精品解析：广东省佛山市南海区石门中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

石门中学2024-2025学年度第一学期高一年级数学科 一检考试 （全卷共4页，供1—28班使用） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的运算求解即可. 【详解】因为集合，， 所以 故选：C 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的并集运算求解. 【详解】，， . 故选：B. 3. 已知命题，那么命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题否定的方法，否定量词也否定结论，可得答案. 【详解】因为命题， 所以命题的否定为: . 故选：D 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，化简不等式为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由不等式，可得， 解得或，即不等式的解集为. 故选：B. 5. 已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图，则的值为（ ） 1 2 3 2 3 0 A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据的图像可知，，根据表格即可求得. 【详解】根据的图像可知，，根据表格可知，. 故选：B 6. 已知函数的定义域为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，则，然后与联立可求出 【详解】令为，则， 与联立可解得，． 故选：D． 7. 如果对于任意实数x，表示不超过x的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（ ）． A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】举出反例得到充分性不成立，再设，得到，，故，必要性成立，得到答案. 【详解】不妨设，满足， 但，不满足，充分性不成立， 若，不妨设，则，， 故，必要性成立， 故“”是“”的必要条件. 故选：B 8. 若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，将问题等价转化为，然后讨论的最大值，从而求出的取值范围. 【详解】令，对称轴方程为， 若存在，使不等式成立， 等价于， 当时，即时，，解得， 因为，所以； 当时，即时，，解得， 因为，所以； 因为，所以. 故选:C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有两项或三项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断ABC，利用特例判断D. 【详解】因为，且，所以， 所以，即，故A正确； 因为，，所以，故B错误； 因为，所以，故C正确； 当时满足题设条件，但不成立，故D错误. 故选：AC 10. 下列说法正确是（ ）. A. 已知集合，则满足条件的集合N的个数为4 B. 若集合中只有一个元素，则 C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D. 的一个充分条件是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据并集的结果可得，即可知A正确；易知方程只有一根，可得或，B错误；根据一元二次方程根与系数之间的关系可判断C正确，易知可得的一个充分条件是，即D错误. 【详解】对于A，根据可知，即集合为集合的子集， 由中有2个元素，因此集合N的个数为个，即A正确； 对于B，若集合中只有一个元素，则方程只有一根， 若，方程为，满足题意； 若，则可得，解得，满足题意； 因此或，所以B错误； 对于C，由可得， 即一元二次方程有两根，且两根之积为， 所以两根为一正一负，即充分性成立； 若一元二次方程有一正一负根则须满足， 且两根积为，即，可得必要性成立，即C正确； 对于D，由可得，易知可推出，所以可得的一个充分条件是，即D正确. 故选：ACD 11. 对任意，记，并称为集合A，B的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的是（ ） A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若且，则 D. 存在，使得 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，根据题意得到且中元素不能出现在中，故；B选项，与是相同的，所以；C选项，推出；D选项，表达出，结合，，得到，故. 【详解】A选项，且，则， 故，且中元素不能出现在中，故，A正确； B选项，且，则， 即与是相同的，所以，B正确； C选项，因为，所以，故，C错误； D选项，， 其中，， 故， 而， 故，D错误. 故选：AB 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数定义域为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根式以及分式的性质即可求解. 【详解】的定义域满足且，解得且. 故答案为： 13. 已知，且，则＝________． 【答案】或1 【解析】 【分析】根据集合相等得到方程组，求出，舍去不合要求的根，得到答案. 【详解】因为，所以①或②， 解①得或，其中不符合集合元素的互异性，舍去； 解②得或，其中不符合集合元素的互异性，舍去； 所以或. 故答案为：或1 14. 若正数a，b，c满足，则的最小值为__________，此时，的一组值可以为__________． 【答案】 ①. ## ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】由题意得，化简后利用基本不等式可求得答案. 【详解】由题意得，即， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 故答案为：，（答案不唯一，只要满足，即可） 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集U为实数集，集合，，求： （1）； （2）. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）先求出、，再计算交集即可得； （2）得到、后求其交集即可得. 【小问1详解】 ， 由可得：，解得：， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为，或， ，或， 或. 16. 设集合，. （1）若，求实数的值； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可. （2）根据集合并集的运算性质进行求解即可. 【小问1详解】 由，所以或，故集合. 因为，所以，将代入中的方程， 得，解得或， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件， 综上，实数的值为或. 【小问2详解】 因为“”是“” 的必要条件，所以. 对于集合，. 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，要想有，须有， 此时：，该方程组无解. 综上，实数的取值范围是. 17. 某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一座八边形的休闲场所.如图，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的占地面积为100平方米的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为每平方米a元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺彩色水磨石地坪，造价为每平方米105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为每平方米40元. （1）设长为x米，总造价为S元，求S关于x的函数表达式，并写出函数的定义域； （2）若市面上花坛造价每平方米225元，求总造价S的最小值，并求此时花坛的造价. 【答案】（1） （2）元；元. 【解析】 【分析】（1）利用几何图形的特征计算图形面积即可； （2）利用（1）的结论结合基本不等式可知，得出取等条件即可计算花坛造价. 【小问1详解】 由题意可得，正方形的面积为，阴影部分面积为， 所以，且，则， 则 ； 【小问2详解】 由（1）可知， ， 当且仅当时，即,时等号成立， 此时花坛的造价为元. 18. 已知函数. （1）若函数的定义域为，求的取值范围； （2）求方程的根； （3）求函数的定义域. 【答案】（1）； （2）见解析； （3）见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意可得在上恒成立，分和求解即可； （2）由，可得，分、、、、分别求解即可； （3）由题意可得，分、、、、并结合（2）求解即可 【小问1详解】 解：因为函数的定义域为， 所以在上恒成立； 当时，恒成立，满足题意； 当时，则有， 解得； 综上，， 所以的取值范围为； 【小问2详解】 解：由，可得， 当时，此方程无解； 当时，， 所以当时，，此方程无解； 当时，，解得； 当或时，， 又因为的开口向上，对称轴为，且过点， 此时有两个正根，解得：； 综上，当或时，方程的根为； 当,方程的根为 当时，方程无根； 【小问3详解】 解：由题意可得， 当时，则有恒成立，此时； 当时，，此时的解集为； 当时，由（2）可知的解集为：； 当时，由（2）可知的解集为：； 综上，当时，函数的定义域为：； 当时，函数的定义域为：； 当时，函数的定义域为：； 19. 对于函数，若，则称实数为的“不动点”，若，则称实数为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为和，即，. （1）对于函数，分别求出集合和； （2）对于所有的函数，证明：； （3）设，若，求集合. 【答案】（1）， （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）由，解出的值即集合的元素，由，解出的值即集合的元素； （2）分别讨论与的情况，当时，设，则，即，进而得证； （3）由，可得，则，进而求解即可. 【小问1详解】 由，得，解得； 由，得，解得， 集合，． 【小问2详解】 若，则显然成立； 若，设为中任意一个元素， 由，可得. 【小问3详解】 ， ，即，解得， ， ， ， ， ， 或或， . 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好基础，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 石门中学2024-2025学年度第一学期高一年级数学科 一检考试 （全卷共4页，供1—28班使用） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C D. 3. 已知命题，那么命题的否定为（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图，则的值为（ ） 1 2 3 2 3 0 A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 6. 已知函数定义域为，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 如果对于任意实数x，表示不超过x的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（ ）． A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有两项或三项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ）. A. 已知集合，则满足条件的集合N的个数为4 B. 若集合中只有一个元素，则 C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D. 的一个充分条件是 11. 对任意，记，并称为集合A，B的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的是（ ） A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若且，则 D. 存在，使得 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为____________． 13. 已知，且，则＝________． 14. 若正数a，b，c满足，则的最小值为__________，此时，的一组值可以为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集U为实数集，集合，，求： （1）； （2）. 16. 设集合，. （1）若，求实数的值； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 17. 某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适生活环境，计划建一座八边形的休闲场所.如图，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的占地面积为100平方米的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为每平方米a元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺彩色水磨石地坪，造价为每平方米105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为每平方米40元. （1）设长为x米，总造价为S元，求S关于x的函数表达式，并写出函数的定义域； （2）若市面上花坛造价每平方米225元，求总造价S的最小值，并求此时花坛的造价. 18. 已知函数. （1）若函数的定义域为，求的取值范围； （2）求方程的根； （3）求函数定义域. 19. 对于函数，若，则称实数为的“不动点”，若，则称实数为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为和，即，. （1）对于函数，分别求出集合和； （2）对于所有的函数，证明：； （3）设，若，求集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$