2.1 坐标法（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）  

第二章 平面解析几何 2.1 坐标法 概念课—逐点理清式教学 课时目标 1．通过数轴上两点间的距离公式的探索，掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公式． 2．进一步体会“坐标法”的基本思想，逐步学会用“坐标法”解决有关问题． CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　平面直角坐标系中的基本公式 逐点清(二)　用坐标法证明几何问题 逐点清(三)　坐标法在几何中的应用 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　 平面直角坐标系中的基本公式 01 多维度理解 (4)若A，B两点在x轴上，或在与x轴平行的直线上，此时|AB|＝|x2－x1|. (5)若A，B两点在y轴上，或在与y轴平行的直线上，此时|AB|＝|y2－y1|. [注意]　(4)(5)在应用时，可根据实际情况去掉绝对值号，解题更容易． (6)在数轴上，点A(x1)，B(x2)，用绝对值定义两点间的距离，表示为d(A，B)＝|x1－x2|.若A，B，C是数轴上任意三点，则d(A，B)≤d(A，C)＋d(B，C)． 细微点练明 √ √ √ 4．已知A(6,1)，B(0，－7)，C(－2，－3)． (1)求证：△ABC是直角三角形； (2)求△ABC的外心的坐标． 解：(1)证明：|AB|2＝(0－6)2＋(－7－1)2＝100，|BC|2＝(－2－0)2＋(－3＋7)2＝20，|AC|2＝(－2－6)2＋(－3－1)2＝80. 因为|AB|2＝|BC|2＋|AC|2，所以∠C＝90°， 故△ABC为直角三角形． (2)由(1)可知△ABC为直角三角形， 所以其外心是斜边AB的中点， 逐点清(二)　用坐标法证明几何问题 02 通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过_________等解决了问题．这种解决问题的方法称为_______． 代数运算 坐标法 [例1]　如图，在△ABC中，|AB|＝|AC|，D是BC边上异于B，C的任意一点，求证：|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|. 证明：如图，以BC边的中点为原点O，BC边所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系． 设A(0，a)，B(－b,0)，C(b,0)，D(m,0)(－b<m<b)． 则|AB|2＝(－b－0)2＋(0－a)2＝a2＋b2， |AD|2＝(m－0)2＋(0－a)2＝m2＋a2， |BD|·|DC|＝|m＋b|·|b－m|＝(b＋m)(b－m)＝b2－m2， ∴|AD|2＋|BD|·|DC|＝a2＋b2， ∴|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|. 建立平面直角坐标系应遵循的原则 (1)要使尽可能多的已知点落在坐标轴上，这样便于计算； (2)如果图形中有互相垂直的两条线，可以考虑将其作为坐标轴； (3)如果图形具有中心对称性，可以考虑将图形的对称中心作为坐标原点； (4)如果图形具有轴对称性，可以考虑将对称轴作为坐标轴． 方法技巧 1．已知Rt△ABC，∠B为直角，AB＝a，BC＝b，建立适当的坐标系，写出顶点A，B，C的坐标，并求证斜边AC的中点M到三个顶点的距离相等． 针对训练 解：以B为坐标原点，以边BA所在的直线为x轴，边BC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则三个顶点的坐标分别为A(a,0)，B(0,0)，C(0，b)． 逐点清(三)　坐标法在几何中的应用 03 [例2]　已知正△ABC的边长为a，在平面上求一点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求此最小值． 解：以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图． 坐标法解决问题的基本步骤 (1)根据题中条件，建立适当的坐标系，用坐标表示有关的点； (2)进行有关的代数运算； (3)把代数运算结果翻译成几何语言． 方法技巧 2．在△ABC中，D为BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.则△ABC为(　 ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不对 针对训练 √ 解析：如图所示，作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)(b＜d＜c)． 因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|， 所以b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)， 所以－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)． 又因为d－b≠0，所以－b－d＝c－d， 即－b＝c.所以|OB|＝|OC|. 又AO⊥BC，故△ABC为等腰三角形． √ 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 2．点M(4，m)关于点N(n，－3)的对称点为P(6，－9)，则m，n的值分别为(　 ) A．－3,10 B．3,10 C．－3,5 D．3,5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 4．[多选]已知平行四边形的三个顶点坐标为(3，－2)，(5,2)，(－1,4)，则第四个顶点可能是(　 ) A．(9，－4) B．(1,8) C．(－3,0) D．(1，－3) √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 5．已知点A(2,0)，B(4,2)，若|AB|＝2|AC|，则C点坐标为(　 ) A．(－1,1) B．(－1,1)或(5，－1) C．(－1,1)或(1,3) D．无数多个 解析：设C(x，y)，由|AB|＝2|AC|， 得(2－4)2＋(0－2)2＝4(2－x)2＋4y2， 即(x－2)2＋y2＝2，∴存在无数多个C点． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 9．[多选]已知△ABC的两个顶点A(3,7)，B(－2,5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，则C点的坐标是(　 ) A．(－3，－7) B．(2，－7) C．(2，－5) D．(－3，－5) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：设C(x，y)，显然AC，BC的中点不在同一条坐标轴上，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则有y＋7＝0，－2＋x＝0，即C(2，－7)；若AC的中点在y轴上，BC的中点在x轴上，则有3＋x＝0,5＋y＝0，即C(－3，－5)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10．已知点M(2,2)平分线段AB，且点A(x,3)，B(3，y)，则x＝________，y＝________. 1 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11．在平面直角坐标系中，若点(2，b)到原点的距离不小于5，则b的取值范围是____________________________． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12．已知点A(1,3)，B(3,1)，C(0,0)，则AB边上的中线长CM＝______，△ABC的面积为____． 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13．已知ABCD是一个长方形，且M是ABCD所在平面上任意一个点，求证：|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2. 证明：因为ABCD是长方形，故以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 则A(0,0)，不妨设B，D的坐标为B(a,0)，D(0，b)，则C(a，b)．设M(x，y)， 故|AM|2＋|CM|2＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2， |BM|2＋|DM|2＝(x－a)2＋y2＋x2＋(y－b)2＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2， 故|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2，得证． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14．已知以点A(－3，y)与点B(x,2)为端点的线段的中点C在x轴上，O为原点． (1)若|OC|＝1，求点C的坐标； (2)当|AC|取最小值时，求点A关于点C对称的点的坐标． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解得x＝5或x＝1， 即点C的坐标为(－1,0)或(1,0)． ∴当x＝－3时，|AC|有最小值2， ∴C(－3,0)． ∴点A关于点C对称的点的坐标为(－3,2)． 两点间距离公式 已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有|AB|＝||＝————————— 中点坐标 公式 已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设点M(x，y)是线段AB的中点， 则有x＝————，y＝———— 微点助解 两点间距离公式的几点说明 (1)公式中，点A，B的位置没有先后之分，即距离公式还可以写为|AB|＝. (2)坐标平面内的两点间的距离公式是数轴上两点间的距离公式的推广． (3)若B点为原点，则AB＝|OA|＝. 1．已知A(－1,2)，B(3，－4)，则线段AB的中点坐标为(　 ) A．(1，－1) B．(－2,3) C．(2，－3) D． 解析：由A(－1,2)，B(3，－4)，利用中点坐标可知，线段AB的中点坐标为，即(1，－1)． 2．已知点A(3,3a＋3)与点B(a,3)之间的距离为5，则实数a的值为(　 ) A．－1 B． C．－1或 D．1或－ 解析：由点A(3,3a＋3)与点B(a,3)之间的距离为5，可得|AB|＝＝＝5，整理得10a2－6a－16＝0，即5a2－3a－8＝0，解得a＝－1或a＝. 3．已知△ABC的三个顶点A(3,0)，B(－1,2)，C(1，－3)，则△ABC的中线AD的长是(　 ) A． B．3 C． D． 解析：由题意可知，线段BC的中点为D，故|AD|＝＝. 所以△ABC外心的坐标为，即(3，－3)． 所以|MA|＝|MB|＝|MC|. 由中点坐标公式得斜边AC的中点M的坐标为. 所以|MA|＝＝， |MB|＝＝， |MC|＝＝. 则A，B，C. 设P(x，y)，则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2 ＝x2＋2＋2＋y2＋2＋y2 ＝3x2＋3y2－ay＋ ＝3x2＋32＋a2≥a2， 当且仅当x＝0，y＝时，等号成立， ∴所求最小值为a2，此时P点坐标为，是正△ABC的重心． 3．在Rt△ACB中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝(　 ) A．2 B．4 C．5 D．10 解析：将直角三角形的直角顶点C与原点重合，建立平面直角坐标系(图略)，设B(a,0)，A(0，b)，则D，P，所以＝＝10，故选D. 1．已知数轴上两点A，B的坐标分别是－4，－1，则||＝(　 ) A．－3 B．3 C．6 D．－6 解析：由题意，向量的坐标为－1－(－4)＝3，所以||＝3. 解析：由中点坐标公式得＝n，＝－3，所以m＝3，n＝5. 3．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于(　 ) A．5 B．4 C．2 D．2 解析：设A(x0,0)，B(0，y0)，因为AB的中点是P(2，－1)，所以＝2，＝－1，所以x0＝4，y0＝－2，即A(4,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝ ＝2. 解析：设第四个顶点的坐标为(x，y)， ①若点(3，－2)，(5,2)为平行四边形的对顶点，则有＝，＝，解得x＝9，y＝－4，即(9，－4)； ②若(5,2)，(－1,4)为对顶点，同理可求得第四个顶点为(1,8)； ③若(3，－2)，(－1,4)为对顶点，同理可求得第四个顶点为(－3,0)．故选ABC. 6．已知点A(1,0)，B(0,1)，C(－2，－3)，则△ABC的面积为(　 ) A．3 B．2 C．1 D． 解析：由题意|AB|＝＝，|AC|＝＝3，|CB|＝＝2， 所以|AB|2＋|AC|2＝|CB|2，即AB⊥AC， 所以△ABC的面积为S＝|AB||AC|＝××3＝3. 7．已知A(－1,2)，B(0,4)，点C在x轴上，且|AC|＝|BC|，则点C的坐标为(　 ) A． B． C． D． 解析：因为点C在x轴上，设点C(a,0)，又|AC|＝|BC|，所以＝，解得a＝，所以C. 8．[多选]对于，下列说法正确的是(　 ) A．可看作点(x,0)与点(1,2)的距离 B．可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离 C．可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离 D．可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离 解析：由题意，可得＝＝＝，可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x,0)与点(－1,2)或点(x，－1)与点(－1,1)的距离，故A不正确． 解析：因为点M(2,2)平分线段AB, 所以＝2，＝2，解得x＝1，y＝1. (－∞，－]∪[，＋∞) 解析：根据两点的距离公式得点(2，b)到原点的距离d＝≥5，即4＋b2≥25，所以b2≥21，解得b≤－或b≥. 2 解析：设AB的中点M的坐标为(x，y)，则 即M的坐标为(2,2)，∴|CM|＝＝2， 又|AB|＝＝2， |AC|＝＝，|BC|＝＝， ∴CM⊥AB， ∴S△ABC＝|CM|·|AB|＝×2×2＝4. 解：由中点公式，得点C的坐标为， 由于点C在x轴上，∴y＝－2，即A(－3, －2)． (1)∵|OC|＝1，∴＝1， (2)∵|AC|＝ ＝ ， $$