂足的连线与菱形的另一条对角线存在怎样的位置关系呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论： ④ 【答案】（1）见解析 （2），，，，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识点，灵活运用相关性质和判定定理成为解题的关键． （1）直接根据要求尺规作图即可； （2）根据菱形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定进行分析论证即可解答． 【小问1详解】 解：如图：线段即为所求． 【小问2详解】 证明∶四边形是菱形，为对角线， ， ， ， ， ， ， 又， ． 猜想：两个垂足的连线与菱形的另一条对角线存在的位置关系为：． 证明如下： ∵菱形中，、为对角线， ∴， ， ∴． 故答案为：，，，． 21. 人工智能是当前科技领域的热门话题，具有广泛的应用和巨大的发展潜力．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对人工智能的关注与了解程度就越高．现分别从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用表示，且得分为整数，共分为5组．A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分的所有数据为： 九年级被抽取的学生测试得分中组包含的所有数据为： 八年级、九年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数 众数 中位数 八年级 79 a 84 九年级 79 88 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：____________，____________，____________； （2）根据以上数据，你认为该校八年级、九年级哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高?请说明理由（一条理由即可） （3）在八年级抽取的学生测试成绩得分90及以上的4人中，分别为2名男同学与2名女同学，现从这4名同学中随机选出2名同学参加比赛，请用列表或树状图的方法，求所选2名学生中恰好是1名男同学与1名女同学的概率． 【答案】（1）84，，40 （2） 九年级更高．理由如下： 因为八，九年级成绩的平均数相同，但九年级成绩的中位数大于八年级成绩的中位数，且九年级成绩的众数大于八年级成绩的众数，， 所以九年级的学生对事件的关注与了解程度更高； （3） 【解析】 【分析】本题考查了数据统计分析，树状图或列表法求概率，以及用样本估计总体，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）根据众数的定义确定八年级的众数a；根据中位数的定义确定九年级的中位数b；再求出九年级D组所占的百分比即可； （2）根据平均数或中位数或众数的意义回答即可； （3）依题意，先画出树状图，再求概率，即可作答． 【小问1详解】 八年级被抽取的学生测试得分的所有数据中，84出现5次是出现次数最多的数据， ； 九年级被抽取的学生测试得分组有：（个），组有：（个），组有：（个）， 九年级被抽取的学生测试得分的中位数是组的第1、2个的平均数， 组数据从小到大排序后为： ． 九年级被抽取的学生测试得分的中位数是组共有8个数据， ． 故答案为：84，，40； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：画树状图如图： 共有12个等可能的结果，所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的结果有8个， ∴所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率为． 22. 某经销商准备进货两种饰品，饰品每件进价元，饰品每件进价元，共进货件饰品，且进货两种饰品所需的成本之和为元． （1）求两种饰品分别进货多少件? （2）后来商家发现：若在一个新渠道进货两种饰品，两种饰品的进价均会便宜相同的金额元，经过计算发现，在新的进货渠道中若仍用元投入进货，且分别用于两种饰品的进货额均不变，则进货两种饰品的数量相同，求的值． 【答案】（1）两种饰品分别进货件、件 （2）为 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组，分式方程的运用， （1）设两种饰品分别进货x件、y件，根据数量关系列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意，分别算出的进货金额，由此列分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：设两种饰品分别进货x件、y件， 由题意得：， 解得：， 答：两种饰品分别进货件、件． 【小问2详解】 解：饰品进货额，B饰品进货额， 由题意得：， 解得：， 经检验：为原分式方程的解且符合题意， 答：为． 23. 如图，在四边形中，，，连接交于点，，且． （1）求的长； （2）若，求的长． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题考查了正切，勾股定理，平行线的性质等知识．熟练掌握正切，勾股定理，平行线的性质是解题的关键． （1）由，可得，即，设，则，，由勾股定理得，，可求，进而可求； （2）如图，过C作于F，由，可得，则，设，则，由勾股定理得，，可求，则，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， ∴的长为6； 【小问2详解】 解：如图，过C作于F， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，， ∴，， 由勾股定理得，， ∴的长为． 24. 电动汽车在汽车市场占有率越来越高，耗电量也成为了大家关注的重点．研发人员在实验室进行了模拟实验，记录了一款电车在理想状态下的耗电量(测电单位)与车速(测速单位，且)之间的数据．但是电动汽车在实际使用时，耗电量受诸多因素的影响，在车身重量，路况，气温等因素恒定的情况下，研发人员又记录了该电车的实际耗电量(测电单位)与车速(测速单位，且)之间的数据．部分数据如下表:（注:速度为0时，通电状态下仍会消耗电） 0 1 2 3 4 5 10 20 25 30 35 5 17 22 25 27 28 （1）补全表格； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）结合函数图象，该电车在理想状态下与实际测试中耗电量相同时，车速约为____________测速单位（结果保留小数点后一位，误差不超过)． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的应用，数形结合是解答本题的关键． （1）根据题意，补全表格； （2）根据（1）的表格，描点，连线，即可画出这两个函数的图象； （3）找到两图象的交点，即可求解． 【小问1详解】 解：观察表格，车速每增加一个单位，耗电量增加5个单位， 则当时，， 补全表格如图； 0 1 2 3 4 5 10 15 20 25 30 35 5 17 22 25 27 28 【小问2详解】 解：描点，连线，画出这两个函数的图象如图； ； 【小问3详解】 解：观察图象，当时，， 即车速约为测速单位， 故答案为：． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点，其中，，抛物线的对称轴是直线， （1）求抛物线的表达式； （2）平分交轴于，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作交直线于点，交直线于点，点是线段上一动点，连接，当线段取最大值时，求的最小值； （3）如图2，连接，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点，且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）的最小值 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据可得，根据对称轴可得，运用待定系数法即可求解； （2）根据二次函数图象的性质，分别求出点的坐标，确定直线的解析式为，根据三角函数的计算可得，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，交于点，且，可得，设，用含的式子表示出的值，根据二次函数求最值的方法确定点的坐标及，如图所示，连接，根据三角形三边数量关系可得当轴时，即点与点重合时，的值最小，即时的值最小，由此即可求解； （3）根据二次函数图象的平移可得新的二次函数解析式为，再运用三角函数的计算可得，则点关于轴的对称点是点，则，求出直线的解析式，如图所示，延长交新抛物线与点，联立直线与新抛物线解析式为二元一次方程组求解可得点的坐标；当时，可得轴，得到点的纵坐标为，且点在新抛物线的图象上，代入计算即可求解的坐标，由此即可求解． 【小问1详解】 解：∵，抛物线的对称轴是直线， ∴，， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：已知，对称轴为， ∴，即， 解得，， ∴， 在抛物线中，当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴，，且， ∴， ∴，则， ∵是的角平分线， ∴， 如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，交于点，且， ∵，轴，， ∴， ∴在中，， 已知点是直线上方抛物线上的一动点， ∴设，则，， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， 在中，，则， ∴， ∴， ∴， ∵，对称轴为， ∴当时，有最大值， ∴，即， 如图所示，连接，且， ∴在中，， 当轴时，即点与点重合时，的值最小，即时的值最小， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：二次函数解析式为， ∵将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点，且， ∴移动规律为：向左平移个单位，向上平移个单位， ∴平移后的二次函数解析式为， ∵，， ∴在中，， ∴， ∵， ∴点关于轴的对称点是点，则， 如图所示，延长交新抛物线与点， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立直线与新抛物线解析式为方程组得， ， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去），， ∴； 当时， ∵， ∴，则， ∴， ∴， ∴轴， ∴点的纵坐标为，且点在新抛物线的图象上， ∴， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去），， ∴； 综上所述，点为新抛物线上的一个动点当时，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数，二次函数解析式，二次函数与图形的综合，含角的直角三角形的性质，解直角三角形的运用，三角形三边数量关系确定线段最小值，二次函数图象的平移，二次函数与二元一次方程组计算交点等问题的综合运用，掌握二次函数图象的性质，与几何图形的综合运用，图形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． 26. 如图，中，，，为等边三角形，且点，，共线， （1）如图1，当点为中点时，与交于点，，求的长； （2）如图2，当点在的延长线上时，连接交于点，请用等式表示与的数量关系，并证明； （3）如图3，当点在上，，点、分别是线段、射线上的点，满足，连接，将绕点逆时针旋转得，连接、，请直接写出当为等腰三角形时的度数． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）或或 【解析】 【分析】（1）过点作延长线于点，证，是等边三角形，求出，则可求出，则可得，再求出和，最后利用勾股定理即可解决； （2）在延长线上截取，连接，，证明，再证，易得为的中位线，即可求证； （3）过点作交于点，连接，先通过证明，证，则，再分当时，当时，当时，三种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作延长线于点， ∵为等边三角形，点为中点， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，在延长线上截取，连接，， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点作交于点，连接， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ①当时，如图： ∴； ②当时，如图： ∴； ③当时，如图： ∴； 综上，的度数为或或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，中位线的性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握这些判定与性质，并可以根据题中信息正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市重庆市渝中区重庆市巴蜀中学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为3，圆心到直线的距离为2，则与直线的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相交或相离 3. 观察下列每组三角形，不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，下列三角函数表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，，则（ ） A 3 B. 6 C. 9 D. 6. 已知，则整数的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. “链状烷烃”是一种无环的饱和烃类化合物，它们的分子结构是一个直线状的碳原子链，每个碳原子与两个氢原子和两个相邻碳原子相连.“链状烷烃”的分子式如、可分别按如图对应展开，则中的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，过正六边形内切圆圆心的两条直线夹角为，圆的半径为，则图中阴影部分面积之和为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，为对角线上一点，连接，过点作交延长线于，若，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 有两个依次排列的代数式：，用第二个代数式减去第一个代数式得到，将加8得到，将第2个代数式与相加得到第3个代数式，将加8得到，将第3个代数式与相加得到第四个代数式，……依此类推.则以下结论： ①； ②当第个代数式的值为时，或； ③ (n为正整数) ．其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. ___________． 12. 如果，那么___________． 13. 《周髀算经》中记载∶“偃矩以望高”，是指把“矩”(图中)的一边仰着放平，可以测量高度．如图，“矩”的一边紧贴地面，和旗杆均垂直地面．测得长，长，长，则旗杆的高度为___________． 14. 如图，电路图上有1个小灯泡和3个开关，当电源开启后，随机选择并闭合其中2个开关，小灯泡发光的概率是___________． 15. 如图，和均为直角三角形，点为中点，若，则的长为___________. 16. 如果关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有负整数解，那么符合条件的所有整数的和是___________． 17. 以为直径的与相切于点，弦于点连接并延长交于点F、交于点，连接．若．则___________，___________． 18. 如果一个四位数满足各数位上的数字都不为0，将它的千位数字与百位数字之积记为，十位数字与个位数字之和记为，记，若为整数，则称这个四位数为“公正数”.例如：是整数，是“公正数”;不是整数，不是“公正数”.请问最大的“公正数”是___________.若自然数和都是“公正数”，其中，且为整数)，的千位上的数字比百位上的数字大1，十位上的数字比个位上的数字大2，且，规定:，则的最大值是___________. 三、解答题(本大题8个小题，19题10分，20题8分，21-26题各10分) 19. 计算: （1）； （2）． 20. 学习小组在学习菱形时，进行了进一步地深入研究，他们发现，过菱形的一个顶点作对边的垂线，两个垂足的连线与菱形的这个顶点所引的对角线垂直．请你根据他们的想法与思路，完成以下作图与填空． （1）如图，在菱形中，用尺规过点A作的垂线，垂足为，连接 (不写作法，保留作图痕迹)． （2）已知：在菱形中，为对角线，于点于点，连接EF，求证：． 证明：四边形菱形，为对角线， ① ， ， ② ， ， ， ③ ， 又， ． 同学们进行了更进一步研究：两个垂足的连线与菱形的另一条对角线存在怎样的位置关系呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论： ④ 21. 人工智能是当前科技领域的热门话题，具有广泛的应用和巨大的发展潜力．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对人工智能的关注与了解程度就越高．现分别从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用表示，且得分为整数，共分为5组．A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分的所有数据为： 九年级被抽取的学生测试得分中组包含的所有数据为： 八年级、九年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数 众数 中位数 八年级 79 a 84 九年级 79 88 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：____________，____________，____________； （2）根据以上数据，你认为该校八年级、九年级哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高?请说明理由（一条理由即可） （3）在八年级抽取的学生测试成绩得分90及以上的4人中，分别为2名男同学与2名女同学，现从这4名同学中随机选出2名同学参加比赛，请用列表或树状图的方法，求所选2名学生中恰好是1名男同学与1名女同学的概率． 22. 某经销商准备进货两种饰品，饰品每件进价元，饰品每件进价元，共进货件饰品，且进货两种饰品所需成本之和为元． （1）求两种饰品分别进货多少件? （2）后来商家发现：若在一个新渠道进货两种饰品，两种饰品的进价均会便宜相同的金额元，经过计算发现，在新的进货渠道中若仍用元投入进货，且分别用于两种饰品的进货额均不变，则进货两种饰品的数量相同，求的值． 23. 如图，在四边形中，，，连接交于点，，且． （1）求的长； （2）若，求长． 24. 电动汽车在汽车市场占有率越来越高，耗电量也成为了大家关注的重点．研发人员在实验室进行了模拟实验，记录了一款电车在理想状态下的耗电量(测电单位)与车速(测速单位，且)之间的数据．但是电动汽车在实际使用时，耗电量受诸多因素的影响，在车身重量，路况，气温等因素恒定的情况下，研发人员又记录了该电车的实际耗电量(测电单位)与车速(测速单位，且)之间的数据．部分数据如下表:（注:速度为0时，通电状态下仍会消耗电） 0 1 2 3 4 5 10 20 25 30 35 5 17 22 25 27 28 （1）补全表格； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）结合函数图象，该电车在理想状态下与实际测试中耗电量相同时，车速约为____________测速单位（结果保留小数点后一位，误差不超过)． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点，其中，，抛物线的对称轴是直线， （1）求抛物线的表达式； （2）平分交轴于，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作交直线于点，交直线于点，点是线段上一动点，连接，当线段取最大值时，求的最小值； （3）如图2，连接，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点，且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 26. 如图，中，，，为等边三角形，且点，，共线， （1）如图1，当点为中点时，与交于点，，求的长； （2）如图2，当点在的延长线上时，连接交于点，请用等式表示与的数量关系，并证明； （3）如图3，当点在上，，点、分别是线段、射线上的点，满足，连接，将绕点逆时针旋转得，连接、，请直接写出当为等腰三角形时的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $