1.2.3 第1课时 等差数列的前n项和（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）  

1.2.3 等差数列的前n项和 等差数列的前n项和 (强基课—梯度进阶式教学) 第1课时 课时目标 了解等差数列前n项和公式的推导过程；掌握等差数列前n项和公式；理解并应用等差数列前n项和的性质． CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 1．等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 ___________________________________________ ________________________________________________ n2d nd (6)在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n)． [提醒]　上述性质可用于小题，大题中要先证再用．性质(2)不要误解为Sn，S2n，S3n，…成等差数列． 基点训练 1．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝－2，则前10项和S10＝(　 ) A．－20 B．－40 C．－60 D．－80 √ 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝18－a5，则S8等于(　 ) A．72 B．54 C．36 D．18 √ 3．已知等差数列{an}，若a2＝10，a5＝1，则{an}的前7项的和是(　 ) A．112 B．51 C．28 D．18 √ 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 [例1]　(1)已知{an}为等差数列，公差d＝2，前n项和为Sn，an＝11，Sn＝35，求a1，n； (2)在等差数列{an}中，已知a2＋a5＝19，S5＝40，求a10. 题型(一)　等差数列前n项和的基本运算 故a10＝2＋3×(10－1)＝29. [变式拓展] 本例(1)中，将“d＝2”改为“a1＝3”，其他条件不变，求n和公差d. 法二　∵a1＝3，an＝11，Sn＝35， 又11＝3＋(5－1)d，∴d＝2. 等差数列中基本计算的两个技巧 (1)利用基本量求值． 方法技巧 (2)利用等差数列的性质解题． 1．等差数列{an}前n项和为Sn，公差d＝－2，S3＝21，则a1的值为(　 ) A．10 B．9 C．6 D．5 针对训练 √ 法二　S3＝21，∴3a2＝21，∴a2＝7，∵a1＝a2－d，∴a1＝9.故选B． 2．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________. 解析：法一　设等差数列{an}的公差为d， 则由a2＋a6＝2，得a1＋d＋a1＋5d＝2， 即－4＋6d＝2，解得d＝1， 25 法二　设等差数列{an}的公差为d， 因为a2＋a6＝2a4＝2， 所以a4＝1， [例2]　在项数为2n＋1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n＝(　 ) A．9 B．10 C．11 D．12 题型(二)　等差数列前n项和的性质及应用 √ [例3]　已知等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}前3m项的和S3m. 解：法一　在等差数列中， ∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列， ∴30,70，S3m－100成等差数列， ∴2×70＝30＋(S3m－100)， ∴S3m＝210. ∴S3m＝210. 方法技巧 3．等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于______． 解析：因为等差数列共有2n＋1项， 针对训练 10 解得n＝10. 2 025 所以S2 025＝1×2 025＝2 025. [例4]　已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋4n(n∈N＋)． (1)求数列{an}的通项公式an； (2)求证：数列{an}是等差数列． 解：(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝3n2＋4n－3(n－1)2－4(n－1)＝6n＋1， 当n＝1时，a1＝S1＝3＋4＝7，满足an＝6n＋1， 即数列{an}的通项公式an＝6n＋1. 题型(三)　等差数列前n项和公式的应用 (2)证明：∵an＝6n＋1， ∴当n≥2时，an－an－1＝6n＋1－6(n－1)－1＝6为常数， 则数列{an}是等差数列． [变式拓展] 若本例中条件变为“数列{an}的前n项和为Sn＝3n2＋4n＋1(n∈N＋)”． 求数列{an}的通项公式并判断数列是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由． 解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2＋4n＋1－3(n－1)2－4(n－1)－1＝6n＋1， 当n＝1时，a1＝S1＝3＋4＋1＝8，不满足an＝6n＋1， 显然{an}不是等差数列． 方法技巧 5．已知一个数列{an}的前n项和Sn＝25n－2n2＋r. (1)当r＝0时，求证：该数列{an}是等差数列； (2)若数列{an}是等差数列，求r满足的条件． 解：(1)证明：当r＝0时，Sn＝25n－2n2，令n＝1，S1＝25－2＝23， 所以n≥2时，Sn－1＝25(n－1)－2(n－1)2， 所以an＝Sn－Sn－1＝25n－2n2－25(n－1)＋2(n－1)2＝27－4n，此时a1＝27－4＝23， 针对训练 所以an＝27－4n，所以an－an－1＝(27－4n)－27＋4(n－1)＝－4， 可得数列{an}是公差为－4的等差数列． (2)Sn＝25n－2n2＋r，令n＝1，得S1＝25－2＋r＝23＋r， 所以n≥2时，Sn－1＝25(n－1)－2(n－1)2＋r， 所以an＝Sn－Sn－1＝25n－2n2－25(n－1)＋2(n－1)2＝27－4n， 所以an－an－1＝(27－4n)－27＋4(n－1)＝－4，可得n≥2时，数列{an}是公差为－4的等差数列， 若数列{an}是等差数列，则a1＝27－4＝23＝23＋r，所以r＝0. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 √ A级——综合提能 1．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　 ) A．－2 B．－1 C．0 D．1 解析：等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，所以λ＝－1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 3．已知等差数列{an}中，a1＝1，Sn为{an}的前n项和，S5＝5S3－5，则S4＝(　 ) A．4 B．－2 C．3 D．－1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝(　 ) A．27 B．45 C．81 D．18 解析：由等差数列{an}，得S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，可得2(S6－S3)＝ S3＋S9－S6，即2×(36－9)＝9＋ S9－S6，解得S9－S6＝45，即a7＋a8＋a9＝45.故选B． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＝5，a1＋S11＝67，则a3a12是{an}中的(　 ) A．第30项 B．第36项 C．第48项 D．第60项 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 所以an＝n，则a3a12＝3×12＝36， 令an＝36，则n＝36，所以a3a12是{an}中的第36项．故选B． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6．已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝2，且S6＝30，则S9＝________. 126 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 所以数列{an}为等差数列，且a1＝S1＝－1，a2＝S2－S1＝3， 设其公差为d，则d＝4，所以an＝4n－5(n∈N＋)． 4n－5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2. 从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)由(1)可知an＝3－2n， 由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35， 即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5. 又k∈N＋，故k＝7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n＋c，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列． 解：当n＝1时，a1＝S1＝2＋c， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n＋c)－[(n－1)2＋(n－1)＋c]＝2n. ①当c＝0时，an＝2n为等差数列； ②当c≠0时，a1＝2＋c≠2×1， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 ∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数， ∴{an}不是等差数列． 故当c＝0时，{an}是等差数列， 当c≠0时，{an}不是等差数列． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－1，在ak和ak＋1之间插入k个2(k∈N＋)形成一个新数列{bn}，则{bn}的前2 024项的和为________． 7 891 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 又在a63与a64之间共有63个2， 所以数列{bn}的前2 024项中包含数列{an}的项有63项，中间插入2的数量为1＋2＋…＋62＋8＝1 961， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，且d>0. ∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3a4＝117， ∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 又公差d>0， ∴a3<a4， ∴a3＝9，a4＝13. ∴an＝4n－3，n∈N＋. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 ∵{bn}是等差数列， ∴2b2＝b1＋b3， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 ∴2c2＋c＝0， Sn＝ Sn＝na1＋d 微点助解 (1)公式Sn＝反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和． (2)由公式Sn＝na1＋d知d＝0时，Sn＝na1；d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”． (3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数． 2．等差数列前n项和的常见性质 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为____. (2)若Sn，S2n，S3n，…分别为等差数列{an}的前n项，前2n项，前3n项，…和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为______. (3)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝. (4)若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝____，＝(S奇≠0)． (5)若等差数列的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1(an＋1是数列的中间项)，S偶－S奇＝－an＋1，＝______ (S奇≠0)． 解析：由公式Sn＝na1＋d得S10＝10×1＋×(－2)＝－80. 解析：由a4＝18－a5，可得a4＋a5＝18，所以S8＝＝4(a4＋a5)＝4×18＝72，故选A． 解析：由题意知，解得则S7＝7a1＋d＝28，故选C． 解：(1)由题设可得 解得或 (2)由题设可得 即解得 解：法一　由 得解得 ∴35＝＝7n，即n＝5. 解析：法一　∵S3＝21，∴3a1＋d＝21，∴a1＋d＝7，∵d＝－2，∴a1＝9. 所以S10＝10×(－2)＋×1＝25. 所以d＝＝＝1， 所以S10＝10×(－2)＋×1＝25. 解析：根据等差数列前n项和的性质可得＝＝，解得n＝10. 法二　在等差数列中，，，成等差数列， ∴＝＋.即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210. 等差数列前n项和运算的几种思维方法 (1)整体思路：利用公式Sn＝，设法求出整体a1＋an，再代入求解． (2)待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可，或利用是关于n的一次函数，设＝an＋b(a≠0)进行计算． (3)利用Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列进行求解． 所以S奇－S偶＝an＋1＝，即132－120＝， 4．已知Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2 023，－＝6，则S2 025＝________. 解析：由等差数列的性质可得数列也为等差数列． 设其公差为d，则－＝6d＝6， 所以d＝1.故＝＋2 024d＝－2 023＋2 024＝1， 所以an＝ 由Sn求得通项公式an的特点：若Sn是关于n的二次函数，不含常数项，则由Sn求得an，知数列{an}是等差数列；否则an＝数列{an}不是等差数列．　　 解析：因为S17＝＝＝17a9＝340，所以a9＝20，又a8＝17，所以d＝a9－a8＝20－17＝3.故选D． 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a8＝17，S17＝340，则数列{an}的公差是(　 ) A．－4 B．－3 C． D．3 解析：记等差数列{an}的公差为d，则S5＝5a1＋10d＝5(3a1＋3d)－5，整理得2a1＋d－1＝0，又a1＝1，所以d＝－1，所以S4＝4×1＋×(－1)＝－2.故选B． 解析：设公差为d， 则解得 解析：由已知可得解得 ∴S9＝9a1＋d＝－90＋36×6＝126. 7．等差数列{an}，{bn}前n项和分别为Sn，Tn，且＝3，则＝________. 解析：由等差数列性质可得＝＝3，解得＝. 8．设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N＋)均在函数y＝2x－3的图象上，则数列{an}的通项公式an＝________. 解析：依题意得＝2n－3，即Sn＝2n2－3n， 所以Sn＝＝2n－n2. ∴数列{an}的通项公式是an＝ B级——应用创新 11．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝(　 ) A． B． C． D． 解析：由已知得＝，可设Sn＝kn(3n＋5)，Tn＝kn(4n＋6)，则a7＝S7－S6＝182k－138k＝44k，b8＝T8－T7＝304k－238k＝66k，即＝＝，故选A． 12．[多选]已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，a2＝2，an＋1＋an＝3n，则(　 ) A．a4＝5 B．S20＝300 C．S31＝720 D．n为奇数时，Sn＝ 解析：由an＋1＋an＝3n，则an＋2＋an＋1＝3(n＋1)，两式作差，得an＋2－an＝3，a1＝1，当n为奇数时，{an}是首项为1，公差为3的等差数列，即an＝n－；a2＝2，当n为偶数时，{an}是首项为2，公差为3的等差数列，即an＝n－1.所以a4＝a2＋3＝5，A正确； S20＝(a1＋a3＋…＋a19)＋(a2＋a4＋…＋a20)＝＋＝300，B正确； S31＝(a1＋a3＋…＋a31)＋(a2＋a4＋…＋a30)＝＋＝721，C错误； n为奇数时，Sn＝＋＝＋＝，D正确．故选ABD． 解析：在数列{bn}中，在ak＋1的前面的所有项的项数为k＋(1＋2＋…＋k)＝≤2 024， 当k＝62时，＝2 015，即在a63的前面的所有项的项数为2 015， 所以数列{bn}的前2 024项和为＋1 961×2＝7 891. 14．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4＝117，a2＋a5＝22. (1)求数列{an}的通项公式an； (2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c. ∴ ∴ (2)由(1)知，Sn＝n×1＋×4＝2n2－n， ∴bn＝＝， ∴b1＝，b2＝，b3＝. ∴c＝－或c＝0(舍去)． 经检验，c＝－符合题意，∴c＝－. $$