第1章 2.3 第1课时 直线与圆的位置关系(强基课—梯度进阶式教学)（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）  

2.3 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 (强基课—梯度进阶式教学) 第1课时 课时目标 掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系． CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 1．直线与圆的三种位置关系 位置关系 交点个数 相交 有______公共点 相切 只有______公共点 相离 ______公共点 两个 一个 没有 2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判定方法 两 一 零 ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜ 基点训练 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交． (　 ) (2)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切. (　 ) (3)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解． (　 ) (4)过圆外一点的直线与圆相离． (　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× √ 3．若直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相离，则点P(a，b)与圆O的位置关系为(　 ) A．点P在圆O内 B．点P在圆O上 C．点P在圆O外 D．无法确定 √ 4．已知圆C：x2＋y2＝25与直线l：3x－4y＋m＝0(m>0)相切，则m＝(　 ) A．15 B．5 C．20 D．25 √ 解析：易知C的圆心为原点O， 设O到直线l的距离为d， 因为圆C与直线l相切， 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 [例1]　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． 题型(一)　直线与圆位置关系的判断 根据直线与圆的位置关系求参数的方法 (1)代数法(判别式法) 将直线与圆的位置关系转化为一元二次方程根的个数问题，利用判别式得到关于参数的方程或不等式，通过解方程或不等式求解． (2)几何法 由直线与圆的位置关系得到圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，从而列方程或不等式求解．　　 方法技巧 1．直线ax＋y－a＝0(a∈R)与圆x2－4x＋y2＝0的位置关系是(　 ) A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 针对训练 √ 解析：由ax＋y－a＝0⇒y＝－a(x－1)， 所以直线ax＋y－a＝0恒过定点(1,0)，圆x2－4x＋y2＝0可化为(x－2)2＋y2＝4， 因为(1－2)2＋02<4， 所以点(1,0)在圆(x－2)2＋y2＝4的内部，所以直线ax＋y－a＝0与圆x2－4x＋y2＝0相交． 2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　 ) A．(－3,1) B．(1,3) C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) √ 即|a＋1|≤2， 解得－3≤a≤1. 所以实数a的取值范围是[－3,1]． 题型(二)　圆的弦长问题 求弦长常用的三种方法 方法技巧 针对训练 √ 解析：由圆C：x2＋(y－1)2＝4， 得圆心C(0,1)，半径r＝2， [例3]　已知点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.求过点M的圆C的切线方程． 题型(三)　圆的切线问题 解：由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2. ∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4， ∴点M在圆C外部． 当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3， 即x－3＝0. 又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r， 即此时满足题意， ∴直线x＝3是圆的切线． 当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)， 即kx－y＋1－3k＝0， 即3x－4y－5＝0. 综上可得，过点M的圆C的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0. 1．若本例条件不变，求过点M的圆C的切线长． 变式拓展 过圆外一点求圆的切线方程的两种求解方法 方法技巧 几何法 设出切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径，求出未知量的值．此种方法需要注意斜率不存在的情况，要单独验证，若符合题意，则直接写出其切线方程 代数法 设出切线的方程后与圆的方程联立消元，利用Δ＝0求未知量的值．若消元后的方程是一元一次方程，则说明要求的两条切线中有一条直线的斜率不存在，可直接写出其切线的方程 [提醒]　过一点求圆的切线方程时，若点在圆上，则切线只有一条；若点在圆外，则切线有两条． 针对训练 5．过点P(2,1)作圆O：x2＋y2＝1的切线l，则切线l的方程为(　 ) A．y＝1 B．4x－3y－5＝0 C．y＝1或3x－4y－5＝0 D．y＝1或4x－3y－5＝0 √ 解析：由题意可设切线l的方程为y－1＝k(x－2)， 即kx－y－2k＋1＝0， √ 解析：圆(x－1)2＋(y＋2)2＝4的圆心C(1，－2)，半径r＝2， 又A(－2，－1)， 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ A级——综合提能 1．直线l：y＝x＋1与圆C：(x－1)2＋y2＝4的位置关系是(　 ) A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0没有公共点，则实数m的取值范围是(　 ) A．(－5,15) B．(－∞，－5)∪(15，＋∞) C．(－∞，4)∪(13，＋∞) D．(4,13) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．若圆x2＋y2－2x＋4y＋m＝0截直线x－y－3＝0所得弦长为6，则实数m的值为(　 ) A．－1 B．－2 C．－4 D．－31 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5－m， ∴圆心坐标为(1，－2)． 设圆心到直线的距离为d， 因此弦长6就是直径2r， ∴r＝3.∴r2＝5－m＝9⇒m＝－4，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5．已知圆C与直线x＋y＋3＝0相切，直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，则圆C的方程为(　 ) A．x2＋y2－2y＝2 B．x2＋y2＋2y＝2 C．x2＋y2－2y＝1 D．x2＋y2＋2y＝1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2,3)，则直线l的方程为______________． x－y＋5＝0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由圆的方程可得，圆心为P(－1,2)， 故直线l的斜率k＝1， 所以直线l的方程为y－3＝x＋2， 即x－y＋5＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7．若直线l：kx＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝r2恒有公共点，则半径r的取值范围是___________． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：将直线kx＋y＋1＝0化简为点斜式， 可得y＝－kx－1， ∴直线经过定点(0，－1)，且斜率为－k. ∵ 直线l和圆C：x2＋y2＝r2恒有公共点， ∴r≥1，即半径r的取值范围是[1，＋∞)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．已知圆M的圆心为M(3，－5)，且与直线x－7y＋2＝0相切，则圆M的面积为________． 32π 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为圆M与直线x－7y＋2＝0相切， 所以点M(3，－5)到直线x－7y＋2＝0的距离即为圆M的半径， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9．已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程； (2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：(1)圆C的圆心坐标为(2,3)，半径r＝2. 当斜率不存在时， 直线l的方程为x＝4， 此时圆C与直线l相切； 当斜率存在时， 设直线l的方程为y＋1＝k(x－4)， 即kx－y－4k－1＝0， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0. 综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y－3＝0， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：(1)设AB的中点为D， 由圆的性质， 得CD⊥AB， 所以kCD×kAB＝－1， 得kCD＝－1. 所以线段AB的垂直平分线的方程是y＝－x＋1， 即x＋y－1＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)设圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2，其中C(a,0)，半径为r(r>0)． 由圆的性质，圆心C(a,0)在直线CD上，化简得a＝1，则圆心C(1,0)，r＝|CA|＝2， 所以圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)设F为MN中点， 解得k＝1， 所以直线l的方程为y＝x＋1， 即x－y＋1＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝4，可得圆的圆心坐标为C(1,1)，半径为r＝2，所以A正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13．已知圆C与直线x－2y－2＝0相切于点M(2,0)，且圆心C在直线y＝－x上．过原点作圆C的切线，则切线长为________． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设圆心坐标为(t，－t)，圆的半径为r，由题意，圆心坐标(t，－t)到x－2y－2＝0的距离为r， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解得t＝4， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以半径r＝2， 则圆O的方程为x2＋y2＝4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)设O到直线l的距离为d， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：(1)因为圆C过A(4,0)，B(2，2)， 则AB的中垂线过圆心C，设AB的中点为M， 则M(3,1)， 所以AB的中垂线方程为y－1＝x－3， 即y＝x－2. 又圆心在x＋y－2＝0， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 因此圆心C(2,0)，半径r＝|CA|＝2， 所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 若切线斜率不存在时， 则切线方程为x＝4，满足与圆C相切， 若切线斜率存在时， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 ____个 ___个 ___个 判定方法 几何法：圆心到直线的距离d＝(A，B不全为0) d____r d____r d____r 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ____0 Δ____0 Δ____0 2．直线x－y＋3＝0被圆x2＋y2＋2x－4y＝0所截得的弦长为(　 ) A． B．2 C．5 D．10 解析：圆x2＋y2＋2x－4y＝0即(x＋1)2＋(y－2)2＝5，故圆心坐标为(－1,2)，显然圆心在直线x－y＋3＝0上，故直线被圆所截得的弦即为圆的直径，长为2. 解析：由题设O(0,0)与直线ax＋by＝1的距离d＝>1，即a2＋b2<1，所以点P(a，b)在圆O内． 则d＝＝5， 解得m＝25. 解：法一　将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理，得(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.则Δ＝4m(3m＋4)． (1)当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3)当Δ<0，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 法二　已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2,1)，半径r＝2. 圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝ . (1)当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3)当d>2，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 圆心到直线的距离为d＝＝， 由直线与圆有公共点可得≤， 解析：由题意得圆心坐标为(a,0)，半径为. [例2]　求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长． 解：法一　直线x－y＋2＝0和圆x2＋y2＝4的公共点坐标就是方程组的解， 解得 所以公共点的坐标为(－，1)，(0,2)，所以直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为＝2. ＝2＝2. 法二　如图，设直线x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦AB的中点为M， 则OM⊥AB(O为坐标原点)， 又|OM|＝＝， 所以|AB|＝2|AM|＝2 几何法 利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系2＋d2＝r2解题 交点坐标法 若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长 公式法 设直线y＝kx＋b，与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝|x1－x2|＝ 3．直线l：x－y＋3＝0被圆C：x2＋(y－1)2＝4截得的弦长为(　 ) A． B．2 C． D．2 所以圆心C(0,1)到直线l的距离为d＝＝1，所以直线l被圆C截得的弦长为2＝2×＝2. 4．(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值___________________________________________． 2 解析：设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知⊙C的圆心C(1,0)，半径r＝2，C到直线l的距离d＝，|AB|＝2＝2＝.由S△ABC＝，得××＝，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝±2或m＝±. 则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2， 解得k＝. ∴切线方程为y－1＝(x－3)， 解：∵|MC|＝＝， ∴过点M的圆C的切线长为 ＝＝1. 2．若本例条件点“M(3,1)”改为“M(＋1,2－)”，求过点M的圆C的切线方程． ∴切线的斜率k＝－＝1. ∴过点M的圆C的切线方程是y－(2－)＝x－(＋1)， 即x－y＋1－2＝0. 解：∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4， ∴点M在圆C上．又kMC＝＝－1， ∴圆心到直线l的距离d＝＝1， 解得k＝0或k＝， ∴切线l的方程为y＝1或4x－3y－5＝0. 6．已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，过点A(－2，－1)向圆C作切线，切点为B，则|AB|＝(　 ) A． B． C． D．3 则|AC|＝＝，则|AB|＝＝＝. 解析：圆C的圆心坐标为(1,0)，半径为2，直线l的方程为x－y＋1＝0，圆心到直线l的距离为＝<2，所以直线l与圆C的位置关系是相交． 解析：圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的圆心坐标为(1，－2)，半径为2，由题意，圆心到直线3x＋4y＋m＝0的距离>2， ∴m<－5或m>15.故选B. 3．圆心坐标为(3,0)且与直线x＋y＝0相切的圆的方程为(　 ) A．(x－)2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝3 C．(x－)2＋y2＝3 D．(x－3)2＋y2＝9 解析：由题意知所求圆的半径r＝＝， 故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝3.故选B. 则d＝＝0， 解析：在直线mx＋y＋1＝0的方程中，令x＝0，则y＝－1，则直线mx＋y＋1＝0过定点(0，－1)．由于直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，则点(0，－1)是圆C的圆心，又圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的半径r＝＝.因此，圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝2，即x2＋y2＋2y＝1. 所以kPC＝＝－1， 所以r＝＝＝4， 圆M的面积为π×(4)2＝32π. 则＝2， 解得k＝－， 圆心到直线l的距离d＝＝， 故所求弦长为2＝2＝2. 10．已知圆C的圆心在x轴上，且经过点A(－1,0)，B(1,2)． (1)求线段AB的垂直平分线方程； (2)求圆C的标准方程； (3)已知直线l：y＝kx＋1与圆C相交于M，N两点，且|MN|＝2，求直线l的方程． 则D(0,1)，kAB＝＝1， 则CF⊥l，|FM|＝|FN|＝. 设圆心C到直线l的距离d＝|CF|＝＝， 则d＝＝， B级——应用创新 11．[多选]已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝4与直线x＋my－m－2＝0，下列选项正确的是(　 ) A．圆的圆心坐标为(1,1) B．直线过定点(－2,1) C．直线与圆相交且所截最短弦长为2 D．直线与圆可以相离 由直线x＋my－m－2＝0，可化为x－2＋m(y－1)＝0，令解得x＝2，y＝1，所以直线恒过点P(2,1)，所以B不正确； 由圆心坐标为C(1，1)和定点P(2,1)，可得d＝|CP|＝1，根据圆的性质，当直线与CP垂直时，直线与圆相交且所截的弦长最短，则最短弦长为2＝2，所以C正确； 由直线恒过定点，且|CP|＝1<r，即点P(2,1)在圆内，所以直线与圆相交，所以D不正确． 12．(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　 ) A．1 B. C. D. 解析：圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2，0)，半径r＝，过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B， 因为|PC|＝＝2， 则|PA|＝＝， 可得sin∠APC＝＝，cos∠APC＝＝， 则sin∠APB＝sin 2∠APC＝2sin∠APC·cos∠APC＝2××＝，cos∠APB＝cos 2∠APC＝cos2∠APC－sin2∠APC＝2－2＝－＜0， 即∠APB为钝角， 所以sin α＝sin(π－∠APB)＝sin∠APB＝. 2 即r＝， 又圆心到M(2,0)的距离也是r， 即r＝， 故＝， 则圆心坐标为(4，－4)，半径为2，原点到圆心的距离是＝4，于是过原点作圆C的切线长为 ＝2. 14．已知圆O的圆心为原点，斜率为1且过点M(，3)的直线与圆相切． (1)求圆O的方程； (2)过M的直线l交圆O于A，B，若△OAB的面积为2，求直线l的方程． 解：(1)过点M(，3)且斜率为1的直线为y＝x＋2， 则圆心坐标(0,0)到直线的距离d1＝＝2， 则S△OAB＝d＝2， 解得d＝. 若直线l斜率不存在，方程为x＝，满足题意； 若直线l斜率存在，设为k，直线l的方程为y＝k(x－)＋3， 因为d＝， 所以＝， 解得k＝， 直线l的方程为y＝(x－)＋3， 即y＝x＋； 综上，直线l的方程为x＝或y＝x＋. 15．在平面直角坐标系中，圆C过点A(4,0)，B(2,2)，且圆心C在x＋y－2＝0上． (1)求圆C的方程； (2)若已知点P(4,2)，过点P作圆C的切线，求切线的方程． 因为kAB＝＝－1， 联立 解得 (2)因为(4－2)2＋(2)2>4， 所以点P(4,2)在圆C外，过P(4,2)作圆C的切线． 设切线方程y－2＝k(x－4)， 即kx－y－4k＋2＝0， 则＝2， 解得k＝， 所以切线方程为x－y－4×＋2＝0， 即x－y＋2＝0. 综上，切线方程为x＝4或x－y＋2＝0. $$