2.2.3 直线的一般式方程 2.2.4 直线的方向向量与法向量（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）  

2.2.3 直线的一般式方程 2.2.4 直线的方向向量与法向量 (强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1．了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系． 2．能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化．能运用直线的一般式方程解决有关问题． 3．了解直线的方向向量与法向量，理解它们之间的关系及它们与直线之间的关系． CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 (一)直线的一般式方程 1．直线的一般式方程 (1)概念 关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．我们把方程_______________ (其中A，B不同时为0)称为直线的一般式方程，简称一般式． Ax＋By＋C＝0 垂直于x轴 2．直线方程的五种形式的比较 名称 方程形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) (x0，y0)是直线上一点，k是斜率 不垂直于x轴的直线 斜截式 y＝kx＋b k是斜率，b是直线在y轴上的截距 不垂直于x轴的直线 两点式 (y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)·(y－y1)＝0 (x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点 过任意不同的两点 续表 基点训练 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何直线方程都能表示为一般式．(　 ) (2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．(　 ) (3)对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示斜率不存在的直线．(　 ) (4)当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0也可表示为一条直线．(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2.[多选]直线l在平面直角坐标系中的位置如图，已知l∥x轴，则直线l的方程可以用下面哪种形式写出(　 ) A．点斜式 B．斜截式 C．截距式 D．一般式 √ √ √ (二)直线的方向向量与法向量 1．直线的方向向量 (1)我们把与直线l______的非零向量v都称为l的方向向量． (2)斜率与方向向量的关系 斜率为k的直线的方向向量为_______的非零实数倍． 2．直线的法向量 与直线l______的非零向量n＝(A，B)称为直线l的一个法向量． 平行 (1，k) 垂直 微点助解 (1)任意斜率不存在时的直线的方向向量为a＝(0,1)； (2)斜率存在时的直线的方向向量a＝(1，k)； (3)任意直线的方向向量可表示为a＝(cos θ，sin θ)； (4)任意直线都有方向向量与法向量，且是不唯一的非零向量． 基点训练 答案：(1)√　(2)√ 2．[多选]已知直线l经过点A(2,1)与B(0,2)，则以下向量可以作为直线l的一个方向向量的是(　 ) A．a＝(1,2) B．a＝(－4,2) C．a＝(－2，－1) D．a＝(4，－2) √ √ 3．如果直线l的一个方向向量是v＝(－1,3)，一个法向量是u＝(－3，a)，则a＝________. 解析：因为v＝(－1,3)和u＝(－3，a)分别是直线l的一个方向向量和一个法向量， 所以v·u＝0，即(－1)×(－3)＋3a＝0，解得a＝－1. －1 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 题型(一)　求直线的一般式方程 (2)由斜截式，得直线方程为y＝4x－2， 即4x－y－2＝0. 即2x＋y－3＝0. 即x＋3 y ＋3＝0. 求直线的一般式方程策略 (1)直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0中要求A，B不同时为0. (2)由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程(化为一般式方程后原方程的限制条件就消失了)；反过来，也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式，注意斜截式、截距式的适用条件． (3)解决与图象有关的问题时，常通过把直线的一般式方程化为斜截式，利用直线的斜率和纵截距作出判断． 方法技巧 针对训练 (3)由直线的方向向量为a＝(2,4)，可得直线的斜率k＝2， 所以所求直线方程为y＋5＝2(x－3)，即2x－y－11＝0. 题型(二)　由截距、斜率的值求参数 [变式拓展] 1．若本例中直线l的倾斜角为45°，试求m的值． 即3－m＝3m－1， 得m＝1. 2．若本例中直线l在x轴和y轴上的截距相等，试求m的值． 即m＝－1. 3．若本例中直线l垂直于y轴，试求m的值． (1)求一般式表示的直线的斜率与其在y轴上的截距，可将其化为斜截式，求其在x轴上的截距，可令y＝0，解出x即为所求． (2)涉及字母参数时，注意分母为零的讨论．　　 方法技巧 2．已知直线l：ax＋(1－2a)y＋1－a＝0. (1)当直线l在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍时，求实数a的值； (2)当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围． 针对训练 即x＝－1，此时直线l不通过第四象限； 题型(三)　直线的方向向量与法向量 解：(1)由题意知，点B(3,1)，C(1,2)， 因为所求直线垂直于BC的方向向量， 可设所求直线的方程为－2x＋y＋m＝0， 即4x－2y－5＝0. (3)由A(－1，－1)，B(3,1)， 可得AB的中点坐标为(1,0)． 又1×(－2)＋2×1＝0，可知所求直线的法向量为(1,2)， 可设所求直线的方程为x＋2y＋n＝0，把(1,0)代入， 解得n＝－1， 故所求直线的方程为x＋2y－1＝0. 已知直线的方向向量和法向量求直线方程的思路 (1)若已知直线的法向量(m，n)，可直接设直线的方程为mx＋ny＋c＝0，然后代入点求c. (2)若已知直线的方向向量，可先求直线的斜率，然后利用点斜式求直线的方程(但若需要考虑斜率不存在的情况)或转化为直线的法向量．　　 方法技巧 针对训练 √ 4．直线l1与l2的法向量分别为v1＝(2，－3)，v2＝(3，－1)，则直线l1与l2的斜率k1，k2的大小关系为(　 ) A．k1>k2 B．k1＝k2 C．k1<k2 D．不确定 解析：∵v1＝(2，－3)，则l1的方向向量a1＝(－3，－2)， √ ∵v2＝(3，－1)，则l2的方向向量a2＝(－1，－3)， 5．已知经过点(3,1)的直线l的一个方向向量为(3,2)，则l的方程为(　 ) A．3x＋2y－11＝0 B．2x－3y－3＝0 C．2x＋3y－9＝0 D．3x－2y－7＝0 √ 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 解析：因为方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，所以2m2＋m－3＝0，m2－m＝0不能同时成立，解得m≠1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 3．如果AC<0，BC>0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 4．若直线a2x＋y－1＝0的斜率大于－4，则a的取值范围为(　 ) A．(－2,2) 　　　 B．(－2,0)∪(0,2) C．(－∞，2) 　　　　 D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析：直线a2x＋y－1＝0，即y＝－a2x＋1，则直线的斜率为－a2，即－a2>－4，解得－2<a<2.所以a的取值范围为(－2,2)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：直线l的一个方向向量为(n，－m)，故A正确； 直线l的方程可化为m(x－3)＋ny＝0，所以直线l恒过定点(3,0)，故B正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6．直线3x＋ay－4＝0的法向量为(3，－2)，则a的值为________． 解析：直线3x＋ay－4＝0的法向量为n＝(3，a)， 故a＝－2. －2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7．若直线的斜率k与直线在y轴上的截距b相等，则该直线一定经过的点是________． 解析：设直线方程为y＝kx＋b， ∵k＝b， ∴y＝kx＋k＝k(x＋1)，当x＝－1时，y＝0， ∴该直线一定经过的点是(－1,0)． (－1,0) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是________． 3 ∴m＝3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别求m的值． (1)在x轴上的截距为1； (2)斜率为1； (3)经过定点P(－1，－1)． 解：(1)∵直线过点P′(1,0)， ∴m2－2m－3＝2m－6，解得m＝3或m＝1， 又∵m＝3时，直线l的方程为y＝0，不符合题意，∴m＝1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)直线过定点P(－1，－1)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12．已知点M(－1,2)，N(2,3)，直线l：mx＋y－m＋2＝0与线段MN有交点，则m的取值范围为________________________． 解析：因为l：mx＋y－m＋2＝0⇒y＋2＝－m(x－1)， 即直线l过定点Q(1，－2)，斜率为－m， (－∞，－5]∪[2，＋∞) 如图所示，所以－m≤－2或－m≥5，解得m≥2 或m≤－5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13．已知△ABC的顶点为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8，0)．求： (1)AC边上的中线BD所在直线的方程； (2)AC边所在直线的一个方向向量和一个法向量； (3)过AC的中点，且垂直于AC方向向量的直线方程． 解：(1)依题意，线段AC的中点D(－4,2)， 所以直线BD的方程为y－6＝2(x＋2)， 即2x－y＋10＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)依题意，得直线AC的一个方向向量n＝(－8，－4)， 显然m＝(1，－2)满足m·n＝0， 所以直线AC的一个法向量为m＝(1，－2)． (3)由(2)知，垂直于AC方向向量的直线的方向向量为m＝(1，－2)， 又线段AC的中点D(－4,2)， 所以过AC的中点， 且垂直于AC方向向量的直线方程为y－2＝－2(x＋4)，即2x＋y＋6＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：(1)证明：将直线l1的方程化为m(x－2y－3)＋2x＋y＋4＝0， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)由题意可知，直线l2的斜率存在且不为零， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 即2x＋y＋4＝0. (2)几何意义 ①当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可以写成y＝－x－，它表示斜率为______，在y轴上的截距为_______的直线． ②当B＝0，A≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可以写成x＝－，它表示___________的直线． － － 截距式 ＋＝1(a≠0，b≠0) a，b分别是直线在x轴，y轴上的非零截距 直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点 一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) A，B，C为系数 任何情况 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果A(2,1)，B(0,2)是直线l上不同的两点，则＝(－2,1)是直线l的一个方向向量．(　 ) (2)一条直线的方向向量与法向量互相垂直．(　 ) 解析：因为＝(－2,1)，所以2＝(－4，2)，故a＝(－4,2)与共线，可以作为直线l的一个方向向量．同理，a＝(4，－2)也可以作为直线l的一个方向向量，故选B D． [例1]　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式． (1)斜率是，且经过点A(5,3)； (2)斜率为4，在y轴上的截距为－2； (3)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1. 解：(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝(x－5)， 即x－y－5＋3＝0. (3)由两点式，得直线方程为＝， (4)由截距式，得直线方程为＋＝1， 1．根据下列各条件分别写出直线的方程，并化成一般式． (1)斜率是－，且经过点A(8，－6)； (2)在x轴和y轴上的截距分别是和－3； (3)经过点(3，－5)，且一个方向向量为a＝(2,4)． 解：(1)根据点斜式可得直线方程为y＋6＝－(x－8)，化简可得x＋2y＋4＝0. (2)根据截距式可得直线方程为＋＝1，化简可得2x－y－3＝0. [例2]　设直线l的方程为(m2－m－6)x＋(3m2＋5m－2)y＝3m＋6(m∈R，m≠－2)，根据下列条件分别求m的值． (1)l在x轴上的截距是－4； (2)l的斜率为. 解：(1)令y＝0，得x＝，由＝－4，解得m＝. (2)直线l的斜率k＝－＝－. 由－＝，解得m＝. 解：由k＝－＝tan 45°， 解：当x＝0时，y＝＝， 当y＝0时，x＝，则＝， 解：由直线l的斜率k＝－＝0，得m＝3. 解：(1)由条件知，a≠0且a≠，在直线l的方程中， 令y＝0得x＝，令x＝0得y＝， ∴＝×3，解得a＝1或a＝， 经检验，a＝1，a＝均符合要求，故实数a的值为1或. (2)当a＝时，直线l的方程为x＋＝0. 当a≠时，直线l的方程为y＝x＋. 直线l不通过第四象限，即， 解得<a≤1， 综上所述，当直线l不通过第四象限时，实数a的取值范围为. [例3]　已知△ABC的三个顶点分别为A(－1，－1)，B(3,1)，C(1,2)．求： (1)BC边所在直线的方程； (2)经过BC的中点，且垂直于BC方向向量的直线方程； (3)经过AB的中点，且方向向量平行于的直线方程． 所以BC边所在直线的方程为＝，整理得x＋2y－5＝0. (2)由B(3,1)和C(1,2)，可得BC的中点坐标为. 所以＝(－2,1)是所求直线的法向量， 把代入方程得－2×2＋＋m＝0， 解得m＝，所以所求直线的方程为－2x＋y＋＝0， 因为所求直线的方向向量为＝(－2,1)， 3．已知直线l的一个方向向量为(，1)，则直线l的倾斜角θ＝(　 ) A．0 B． C． D． 解析：由题意知，因为直线l的一个方向向量为(，1)，所以直线l的斜率k＝＝.又k＝tan θ，所以tan θ＝.因为θ∈[0，π)，所以θ＝. ∴斜率k1＝＝. ∴斜率k2＝＝3，∴k2>k1. 解析：设直线l上任意与点Q(3,1)不重合的一点为P(x，y)，由题意与(3,2)共线，所以＝，整理得l的方程为2x－3y－3＝0(x≠3)．又点Q(3,1)在直线l上，且点Q(3,1)满足方程2x－3y－3＝0，所以l的方程为2x－3y－3＝0. A级——综合提能 1．直线＋＝1化成一般式方程为(　 ) A．y＝－x＋4 B．y＝－(x－3) C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12 解析：由＋＝1可得4x＋3y＝12，即4x＋3y－12＝0. 2．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m满足(　 ) A．m≠0 B．m≠－ C．m≠1 D．m≠1，m≠，m≠0 解析：因为AC<0，且BC>0，所以A，B，C均不为零，由直线方程Ax＋By＋C＝0，可化为y＝－x－，因为AC<0，且BC>0，可得k＝－>0，y轴截距－<0，所以直线通过第一、三、四象限，不通过第二象限． 5．[多选]对于直线l：mx＋ny－3m＝0(m2＋n2≠0，m，n∈R)，下列说法正确的是(　 ) A．直线l的一个方向向量为(n，－m) B．直线l恒过定点(3,0) C．当m＝n时，直线l的倾斜角为60° D．当m＝－2且n>0时，l不经过第二象限 当m＝n时，直线l的斜率为－，此时倾斜角为120°，故C错误； 当m＝－2且n>0时，直线l为y＝(x－3)，所以l不经过第二象限，故D正确． 解析：由已知得 (2)由斜率为1，得 解得m＝. 则－(m2－2m－3)－(2m2＋m－1)＝2m－6，解得m＝或m＝－2. B级——应用创新 10．已知直线l的斜率与直线3x＋4y－5＝0的斜率相等，且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24，则直线l的方程是(　 ) A．3x＋4y－12＝0 B．3x＋4y＋12＝0 C．3x＋4y－24＝0 D．3x＋4y＋24＝0 解析：直线3x＋4y－5＝0的斜率为－，可设l的方程为y＝－x＋b.令y＝0，得x＝b，由题可知·|b|＝24，得b＝±6，由于直线l在第一象限与坐标轴围成三角形，所以b＝6，所以选C． 11．若直线l：(a－2)x＋ay＋2a－3＝0经过第四象限，则a的取值范围为(　 ) A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(－∞，0)∪[2，＋∞) C．(－∞，0)∪ D．(－∞，0)∪ 解析：若a＝0，则l的方程为x＝－，不经过第四象限．若a＝2，则l的方程为y＝－，经过第四象限． 若a≠0且a≠2，将l的方程转化为y＝－x－，因为l经过第四象限，所以－<0或解得a<0或<a<2或a>2.综上，a的取值范围为(－∞，0)∪，故选C． 因为kQM＝＝－2，kQN＝＝5， 于是直线BD的斜率k＝＝2， 14．已知直线l1：x＋y＋4－3m＝0. (1)求证：无论m为何实数，直线l1恒过一定点M； (2)若直线l2过点M，且与x轴负半轴、y轴负半轴围成三角形面积最小，求直线l2的方程． 解方程组解得 故直线l1恒过定点M. 设直线l2的方程为y＋2＝k， 令x＝0，可得y＝k－2，令y＝0，可得x＝－1， 由已知可得解得k<0， 所以三角形面积为S＝＝≥＝4， 当且仅当k＝－2时，等号成立，此时直线l2的方程为y＋2＝－2， $$