精品解析：贵州省遵义市2025届高三第一次适应性考试数学试卷

遵义市2025届高三年级第一次适应性考试试卷 数学 （满分：150分，时间：120分钟） 注意事项： 1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码. 2.选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上. 1. 已知复数，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的模和共轭复数的概念即可判断. 【详解】对A，，，则，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，显然，故C错误； 对D，，则，故D错误. 故选：A. 2. 若奇函数是定义在上的增函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，由函数定义域即可判断；对于B，先得函数定义域，接着利用导数工具得函数的单调性，再由得函数奇偶性即可判断B；对于C，由函数的奇偶性即可判断；对于D，由即可判断得解. 【详解】由题函数是定义域为的奇函数，且在定义域上单调递增. 对于A，定义域为，故A错误； 对于B，函数定义域为，因为函数和是定义在上的增函数， 故函数是定义在上的增函数， 又，故函数为奇函数，故B正确； 对于C，函数定义域，， 故函数为偶函数，故C错误； 对于D，因为，故函数在定义域上不是增函数，故D错误. 故选：B. 3. 已知集合，，若集合且，则的子集的个数为（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】首先求集合中的元素，再根据集合的元素个数，代入公式，即可求解. 【详解】由条件可知，，，，，，， 所以集合，集合的子集的个数为个. 故选：C 4. 如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为，斜边为（、、均为正数）.则，”.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（ ） A. 9 B. 18 C. 27 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，结合基本不等式即可得的最小值. 【详解】由题可知， 则，即，所以，当且仅当时，等号成立 又“赵爽弦图”的面积为， 所以当时，“赵爽弦图”的最小面积为. 故选：B. 5. 设，，.则（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指对互化，结合对数函数的单调性可比较大小，根据对数函数的单调性，结合对数的运算即可比较的大小，从而得结论. 【详解】因为，所以， 又因为函数在上递增，所以，即， 因为函数在上递增， 所以， 则，即，即， 综上可得：. 故选：D. 6. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 的图象恒过点 B. 的图象必与轴有两个不同的交点 C. 的最小值可能为 D. 的最小值可能为 【答案】D 【解析】 【分析】举反例求与判别式可判断AB，求函数的最小值，再判断范围，即可判断CD. 【详解】A.当时，， 所以的图象不恒过点，故A错误； B.当时，， 此时的图象必与轴只有1个交点，故B错误； CD， 则的最小值为， 所以函数的最小值不可能是，可能为，故C错误，D正确. 故选：D. 7. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题得，接着由已知结合两角差的正弦公式即可计算求解. 【详解】由题 ， 所以. 故选：C. 8. 在矩形中，，，为的中点，将和分别沿，折起，使点与点重合，记为点，若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断两两互相垂直，再补体成为长方体，利用长方体和四棱锥是同一个外接球，即可求半径，求球的表面积. 【详解】依题意，，，，平面， 则平面， ，，即有，则， 由此可将三棱锥补成以为相邻三条棱的长方体， 若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则该长方体的各顶点亦在球的球面上， 设球的半径为，则该长方体的体对角线长为， 所以球的表面积. 故选：B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，函数，下列选项正确的是（ ） A. 方程无实数解 B. 方程有且仅有两个解 C. 方程有且仅有三个解 D. 方程有且仅有四个解 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由题等价于，解方程即可判断A；对于B，直接解方程即可得判断；对于C，直接解方程即可得解判断；对于D，由题等价于，解方程即可得解. 【详解】对于A，由题可知，故等价于， 即，故方程有实数解，故A错误； 对于B，方程即， 故，解得，故B正确； 对于C，方程即， 故解方程得或，故C正确； 对于D，因为，方程等价于， 故由函数得方程的解为，故D错误. 故选：BC. 10. 数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，又称黄金分割该数列，从第三项开始，各项等于其前相邻两项之和，即（），则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据递推公式进行验证． 【详解】由已知，A正确； ，B正确； ，C错； ，D正确， 故选：ABD． 11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象为中心对称图形 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】用反证法证明最小正周期为，从而判断A，对周期函数，其图象有对称中心，则在一个周期内必有对称中心，最低点到相邻的最高点（如果有）连线段中点就是对称中心，由此结合反证法判断B，由判断C，利用周期性，只要在一个周期内考虑去绝对值符号后求得最值可得值域，从而判断D． 【详解】选项A，若最小正周期，首先， 时，， ，时，，， 所以，设， ，在上是增函数， 又时，，时，，因此， 所以不可能有，即不可能是的周期， 又， 所以是函数的一个周期，综上最小正周期是，A正确； 选项B， 由此讨论知是函数的最小值， 时，， 在时是递增函数，在上递增，在上递减，又是以为周期的周期函数， 在上递增，在上递减， 所以在上递增，在上递减，其中， 假设的图象有对称中心，则上也有一个对称中心，而在上函数图象的最高点是，最低点是，因此对称中心应为， 而， ，因此点不可能是图象的对称中心， 所以的图象没有对称中心，B错； 选项C，， 所以函数的图象关于直线对称，C正确； 选项D，由选项A知，的周期是，而在上的值域是， 所以函数的值域为，D正确． 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：含有绝对值的函数问题有一定的难度，解决方法是根据绝对值的定义或者用换元法去掉绝对值符号，本题中函数为周期函数，因此可有一个周期内进行讨论，从而容易去掉绝对值符号，把函数化简．在与同时出现时，设，用换元法变换函数式进行研究是常用方法． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ，关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质得，即可求解. 【详解】由题意可知，，得. 故答案为： 13. 在多项式的展开式中，的系数为32，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先展开得，再分别计算两部分含的系数，即可求解. 【详解】， 中含的系数为，中含的系数为，所以中的系数为， 所以，得 故答案为： 14. 定义在上的偶函数满足，则______；______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】在中令即可得的值；结合函数的偶函数性质与，换元转化可得函数是周期为的函数，赋值求解的值，从而求得的值，由周期即可得所求. 【详解】因为，令可得，，所以； 函数为偶函数，则， 因为，所以，则， 又，所以，则有， 因此可得，故函数是周期为的函数； 在中，令可得， 又，所以， 令可得，又，所以， 则， 所以. 故答案为：；. 第Ⅱ卷 四、解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知公差为2的等差数列和公比为2的等比数列满足：，. （1）求和； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差等比数列结合已知条件求数列的通项公式即可； （2）利用错位相减法求出数列的和． 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则， 又，所以，即，所以； 设等比数列的公比为，则， 由，得，所以 【小问2详解】 ． ， ． 两式相减可得： ， ． 16. 记的内角，，对应的三边分别为，，，且. （1）求； （2）若，求的周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换可得，结合角度范围与正弦函数值即可得角的大小； （2）利用正弦定理边化角可得，结合三角恒等变换将周长转化为关于角的正弦型函数，利用正弦型函数的性质即可得的周长的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以，即， 因为，所以，即； 【小问2详解】 因为，，由正弦定理得， 则，又， 则，且， 所以 因为，所以，则， 所以， 综上可知，三角形的周长的取值范围是． 17. 已知4台车床加工的同一种零件共计1000件，其中第一台加工200件，次品率为5%；第二台加工250件，次品率为6%；第三台加工250件，次品率为8%；第四台加工300件，次品率为10%.现从这1000件零件中任取一个零件. （1）求取到的零件是次品的概率； （2）若取到的零件是次品，求它是第（其中）台车床加工的零件的概率. 【答案】（1） （2）分别． 【解析】 【分析】（1）用样本估计总体，由所有次品总数除以1000即可得； （2）求出各台机床产生的次品数，分别除以总次品数即可得． 【小问1详解】 由题意所求概率为； 【小问2详解】 由题意第一台车床加工的零件中次品数约为，第二台车床加工的零件中次品数约为， 第三台车床加工的零件中次品数约为，第四台车床加工的零件中次品数约为， ， 所以取到的零件是次品，它是第一台车床加工的零件的概率为，它是第二台车床加工的零件的概率为， 它是第三台车床加工的零件的概率为，它是第四台车床加工的零件的概率为． 18. 如图，现用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，所得截面是一个椭圆，在平面上建立如图所示的平面直角坐标系.若圆柱的底面圆的半径为2，. （1）求椭圆的标准方程； （2）设为椭圆上任意一点，为椭圆在点处的切线.设椭圆的两个焦点分别为，，它们到切线的距离分别为，，试判断是否为定值？若是，求其定值；若不是，说明理由. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意得，求出即可得解； （2）分直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况去分析求解即可，对于直线斜率存在且不为0情况，先设切线方程，接着联立椭圆方程利用和整理得切线l的斜率，从而得切线方程，再利用点到直线距离公式和即可计算求解. 【小问1详解】 由题可得，且椭圆的焦点在x轴上， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）， 当直线斜率不存在时，则由（1）得或， 当时，，，此时， 同理可得时，； 当直线斜率存在时，设， 联立， 则， 整理得①， 又即，故， 将其代入上式①可得即，故， 所以，整理得， 所以点到l的距离的乘积为 . 综上，是定值且. 19. 已知函数（，，，）. （1）当，时，求函数的单调区间； （2）当，时，求函数的最小值； （3）当，时，函数的极小值是关于的函数，记为，设.若，求的最大值. 【答案】（1）递减区间是，递增区间是； （2）； （3）5. 【解析】 【分析】（1）把，代入，利用导数求出函数的单调区间. （2）把代入，利用导数求出最小值函数，再借助基本不等式求出最小值. （3）求出函数的极小值函数，结合基本不等式求出，再利用分组求和法求出和，并根据给定不等式求出的最大值. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 由，得，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的递减区间是，递增区间是. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 由，得，令此方程的解，则， 当时，递减，当时，递增， 因此函数的最小值， 由，得，则， 于是，当且仅当，即时取等号， 由，得，于， 所以函数的最小值为. 【小问3详解】 函数的定义域为，求导得， 由，得，令该方程的解，则， 当时，递减，当时，递增， 因此的最小值， 由，得，则， 于是， 当且仅当，即时取等号， 由，得，从而， ， 则有，即， 所以的的最大值为5. 【点睛】思路点睛：求解函数的最值，导数法是一种很重要的方法，但在某些问题中，用导数可能很繁琐，可变形函数借助均值不等式、配方法等求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 遵义市2025届高三年级第一次适应性考试试卷 数学 （满分：150分，时间：120分钟） 注意事项： 1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码. 2.选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上. 1. 已知复数，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若奇函数是定义在上的增函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，若集合且，则的子集的个数为（ ） A 8 B. 16 C. 32 D. 64 4. 如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为，斜边为（、、均为正数）.则，”.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（ ） A 9 B. 18 C. 27 D. 36 5. 设，，.则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 的图象恒过点 B. 的图象必与轴有两个不同的交点 C. 的最小值可能为 D. 的最小值可能为 7. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在矩形中，，，为的中点，将和分别沿，折起，使点与点重合，记为点，若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，函数，下列选项正确是（ ） A. 方程无实数解 B. 方程有且仅有两个解 C. 方程有且仅有三个解 D. 方程有且仅有四个解 10. 数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，又称黄金分割该数列，从第三项开始，各项等于其前相邻两项之和，即（），则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象为中心对称图形 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的值域为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ，关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 13. 在多项式的展开式中，的系数为32，则______. 14. 定义在上的偶函数满足，则______；______. 第Ⅱ卷 四、解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知公差为2的等差数列和公比为2的等比数列满足：，. （1）求和； （2）求数列的前项和. 16. 记的内角，，对应的三边分别为，，，且. （1）求； （2）若，求的周长的取值范围. 17. 已知4台车床加工的同一种零件共计1000件，其中第一台加工200件，次品率为5%；第二台加工250件，次品率为6%；第三台加工250件，次品率为8%；第四台加工300件，次品率为10%.现从这1000件零件中任取一个零件. （1）求取到零件是次品的概率； （2）若取到的零件是次品，求它是第（其中）台车床加工的零件的概率. 18. 如图，现用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，所得截面是一个椭圆，在平面上建立如图所示的平面直角坐标系.若圆柱的底面圆的半径为2，. （1）求椭圆标准方程； （2）设为椭圆上任意一点，为椭圆在点处的切线.设椭圆的两个焦点分别为，，它们到切线的距离分别为，，试判断是否为定值？若是，求其定值；若不是，说明理由. 19. 已知函数（，，，）. （1）当，时，求函数的单调区间； （2）当，时，求函数的最小值； （3）当，时，函数的极小值是关于的函数，记为，设.若，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$