4.1.1.2 条件概率的性质与应用 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教B版2019）

第2课时　 条件概率的性质与应用 第四章　4.1.1　条件概率 1.掌握条件概率的性质. 2.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题. 学习目标 导语 条件概率是概率的一种模型，该模型也具有概率的一切性质，让我们一起来学习吧！ 内容索引 一、条件概率的性质 二、条件概率的应用 课时对点练 随堂演练 条件概率的性质 一 问题　若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，那么如何计算事件C发生的条件下，事件A或B发生的概率？ 提示　P((A∪B)|C)＝P(A|C)＋P(B|C). 条件概率的性质 假设A，B，C都是事件，且P(A)>0，则： (1)0≤P(B|A)≤1； (2)P(A|A)＝ ； (3)若B与C互斥，则P((B∪C)|A)＝______________. 1 P(B|A)＋P(C|A) 知识梳理 7 例1　在一个袋子中装有除颜色外其他都相同的10个球，其中有1个红球、2个黄球、3个黑球、4个白球，从中依次不放回地摸2个球，求在摸出的第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率. 8 设“摸出的第一个球为红球”为事件A，“摸出的第二个球为黄球”为事件B，“摸出的第二个球为黑球”为事件C. 延伸探究　在题设条件不变的情况下，求“在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或白球的概率”. 11 条件概率的性质及应用 (1)利用公式P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”. (2)为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率. 反思感悟 12 跟踪训练1　(1)某人一周晚上值班2次，在已知他周日晚上一定值班的条件下，求他在周六晚上或周五晚上值班的概率. 13 设事件A为“周日晚上值班”，事件B为“周五晚上值班”，事件C为“周六晚上值班”， (2)在10 000张有奖储蓄的奖券中，设有1个一等奖，5个二等奖，10个三等奖，从中依次买两张，求在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率. 15 条件概率的应用 二 例2　某车险险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的年度保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； 19 设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55. (2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率. 设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15. 又P(A∩B)＝P(B)， 21 首先根据实际问题求出P(A)，P(A∩B)，P(B)，然后利用条件概率公式，计算出概率. 反思感悟 22 跟踪训练2　甲、乙、丙等五人站成一排合影留念，已知甲、乙二人相 邻，则乙、丙二人相邻的概率是______. 23 1.知识清单： (1)条件概率的性质. (2)条件概率的实际应用. 2.方法归纳：转化化归、对立统一. 3.常见误区：在实际问题中抽象不出条件概率模型. 课堂小结 随堂演练 三 1 2 3 4 1.某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是 A.0.2 　　　B.0.33 　　　 C.0.5　　　 D.0.6 √ 记“数学不及格”为事件A，“语文不及格”为事件B， 所以该生数学不及格时，语文也不及格的概率为0.2. 1 2 3 4 2.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于 √ 1 2 3 4 3.已知纸箱中装有6瓶消毒液，其中4瓶为合格品，2瓶为不合格品，现从纸箱中任取一瓶消毒液，每瓶消毒液被取到的可能性相同，不放回地取两次，若用A表示“第一次取到不合格的消毒液”，用B表示“第二次仍 取到不合格的消毒液”，则P(B|A)＝_______. 1 2 3 4 由题意，令1,2,3,4表示合格品，5,6表示不合格品，若不放回地取两次， 设A＝“第一次取到不合格的消毒液”， B＝“第二次仍取到不合格的消毒液”， 1 2 3 4 4.有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率 为_____. 1 2 3 4 设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”， 则D＝B∪C且B与C互斥. 课时对点练 四 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.(多选)下列说法不正确的是 A.P(B|A)<P(A∩B) B.P(B|A)＝　　是可能的 C.0<P(B|A)<1 D.P(A|A)＝0 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，故C，D不正确. 2.一盒中装有5个产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地取出产品，每次1个，取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则P(B|A)等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况； 若第一次取到的为1,5,7，第二次有3种情况， 故共有2×2＋3×3＝13(个)样本点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.某道数学试题含有两问，当做对第一问时，才能做第二问，为了解该题的难度，调查了100名学生的做题情况，做对第一问的学生有80人，既做对第一问又做对第二问的学生有72人，以做对试题的频率近似作为做对试题的概率，已知某个学生已经做对第一问，则该学生做对第二问的概率为 A.0.72 　　　 B.0.8 　　　 C.0.9　　　 D.0.2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)为增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.2023年的征兵体检工作中，需要从我市某医院某科室的5名男医生(含一名主任医师)、4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设事件A表示“有一名主任医师被选派”， B表示“另一名主任医师被选派”， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.分别用集合M＝{2,4,5,6,7,8,11,12}中的任意两个元素作分子与分母构成真分数，已知取出的一个元素是12，则取出的另外一个元素与之构成可 约分数的概率是_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.盒子中装有形状、大小完全相同的五张卡片，分别标有数字1,2,3,4,5.现每次从中任意抽取一张，取出后不再放回，若抽取三次，则在前两张卡 片所标数字之和为偶数的条件下，第三张为奇数的概率为______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1个. (1)若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率； (2)若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率. 记事件A表示“第一次取出的是红球”；事件B表示“第二次取出的是红球”， 利用条件概率的计算公式， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个.某人在银行自助提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字.求： (1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； 设“第i次按对密码”为事件Ai(i＝1,2)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设“密码最后一位是偶数”为事件B，则 (2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.将三颗骰子各掷一次，设事件A表示“三个点数都不相同”，B表示“至少出现一个6点”，则概率P(A|B)等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 记“第i(i＝1,2)支是好晶体管”为事件Ai(其中i＝1,2)，依题意知，要求的概率为P(A2|A1). 13.(多选)为吸引顾客，某商场举办购物抽奖活动，抽奖规则是：从装有2个白球和3个红球(小球除颜色外，完全相同)的抽奖箱中，每次摸出一个球，不放回地依次摸取两次，记为一次抽奖.若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖.则下列随机事件的概率正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，2张中至少有一张假钞的概率是________，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则2张都是假钞的概率为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设事件A表示“抽到2张都是假钞”，事件B为“2张中至少有1张假钞”，则A|B为“将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞时，2张都是假钞”. 16.如图，三行三列的方阵有9个数aij(i＝1,2,3，j＝1,2,3)，从中任取三个数，已知取到a22的条件下，求至少有两个数位于同行或同列的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设事件A＝“任取的三个数中有a22”， 事件B＝“三个数至少有两个数位于同行或同列”， 方法一　P(A)＝，P(A∩B)＝＝， P(A∩C)＝＝. ∴P(B|A)＝＝＝， P(C|A)＝＝＝. 故所求的概率为. ∴P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝. 故所求的概率为. 方法二　∵n(A)＝C＝9，n[(B∪C)∩A]＝C＋C＝5， ∴P((B∪C)|A)＝. 由缩小样本空间法求得在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或白球的概率P＝＝. 则P(A)＝，P(A∩B)＝，P(A∩C)＝， 所以P(B|A)＝＝，P(C|A)＝＝. 故他在周六晚上或周五晚上值班的概率为P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝. 设“第一张中一等奖”为事件A，“第二张中二等奖”为事件B，“第二张中三等奖”为事件C，则P(A)＝. P(A∩B)＝＝， P(A∩C)＝， ∴P(B|A)＝＝＝. P(C|A)＝＝＝. ∴P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝＝. 即在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率为. 故P(B|A)＝＝＝＝. 因此所求概率为. 设“甲、乙二人相邻”为事件A，“乙、丙二人相邻”为事件B，则所求概率为P(B|A)，而P(A)＝＝，A∩B表示事件“甲、乙相邻且乙、丙相邻”，故P(A∩B)＝＝，于是P(B|A)＝＝. P(B|A)＝＝＝0.2， 由条件概率的计算公式得P(B|A)＝＝＝. P(A)＝＝，P(A∩B)＝＝， A. B. C. D. 所以n(A)＝C·C＝10，n(A∩B)＝C·C＝2， 故P(B|A)＝＝＝. P(A∩C)＝＝， 故P(D|A)＝P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝. 又P(A)＝＝，P(A∩B)＝＝， 由条件概率公式P(B|A)＝及0<P(A)≤1知P(B|A)≥P(A∩B)，故A不正确； 当事件A包含事件B时，有P(A∩B)＝P(B)，此时P(B|A)＝，故B正确； 设一等品为a，b，c，二等品为A，B，“第二次取得一等品”所含样本点有(a，b)，(a，c)，(b，a)，(b，c)，(c，a)，(c，b)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，共12个，其中第一次取得二等品的样本点共有6个，所以所求概率为P＝＝. A. B. C. D. A. B. C. D. 由题意得P(A)＝，事件A∩B为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”， P(A∩B)＝＝， 由条件概率的定义得P(B|A)＝＝. 做对第一问的学生有80人，则做对第一问的频率为0.8，做对第一问又做对第二问的学生有72人，则两问都做对的频率为0.72，设“做对第一问”为事件A，“做对第二问”为事件B，则P(A)＝0.8，P(AB)＝0.72，某个学生已经做对第一问，则该学生做对第二问的概率P(B|A)＝＝＝0.9. A.P(A)＝ B.P(AB)＝ C.P(B|A)＝ D.P(B|)＝ P(A)＝＝，故A正确； P(AB)＝＝，故B正确； P(B|A)＝＝＝，故C正确； P()＝1－P(A)＝1－＝， P(B)＝＝， P(B|)＝＝＝，故D错误. A. B. C. D. P(A)＝＋＋＝， P(A∩B)＝＝，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为P(B|A)＝＝＝. 设“取出的两个元素中有一个是12”为事件A，“取出的两个元素构成可约分数”为事件B，则n(A)＝7，n(A∩B)＝4，所以P(B|A)＝＝. 设“前两张卡片所标数字之和为偶数”为事件A，“第三张为奇数”为事件B，则所求概率为P(B|A)＝＝＝. 两次都取得白球的概率P＝×＝. 则P(A)＝＝， P(A∩B)＝＝， 可得P(B|A)＝＝×＝. 则A＝A1∪(1A2)表示“不超过2次就按对密码”. 因为事件A1与事件1A2互斥，所以由概率的加法公式得P(A)＝P(A1)＋P(1A2)＝＋＝. P(A|B)＝P(A1|B)＋P(1A2|B)＝＋＝. A. B. C. D. 因为P(A|B)＝，P(A∩B)＝＝＝＝， P(B)＝1－P()＝1－＝1－＝. 所以P(A|B)＝＝＝. A. B. C. D. 由P(A1)＝，P(A1∩A2)＝＝， 所以P(A2|A1)＝＝＝. A.某顾客抽奖一次中奖的概率是 B.某顾客抽奖三次，至少有一次中奖的概率是 C.在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次抽出了红球，则该顾客中奖的概率是 D.在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次抽出了红球，则该顾客中奖的概率是 顾客抽奖一次中奖的概率为＝＝，故A选项正确； 顾客抽奖三次，至少有一次中奖的概率是1－3＝1－3＝1－＝，故B选项正确； 对于C，D选项，由于第一次抽出了红球，故剩余2个白球和2个红球，再抽一个，抽到红球的概率是＝，即中奖的概率是，故C选项错误，D选项正确. 14.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军.若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军 的条件下，比赛进行了3局的概率为________. 根据题意，甲获得冠军的概率为×＋××＋××＝，其中甲获得冠军并且比赛进行了3局的概率为××＋××＝，所以在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率P＝＝. 又P(A∩B)＝＝，P(B)＝＝， ∴P(A|B)＝＝. 则＝“三个数互不同行且不同列”， 依题意得n(A)＝C＝28，n(A∩)＝2， 故P(|A)＝＝＝， 则P(B|A)＝1－P(|A)＝1－＝. 即已知取到a22的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率为. $$