4.1.2 第2课时 乘法公式与全概率公式的应用（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）  

乘法公式与全概率公式的应用 (深化课——题型研究式教学) 第2课时 课时目标 进一步学习乘法公式与全概率公式、贝叶斯公式,会利用条件概率、乘法公式和全概率公式、贝叶斯公式解决一些简单的实际问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　复杂事件的乘法公式 题型(二)　全概率公式的实际应用 题型(三)　*贝叶斯公式的实际应用 4 课时跟踪检测 题型(一)　复杂事件的乘法公式 [例1]　已知1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱中随机取出一球,则从2号箱中取出红球的概率是 (　 ) A. B. C. D. √ 解析:记事件A为“从2号箱中取出的是红球”,事件B为“从1号箱中取出的是红球”,则根据古典概型的概率计算公式和对立事件的概率和为1可知,P(B)==,P()=1-=.根据条件概率公式可知,P(A|B)= =,P(A|)===,所以P(A)=P(AB)+P(A)=P(A|B)P(B)+ P(A|)P() =×+×=. [思维建模] 当所求事件的概率相对较复杂时,往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和,求出这些简单事件的概率,再利用P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A)便可求得较复杂事件的概率. 针对训练 1.已知猎手在距猎物10米处开枪,击中的概率为0.6,若击不中,待开第二枪时猎物已逃至30米远,此时击中的概率为0.25,则猎物两枪内被击中的概率为 (　 ) A.0.7 B.0.8 C.0.6 D.0.9 解析:以Ai表示第i枪击中猎物(i=1,2),则P(A1)=0.6,P()=0.4, P(A2|)=0.25,故所求概率为P(A1)+P(A2)=P(A1)+P()P(A2|) =0.6+0.4×0.25=0.7. √ 题型(二)　全概率公式的实际应用 [例2]　为了考查学生对高中数学知识的掌握程度,准备了甲、乙两个不透明纸箱.其中,甲箱中有2道概念叙述题,2道计算题;乙箱中有2道概念叙述题,3道计算题(所有题目均不相同).现有A,B两个同学来抽题回答,每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答.每个同学先抽取1道题作答,答完题目后不放回,再抽取一道题作答(不在题目上作答).两道题答题结束后,再将这两道题目放回原纸箱. (1)如果A同学从甲箱中抽取两道题,求第二题抽到的是概念叙述题的概率; 解:设Ai表示“第i次从甲箱中抽到概念叙述题”,i=1,2, 则P(A1)=,P(A2|A1)=,P(A2|)=, 所以第二题抽到的是概念叙述题的概率 P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()P(A2|)=×+×=. (2)如果A同学从甲箱中抽取两道题,解答完后,误把题目放到了乙箱中.B同学接着抽取题目回答,若他从乙箱中抽取两道题目,求第一个题目抽取概念叙述题的概率. 解:设事件B1表示“A同学从甲箱中抽取的两道题都是概念叙述题”,事件B2表示“A同学从甲箱中抽取的两道题都是计算题”,事件B3表示“A同学从甲箱中抽取1道概念叙述题、1道计算题”,事件C表示“B同学从乙箱中抽取两道题目,第一个题目抽取概念叙述题”, 则P(B1)==,P(B2)==,P(B3)===, P(C|B1)==,P(C|B2)==,P(C|B3)==, 所以P(C)=P(B1)P(C|B1)+P(B2)P(C|B2)+P(B3)P(C|B3)=×+×+×=. [思维建模] 当事件A发生的概率不易直接求出时,可以采用化整为零的方式,即把事件A分解,然后借助全概率公式间接求出事件A发生的概率. 针对训练 2.设甲袋中有4个白球和4个红球,乙袋中有1个白球和2个红球(每个球除颜色以外均相同). (1)从甲袋中取4个球,求这4个球中恰好有3个红球的概率; 解:依题意知,从甲袋8个球中取4个球有种取法,其中4个球中恰好有3个红球,即恰好有3个红球、1个白球,有种取法, 所以4个球中恰好有3个红球的概率P==. (2)先从乙袋中取2个球放入甲袋,再从甲袋中取2个球,求从甲袋中取出的是2个红球的概率. 解:记A1为“从乙袋中取出1个红球、1个白球”,A2为“从乙袋中取出2个红球”,B为“从甲袋中取出2个红球”, 则P(A1)==,P(A2)==,P(B|A1)==,P(B|A2)==, 所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=. 题型(三)　*贝叶斯公式的实际应用 [例3]　玻璃杯整箱出售,共3箱,每箱20只.假设各箱含有0,1,2只残次品的概率对应为0.8,0.1和0.1.一顾客欲购买一箱玻璃杯,在购买时,售货员随机取一箱,而顾客随机查看4只玻璃杯,若无残次品,则买下该箱玻璃杯;否则不买.设事件A表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”,事件Bi表示“箱中恰好有i(i=0,1,2)只残次品”,求: (1)顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率P(A); 解:由题设可知,P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1,且P(A|B0)=1,P(A|B1)==,P(A|B2)==, 所以P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=0.8×1+0.1×+0.1 ×=. 即顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为. (2)在顾客买下的一箱中,没有残次品的概率P(B0|A). 解:因为P(B0|A)===,所以在顾客买下的一箱中,没有残次品的概率是. [思维建模] 如果随机试验可以看成两个阶段进行,且第一阶段的各试验具体结果怎样未知,那么:(1)若要求的是第二阶段某一个结果发生的概率,则用全概率公式;(2)若第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,则一般用贝叶斯公式.要熟记这个特征. 针对训练 3.小张从家到公司上班总共有三条路可以走(如图),但是每条路每天拥堵的可能性不太一样,由于远近不同,选择每条路的概率分别为P(L1)=0.5,P(L2)=0.3,P(L3)=0.2,每天上述三条路不拥堵的概率分别为P(C1)=0.2,P(C2)=0.4,P(C3)=0.7. 假设遇到拥堵会迟到,那么: (1)小张从家到公司不迟到的概率是多少? 解:由题意知,不迟到就意味着不拥堵,设事件C表示“到公司不迟到”,则 P(C)=P(L1)P(C|L1)+P(L2)P(C|L2)+P(L3)P(C|L3)=P(L1)P(C1)+P(L2)P(C2)+P(L3)P(C3)=0.5×0.2+0.3×0.4+0.2×0.7=0.36. (2)已知到达公司未迟到,选择道路L1的概率是多少? 解:P(L1|C)==≈0.28. 所以到达公司未迟到,选择道路L1的概率约为0.28. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 A级——综合提能 1.在3张彩票中有2张有奖,甲、乙两人先后从中各任取一张,则乙中奖的概率为(　 ) A. B. C. D. 解析:设“甲中奖”为A事件,“乙中奖”为B事件,则P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|)P()=×+×=,故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析,根据以往的数据统计,乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置,且出场率分别为0.2,0.5,0.2,0.1,当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时,球队输球的概率依次为0.4,0.2,0.6,0.2.当乙球员参加比赛时,该球队某场比赛不输球的概率为 (　 ) A.0.3 B.0.32 C.0.68 D.0.7 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析:设A1表示“乙球员担当前锋”,A2表示“乙球员担当中锋”,A3表示“乙球员担当后卫”,A4表示“乙球员担当守门员”,B表示“当乙球员参加比赛时,球队输球”. 则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+P(A4)P(B|A4)=0.2 ×0.4+0.5×0.2+0.2×0.6+0.1×0.2=0.32. 所以当乙球员参加比赛时,该球队某场比赛不输球的概率为1-0.32= 0.68. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.某校高三(1)班和(2)班各有40名同学,其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人,现从这两个班中随机抽取一名同学,若抽到的是参加数学兴趣社团的学生,则他来自高三(1)班的概率是 (　 ) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:设事件A为“抽到的学生来自高三(1)班”,事件B为“抽到的学生来自高三(2)班”,事件C为“抽到的学生参加数学兴趣社团”,则P(A)=,P(B)=,P(C|A)==,P(C|B)==,由全概率公式得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=×+×=.由乘法公式得P(AC)=P(A)P(C|A)=×=,由条件概率公式得P(A|C)===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.某市卫健委为调查研究某种流行病患者的年龄分 布情况,随机调查了大量该病患者,年龄分布如图.已 知该市此种流行病的患病率为0.1%,年龄位于区间 [40,60)的人口占总人口的28%.若从该市居民中任选一人,若此人年龄位于区间[40,60),则此人患这种流行病的概率为(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率) (　 ) A.0.28 B.0.000 54 C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:设该居民年龄位于区间[40,60)为事件A,该居民患这种流行病为事件B,由题意知,P(A)=0.28,P(B)=0.001,P(A|B)=0.54. 因为P(A|B)=,所以P(AB)=P(A|B)P(B)=0.54×0.001=0.000 54, 所以P(B|A)===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球,乙盒中有x个白球(x∈N)、3个红球、2个黑球,现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒,再从乙盒中随机取出一个球.若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于,则x的最大值为(　 ) A.4 B.5 C.6 D.7 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:设“从甲盒取出白球,红球,黑球”的事件分别为A1,A2,A3,“从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同”的事件为B,则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=·+·+·=≥,解得x≤6,则x的最大值为6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.甲、乙是位于某省的两个城市,考察这两个城市六月份下雨的情况,以A,B分别表示甲、乙两个城市出现雨天这一事件,根据以往气象记录知P(A)=P(B)=0.4,P(A|B)=0.7,则P(AB)=　　 　,P(B|A)=　　　.  解析:P(AB)=P(B)P(A|B)=0.4×0.7=0.28,P(B|A)===0.7. 0.28 0.7 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.袋中装有编号为1,2,…,N的N个球,先从袋中任取一球,若该球不是1号球就放回袋中,是1号球就不放回;然后再摸一次,则取到2号球的概率为 　　　 　.  解析:设A表示事件“第一次取到1号球”,则表示事件“第一次取到的不是1号球”;B表示事件“取到的是2号球”,显然P(A)=,P()=,且P(B|A) =,P(B|)=,∴P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|)P()=·+·=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.甲袋中有3个白球,2个黑球,乙袋中有4个白球,4个黑球,今从甲袋中任 取2球放入乙袋,再从乙袋中任取一球,则该球是白球的概率为　　　.  解析:设事件A表示“从乙袋中取出的是白球”,事件Bi表示“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”,i=0,1,2.由全概率公式得P(A)=P(B0)P(A|B0) +P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=×+×+×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.甲、乙两名同学分别与同一台智能机器人进行象棋比赛.在一轮比赛中,如果甲单独与机器人比赛,战胜机器人的概率为;如果乙单独与机器人比赛,战胜机器人的概率为. (1)甲单独与机器人进行三轮比赛,求甲至少有两轮获胜的概率; 解:设“甲至少有两轮获胜”为事件A, 则P(A)=3××+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)在甲、乙两人中任选一人与机器人进行一轮比赛,求战胜机器人的概率. 解:设“选中甲与机器人比赛”为事件A1,“选中乙与机器人比赛”为事件A2,“战胜机器人”为事件B, 根据题意得P(A1)=P(A2)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=, 由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=. 所以战胜机器人的概率为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.某中学高二年级参加市数学联考,其中甲、乙两个班级优秀率分别为30%和40%,现在先从甲、乙两个班中选取一个班级,然后从选取的班级中再选出一名同学.选取甲、乙两个班级的规则如下:纸箱中有大小和质地完全相同的4个白球、2个黑球,从中摸出1个球,摸到白球就选甲班,摸到黑球就选乙班. (1)分别求出选取甲班、乙班的概率; 解:记事件A1=“选取甲班”,事件A2=“选取乙班”,则 P(A1)==, P(A2)==,故选取甲、乙两个班级的概率分别为和. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求选出的这名同学数学成绩优秀的概率. 解:由(1)可知A1=“这名同学来自甲班”,A2=“这名同学来自乙班”,B=“这名同学数学成绩优秀”, 则Ω=A1∪A2,且A1与A2互斥,根据题意和(1)得, P(A1)=,P(A2)=,P(B|A1)=30%=,P(B|A2)=40%=. 由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=. 因此,选出的这名同学数学成绩优秀的概率为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 B级——应用创新 11.长时间玩手机可能影响视力.据调查,某校学生大约20%的人近视,而该校大约有10%的学生每天玩手机超过1小时,这些人的近视率约为60%,现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生,则他近视的概率为(　 ) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:令A1=“玩手机时间超过1小时的学生”,A2=“玩手机时间不超过1小时的学生”,B=“任意调查一名学生,此人近视”,Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥,P(A1)=0.1,P(A2)=0.9,P(B|A1)=0.6,P(B)=0.2,依题意有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.1×0.6+0.9×P(B|A2)=0.2,解得P(B|A2)==,故从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生,他近视的概率为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.[多选]甲盒子中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙盒子中有4个红球,3个白球和3个黑球(球除颜色外,大小质地均相同).先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子,分别以A1,A2和A3表示“由甲盒子取出的球是红球,白球和黑球”的事件;再从乙盒子中随机取出一球,以B表示“由乙盒子取出的球是红球”的事件,则下列结论正确的是 (　 ) A.A1,A2,A3是两两互斥的事件 B.P(B)= C.事件B与事件A1相互独立 D.P(B|A1)= √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:根据题意得,A1∩A2=∅,A2∩A3=∅,A1∩A3=∅,故由互斥事件的定义可得A1,A2,A3两两互斥,故A正确.P(A1)==,P(A2)==,P(A3)=,又P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=,故P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2) +P(B|A3)P(A3)=×+×+×=,故B错误,D正确.P(B)P(A1) =×=,P(BA1)=P(B|A1)P(A1)=,故P(B)P(A1)≠P(BA1),所以事件B与事件A1不相互独立,故C错误.故选AD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.甲箱的产品中有5个正品和3个次品,乙箱的产品中有4个正品和3个次品. (1)从甲箱中任取2个产品,求这2个产品都是次品的概率; 解:事件“从甲箱中任取2个产品”包含的样本点数为==28,事件“这2个产品都是次品”包含的样本点数为=3,∴这2个产品都是次品的概率为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中,然后再从乙箱中任取一个产品,求取出的这个产品是正品的概率. 解:设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”,事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”,事件B2为“从甲箱中取出1个正品、1个次品”,事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥, P(B1)==,P(B2)==,P(B3)==, P(A|B1)=,P(A|B2)=,P(A|B3)=, ∴P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=×+×+×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.某种电子玩具按下按钮后,会出现红球或绿球.已知按钮第一次按下后,出现红球与绿球的概率都是,从按钮第二次按下起,若前一次出现红球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为,,若前一次出现绿球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为,,记第n(n∈N,n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (1)求P2的值; 解:设A1=“第1次出现红球”,A2=“第1次出现绿球”,B=“第2次出现红球”, 则P(A1)=P(A2)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,由全概率公式得P2=P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若n∈N,n≥2,试用Pn-1表示Pn. 解:设C1=“第n-1次出现红球”,C2=“第n-1次出现绿球”,D=“第n次出现红球”, 则P(C1)=Pn-1,P(C2)=1-Pn-1,P(D|C1)=,P(D|C2)=. 由全概率公式得Pn=P(D)=P(C1)P(D|C1)+P(C2)P(D|C2)=Pn-1×+(1-Pn-1) ×=-Pn-1+(n∈N,n≥2). $$