1.4 两条直线的交点（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）  

1．4 两条直线的交点 (概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系． CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　两条直线的交点坐标 逐点清(二)　两条直线的位置 关系的判断 逐点清(三)　过两条直线交点 的直线系方程 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　两条直线的交点坐标 01 多维度理解 设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的________；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点．   公共解 细微点练明 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若点A(1，－1)在直线Ax＋By＝0上，则A＝B. (　 ) (2)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交． (　 ) (3)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解． (　 ) (4)若直线2x＋y＋1＝0与直线x－y－4＝0的交点为(a，b)，则a－b＝4. (　 ) √　 ×　 √　 √ 2．直线x－2y－6＝0与直线2x＋y－2＝0的交点坐标为(　 ) A．(0，－3) B．(1,0) C．(3，－4) D．(2，－2) √ √ √ 5．已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________． 逐点清(二)　两条直线的 位置关系的判断 02 多维度理解 方程组的解的组数与两直线的位置关系 一 无数 零 相交 重合 平行 微点助解 (1)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用． (2)两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0. 细微点练明 √ 2．直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0相交，则实数k的值为(　 ) A．k≠1或k≠9 B．k≠1或k≠－9 C．k≠1且k≠9 D．k≠1且k≠－9 √ 解析：因为直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0相交，则3(2k－3)－k[－(k＋2)]≠0，即(k＋9)(k－1)≠0，解得k≠1且k≠－9，所以实数k的值为k≠1且k≠－9. 3．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出交点坐标． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. 逐点清(三)　过两条直线交点 的直线系方程 03 过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)． [典例]　已知两条直线l1：x＋2y－6＝0和l2：x－2y＋2＝0的交点为P.求： (1)过点P与Q(1,4)的直线方程； (2)过点P且与直线x－3y－1＝0垂直的直线方程． 解：设过直线l1：x＋2y－6＝0和l2：x－2y＋2＝0交点的直线方程为x＋2y－6＋m(x－2y＋2)＝0， 即(m＋1)x＋(2－2m)y＋2m－6＝0①. [方法技巧]　求过两条直线交点的直线方程的方法 方程 组法 一般是先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件求出直线方程 直线 系法 先设出过两直线交点的直线系方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程 　[针对训练] 1．无论k为何值，直线(k＋2)x＋(1－k)y－4k－5＝0都过一个定点，则该定点为(　 ) A．(1,3) B．(－1,3) C．(3,1) D．(3，－1) √ 2．经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为(　 ) A．x＋y＋1＝0 B．x－y＋1＝0 C．x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0 D．x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0 √ 课时跟踪检测 04 1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　 ) A．(3,2) B．(2,3) C．(－2，－3) D．(－3，－2) 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 2．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点(　 ) A．(－3，－1) B．(－2，－1) C．(－3,1) D．(－2,1) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．若直线2x－y＋m＝0和直线3x－y＋3＝0的交点在第二象限，则m的取值范围为(　 ) A．(－∞，3) B．(2，＋∞) C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(2,3) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 6．若直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p的值为(　 ) A．20 B．－4 C．12 D．4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，所以2m＋4×(－5)＝0，解得m＝10，所以直线mx＋4y－2＝0为5x＋2y－1＝0，又垂足为(1，p)，可得5×1＋2p－1＝0，解得p＝－2，则垂足为(1，－2)．又其在2x－5y＋n＝0上，可得2×1－5×(－2)＋n＝0，解得n＝－12.所以m－n＋p＝10－(－12)＋(－2)＝20. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：直线l1：(a＋1)x＋ay＋2＝0，l2：ax＋(1－a)y－1＝0，若l1⊥l2，则a(a＋1)＋a(1－a)＝0，解得a＝0，即a2＝0，故A错误； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为_____________． 2x＋y－4＝0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12．已知直线l经过直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点P，且垂直于直线x＋y－2＝0，则直线l的方程为____________． x－y－1＝0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13．已知定点A(0,1)，点B在直线x＋y＋1＝0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是________． 解析：当直线AB和直线x＋y＋1＝0互相垂直时，线段AB最短．即直线AB 的方程的斜率为k＝1，所以直线AB的方程为y＝x＋1. (－1,0) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．已知平行四边形ABCD中，AB边所在直线方程为x＋y－1＝0，AD边所在直线方程为3x－y＋4＝0. (1)求点A的坐标； (2)若点C的坐标为(3,3)，分别求BC与DC边所在直线的方程． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB∥CD，设CD边所在直线的方程为x＋y＋m＝0，代入点C的坐标(3,3)，得m＝－6， 所以CD边所在直线的方程为x＋y－6＝0， 同理AD∥BC，设BC边所在直线的方程为3x－y＋n＝0，代入点C的坐标(3,3)，得n＝－6， 所以BC边所在直线的方程为3x－y－6＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.如图，已知在△ABC中，A(－8，2)，AB 边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0， AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由解得则交点坐标为(2，－2)． 3．直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为(　 ) A．－24 B．24 C．6 D．±6 解析：联立解得因为直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，所以y＝＝0，解得k＝－24. 4．若三条直线2x＋ky＋8＝0，x－y－1＝0和2x－y＝0交于一点，则k的值为(　 ) A．－2 B．－ C．3 D. 解析：联立解得把代入2x＋ky＋8＝0得k＝3.故选C. 解析：联立方程组解得即交点坐标为， 因为交点位于第四象限， 所以>0且<0， 解得－<a<2，即a的取值范围是. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1，l2的公共点 _____个 ______个 ____个 直线l1，l2的位置关系 _______ _____ _____ 1．若关于x，y的方程组无解，则m＝(　 ) A. B．－ C．2 D．－2 解析：由题意知，直线2x＋y＝1与直线x＋my＝1平行，故2m－1＝0，解得m＝. 解：(1)联立方程组解得因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． (2)联立方程组 ①×2得4x－12y＋8＝0. ①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线，直线l1与l2重合． (3)联立方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. (1)把点Q(1,4)代入方程①， 化简得3－5m＝0，解得m＝. 所以过两直线交点P与Q的直线方程为 x＋y－＝0，即2x＋y－6＝0. (2)由直线①与直线x－3y－1＝0垂直， 得m＋1－3(2－2m)＝0，解得m＝， 所以所求直线的方程为x＋y－＝0， 即3x＋y－8＝0. 解析：直线方程可化为2x＋y－5＋k(x－y－4)＝0，则此直线过直线2x＋y－5＝0和直线x－y－4＝0的交点．由解得因此所求定点为(3，－1)． 解析：设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0，即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝.由＝，得λ＝或λ＝.所以直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0. 解析：解方程组得 解析：直线l的方程可化为m(x＋2y＋1)－x－3y＝0，令解得∴直线l恒过定点(－3,1)． 3．若直线y＝－2x＋4与直线y＝kx的交点在直线y＝x＋2上，则实数k＝(　 ) A．4 B．2 C. D. 解析：解方程组得直线y＝－2x＋4与直线y＝x＋2的交点，依题意，＝k，解得k＝4，所以实数k＝4. 解析：联立解得所以交点为(m－3,3m－6)，由于(m－3,3m－6)在第二象限，所以解得2<m<3，所以m的取值范围为(2,3)，故选D. 5．过两直线x＋y－3＝0,2x－y＝0的交点，且与直线y＝x平行的直线方程为(　 ) A．x＋3y＋5＝0 B．x＋3y－5＝0 C．x－3y＋5＝0 D．x－3y－5＝0 解析：由解得则直线x＋y－3＝0,2x－y＝0的交点为(1,2)．又直线y＝x的斜率为，则所求直线方程为y－2＝(x－1)，整理得x－3y＋5＝0. 7．设直线kx－y－k＋＝0过定点A，直线2kx－y－8k＝0过定点B，则直线AB的倾斜角为(　 ) A. B. C. D. 解析： kx－y－k＋＝0可变形为k(x－1)－(y－)＝0，令解得所以点A的坐标为(1，)，2kx－y－8k＝0可变形为k(2x－8)－y＝0，令解得所以点B的坐标为(4,0)，所以直线AB的斜率为＝－，故直线AB的倾斜角为. 8．下面三条直线l1：3x＋y＝4，l2：x－y＝0，l3：2x－3my＝4不能构成三角形，则m的取值范围是(　 ) A. B. C. D. 解析：由解得即直线l1与l2的交点为M(1,1)，因为直线l1：3x＋y＝4，l2：x－y＝0，l3：2x－3my＝4不能构成三角形，所以l3过点M，或l3分别与l1，l2平行，若l3过点M，则2－3m＝4，即m＝－；若l3∥l1，则＝－3，即m＝－；若l3∥l2，则＝1，所以m＝.综上，m的可能取值为－，，－. 9．[多选]已知直线l1：(a＋1)x＋ay＋2＝0，l2：ax＋(1－a)y－1＝0，则(　 ) A．若l1⊥l2，则a2＝1 B．若l1∥l2，则a2＝ C．当a＝1时，l1与l2相交，交点为(1，－2) D．当0≤a≤1时，l2不经过第三象限 若l1∥l2，则解得a2＝，故B正确； 当a＝1时，直线l1：2x＋y＋2＝0，l2：x－1＝0，∴l1与l2相交，交点为(1，－4)，故C错误； 当a＝1时，l2：x－1＝0，不经过第三象限；当0<a<1时，x＝0时，y＝>0，当y＝0时，x＝>0，∴l2不经过第三象限；当a＝0时，l2：y－1＝0，不经过第三象限．综上，当0≤a≤1时，l2不经过第三象限，故D正确． 10．已知直线l1：x＋2y－6＝0，l2：x－y－3＝0，则l1，l2，x轴及y轴围成的四边形的面积为(　 ) A．8 B．6 C. D．3 解析：解方程组得即直线l1，l2的交点坐标为(4,1)；直线l1：x＋2y－6＝0与x轴、y轴的交点坐标分别为(6,0)，(0,3)； 直线l2：x－y－3＝0与x轴、y轴的交点坐标分别为(3,0)，(0，－3)．如图所示，可得所求四边形的面积为×6×3－×3×1＝. ∴交点坐标为(0,4)，即y－4＝－2x， ∴所求直线方程为2x＋y－4＝0. 解析：法一　由方程组得 法二　设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0，∴k＝＝－2，解得λ＝5. ∴所求直线方程为2x＋y－4＝0. 解析：由得即点P的坐标为(2,1)，因为直线l与直线x＋y－2＝0垂直，所以直线l的斜率为1，由点斜式得直线l的方程为y－1＝1×(x－2)，即x－y－1＝0. 联立解得即B(－1,0)． 解：(1)联立解得所以A. 解：设B(x0，y0)，则AB的中点E的坐标为， 由条件可得 解得即B(6,4)． 同理可求得C点的坐标为(5,0)．故所求直线BC的方程为＝，即4x－y－20＝0. $$