5.3.1 第1课时 导数与函数的单调性（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）  

5.3.1 单调性 导数与函数的单调性 (强基课—梯度进阶式教学) 第1课时 课时目标 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．　 2.能利用导数研究函数的单调性． 3．对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间． CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 1．导数与函数单调性的关系 对于函数y＝f(x)， (1)如果在某区间上f′(x)>0，那么f(x)在该区间上单调______； (2)如果在某区间上f′(x)<0，那么f(x)在该区间上单调______． 递增 递减 微点助解 (1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)＞0，则f(x)单调递增(单调递减的情形完全类似)．也就是说，在某区间内f′(x)＞0是f(x)在此区间内单调递增的充分条件，而不是必要条件． (2)利用导数研究函数单调性时应注意的三个问题 ①定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间． ②注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点． ③单调区间的表示：如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开． 2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)内： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 越____ 比较“_______”(向上或向下) 越小 越____ 比较“_______”(向上或向下) 快 陡峭 慢 平缓 基点训练 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在此区间内不增不减或为常数函数．(　 ) (2)如果函数f(x)是定义在R上的增函数，那么一定有f′(x)>0.(　 ) (3)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间内单调递增(减)的充分不必要条件．(　 ) √ × √ 2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　 ) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) √ 解析：∵f(x)＝(x－3)ex，∴f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，由f′(x)>0得x>2，故选D. 3.函数y＝f(x)的图象如图所示，则(　 ) A．f′(3)>0 B．f′(3)<0 C．f′(3)＝0 D．f′(3)的正负不确定 √ 解析：由题图可知，函数f(x)在(1,5)内单调递减，则在(1,5)内有f′(x)<0，故f′(3)<0. 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 题型(一)　利用导数的正负判断函数的单调性 利用导数判断或证明函数单调性的思路 方法技巧 1．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是(　 ) A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．不确定 针对训练 √ 解析：∵f(x)＝2x－sin x，∴f′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数． 题型(二)　利用导数求函数的单调区间 解：(1)y′＝3x2－18x＋24＝3(x－2)(x－4)， 由y′>0，得x<2或x>4； 由y′<0，得2<x<4. ∴函数的单调递增区间为(－∞，2)，(4，＋∞)，单调递减区间为(2,4)． 求函数y＝f(x)单调区间的步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域． (2)求导数y′＝f′(x)． (3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间． (4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．　　 方法技巧 针对训练 [例3]　画出函数f(x)＝2x3－3x2－36x＋16的大致图象． 解：由题可知定义域为R，f′(x)＝6x2－6x－36＝6(x2－x－6)＝6(x－3)(x＋2)． 由f′(x)＞0 得x＜－2或x＞3， 题型(三)　导数与函数图象的关系 ∴函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞)． 由f′(x)＜0得－2＜x＜3，∴函数f(x)的单调递减区间是(－2,3)． 由已知得f(－2)＝60，f(3)＝－65，f(0)＝16. ∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示． (1)由导函数图象画原函数图象的依据：根据f′(x)>0，则f(x)单调递增，f′(x)<0，则f(x)单调递减． (2)由原函数图象画导函数图象的依据：若f(x)单调递增，则f′(x)的图象一定在x轴的上方；若f(x)单调递减，则f′(x)的图象一定在x轴的下方；若f(x)是常函数，则f′(x)＝0. 方法技巧 4．已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的(　 ) 针对训练 √ 解析：由题意可知，当x<0和x>2时，导函数f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当0<x<2时，导函数f′(x)>0，函数f(x)单调递增，故函数f(x)的图象如图D. 5．设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为(　 ) √ 解析：∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上单调递减，在(1,4)内单调递增，∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；当1＜x＜4时，f′(x)＞0. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ A级——综合提能 1．函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，函数y＝f(x)的一个单调递减区间是(　 ) A．(x1，x3) B．(x2，x4) C．(x4，x6) D．(x5，x6) 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析：由题图可知，当x∈(x1，x2)，(x4，x6)时，f′(x)＞0，当x∈(x2，x4)时，f′(x)＜0，∴函数f(x)在(x2，x4)内单调递减，在(x1，x2)，(x4，x6)内单调递增，∴函数y＝f(x)的一个单调递减区间是(x2，x4)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图 所示，则该函数的图象可能是(　 ) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)在(－1,1)内单调递增，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的．则甲是乙的(　 ) A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－1<x<1)，故甲是乙的充分且不必要条件，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5．[多选]下列函数在定义域上为增函数的是(　 ) A．f(x)＝xln x B．f(x)＝ln x＋x C．f(x)＝x－cos x D．f(x)＝x2ex √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 对于C，f(x)＝x－cos x，则f′(x)＝1＋sin x≥0，且f′(x)不恒为0，故f(x)单调递增，故C符合；对于D，函数f(x)＝x2ex，可得f′(x)＝ex(2x＋x2)，当x>0或x<－2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当－2<x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以D不符合题意．故选BC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6．函数f(x)＝2x＋2sin x的单调递增区间是____________． 解析：∵f′(x)＝2＋2cos x，cos x∈[－1,1]，∴f′(x)≥0在R上恒成立，且不恒为0，∴函数的单调递增区间为(－∞，＋∞)． (－∞，＋∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7．已知m是实数，函数f(x)＝x2(x－m)，若f′(－1)＝－1，则函 数f(x)的单调递减区间是________． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知f(x)满足f(4)＝f(－2)＝1，f′(x)为其导函数，且导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则f(x)＜1的解集是________． (－2,4) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由f(x)的导函数f′(x)的图象，知f(x)在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，当x≤0时，由f(x)＜1＝f(－2)，得－2＜x≤0；当x＞0时，由f(x)＜1＝f(4)，得0＜x＜4.综上所述，f(x)＜1的解集为(－2,4)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9．已知函数f(x)＝x3－ax2，a∈R，且f′(－1)＝5. (1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求函数f(x)的单调区间． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：(1)由题设f′(x)＝3x2－2ax， 则f′(－1)＝3＋2a＝5⇒a＝1， 所以f(x)＝x3－x2且f′(x)＝3x2－2x， 则f(1)＝0，f′(1)＝1， 所以在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1， 即x－y－1＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：(1)因为f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——应用创新 11. 已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′ (x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中y＝f(x)的 图象大致是(　 ) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由函数y＝xf′(x)的图象可知，当x＜－1时，xf′(x)＜0，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增；当－1＜x＜0时，xf′(x)＞0，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减；当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减；当x＞1时，xf′(x)＞0，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 12．[多选]若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是(　 ) A．f(x)＝2－x B．f(x)＝x2＋2 C．f(x)＝3－x D．f(x)＝cos x √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 对于B，g(x)＝(x2＋2)ex，g′(x)＝(x2＋2x＋2)ex＝[(x＋1)2＋1]ex>0，所以g(x)在定义域R上是增函数，故B正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 当x∈(0,1)时，ln x<0，ex>0，所以f(x)<0，所以当x∈(0,1)时，f(x)的图象位于x轴下方，所以B正确． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 故存在x0∈(1，e)，使得g(x0)＝0，则方程f′(x)＝0只有一个根x0，当x∈(0,1)和x∈(1，x0)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(x0，＋∞)时，函数f(x)单调递增， 所以函数f(x)有三个单调区间，所以C正确，D不正确．故选BC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是________________． 解析：因为在(0，＋∞)上f′(x)>0，所以f(x)在 (0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，所以f(－1) ＝f(1)＝0，且f(x)在(－∞，0)上单调递减，f(x)的草 图如图所示， 所以xf(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)． (－∞，－1)∪(0,1) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 可知h(x)在(0，＋∞)上单调递减，由h(1)＝0知， 当0<x<1时，h(x)>h(1)＝0，故f′(x)>0； 当x>1时，h(x)<h(1)＝0，故f′(x)<0. 综上，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)． [例1]　判断下列函数的单调性． (1)f(x)＝x2－ln x；(2)f(x)＝； (3)f(x)＝x3＋. 解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝2x－＝， 因为x>0，所以x＋1>0，令f′(x)>0，解得x>，所以函数f(x)在上单调递增； 令f′(x)<0，解得0<x<， 所以函数f(x)在内单调递减． (2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， f′(x)＝＝， 因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0，令f′(x)>0，得x>3，所以函数f(x)在(3，＋∞)上单调递增； 令f′(x)<0，得x<3，又x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以函数f(x)在(－∞，2)和(2,3)内单调递减． (3)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， f′(x)＝3x2－＝3， 令f′(x)>0，得x<－1或x>1， 所以函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增；令f′(x)<0，得－1<x<1且x≠0， 所以函数f(x)在(－1,0)和(0,1)内单调递减． 2．求证：f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上单调递增． 证明：∵f(x)＝ex＋，∴f′(x)＝ex－e－x＝e－x(e2x－1)，当x∈(0，＋∞)时，由指数函数的性质知e－x>0，e2x>1，∴f′(x)>0，因此函数f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上单调递增． [例2]　确定下列函数的单调区间． (1)y＝x3－9x2＋24x； (2)f(x)＝(x>0且x≠1)． (2)f′(x)＝－，若f′(x)＝0，则x＝，列表如下： x (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － － f(x)  －e   ∴f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，(1，＋∞)． 3．求函数f(x)＝x＋(b>0)的单调区间． 解：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝′＝1－，令f′(x)>0， 则(x＋)(x－)>0， ∴x> 或x<－. ∴函数的单调递增区间为 (－∞，－)和(，＋∞)． 令f′(x)<0，则(x＋)(x－)<0， ∴－<x<，且x≠0. ∴函数的单调递减区间为(－，0)和(0，)． 综上所述，函数的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，单调递减区间为(－，0)和(0，)． 2．函数f(x)＝x－ln x的单调递增区间为(　 ) A．(0,1) B．(0，e) C．(1，＋∞) D. 解析：f(x)＝x－ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－＝，由f′(x)＞0得x>1，所以f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)．故选C. 解析：对于A，函数f(x)＝xln x，可得f′(x)＝ln x＋1(x>0)，当x>时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当0<x<时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以A不符合题意；对于B，函数f(x)＝ln x＋x，可得f′(x)＝＋1(x>0)，当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故B符合； 解析：f′(x)＝2x(x－m)＋x2，因为f′(－1)＝－1，所以－2(－1－m)＋1＝－1，解得m＝－2.令f′(x)＝2x(x＋2)＋x2<0，解得－<x<0，得函数f(x)的单调递减区间是. (2)由(1)知f′(x)＝x(3x－2)， 当f′(x)＞0时，x<0或x>， 当f′(x)<0时，0<x<. 所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，，单调递减区间为. 10．已知函数f(x)＝的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0. (1)求函数y＝f(x)的解析式； (2)求函数f(x)的单调区间． 所以f′(－1)＝－，且－1＋2f(－1)＋5＝0， 即f(－1)＝－2，即＝－2　①， 又f′(x)＝， 所以＝－　②. 由①②得a＝2，b＝3. (因为b＋1≠0，所以b＝－1舍去) 所以所求函数的解析式是f(x)＝. (2)由(1)知，f′(x)＝. 令－2x2＋12x＋6＝0， 解得x1＝3－2，x2＝3＋2， 则当x<3－2或x>3＋2时，f′(x)<0； 当3－2<x<3＋2时，f′(x)>0. 故f(x)＝的单调递增区间是(3－2，3＋2)，单调递减区间是(－∞，3－2)和(3＋2，＋∞)． 解析：设g(x)＝exf(x)，对于A，g(x)＝ex·2－x＝x在定义域R上是增函数，故A正确； 对于C，g(x)＝ex·3－x＝x在定义域R上是减函数，故C不正确； 对于D，g(x)＝excos x，则g′(x)＝excos，g′(x)>0在定义域R上不恒成立，故D不正确． 13．[多选]设函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　 ) A．f(x)的定义域是(0，＋∞) B．当x∈(0,1)时，f(x)的图象位于x轴下方 C．f(x)存在单调递增区间 D．f(x)有两个单调区间 解析：由得x>0且x≠1，所以函数f(x)＝的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，所以A不正确． f′(x)＝，令g(x)＝ln x－，则g′(x)＝＋>0，所以函数g(x)单调递增，g(1)＝－1<0，g(e)＝1－>0， 15．已知函数f(x)＝(k为常数，e为自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行． (1)求实数k的值； (2)求函数f(x)的单调区间． 解：(1)由f(x)＝，可得f′(x)＝. ∵曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行， ∴f′(1)＝0，即＝0，解得k＝1. (2)由(1)知，f′(x)＝(x>0)， 设h(x)＝－ln x－1(x>0)， 则h′(x)＝－－<0. $$