1.4 两条直线的平行与垂直 第2课时 两条直线垂直 导学案-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第2课时　两条直线垂直 【学习目标】 　　1.理解两条直线垂直的条件. 　　2.能根据斜率或方向向量、法向量判定两条直线垂直. 　　3.能应用两条直线垂直解决相关问题. 【课前预习】 ◆ 知识点　两条直线垂直的判定 对于两条不重合的直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2,l1⊥l2⇔　　　　.  特殊地,当l1,l2中有一条直线的斜率不存在时,说明斜率不存在的直线与x轴垂直,因此,若l1⊥l2,则另一条直线与x轴　　　　　　,即另一条直线的斜率为　　　　.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则这两条直线垂直. (　 ) (2)已知直线l1的倾斜角为α,直线l2的倾斜角为β,若l1⊥l2,则α-β=90°. (　 ) (3)已知直线l1,l2的一个方向向量分别为a=(1,k1),b=(1,k2),若l1⊥l2,则a·b=0,从而k1k2=-1. (　 ) 【课中探究】 ◆ 探究点一　两条直线垂直的判定 例1 (1)已知直线l:x-y+3=0,则下列直线中与l垂直的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.2x+y=0 B.5x-y+3=0 C.x+y+9=0 D.3x-y-7=0 (2)判断满足下列条件的直线l1与l2是否垂直. ①l1经过点A(-3,-4),B(1,3),l2经过点M(-4,-3),N(3,1); ②l1的斜率为-10,l2的一个方向向量为a=(10,1); ③l1经过点C(1,4),D(1,1),l2经过点E(-1,4),F(1,4). 变式 解答下列各题: (1)已知点A(5,3),B(10,6),C(3,-4),D(-6,11),求证:AB⊥CD; (2)已知直线l1:3x+5y-10=0,l2:15x-9y+8=0,求证:l1⊥l2. [素养小结] 利用直线的斜率判定两直线垂直时,一般先由图形进行猜测,然后利用直线的斜率关系或方向向量、法向量来进行判断.在利用斜率进行判断时,一定要考虑直线的斜率是否存在. ◆ 探究点二　已知垂直求直线方程或参数 例2 (1)过点P(1,-1)且垂直于直线l:x-2y+1=0的直线的方程为 (　 ) A.x+2y+1=0 B.2x+y-1=0 C.x-2y-3=0 D.2x-y+3=0 (2)[2024·福建厦门高二期中] 直线l1:ax-2y+3=0与直线l2:x+(a-1)y-2=0互相垂直,则a= (　 ) A.0 B.1 C.2 D.-1 变式 (1)已知△ABC的顶点A(5,5),AC边上的高所在直线的方程为3x+2y-7=0,则AC边所在直线的方程为 (　 ) A.x-2y+5=0 B.2x-3y+3=0 C.x+2y-15=0 D.2x-3y+5=0 (2)已知点A(-2,2),B(6,4),H(5,2),H是△ABC的垂心,则点C的坐标为 (　 ) A.(6,2) B.(-2,2) C.(-4,-2) D.(6,-2) [素养小结] 求与已知直线垂直的直线的方程时,常常有两种方法:①由两垂直直线(倾斜角不为90°)的斜率之积为-1,求出所求直线的斜率,再结合条件求解;②由两直线的法向量或方向向量垂直来求解. ◆ 探究点三　平行和垂直的综合问题 例3 (1)已知a,b为正数,且直线2x-(b-3)y+6=0与直线bx+ay-5=0互相垂直,则2a+3b的最小值为　　　　.  (2)已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,若顺次连接A,B,C,D四点,试判定四边形ABCD的形状. 变式 已知四边形ABCD是平行四边形,A(0,3),B(4,1),C(5,2),且E为线段CD的中点. (1)求线段CD的垂直平分线l1的方程的一般式; (2)直线l2经过点D,且BE∥l2,求l2在y轴上的截距. [素养小结] 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 第2课时　两条直线垂直 【课前预习】 知识点 k1k2=-1　平行或重合　0 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√ 【课中探究】 例1　(1)C　[解析] 因为直线l的斜率为1,所以与l垂直的直线的斜率为-1,结合选项可得C正确.故选C. (2)解:①直线l1的斜率k1==,直线l2的斜率k2==,∵k1k2=1,∴l1与l2不垂直. ②∵a=(10,1)=10,∴直线l2的斜率k2=,又直线l1的斜率k1=-10,∴k1k2=-1,∴l1⊥l2. ③由题可知,直线l1与x轴垂直,直线l2与x轴平行,∴l1⊥l2. 变式　证明:(1)由斜率公式,得kAB==,kCD==-,则kABkCD=×=-1,所以AB⊥CD. (2)由l1,l2的方程可知,直线l1,l2的斜率分别为k1=-,k2==,则k1k2=×=-1,所以l1⊥l2. 例2　(1)B　(2)C　[解析] (1)直线l:x-2y+1=0的斜率k=,而所求直线垂直于直线l,故所求直线的斜率为-2,又所求直线过点P(1,-1),所以所求直线的方程为y+1=-2(x-1),即2x+y-1=0.故选B. (2)因为直线l1与直线l2互相垂直,所以a×1-2(a-1)=0,解得a=2.故选C. 变式　(1)D　(2)D　[解析] (1)设AC边上的高所在直线的斜率为k1,则k1=-.设AC边所在直线的斜率为k2,因为AC边上的高与AC边垂直,所以k1k2=-1,所以k2=,又A(5,5),所以AC边所在直线的方程为y=(x-5)+5,整理得2x-3y+5=0.故选D. (2)设点C的坐标为(x,y),∵直线AH的斜率kAH==0,BC⊥AH,∴直线BC的斜率不存在,又点B的横坐标为6,∴x=6.∵直线BH的斜率kBH==2,AC⊥BH,∴直线AC的斜率kAC==-,∴y=-2,∴点C的坐标为(6,-2).故选D. 例3　(1)25　[解析] 因为直线2x-(b-3)y+6=0与直线bx+ay-5=0互相垂直,所以2b-a(b-3)=0,当a=2时,方程无解,所以a≠2,所以b=.由a>0,b>0,可得a-2>0,所以2a+3b=2a+=2a+=2(a-2)++13≥2+13=25,当且仅当a=5,b=5时等号成立,故2a+3b的最小值为25. (2)解:作出四边形ABCD,如图所示,由斜率公式可得kAB==,kCD==,kAD==-3,kBC==-,∴kAB=kCD,kAD≠kBC,由图可知AB与CD不重合,∴AB∥CD,AD与BC不平行.又kAB·kAD=×(-3)=-1,∴AB⊥AD.故四边形ABCD为直角梯形. 变式　解:(1)设D(x,y),因为=,所以(x,y-3)=(1,1),解得即D(1,4). 设E(m,n),则m==3,n==3,即E(3,3). 因为kDC==-,所以l1的斜率为2,故l1的方程为y-3=2(x-3),化成一般式,得2x-y-3=0. (2)由(1)知D(1,4),E(3,3),所以kBE==-2.因为BE∥l2,所以l2的斜率为-2,所以l2的方程为y-4=-2(x-1),整理得y=-2x+6,所以l2在y轴上的截距为6. 学科网（北京）股份有限公司 $$