第1章 1.4 第2课时 两条直线垂直(强基课—梯度进阶式教学)（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）  

两条直线垂直 (强基课—梯度进阶式教学) 第2课时 课时目标 1．理解并掌握两条直线垂直的条件. 2．会用垂直的条件判定两条直线是否垂直． 3．运用两直线垂直时斜率的关系解决相应几何问题． CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 1．斜率与两条直线垂直的关系 (1)对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1k2＝_____. (2)特殊地，当l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线垂直． 2．两条直线垂直时一般式中系数的关系 设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. －1 微点助解 (1)已知两直线垂直，若其中一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为零． (2)两直线垂直的充要条件是两直线的夹角为90°. 基点训练 √ 2．若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则有(　 ) A．α1－α2＝90° B．α2－α1＝90° C．|α2－α1|＝90° D．α1＋α2＝180° √ 3．若经过点(m,3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________． 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 [例1]　判断直线l1与l2是否垂直． (1)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)； (2)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)； (3)l1经过点A(－1,2)，B(5，－1)，l2经过点C(1,0)，D(4,6)； (4)直线l1：－3x＋4y＋1＝0，直线l2：8x＋6y－3＝0. 题型(一)　判定两直线垂直 解：(1)设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2， 因为k1k2＝－1， 所以l1⊥l2. (2)由点A，B的横坐标相等，得l1的倾斜角为90°， 则l1⊥x轴，设直线l2的斜率为k2， 所以l2∥x轴， 故l1⊥l2. 因为k1k2＝－1， 所以l1⊥l2. 故k1k2＝－1， 所以这两条直线互相垂直． 法二　因为A1A2＋B1B2＝－3×8＋4×6＝0， 所以这两条直线互相垂直． 判定两直线垂直的常用方法 方法技巧 斜率法 有两斜率均存在和一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零两种情形 向量法 用直线的方向向量或法向量 系数法 用两直线一般式的系数等式(A1A2＋B1B2＝0) 1．已知两条直线l1和l2，其斜率分别是一元二次方程k2＋2 024k＝1的两不等实数根，则其位置关系是(　 ) A．平行 B．垂直 C．重合 D．异面 解析：由题意，设两条直线l1和l2的斜率分别为k1，k2，且为一元二次方程k2＋2 024k＝1的两不等实数根，则k1k2＝－1，所以l1⊥l2. 针对训练 √ √ √ √ 解析：kl1＝tan 45°＝1，kl2＝1，kl1·kl2≠－1，所以A不正确； 题型(二)　根据直线垂直求参数或点的坐标 √ 解析：∵l1⊥l2， ∴a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0， 即(a－1)(a＋3)＝0， 解得a＝1或a＝－3. [例3]　已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，则a的值为________． 0或5 (1)由两直线垂直求参数，用A1A2＋B1B2＝0更方便，可避开讨论斜率是否存在的情形； (2)由垂直关系求点的坐标，先设出点的坐标，再利用k1k2＝－1或直线的方向向量、法向量垂直求解． 方法技巧 针对训练 √ √ [例4]　已知△ABC的三个顶点是A(4,0)，B(6,7)，C(0,4)． (1)求BC边上的中线的直线方程； (2)求BC边上的高的直线方程； (3)求AC边的垂直平分线． 题型(三)　求与已知直线垂直的直线方程 所以BC边上的高的直线的斜率为－2. 又A(4,0)， 则BC边上的高的直线方程为y－0＝－2(x－4)，整理得2x＋y－8＝0. (3)因为A(4,0)，C(0,4)， 所以其中点坐标为(2,2)， 则AC边的垂直平分线的斜率为1， 所以其方程为y－2＝x－2，即x－y＝0. 与已知直线垂直的直线方程的求法 (1)由已知直线求出斜率，再利用垂直直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写出所求直线方程．但要注意一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在的情况． (2)待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0，再由直线所过的点确定m.　　 方法技巧 5．求与直线4x－3y＋5＝0垂直，且与两坐标轴围成的△AOB周长为10的直线方程． 针对训练 解：由题意，可设所求直线的方程为3x＋4y＋b＝0. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析：∵l1⊥l2， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：∵直线2x＋y＋1＝0的斜率为k1＝－2， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．已知A(－2,1)，C(0,5)，则AC的垂直平分线所在直线方程为 (　 ) A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－5＝0 C．x－2y＋5＝0 D．2x－y＋5＝0 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为A(－2,1)，C(0,5)， 所以其中点坐标是(－1,3)， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5．已知四边形MNPQ的顶点M(1,1)，N(3，－1)，P(4,0)，Q(2,2)，则四边形MNPQ的形状为(　 ) A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．矩形 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为kMN＝－1，kPQ＝－1， 所以MN∥PQ， 又因为kMQ＝1，kNP＝1， 所以MQ∥NP，所以四边形MNPQ为平行四边形． 又因为kMN·kMQ＝－1， 所以MN⊥MQ，所以四边形MNPQ为矩形． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6．若直线l1：2x＋3y－1＝0的方向向量是直线l2：ax－y＋2a＝0的法向量，则实数a的值等于____． 解析：由题意得l1⊥l2， ∴2a－3＝0， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7．过原点作直线l的垂线，若垂足为(－2,3)，则直线l的方程是________________． 2x－3y＋13＝0 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．当直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直时，a＝________. 解析：∵l1⊥l2， ∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0， 解得a＝±1. 将a＝±1代入方程，均满足题意． 故a＝±1. ±1 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴k1k2＝－1， 则l1⊥l2. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 法二　由两直线方程可得它们的法向量分别为n1＝(4,3)，n2＝(3，－4)． ∵n1·n2＝0， ∴l1⊥l2. (3)∵l1的斜率为0，l2的斜率不存在， ∴l1⊥l2. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)，P(1，t)，Q (1－2t，2＋t)，R(－2t,2)，其中t＞0.试判断四边形OPQR的形状． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ， 从而OP∥QR，OR∥PQ. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以四边形OPQR为平行四边形． 又kOP·kOR＝－1， 所以OP⊥OR，故四边形OPQR为矩形． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设M(x,0)．①当x＝3时，PM⊥x轴，点Q在原点，此时t＝0； 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13．已知m，n为正数，且直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直，则m＋2n的最小值为________． 解析：∵直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直， ∴n－(n－2)m＝0，∴2m＋n＝mn， 9 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．已知直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m,2)，则m＝___________. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15．已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使得四边形ABCD为直角梯形． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：①当∠A＝∠D＝90°时，如图①所示． ∵四边形ABCD为直角梯形， ∴AB∥DC且AD⊥AB，易求得m＝2，n＝－1. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ②当∠A＝∠B＝90°时，如图②所示． ∵四边形ABCD为直角梯形， ∴AD∥BC且AB⊥BC， ∴kAD＝kBC，kAB·kBC＝－1， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16．已知M(1，－1)，N(2,2)，P(3,0)． (1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ； (2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：(1)设Q(x，y)，由已知得kMN＝3， 由PQ⊥MN， 得kPQ·kMN＝－1， 由已知得kPN＝－2， 由PN∥MQ， 得kPN＝kMQ， 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 联立①②，解得x＝0，y＝1， 即Q(0,1)． 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)设Q(x,0)，∵∠NQP＝∠NPQ， ∴kNQ＝－kNP， 即x＝1， ∴Q(1,0)． 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 又∵M(1，－1)， ∴MQ⊥x轴， 故直线MQ的倾斜角为90°. 15 16 1．已知直线l1的斜率k1＝2，直线l2的斜率k2＝－，则l1与l2(　 ) A．平行 B．垂直 C．重合 D．非以上情况 解析：根据斜率乘积为－1，可知两条直线垂直． 解析：由题意可知m≠2，则kl＝＝，解得m＝. 则k1＝－10，k2＝＝， 则k2＝＝0， (3)法一　直线l1的斜率k1＝＝－， 直线l2的斜率k2＝＝2， 法二　直线l1的方向向量＝(6，－3)， 直线l2的方向向量＝(3,6)， 因为·＝0， 所以⊥，所以l1⊥l2. (4)法一　由－3x＋4y＋1＝0得其斜率为k1＝，由8x＋6y－3＝0得其斜率为k2＝－， 2．[多选]满足下列条件的直线l1与l2，其中l1⊥l2的是(　 ) A．l1的倾斜角为45°，l2的斜率为1 B．l1的斜率为－，l2经过点A(2,0)，B(3，) C．l1经过点P(2,1)，Q(－4，－5)，l2经过点M(－1,2)，N(1,0) D．l1的方向向量为(1，m)，l2的方向向量为 kl2＝＝，kl1kl2＝－×＝－1，故B正确； kl1＝＝1，kl2＝＝－1，kl1kl2＝－1，故C正确； 因为(1，m)·＝1－1＝0，所以两直线的方向向量互相垂直，故l1⊥l2，故D正确． [例2]　若直线l1：ax＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y－2＝0互相垂直，则a的值是(　 ) A．－3 B．1 C．0或－ D．1或－3 解析：因为直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，且2≠－1，所以l2的斜率存在，而l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，则其斜率可能不存在，当l1的斜率不存在时，a－2＝3，即a＝5，此时l2的斜率为0，则l1⊥l2，满足题意；当l1的斜率存在时，a－2≠3，即a≠5，此时直线l1，l2的斜率均存在，由l1⊥l2得k1k2＝－1，即·＝－1，解得a＝0.综上，a的值为0或5. 3．已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x－by－2＝0，则“＝－1”是“l1⊥l2”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：因为直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x－by－2＝0，所以当l1⊥l2时，a·1＋(－1)(－b)＝0，即a＋b＝0，即＝－1或a＝b＝0，所以“＝－1”能推出“l1⊥l2”，“l1⊥l2”不能推出“＝－1”，所以“＝－1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件． 4．在平面直角坐标系内点A(4,2)，B(1，－2)，若在x轴上存在点C，使∠ACB＝，则点C的坐标为(　 ) A．(3,0) B．(0,0) C．(5,0) D．(0,0)或(5,0) 解析：设C(x0,0)，则kAC＝，kBC＝.∵∠ACB＝，∴AC⊥BC，则kAC·kBC＝－1，即·＝－1，解得x0＝0或x0＝5，∴点C的坐标为(0,0)或(5,0)．故选D. 解：(1)由B(6,7)，C(0,4)和中点坐标公式得BC的中点为， 又A(4,0)， 由直线方程的两点式得BC边上的中线的直线方程为＝，整理得11x＋2y－44＝0. (2)由B(6,7)，C(0,4)，得kBC＝＝， 而kAC＝＝－1， 令x＝0，可得y＝－， 即A，令y＝0，可得x＝－， 即B，又∵△AOB的周长为10， 即|OA|＋|OB|＋|AB|＝10， ∴＋＋＝10，解得b＝±10. 故所求直线的方程为3x＋4y＋10＝0或3x＋4y－10＝0. A级——综合提能 1．直线l1，l2的斜率分别为－，－，若l1⊥l2，则实数a的值是(　 ) A．－ B．－ C． D． ∴－×＝－1， ∴a＝－. 2．下列直线与直线2x＋y＋1＝0垂直的是(　 ) A．2x－y＋1＝0 B．x－2y－1＝0 C．x＋2y－1＝0 D．x＋y＋1＝0 ∴与直线2x＋y＋1＝0垂直的直线的斜率k2＝＝，对照A、B、C、D各项，只有B项的斜率等于，故选B. 3．若直线2x＋6y－1＝0与直线mx－2y＋7＝0垂直，则m＝(　 ) A．6 B．4 C．－ D．－2 解析：由题意可知2m－12＝0，解得m＝6. 又kAC＝＝2， 所以AC的垂直平分线所在直线方程为y－3＝－(x＋1)，即x＋2y－5＝0.故选A. 解得a＝. 解析：设垂足为A，则kOA＝＝－， 由题意可知kl＝－＝， 所以直线l的方程是y－3＝(x＋2)， 整理得2x－3y＋13＝0. 9．判断下列两条直线是否垂直，并说明理由． (1)l1：y＝－3x＋2，l2：y＝x＋5； (2)l1：4x＋3y＝10，l2：3x－4y＝5； (3)l1：y＝2 025，l2：x＝2 024. 解：(1)∵k1＝－3，k2＝， (2)法一　∵k1＝－，k2＝， ∴k1k2＝－1，则l1⊥l2. 解：由斜率公式得kOP＝＝t， kQR＝＝＝t，kOR＝＝－， kPQ＝＝＝－. B级——应用创新 11．[多选]已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：x－by＋2＝0，则(　 ) A．若l1⊥l2，则＝－3 B．若l1∥l2，则ab＝3 C．若l1与坐标轴围成的三角形面积为1，则a＝± D．当b<0时，l2不经过第一象限 解析：当l1⊥l2时，a＋3b＝0，解得＝－3或a＝b＝0，故A错误． 当l1∥l2时，－ab＋3＝0，解得ab＝3.故B正确． 在直线l1：ax－3y＋1＝0中，当x＝0时，y＝，当y＝0时，x＝－，所以l1与坐标轴围成的三角形面积为S＝··＝1，解得a＝±，故C正确． 由题知当b<0时，l2：y＝x＋的图象如图所示，故D正确． 12．已知点P(3,1)，Q(0，t)是y轴上的动点，若在x轴上存在点M，使得MP⊥MQ，则实数t的取值范围是(　 ) A. B. C. D. ②当x＝0时，kMQ不存在，kMP＝，不合题意； ③当x≠0且x≠3时， 则由kMP·kMQ＝×＝－1， 得t＝－x2＋3x＝－2＋≤且t≠0. 综上所述，实数t的取值范围是. ∴＋＝1. ∴m＋2n＝(m＋2n) ＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当m＝n＝3时取等号． 4＋ ∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝. 由l1∥l2知，直线l2的斜率k2＝k1＝. ∴直线AB的斜率存在， 且kAB＝－＝－. ∴＝－， 解得m＝4＋. ∴ 解得 综上所述，m＝2，n＝－1或m＝，n＝－. 即×3＝－1.① 即＝－2.② 又∵kNQ＝，kNP＝－2， ∴＝2， $$