2.1 第2课时 圆的一般方程（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）  

圆的一般方程 (强基课—梯度进阶式教学) 第 2 课时 课时目标 1.理解圆的一般方程及其特点，能进行圆的一般方程与标准方程的互化． 2．会求圆的一般方程以及与圆有关的简单轨迹问题． CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 (D2＋E2－4F>0) 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 微点助解 1．圆的一般方程形式上的特点 (1)x2，y2的系数均为1； (2)没有xy项； (3)D2＋E2－4F>0. 基点训练 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程． (　 ) (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程． (　 ) (3)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0. (　 ) (4)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圆． (　 ) √　 ×　 √　 × 2．圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心坐标和半径分别是(　 ) A．(－1,2)，3 B．(1，－2)，3 C．(－1,2)，1 D．(1，－2)，1 解析：将圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0化为标准方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圆心坐标为(－1,2)，半径为3. √ √ 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 题型(一)　圆的一般方程的概念 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法 (1)配方法．对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆． (2)运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F是否为正，确定它是否表示圆． 方法技巧 [提醒]　在利用D2＋E2－4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数． 1．若方程x2＋y2＋2kx－4y＋k2＋k－2＝0表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是(　 ) A．(－6，＋∞) B．[－6，＋∞) C．(－∞，6] D．(－∞，6) 针对训练 √ √ [例2]　已知圆M经过点A(2，－2)，B(－4,6)，C(4,2)．求圆M的方程． 题型(二)　求圆的一般方程 待定系数法求圆的一般方程的步骤 (1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． (2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组． (3)解此方程组，求出D，E，F的值． (4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程． 方法技巧 3．已知圆C经过两点A(0,2)，B(4,6)，且圆心C在直线l：2x－y－3＝0上，则圆C的方程为(　 ) A．x2＋y2－6x－6y－16＝0 B．x2＋y2－2x＋2y－8＝0 C．x2＋y2－6x－6y＋8＝0 D．x2＋y2－2x＋2y－56＝0 针对训练 √ √ [例3]　点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 题型(三)　与圆有关的轨迹问题 解：(1)设线段AP的中点M(x，y)， 由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x－2,2y)． ∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设线段PQ的中点N(x，y)，在Rt△PBQ中，PN＝BN. 设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ， ∴OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2， ∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4， 故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 1．若本例条件不变，求过点B的弦的中点T的轨迹方程． 解：设T(x，y)． 因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT. 当斜率存在时，有kOT·kBT＝－1. 变式拓展 2．若本例条件变为从定点A(6,8)向圆x2＋y2＝16任意引一条割线交圆于P1，P2两点，求弦P1P2的中点P的轨迹． 求与轨迹问题有关的圆的方程 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 方法技巧 5．已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且AM＝2，则点A的轨迹方程是(　 ) A．y2＝4x B．x2＋y2－2x－2y－3＝0 C．x2＋y2－2y－3＝0 D．y2＝－4x 针对训练 √ 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为(－2,3)，则D，E分别为(　 ) A．4，－6 B．－4，－6 C．－4,6 D．4,6 3．[多选]已知圆x2＋y2－4x－1＝0，则下列说法正确的是(　 ) A．关于点(2,0)对称 B．关于直线y＝0对称 C．关于直线x＋3y－2＝0对称 D．关于直线x－y＋2＝0对称 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析： x2＋y2－4x－1＝0⇒(x－2)2＋y2＝5，即圆心的坐标为(2,0)．圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，故A正确； 圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，直线x＋3y－2＝0过圆心，直线x－y＋2＝0不过圆心，故B、C正确，D错误． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6．若点P(1,1)在圆C：x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，则实数k的取值范围是________． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7．已知圆C：x2＋y2＋2x＋my＋4＝0关于直线x＋2y－3＝0对称，则圆心C的坐标为________． (－1,2) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 x2＋y2＝4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9．已知方程x2＋y2＋2mx＋4y＋2m2－3m＝0表示一个圆． (1)求实数m的取值范围； (2)求圆的周长的最大值． 解：(1)原方程可化为(x＋m)2＋(y＋2)2＝－m2＋3m＋4，若方程表示一个圆，则－m2＋3m＋4>0，解得－1<m<4，即实数m的取值范围是(－1,4)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10．已知△ABC的三个顶点为A(－1,1)，B(－4，0)，C(4，－4)． (1)求△ABC外接圆O1的方程； (2)判断点M1(3，－1)，M2(2，－3)是否在这个圆上． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．已知直线l：ax＋by－3＝0经过点(a，b－2)，则原点到点P(a，b)的距离可以是______________．(写出你认为正确的一个常数) 解析：由于直线l：ax＋by－3＝0经过点(a，b－2)，即a2＋b(b－2)－3＝0，即a2＋(b－1)2＝4，故P(a，b)在以(0,1)为圆心，2为半径的圆上，由于02＋(0－1)2<4，即原点在该圆内，故OP∈[1,3]，则原点到点P(a，b)的距离可以是2. 2(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作▱MONP，求点P的轨迹方程． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 因为平行四边形的对角线互相平分， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1．圆的一般方程 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0_______________叫作圆的一般方程．圆心为______________，半径为______________. 方程 条件 图形 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心， 为半径的圆 2．在圆的一般方程中，系数D，E，F没有明显的几何意义，但配方后却有着明确的几何意义，表示圆心， 表示半径． 3．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0. 3．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是(　 ) A．(－∞，－2) B．(－2，2) C．[－2，2] D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析：法一：配方法　将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程为2＋(y－1)2＝－2.由该方程表示圆可得－2>0，解得m<－2或m>2. 法二：判别式法　由圆的一般方程表示圆的条件得m2＋(－2)2－4×3>0，即m2－8>0，解得m<－2或m>2. [例1]　已知方程x2＋y2＋(t＋1)x＋ty＋t2－2＝0表示一个圆． (1)求t的取值范围； (2)若圆的直径为6，求t的值． 解：(1)由题意，方程x2＋y2＋(t＋1)x＋ty＋t2－2＝0表示圆， 则满足D2＋E2－4F＝(t＋1)2＋t2－4(t2－2)＝2t＋9>0，解得t>－， 即t的取值范围为. (2)由圆的直径为6，可得r＝ ＝ ＝3，解得t＝. 解析：由方程x2＋y2＋2kx－4y＋k2＋k－2＝0可得(x＋k)2＋(y－2)2＝6－k，所以当r＝>0时表示圆，解得k<6. 2．方程x2＋y2＋ax＋(2b－1)y－1－b2＝0表示圆心在y轴上的圆，当半径最小时，方程为(　 ) A．x2＋2＝1 B．x2＋(y－1)2＝2 C．x2＋2＝ D．x2＋2＝ 解析：由题意得a＝0，则x2＋y2＋(2b－1)y－1－b2＝0，x2＋2＝1＋b2＋，则r2＝1＋b2＋＝b2－b＋，对称轴为b＝，代入得最小值为，此时圆的方程为x2＋2＝. 解：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，把A(2，－2)，B(－4,6)，C(4,2)三个点代入得解得 所以圆M的方程为x2＋y2＋2x－4y－20＝0， 即(x＋1)2＋(y－2)2＝25. 解析：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心坐标为，因为圆C经过两点A(0，2)，B(4,6)，且圆心C在直线l：2x－y－3＝0上，所以解得所以圆C的方程为x2＋y2－6x－6y＋8＝0. 4．已知A(0,0)，B(2,0)，C(2，－2)，H(m，－1)四点共圆，则实数m的值为(　 ) A.±1 B.＋1 C.－1 D．1± 解析：设过四点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，将A(0,0)，B(2,0)，C(2，－2)代入可得解得所以圆的方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，将H(m，－1)代入圆的方程得m2－2m－1＝0，解得m＝1±，故选D. 即·＝－1，整理得x2＋y2－x－y＝0. 当x＝0或x＝1时，点(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)也都在圆上． 故所求轨迹方程为x2＋y2－x－y＝0. 解：由题意知OP⊥AP，取OA的中点M，则M(3,4)，PM＝OA＝ ＝5. 由圆的定义知其轨迹方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25. 所以P的轨迹是以(3,4)为圆心，5为半径的圆． 解析：因为圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心C(1,1)，半径r＝1.因为点M是圆上的动点，所以MC＝1.又AM与圆相切，且AM＝2，则AC＝＝，设A(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2－2x－2y－3＝0，所以点A的轨迹方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0.故选B. A级——综合提能 1．若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是(　 ) A. B. C. D. 解析：根据题意，得(－1)2＋12－4×(－2m)>0，所以m>－. 解析：圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为，又已知该圆的圆心坐标为(－2,3)，∴－＝－2，－＝3，∴D＝4，E＝－6. 4．圆心在射线y＝x(x≤0)上，半径为5，且经过坐标原点的圆的方程为(　 ) A．x2＋y2－8x－6y＝0 B．x2＋y2－6x－8y＝0 C．x2＋y2＋8x＋6y＝0 D．x2＋y2＋6x＋8y＝0 解析：因为圆心在射线y＝x(x≤0)上，故设圆心为(a≤0)，又半径为5，且经过坐标原点，所以 ＝5，解得a＝－4或a＝4(舍去)，即圆的圆心坐标为(－4，－3)，则圆的方程为(x＋4)2＋(y＋3)2＝25，即x2＋y2＋8x＋6y＝0. 5．已知圆C上有三个点A(0，)，B(2，)，C(1,0)，则圆C的面积为(　 ) A.π B.π C.π D.π 解析：由题意，设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∴解得D＝－2，E＝－，F＝1，故圆的一般方程为x2＋y2－2x－y＋1＝0⇔(x－1)2＋2＝，故圆的半径r＝，圆的面积S＝πr2＝π. 解析：易知解得－2<k<. 解析：由已知得4＋m2－16>0，解得m>2或m<－2，圆C：(x＋1)2＋2＝－3，圆心为，若圆C关于直线x＋2y－3＝0对称，则－1－×2－3＝0，解得m＝－4，所以圆心C的坐标为(－1,2)． 8．已知点M到两个定点A(1,0)，B(4,0)的距离比为，则点M的轨迹方程为___________． 解析：设M(x，y)，则MA＝，MB＝.故＝＝，两边平方并化简得x2＋y2＝4.所以点M的轨迹方程为x2＋y2＝4. (2)圆的半径r＝＝≤，当且仅当m＝时，半径r取得最大值，所以圆的周长的最大值为5π. 解：(1)设△ABC外接圆O1的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． 由已知可得方程组 解得 则圆O1的方程为x2＋y2＋2x＋8y－8＝0. (2)圆O1的标准方程可化为(x＋1)2＋(y＋4)2＝25. 把点M1(3，－1)的坐标代入圆O1的方程，得(3＋1)2＋(－1＋4)2＝25， 即点M1的坐标满足圆O1的方程，所以点M1在这个圆上，把点M2(2，－3)的坐标代入圆O1的方程得(2＋1)2＋(－3＋4)2＝10≠25， 即点M2的坐标不满足圆O1的方程，所以点M2不在这个圆上． B级——应用创新 11．[多选]已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，则(　 ) A．D＝2 B．D＝－2 C．E＝－4 D．E＝4 解析：圆心C，因为圆心在直线x＋y－1＝0上，所以－－－1＝0，即D＋E＝－2①， 又r＝＝，所以D2＋E2＝20②， 由①②可得或 又圆心在第二象限，所以－＜0，即D＞0，所以 12．在平面几何中，将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆就是以该线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆就是该三角形的外接圆．若A(－2,0)，B(2,0)，C(0,4)，则△ABC的最小覆盖圆的半径为(　 ) A. B．2 C. D．3 解析：∵A(－2,0)，B(2,0)，C(0,4)，∴△ABC为锐角三角形， ∴△ABC的外接圆就是它的最小覆盖圆，设△ABC外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得 ∴△ABC的最小覆盖圆方程为x2＋y2－3y－4＝0，即x2＋2＝， ∴△ABC的最小覆盖圆的半径为. 13．在平面直角坐标系中，圆E与两坐标轴交于A，B，C，D四点，其中A(－2,0)，B(0，－3)，点C在x轴正半轴上，点D在y轴的正半轴上，圆E的内接四边形ABCD的面积为，则圆E的方程为(　 ) A．x2＋y2＋x＋y＝2 B．x2＋y2－x＋y＝6 C．x2＋y2－4x－y＝12 D．x2＋y2＋x＋2y＝3 解析：设C(c,0)，D(0，d)(c>0，d>0)，则S四边形ABCD＝(c＋2)(d＋3)＝.又因为OA·OC＝2c＝OB·OD＝3d，解得c＝3，d＝2(舍负)，因此圆心E，r2＝，圆E的方程为2＋2＝，即x2＋y2－x＋y＝6，故B正确． 解：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为. 故＝，＝，则 即N(x＋3，y－4)． 又点N在圆x2＋y2＝4上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4. 由于O，M，N共线时不能作▱MONP， 又lOM：y＝－x， 与圆P方程联立 解得或 因此点P的轨迹为圆，其轨迹方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4， 但应除去两点和. $$