2.1 直线的斜率（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）  

第2章 平面解析几何初步 2.1 直线的斜率 (概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1．结合图形，探索确定直线位置的几何要素：点和方向． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念；掌握过两点的直线斜率的计算公式． 3．理解倾斜角与斜率的关系，会求倾斜角与斜率范围． CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　直线的倾斜角 逐点清(二)　直线的斜率 逐点清(三)　 直线的倾斜角与斜率的综合应用 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　直线的倾斜角 01 多维度理解 定义 当直线l与x轴相交时，我们把x轴正向绕交点_______旋转到与直线l______方向首次重合所成的角α叫作直线l的倾斜角 规定 当直线l与x轴平行或重合时，规定倾斜角α＝___.因此，倾斜角的取值范围为___________ 逆时针 向上 0 0≤α＜π 微点助解 (1)在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等． (2)直线的倾斜角是对直线方向的定量刻画，是对直线的倾斜程度的刻画，是相对于x轴正向位置的刻画，如图. 细微点练明 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为(　 ) A．α＋40° B．α－140° C．140°－α D．α＋40°或α－140° 解析：根据题意，画出图象，如图所示． √ 因为0° ≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知，当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α＋40°；当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D． 3.已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交 点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如 图，则直线l2的倾斜角为________． 解析：设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°， 所以∠BAC＝120°， 所以α2＝120°＋α1＝135°. 135° 4．已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为______________． 解析：有两种情况：①如图(1)，直线l向上的方向 与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. ②如图(2)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角 为120°，即直线l的倾斜角为120°. 60°或120° 逐点清(二)　直线的斜率 02 多维度理解 1．斜率定义及公式 正切值 tan α tan α 2．倾斜角与斜率的关系 微点助解 (1)斜率公式中k的值与A，B两点在该直线上的位置无关． (2)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换． (3)与x轴平行或重合的直线的斜率为0. (4)与x轴垂直的直线的斜率不存在． 细微点练明 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任一条直线都有倾斜角，都存在斜率．(　 ) (2)倾斜角为135°的直线的斜率为1.(　 ) (3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α.(　 ) (4)经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× √ √ 4．若A(1,2)，B(3，m)，C(7，m＋2)三点共线，则实数m的值为(　 ) A．－2 B．2 C．－3 D．3 √ 5．已知直线l1经过点M(－4,3)，N(8，－2)且直线l2的倾斜角是直线l1倾斜角的一半，则直线l2的斜率为___． 解析：设直线l1的倾斜角为α， 5 逐点清(三)　 直线的倾斜角与斜率的综合应用 03 [典例]　已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围． [变式拓展] 1．若本例条件不变，求直线l的倾斜角α的取值范围． 解：由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是{α|45°≤α≤135°}． 2．若本例条件中“与线段AB有公共点”变为“与线段AB无公共点”．求直线l的斜率k的取值范围． 解：由本例知与线段AB有公共点时，斜率k满足k≤－1或k≥1.则与线段AB无公共点时斜率k的取值范围为(－1,1)． ∵点P(x，y)是线段AB上的任意一点， 方法技巧 1.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3的图象如图所示，则下列结论正确的是(　 ) A．k1>k2>k3 　 B．k3>k1>k2 C．k2>k1>k3 　　 D．k2>k3>k1 针对训练 √ 解析：由k＝tan α，结合y＝tan x的函数图象可知，直线l3对应的倾斜角为钝角，则k3<0，直线l1与l2都为锐角，且l2的倾斜角大于l1的倾斜角，则k2>k1>0，故k2>k1>k3. 2．已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是(　 ) A．(4,2)与(－4,1) B．(0,3)与(3,0) C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2,2)与(－2,5) 解析：对于D，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 6．若三点A(2，－3)，B(4,3)，C(5，b)在同一直线上，则实数b等于(　 ) A．－12 B．－6 C．6 D．12 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 7．[多选]已知点A的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标可以为(　 ) A．(0，－4) B．(0，－8) C．(2,0) D．(－2,0) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11．若斜率为2的直线经过点A(－2,3)，B(2m＋1,1)，则实数m＝________. －2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12．若经过点P(1－a,1)和Q(2a,3)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是_____________． 解析：因为直线的倾斜角是钝角， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13．已知点A(1,2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为______________． 解析：由题意知，kPA＝－1. 若点P在x轴上，则设P(m,0)(m≠1)， (3,0)或(0,3) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 若点P在y轴上， 解得n＝3.故点P的坐标为(3,0)或(0,3)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是函数y＝x3的图象上任意三个不同的点，求证：若A，B，C三点共线，则x1＋x2＋x3＝0. 又A，B，C三点共线， ∴kAB＝kAC， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴(x2－x3)(x1＋x2＋x3)＝0， ∵x2≠x3， ∴x1＋x2＋x3＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 倾斜角 α＝0 0<α< α＝ <α<π 直线 平行(重合)于x轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意一条直线都有唯一的倾斜角．(　 ) (2)一条直线的倾斜角可以为－.(　 ) (3)倾斜角为0的直线有无数条．(　 ) (4)若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1)．(　 ) 定义 一条直线的倾斜角α的________k称为这条直线的斜率，即k＝_______ 公式 经过两个不同点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式 为k＝________＝_________ 图示 倾斜角(范围) α＝0 0＜α＜ α＝ ＜α＜π 斜率(范围) 0 (0，＋∞) 不存在 (－∞，0) 2．已知经过点P(3，m)和Q(m，－2)的直线的斜率为2，则m的值为(　 ) A．－1 B．1 C．2 D． 解析：由k＝＝2，得m＝. 3．已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率大于1，则m的取值范围是(　 ) A．(5,8) B．(5，＋∞) C． D． 解析：由题意得>1，即(m－5)<0，解得5<m<. 解析：因为3≠1，所以直线AB斜率存在．又A，B，C三点共线，则kAB＝kAC，即＝，解得m＝3. 则直线l1的斜率k1＝tan α＝＝－， 由于α∈[0，π)，所以sin α＝，cos α＝－， 所以直线l2的斜率k2＝tan＝＝＝5. 解：如图，由题意知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 3．若本例条件变为“已知两点A(2,3)，B(－1,2)，若点P(x，y)在线段AB上”，求的最大值． 解：设Q(3,0)，则kAQ＝＝－3，kBQ＝＝－， ∴的取值范围是， 故的最大值为－. 数形结合法解决范围问题 已知一条线段AB的端点及线段外一点P，求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下直线l的斜率(倾斜角)的取值范围，如果直线PA，PB的斜率都存在，则步骤如下： (1)连接PA，PB； (2)由k＝求出kPA，kPB； (3)结合图形可得直线l的斜率(倾斜角)的取值范围．　　 解：(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝，直线AC的斜率kAC＝＝.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为. (2)如图所示，当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以由(1)知直线AD的斜率的变化范围是. 1.如图，直线l的倾斜角为(　 ) A． B． C． D． 解析：由题图易知l的倾斜角为＋＝. 3．已知倾斜角为的直线过A(1,0)，B(0，m)，则m＝(　 ) A． B．－ C．－ D． 解析：由题意得＝tan，解得m＝－，故选C． 4．过A(0,4)，B(，1)两点的直线的倾斜角为(　 ) A．－ B． C． D． 解析：因为直线过点A(0,4)，B(，1)，所以kAB＝＝－.设直线的倾斜角为θ(0≤θ<π)，则tan θ＝－，解得θ＝，故选C． 5．在平面直角坐标系内，正△ABC的边BC所在直线的斜率是0，则边AC，AB所在直线的斜率之和为(　 ) A．－2 B．0 C． D．2 解析：由题意知，△ABC的边AC，AB所在直线的倾斜角分别为60°，120°，所以边AC，AB所在直线的斜率之和为tan 60°＋tan 120°＝ ＋(－)＝0. 解析：因为kAB＝kAC，又kAB＝＝3，kAC＝＝，所以3＝，即b＝6. 解析：当点B在y轴上时，设B(0，y)，由kAB＝4，可得＝4，解得y＝－8，∴B(0，－8)．当点B在x轴上时，设B(x,0)，由kAB＝4，可得＝4，解得x＝2，∴B(2,0)，∴点B的坐标为(2,0)或(0，－8)． 8．已知直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是(　 ) A．[0,2] B．[0,1] C． D． 解析：如图所示，当直线l在l1的位置时，k＝tan 0°＝0；当直线l在l2的位置时，k＝＝2，故直线l的斜率的取值范围是[0,2]． 9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B(2，0)，过点A的直线交x轴于点C(a,0)，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则a＝(　 ) A． B． C．1 D． 解析：设直线AB的倾斜角为α，则直线AC的倾斜角为2α，且tan 2α＝，由题可知tan 2α＝kAC＝，tan α＝kAB＝，所以＝，解得a＝. 10．直线l过点M(－1,2)，且与以P(－4，－1)，Q(3,0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是(　 ) A． 　　　 B．(－∞，－2]∪[1，＋∞) C．[－2,1] 　　　　 D．∪[1，＋∞) 解析：∵直线l过点M(－1，2)，且与以P(－4，－1)，Q(3,0)为端点的线段相交，如图所示，∴所求直线l的斜率k满足kPM≤k或k≤kMQ.又kPM＝＝1，kMQ＝＝－，则k≥1或k≤－，∴k∈∪[1，＋∞)． 解析：kAB＝＝＝2，解得m＝－2. 所以斜率<0，解得a<. 所以实数a的取值范围是. 则＝－1，解得m＝3； 则设P(0，n)，则＝－1， 证明：由题意知kAB＝，kAC＝， ∴＝， ∴x＋x1x2＋x＝x＋x1x3＋x， 15．已知平面直角坐标系内三点A(－2，－4)，B(2,0)，C(－1,1)． (1)求直线AB的斜率和倾斜角； (2)若E(m，n)是线段AC上一动点，求的取值范围． 解：(1)由斜率公式得直线AB的斜率为＝1，记倾斜角为α，则tan α＝1. 因为α∈[0，π)，所以直线AB的倾斜角为. (2)由题知为直线BE的斜率． 记直线BA和BC的倾斜角分别为α，β，直线BE的倾斜角为γ， 由图可知，γ∈[0，α]∪[β，π)， 又kBC＝tan β＝＝－，kAB＝tan α＝1， 所以由正切函数性质可得，直线BE的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. $$