1.2.3 第2课时 等差数列的前n项和的应用（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）  

等差数列的前n项和的应用 (深化课—题型研究式教学) 第2课时 课时目标 构造等差数列求和模型，解决实际问题，能够利用等差数列的前n项和的函数性质求其前n项和的最值． CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　等差数列前n项和的实际应用 题型(二) 等差数列前n项和的最值问题 题型(三)　求数列{|an|}的前n项和 4 课时跟踪检测 题型(一)　 等差数列前n项和的实际应用 01 [例1]　某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？ ∵500>480， ∴在24小时内能构筑成第二道防线． 方法技巧　 应用等差数列解决实际问题的一般思路 建模 根据题设条件，建立数列模型：①分析实际问题的结构特征；②找出所含元素的数量关系；③确定为何种数学模型 解模 利用相关的数列知识加以解决：①分清首项、公差、项数等；②分清是an还是Sn问题；③选用适当的方法求解 还原 把数学问题的解客观化，针对实际问题的约束条件合理修正，使其成为实际问题的解 1．老张为锻炼身体，增强体质，计划从下个月1号开始慢跑，第一天跑步3公里，以后每天跑步比前一天增加的距离相同．若老张打算用20天跑完98公里，则预计这20天中老张日跑步量超过5公里的天数为(　 ) A．8 B．9 C．13 D．14 针对训练 √ 题型(二)　 等差数列前n项和的最值问题 02 (2)等差数列前n项和的最值 ①若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值． ②若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， ∴an＝3n－12. 最小值为S3＝S4＝－18. 又n∈N＋， ∴当n＝3或4时，前n项和取得最小值，最小值为S3＝S4＝－18. [变式拓展] 1．在本例中，根据第(2)题的结果，若Sn＝0，求n. 所以当x＝0和x＝7时，图象与x轴的交点为(0,0)，(7,0)， 又n∈N＋， 所以S7＝0， 所以n＝7. 法二　因为S3＝S4， 所以a4＝S4－S3＝0， 所以n＝7. 2．将本例变为：等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？ 解：法一　要求数列前多少项的和最大，从函数的观点来看，即求二次函数Sn＝an2＋bn的最大值， 故可用求二次函数最值的方法来求当n为多少时，Sn最大． 故当n＝7时，Sn最大． 法二　由于Sn＝an2＋bn是关于n的二次函数， 方法技巧　 2．[多选]设数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1＞0且S6＝S9，则(　 ) A．d＞0 B．a8＝0 C．S7或S8为Sn的最大值 D．S5＞S6 针对训练 √ √ 解析：a1＞0且S6＝S9， 可得a8＝0，d＜0. S7或S8为Sn的最大值，S5＜S6.故选BC． 题型(三)　求数列{|an|}的前n项和 03 ∵n＝1也适合上式， ∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104. 即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0. 法二　①当n≤34时，同法一． ②当n≥35时， 由等差数列{an}求数列{|an|}的前n项和的技巧 常先由Sn的最值判断出哪些项为正，哪些项为负或先求出an，解an≥0得n的取值范围判断出哪些项为正，哪些项为负． (1)等差数列{an}的各项都为非负数，这种情形中数列{|an|}就等于数列{an}，可以直接求解． 方法技巧　 √ 3．已知数列{an}的前n项和Sn＝14n－n2＋1，若Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|，则T30＝(　 ) A．578 B．579 C．580 D．581 针对训练 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ A级——综合提能 1．等差数列{an}中，d＝2，S3＝－24，其前n项和Sn取最小值时n的值为(　 ) A．5 B．6 C．7 D．5或6 解析：由d＝2，S3＝3a1＋3d＝－24，得a1＝－10.令an＝－10＋(n－1)×2＝0，解得n＝6，所以a6＝0.从而S5＝S6均为最小值． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．已知等差数列{an}是无穷数列，若a1＜a2＜0，则数列{an}的前n项和Sn(　 ) A．无最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．有最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：由数列{an}为等差数列，且a1＜a2＜0，得公差d＝a2－a1＞0，故数列{an}为递增数列，且a1＜0，所以Sn有最小值，无最大值． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3．若数列{an}满足an＋1＝an＋2，且a3＋a10＝4，那么数列{an}的前n项和Sn的最小值是(　 ) A．S1 B．S5 C．S6 D．S11 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个．这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前5个数的和为(　 ) A．189 B．190 C．191 D．192 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5．[多选]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝11，a5＝3，则(　 ) A．S5＝35 B．an＝13－2n C．|an|的最小值为0 D．Sn的最大值为36 an＝a1＋(n－1)d＝11－2(n－1)＝13－2n，B正确； √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6．等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为________． S5 ∴Sn的最大值为S5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7．某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要维修费12万元，从第二年起维修费比上一年增加4万元，则前10年维修费总和为________万元． 解析：由题意，从第二年起维修费比上一年增加4万元， 即每年的维修费构成以12为首项，4为公差的等差数列， 300 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．在等差数列{an}中，已知公差d＞0，a3＋a5＝－4，a2a6＝－12，则数列{|an|}的前4项和S4＝______. 20 故an＝2n－10，当n≤4时，an＜0， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9．等差数列{an}满足a4＝11，a7＝2，前n项和为Sn. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求Sn的最大值． 解：(1)设首项为a1，公差为d， 因为等差数列{an}满足a4＝11，a7＝2， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以an＝20－3(n－1)＝23－3n. (2)因为当n≤7时，an＝23－3n>0， 当n≥8时，an＝23－3n<0， 所以Sn的最大值为S7. 因为a7＝23－3×7＝2， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝11，S8＝64. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 解：(1)设{an}的公差为d， ∴an＝17－2n. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 当n≤8时，an>0，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋16n， 当n≥9时，an<0，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a8－(a9＋…＋an)＝S8－(Sn－ S8)＝2S8－Sn＝2(－82＋16×8)－(－n2＋16n)＝n2－16n＋128. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝_______，Sn的最小值为_______． 解析：设数列{an}的公差为d. ∵a2＝a1＋d＝－3，S5＝5a1＋10d＝－10， ∴a1＝－4，d＝1， ∴a5＝a1＋4d＝0， 0　 －10 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴an＝a1＋(n－1)d＝n－5.令an<0，则n<5， 即数列{an}中前4项为负，a5＝0，第6项及以后为正． ∴Sn的最小值为S4＝S5＝－10. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13．设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若对任意n∈N＋都有Sn≤Sk成立，则k的值为________． 20 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴当n＝20时，Sn取得最大值．由对任意n∈N＋都有Sn≤Sk成立，则Sk为数列{Sn}的最大值，因此，k＝20. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．设等差数列的前n项和为Sn.已知a3＝12，S12>0，S13<0. (1)求公差d的取值范围； (2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 由a3＝12，得a1＋2d＝12.③ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)由d<0可知{an}是递减数列， 因此若在1≤n≤12中，使an>0且an＋1<0，则Sn最大． 由于S12＝6(a6＋a7)>0，S13＝13a7<0， 可得a6>0，a7<0，故在S1，S2，…，S12中S6的值最大． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15．某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同公顷数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同公顷数的土地沙化，具体情况如下表所示：   2022年 2023年 2024年 新植公顷数 1 000 1 400 1 800 沙地公顷数 25 200 24 000 22 400 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 而一旦植完，则不会被沙化． (1)每年沙化的土地公顷数为多少？ (2)到哪一年可绿化完全部荒沙地？ 解：(1)依题意，每年比上一年多造林400公顷，其中2023年新植1 400公顷， 故当年沙地应为25 200－1 400＝23 800公顷，而实际沙地面积为24 000公顷， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以2023年沙化土地面积为24 000－23 800＝200公顷， 同理可得2024年沙化土地面积也为200公顷． 所以每年沙化的土地面积为200公顷． (2)设2024年及其以后各年的造林面积分别为a1，a2，a3，…，an， 则an＝1 800＋(n－1)×400＝400n＋1 400， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 由(1)知，每年林木的“有效面积”应比实际面积少200公顷，依题意可得Sn－200n≥24 000， 化简得n2＋7n－120≥0，解得n≥8. 故8年，即到2031年可绿化完全部荒沙地． 解：从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－. 25辆翻斗车完成的工作量为a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480. 解析：由已知可得这20天日跑步量成等差数列，记为{an}，设其公差为d，前n项和为Sn，且a1＝3，则S20＝20a1＋d，即20×3＋d＝98，解得d＝，所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋(n－1)·＝＋.由an>5，得＋>5，解得n>11，所以这20天中老张日跑步量超过5公里的天数为20－11＝9，故选B． (1)等差数列前n项和公式的函数特征 由Sn＝na1＋d＝dn2＋n，当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且不含常数项，即Sn＝An2＋Bn(A≠0)；当d＝0时，Sn＝na1，Sn是关于n的一次函数． [例2]　在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取得最小值． 由题意得解得 (2)法一　Sn＝＝(3n2－21n)＝2－， ∴当n＝3或4时，前n项和取得最小值， 法二　设Sn最小，则 即解得3≤n≤4， 解：法一　因为S3＝S4＝－18为Sn的最小值，由二次函数的图象可知，其对称轴为x＝， 故S7＝×7×(a1＋a7)＝7a4＝0， 由S3＝S11，可得3a1＋d＝11a1＋d，即d＝－a1. 从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1，又a1>0，所以－<0. 由S3＝S11，可知Sn＝an2＋bn的图象关于n＝＝7对称． 由法一可知a＝－<0，故当n＝7时，Sn最大． 等差数列前n项和的最值问题的三种解法 (1)利用an：当a1>0，d<0时，前n项和有最大值，可由an≥0且an＋1≤0，求得n的值；当a1<0，d>0时，前n项和有最小值，可由an≤0且an＋1≥0，求得n的值． (2)利用Sn：由Sn＝n2＋n(d≠0)，利用二次函数配方法求取得最值时n的值． (3)利用二次函数的图象的对称性．　　 ∴6a1＋d＝9a1＋d，化为a1＋7d＝0， [例3]　已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求数列{|an|}的前n项和Tn. 解：a1＝S1＝－×12＋×1＝101. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－3n＋104. 由an＝－3n＋104≥0得n≤34， 法一　①当n≤34时， Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋n. ②当n≥35时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)＝2S34－Sn＝2－＝n2－n＋3 502. 故Tn＝ Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)＝－＝n2－n＋3 502.故Tn＝ (2)若前k项为负，从k＋1项开始以后的项非负，则{|an|}的前n项和Tn＝ (3)若前k项为正，以后各项非正，则Tn＝ (4)也可以分别求出an≥0与an<0的和再相减求出|an|的和． 解析：当n＝1时，a1＝S1＝14，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝15－2n(n≥2)，经检验n＝1时，不成立，故得到an＝令an<0，则15－2n<0，解得n>，且n≥2，n∈N＋.当n≤7时，Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝＋1＝(14－n)n＋1；当n≥8时， Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝ a1＋…＋a7－(a8＋a9＋…＋an)＝S7－(Sn－S7)＝2S7－Sn＝100－(14n－n2＋1)＝n2－14n＋99.故Tn＝T30＝579.故选B． 解析：根据an＋1＝an＋2，可得an＋1－an＝2，所以数列{an}是公差为2的等差数列，再由a3＋a10＝2a1＋11d＝4，可得a1＝－9，所以an＝2n－11，Sn＝－9n＋×2＝n2－10n＝(n－5)2－25，所以前n项和Sn取得最小值时，n＝5.故选B． 解析：根据题意，除以3余2，除以5余3的数，构成首项为8，公差为15的等差数列，则an＝8＋(n－1)×15＝15n－7，所以将这样的正整数由小到大排列，则前5个数的和为＝190.故选B． 解析：设等差数列{an}的公差为d，则a5＝a1＋4d＝11＋4d＝3，解得d＝－2.S5＝5a1＋d＝5×11＋10×(－2)＝35，A正确； |an|＝|13－2n|＝故当n＝6或7时，|an|取最小值1，C错误； Sn＝na1＋＝11n－n(n－1)＝－n2＋12n＝－(n－6)2＋36，故当n＝6时，Sn取得最大值36，D正确．故选ABD． 解析：∵ ∴ 则S10＝10×12＋×10×9×4＝300(万元)． 解析：由 解得或(舍去)． ∴S4＝－＝20. 所以解得 所以S7＝×7＝77. 则⇒ (2)Sn＝＝－n2＋16n， 令an＝17－2n>0⇒n<8.5， 综上所述，Tn＝ B级——应用创新 11．在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，nSn＋1>(n＋1)Sn(n∈N＋)，且<－1，则在Sn中(　 ) A．最小值是S7 B．最小值是S8 C．最大值是S8 D．最大值是S7 解析：由nSn＋1>(n＋1)Sn，得>，即－>0.而－＝，所以d>0.因为<－1，所以<0，即a7(a7＋a8)<0.由于d>0，因此数列{an}是递增数列，所以a7<0，a7＋a8>0，所以a7<0，a8>0，所以在Sn中最小值是S7. 解析：设等差数列{an}的公差为d，由解得 ∴Sn＝na1＋＝39n－n(n－1)＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400. 解：(1)依题意得 即 将③分别代入①②，得 解得－<d<－3. 所以n年造林的面积总和为Sn＝1 800n＋×400， $$