第1章 板块综合融会 对称问题及应用(习题课—小结评价式教学)（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）  

板块综合融会　对称问题及应用(习题课—小结评价式教学) 直线是解析几何中最基本的一种曲线．直线中的对称问题是研究其他曲线对称性的基础，是解析几何中重要的基础内容．对称点、对称直线的求法及对称问题的简单应用，在解题过程中所体现的思想与方法是学生必须掌握的．中学教材对本部分内容没有系统编排，本课时对其进行了适当的归纳总结． CONTENTS 目录 1 2 3 融通点(一)　几类常见的对称问题 融通点(二)　光的反射问题 融通点(三)　利用对称解决距离 的最值问题 4 课时跟踪检测 融通点(一) 几类常见的对称问题 01 [例1]　已知直线l：y＝3x＋3，求： (1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标； (2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程； (3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程． 解：(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)， 则线段PP′的中点在直线l上， 且直线PP′垂直于直线l， 在直线y＝x－2上任取一点M(2,0)， 设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)， (3)在直线l上取两点E(0,3)，F(－1,0)， 则E，F关于点A(3,2)的对称点分别为 E′(6,1)，F′(7，4)． 因为点E′，F′在所求直线上， 方法技巧 (2)直线关于直线的对称 一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．　　 针对训练 1．点(1,2)关于直线x－2y－2＝0的对称点坐标是(　 ) A．(－1，－4) B．(3，－2) C．(0,4) D．(－1,6) √ 解析：设点P(1,2)关于直线x－2y－2＝0的对称点坐标为Q(a，b)， 由①②解得a＝3，b＝－2. 则点P(1,2)关于直线x－2y－2＝0的对称点坐标为(3，－2)． √ 2．直线l：4x＋3y－2＝0关于点A(1,1)对称的直线方程为(　 ) A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 解析：设直线l：4x＋3y－2＝0关于点A(1,1)对称的直线上任意一点P(x，y)， 则P(x，y)关于A(1,1)对称点为(2－x,2－y)， 又因为(2－x，2－y)在4x＋3y－2＝0上， 所以4(2－x)＋3(2－y)－2＝0， 即4x＋3y－12＝0. 3．若直线y＝ax＋2与y＝3x－6关于直线y＝x对称，则实数a＝______. 融通点(二)　光的反射问题 02 [例2]　已知光线从点A(－2,4)射出，经直线l：2x－y－7＝0反射，反射光线过点B(5,8)．求： (1)反射光线所在直线的方程； (2)光线从点A到点B经过的路程． 解：(1)设点A关于l的对称点为A′(x0，y0)， 方法技巧 利用对称解决光线反射问题的方法 针对训练 (2)由题可设所求直线方程为x－3y＋c＝0， 融通点(三)　利用对称解决距离 的最值问题 03 [例3]　已知平面上两点A(4,1)和B(0,4)，在直线l：3x－y－1＝0上求一点M. (1)使||MA|－|MB||最大； (2)使|MA|＋|MB|最小． 解：(1)如图，设C(m，n)为B关于直线l的对称点， 即C(3,3)，由|MB|＝|MC|， (2)要使|MA|＋|MB|最小， 只需A，B，M共线， 所以(|MA|＋|MB|)min＝|AB|＝5. 方法技巧 利用对称性求距离的最值问题 由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解．　　 针对训练 √ 解析：设点M(1,3)关于直线x－y＋1＝0的对称点为M′(x0，y0)， ∴M′(2,2)， 又N(3，－1)， √ 设点A(1,1)关于直线x＋y＋1＝0的对称点为A′(x0，y0)， 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 √ A级——综合提能 1．点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是(　 ) A．(－1，－3) B．(17，－9) C．(－1,3) D．(－17,9) 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 解析：设点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标为(a，b)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 2．直线2x＋3y－6＝0关于点(－1,2)对称的直线方程是(　 ) A．3x－2y－10＝0 B．3x－2y－23＝0 C．2x＋3y－4＝0 D．2x＋3y－2＝0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析：设对称的直线方程上的一点的坐标为(x，y)， 则其关于点(－1,2)对称的点的坐标为(－2－x,4－y)， 因为点(－2－x,4－y)在直线2x＋3y－6＝0上， 所以2(－2－x)＋3(4－y)－6＝0即2x＋3y－2＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 3．直线x－2y＋1＝0 关于直线x＝1对称的直线方程是(　 ) A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题意知，k＝tan 45°＝1， 设点(4,2)关于直线y＝x＋1的对称点为(m，n)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A(1,1)，若将军从山脚下的点B(4,4)处出发，河岸线所在直线l的方程为x－y＋1＝0，则“将军饮马”的最短总路程是(　 ) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：如图，设B(4,4)关于直线x－y＋1＝0对称的点为C(a，b)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6．将一张坐标纸折叠一次，使点(3,2)与点(1,4)重合，则折痕所在直线的一般式方程为________________． x－y＋1＝0 ∴折痕所在直线斜率k′＝1. 又点(3,2)与点(1,4)的中点为(2,3)， ∴折痕所在直线方程为y－3＝x－2， 即x－y＋1＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7．已知一条光线从点P(7,5)射入，经x轴反射后沿直线x－ay＋3＝0射出，则a＝________. 解析：点P(7,5)关于x轴对称的点为P′(7，－5)，由题意可知，反射光线经过点P′(7，－5)，将点P′(7，－5)的坐标代入方程x－ay＋3＝0，解得a＝－2. －2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8．已知P为直线l：2x－y＋3＝0上一点，点P到A(1,0)和B(2,2)的距离之和最小时点P的坐标为____________． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：易知点A，B在直线的同侧，设点A(1,0)关于l的对称点为A′(x0，y0)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 即A′(－3,2)． 由题意知，点P为直线A′B与l的交点，直线A′B的方程为y＝2， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9．已知直线l：x＋2y－1＝0和点A(1,2)． (1)请写出过点A且与直线l平行的直线； (2)求点A关于直线l的对称点的坐标． 解：(1)设过点A且与直线l平行的直线为x＋2y＋C＝0(C≠－1)，将A(1,2)代入， 可得C＝－5， 所以直线方程为x＋2y－5＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)设点A关于直线l的对称点为A′(m，n)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10．一条光线从点P(6,4)射出，与x轴相交于点Q(2，0)，经x轴反射后与y轴交于点H. (1)求反射光线QH的方程； (2)求△PQH的面积． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：(1)如图所示，作点P(6,4)关于x轴的对称点的坐标P′(6，－4)， 则反射光线所在的直线过点P′和Q， 所以直线P′Q的直线方程为y＝－(x－2)． 所以反射光线QH的直线方程为y＝－x＋2，其中x∈(－∞，2]． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)由(1)知H(0,2)，kPQ·kQH＝－1， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 B级——应用创新 11．[多选]已知点P(2,3)与直线l：x－y＋2＝0，下列说法正确的是(　 ) A．过点P且与直线l平行的直线方程为x－y＋1＝0 B．过点P且截距相等的直线与直线l一定垂直 C．点P关于直线l的对称点坐标为(1,4) D．直线l关于点P对称的直线方程为x－y＝0 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：设所求直线方程为x－y＋n＝0， 则2－3＋n＝0， 解得n＝1， 所以过点P且与直线l平行的直线方程为x－y＋1＝0，故A正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 若截距都为0， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 设点P关于直线l的对称点坐标为(a，b)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 因为点(－2,0)，(0,2)在直线l上，点(－2,0)关于点P(2,3)对称的点为(6,6)，点(0,2)关于点P(2,3)对称的点为(4,4)， 即x－y＝0， 所以直线l关于点P对称的直线方程为x－y＝0，故D正确.故选ACD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 12．不论实数a取何值时，直线(2a－1)x＋(－a＋3)y－5＝0都过定点M，则直线2x－y＋3＝0关于点M的对称直线方程为(　 ) A．x－2y－6＝0 B．x－2y＝0 C．2x－y－9＝0 D．2x－y－3＝0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由(2a－1)x＋(－a＋3)y－5＝0可得a(2x－y)－x＋3y－5＝0， 解得x＝1，y＝2， 所以M(1,2)． 设直线2x－y＋3＝0关于点M的对称直线方程为2x－y＋b＝0， 则M(1,2)到直线2x－y＋3＝0与2x－y＋b＝0的距离相等， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解得|b|＝3， 即b＝3(舍去)或b＝－3. 故直线2x－y＋3＝0关于点M的对称直线方程为2x－y－3＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：依题意，设B(2,4)关于直线y＝x＋1的对称点为B′(m，n)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 连接BC′，如图， 在直线y＝x＋1上任取点C，连接AC，BC，B′C，显然，直线y＝x＋1垂直平分线段BB′， 则有|AC|＋|BC|＝|AC|＋|B′C|≥|AB′|＝|AC′|＋|B′C′|＝|AC′|＋|BC′|， 当且仅当点C与C′重合时取等号， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.如图所示，m，n，l是三条公路，m与n是互相垂直的，它们在O点相交，l与m，n的交点分别是M，N且|OM|＝4，|ON|＝8，工厂A在公路n上，|OA|＝2，工厂B到m，n的距离分别为2,4.货车P在公路l上． (1)要把工厂A，B的物品装上货车P，问：P在什么位置时，搬运工走的路程最少？ (2)求P在什么位置时，B工厂搬运工与A工厂搬运工走的路程差距最多？(假设货物一次性搬运完) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：(1)以m，n所在直线分别为y，x轴建立平面直角坐标系如图所示， 则有A(2,0)，B(－2，－4)，M(0，4)，N(－8,0) ，故公路l所在的直线方程为x－2y＋8＝0， 求P在什么位置时，搬运工走的路程最少，即求|PA|＋|PB|的值最小时P的位置 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 设点A关于直线l的对称点为A′(m，n), 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 又P为直线l上的一点， 则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|， 当且仅当B，P，A′三点共线时等号成立， 此时|PA|＋|PB|取得最小值|A′B|，点P就是直线A′B与直线l的交点. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求P在什么位置时，B工厂搬运工与A工厂搬运工走的路程差距最多，等价于求点P的位置，使||PB|－|PA||的值最大，A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的点， 则||PB|－|PA||≤|AB|， 当且仅当A，B，P三点共线时等号成立， 此时||PB|－|PA||取得最大值|AB|，点P即直线l与直线AB的交点. 又∵A(2,0)，B(－2，－4)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 即 解得 所以点P′的坐标为(－2,7)． (2)解方程组得 则点在所求直线上． 则 解得 点M′也在所求直线上． 由两点式得直线方程为＝， 化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线的方程． 所以由两点式得所求直线方程为＝， 即3x－y－17＝0. 1．中心对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于点对称的主要求解方法 若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得 (2)直线关于点的对称的主要求解方法 ①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； ②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称， 则可得 (其中B≠0，x1≠x2)． 可得－2×－2＝0①， 斜率×＝－1②. 解析：直线y＝3x－6过点(0，－6)，点(0，－6)关于直线y＝x对称点为(－6,0)，依题意可知点(－6，0)在直线y＝ax＋2上，所以－6a＋2＝0，解得a＝. 则 解得 即A′(10，－2)． ∴反射光线所在直线方程为＝， 即2x＋y－18＝0. (2)设反射点为P， 则光线从点A到点B经过的路程为|AP|＋|PB|＝|A′P|＋|PB|＝|A′B|＝＝5. 根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线所在的直线关于法线对称，即入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的．利用点的对称关系可以求解光线反射问题．如图所示，点A，B分别为入射光线、反射光线上的点，点A，B关于l的对称点分别为A′，B′，则点A′在反射光线所在的直线上，点B′在入射光线所在的直线上，于是可利用两点式求得入射光线或反射光线所在的直线方程． 4．已知光线经过已知直线l1：3x－y＋7＝0和l2：2x＋y＋3＝0的交点M，且射到x轴上一点N(1,0)后被x轴反射． (1)求反射光线所在的直线l3的方程； (2)求与l3距离为 的直线方程． 解：(1)由 可得 即M(－2,1)，又N(1,0)， 所以kMN＝＝－， 所以反射光线所在的直线l3的斜率为， 故反射光线所在的直线l3的方程为 y＝(x－1)，即x－3y－1＝0. 则＝， 解得c＝9或c＝－11， 所以与l3距离为的直线方程为 x－3y＋9＝0或x－3y－11＝0. 则BC中点在直线l上， 所以 解得 则||MA|－|MB||＝||MA|－|MC||≤|AC|，要使||MA|－|MB||最大，只需A，C，M共线，||MA|－|MB||max＝|AC|＝. 5．已知点R在直线x－y＋1＝0上，M(1,3)，N(3，－1)，则||RM|－|RN||的最大值为(　 ) A. B. C. D．2 则 解得 ∴||RM|－|RN||＝||RM′|－|RN||≤|M′N|＝. 6．已知实数x，y满足x＋y＋1＝0，则＋的最小值为(　 ) A. B．2 C. D．2 解析：＋表示直线x＋y＋1＝0上一动点P(x，y)到定点A(1,1)，B(2，0)的距离之和，如图所示， 则 解得 所以对称点为A′(－2，－2)， 则|A′B|＝＝2，由图知＋的最小值为2，故选D. 则由 解得 所以该点的坐标是(－1，－3)． 解析：在直线x－2y＋1＝0上任取两点，不妨取点(1,1)，，这两点关于直线x＝1对称的点分别为 (1,1)，，两对称点所在直线的方程为 y－1＝－(x－1)，即 x＋2y－3＝0. 4．[多选]已知光线自点(4,2)射入，经倾斜角为45°的直线l：y＝kx＋1反射后经过点(3,0)，则反射光线经过的点为(　 ) A． B．(9，－15) C．(－3,15) D．(13,2) 则 解得 所以反射光线所在的直线方程为y＝(x－3)＝(x－3)，所以当x＝9时，y＝－15；当x＝－3时，y＝15，故选BC. A．3 B. C. D．2 则有 可得 即C(3,5)，依题意可得“将军饮马”的最短总路程为|AC|＝＝2. 解析：∵点(3,2)与点(1,4)连线斜率k＝＝－1， 则 解得 故点P的坐标为. 由题意可得 解得 所以点A′的坐标为. 所以kP′Q＝＝－1， 所以PQ⊥QH，所以|QH|＝＝2，|PQ|＝＝4， 所以S△PQH＝×|QH||PQ|＝×2×4＝8. 即过点P(2,3)且经过坐标原点的直线为y＝x， 此时直线的斜率k＝， 但是kl＝1，k·kl＝≠－1， 所以直线y＝x与直线l不垂直，故B错误； 则 解得 所以点P关于直线l的对称点坐标为(1,4)，故C正确； 则过(6,6)和(4,4)的直线方程为y－4＝(x－4)， 令 所以＝， 13．已知两点A(－4,8)，B(2,4)，点C在直线y＝x＋1上，则|AC|＋|BC|的最小值为(　 ) A．2 B．9 C. D．10 ∴ 解得 ∴B′(3,3)．连接AB′交直线y＝x＋1于点C′， ∴(|AC|＋|BC|)min＝|AB′|＝＝， 故|AC|＋|BC|的最小值为. 则 解得 ∴A′(－2,8)． 联立 解得 ∴P(－2,3)． ∴直线AB的方程为y＝x－2，联立 解得 ∴P(12,10)． $$