1.4.2 第1课时 距离问题（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）  

1.4.2 用空间向量研究距离、 夹角问题 距离问题 (强基课—梯度进阶式教学) 第1课时 课时目标 1．能用向量法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题． 2．通过空间中距离问题的求解，体会向量法在研究几何问题中的作用． CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 1．点到直线的距离 (a·u)u 2．点到平面的距离 3．直线(平面)到平面的距离 (1)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为______________的距离求解． (2)如果两个平面α，β互相平行，可在其中一个平面α内任取一点P，将两个平行平面的距离转化为_____________的距离求解． 点P到平面α 点P到平面β 基点训练 √ √ √ 解析：因为点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)， 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 [例1]　如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离． 题型(一)　点到直线的距离 解：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求直线的单位方向向量u. (3)计算所求点P与直线上某一点所构成的向量a. 方法技巧 1．如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，点M是AD的中点，求点M到直线B′D′的距离． 针对训练 解：建立如图所示的空间直角坐标系， 题型(二)　点到平面的距离 解：(1)因为P，O分别是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，连接OA，OB，OC，OP，所以OA，OB，OP两两互相垂直，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以B(0,2,0)，C(－2,0,0)，P(0,0,2)， 取z＝1， 则x＝－1，y＝1， 所以m＝(－1,1,1)， 所以平面PBC的一个法向量为(－1,1,1)． (2)由(1)知平面PBC的一个法向量为(－1,1,1)， 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求出该平面的一个法向量． (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量． (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离． 方法技巧 针对训练 OA⊂平面ABD，OA⊥BD， 所以OA⊥平面BCD，由于OC⊂平面BCD， 所以OA⊥OC， 则OA，OC，OD两两相互垂直， 以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系， [例3]　如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M，N，R分别是OA，BC，AD的中点．求： (1)直线MN与平面OCD的距离； (2)平面MNR与平面OCD的距离． 题型(三)　线面距与面面距 解：(1)因为OA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形， 以点A为坐标原点，AB，AD，AO所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(2,2,0)，D(0,2,0)，O(0，0,2)，M(0,0,1)，N(2,1,0)，R(0，1,0)， 因为M，R分别为OA，AD的中点， 则MR∥OD， 因为MR⊄平面OCD，OD⊂平面OCD， 所以MR∥平面OCD， 因为AD∥BC且AD＝BC，R，N分别为AD，BC的中点， 则CN∥RD且CN＝RD， 所以四边形CDRN为平行四边形， 所以RN∥CD， 因为RN⊄平面OCD，CD⊂平面OCD， 所以RN∥平面OCD， 因为MR∩RN＝R，MR，RN⊂平面MNR， 所以平面MNR∥平面OCD， 因为MN⊂平面MNR， 所以MN∥平面OCD， (2)因为平面MNR∥平面OCD， 用向量法研究空间距离问题的一般步骤 (1)确定法向量；(2)选择参考向量；(3)利用公式求解． 方法技巧 针对训练 解：∵A1B1∥AB，A1B1⊄平面ABE，AB⊂平面ABE， ∴A1B1∥平面ABE， ∴A1B1到平面ABE的距离就是点A1到平面ABE的距离． 如图，以D为坐标原点， 分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、 z轴，建立空间直角坐标系， 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题意易知直线FC1∥平面AB1E，所以F到平面AB1E的距离即为直线FC1到平面AB1E的距离．建立如图所示的空间直角坐标系， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 则x＝1，y＝－2， 所以n＝(1，－2,2)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：如图，取A1C1的中点G，连接FG，以F为坐标原点，FB，FC，FG所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 设平面A1EF的法向量为n＝(x，y，z)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：设平面ABCD的法向量为n＝(x，y，z)， 所以x＝y＝0， 所以取n＝(0,0，1)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为________． 解析：因为B1D1∥BD，B1D1⊄平面BDC1，BD⊂平面BDC1， 所以B1D1∥平面BDC1，同理AD1∥平面BDC1， 又B1D1∩AD1＝D1， 所以平面AB1D1∥平面BDC1， 则两平行平面间的距离等于点B到平面AB1D1的距离． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，B1(a，a，a)，D1(0，0，a)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)， 令x＝1， 则y＝－1，z＝1， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 则n＝(1，－1,1)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.如图，长方体ABCD-A′B′C′D′的顶点坐标为B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，A′(0,0,2)，B′(1，0,2)，D′(0,2,2)，E和F分别是棱DD′和BB′的中点，求CE与A′F之间的距离． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：因为E和F分别是棱DD′和BB′的中点， 则E(0,2,1)，F(1,0,1)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 所以CE∥A′F.因此点F到直线CE的距离即为平行线CE与A′F之间的距离． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.如图，在直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，求点D到平面ACE的距离． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：取AB的中点O，连接OE. 因为△AEB是等腰直角三角形， 所以OE⊥AB，OE＝OA＝1. 由已知得，平面ABCD⊥平面AEB，平面ABCD∩平面AEB＝AB， 所以OE⊥平面ABCD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系(其中z轴平行于BC)， 则C(0,1,2)，A(0，－1,0)，E(1,0,0)，D(0，－1,2)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 B级——应用创新 11.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝2，AB⊥AC，M是CC1的中点，N是BC的中点，P是A1B1的中点，则点A到平面MNP的距离为(　 ) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：如图，以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，连接AM， 则A(0,0,0)，M(0，2,1)，N(1,1,0)，P(1,0,2)， 设平面MNP的法向量为u＝(x，y，z)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 令y＝2， 则x＝3，z＝1， 所以平面MNP的一个法向量u＝(3,2,1)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：以A为原点，AB，AC，AD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(6,0,0)，C(0,6,0)，D(0，0,6)，E(3,0,0)，F(0,0,4)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.如图，四棱锥P-ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，△PBC是等边三角形，M，N分别为AB和PC的中点，则平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值为__________． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：连接AC，BD相交于点O，O点为底面ABCD的中心，取BC中点为E，连接EO，EP， 则EP⊥BC， 因为平面PBC⊥平面ABCD， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 且底面ABCD的边长为2，△PBC是等边三角形， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 且平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值即为点O到平面DMN的距离， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.如图，已知ABCD是矩形，点P为平面ABCD外一点，PA⊥平面ABCD，若点E为PB的中点，PA＝AB＝1，BC＝2. (1)求证：AE⊥平面PBC； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：(1)证明：已知ABCD是矩形， 所以AB⊥AD， 又PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD， 所以PA⊥AB，PA⊥AD， 如图，以A为原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 故AE⊥BC，AE⊥PB， 又BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC， 所以AE⊥平面PBC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)设G(1，a,0)且a∈[0,2]， 设平面PAG的法向量为n＝(x，y，z)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 令y＝1， 则n＝(－a,1,0)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 整理得a2＝1， 解得a＝1或a＝－1(舍去)， 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，＝a，则向量在直线l上的投影向量＝_________，点P到直线l的距离PQ＝__________________＝________________. 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离 PQ＝___________＝__________＝__________. 1．已知A(2,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，则点A到直线BC的距离为(　 ) A．2 B． C．4 D． 解析：由题意可得，＝(2，－1,0)，＝(0，－1,2)， 则在上的投影向量的模为＝＝， 则点A到直线BC的距离为＝＝. 2．已知a＝(1,1,1)为平面α的一个法向量，A(1,0,0)为α内的一点，则点D(1,1,2)到平面α的距离为(　 ) A． B． C． D． 解析：依题意，＝(0,1,2)， 又a＝(1,1,1)为平面α的一个法向量， 所以点D(1,1,2)到平面α的距离d＝＝＝. 3．已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，P(1，－1，0)，那么过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离是(　 ) A． B． C． D． 所以＝(－1,1,0)，＝(－1,0,2)，＝(0，－1,0)， 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)， 则 则n＝， 所以d＝＝，故选C. 即 令x＝1， 得y＝1，z＝， 则A1(4，0,1)，C1(0,3,1)，B(0,0,0)． 直线A1C1的方向向量＝(－4，3,0)，＝(0,3,1)， 所以点B到直线A1C1的距离 d＝＝＝. (4)利用公式PQ＝计算点到直线的距离． M(1,0,0)，D′(0，0,3)，B′(2，1,3)，＝(－1，0,3)，＝(2,1,0)， 所以点M到直线B′D′的距离为 ＝＝. [例2]　如图，P，O分别是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，AB＝AA1＝2. (1)求平面PBC的法向量； (2)求点O到平面PBC的距离． 因为AB＝AA1＝2， 所以OA＝OC＝OB＝2，OP＝AA1＝2， 所以＝(0,2，－2)，＝(－2,0，－2)． 设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)， 则⇒ 又＝(0,2,0)， 所以点O到平面PBC的距离d＝＝＝， 所以点O到平面PBC的距离为. 2.如图，将边长为的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，求点D到平面ABC的距离． 解：设O是BD的中点，连接OA，OC，由于折叠前四边形ABCD是正方形，边长为， 所以OA＝OB＝OC＝OD＝1.依题意，平面ABD⊥平面BCD且交线为BD， 则D(0,1,0)，B(0，－1，0)，A(0，0,1)，C(1，0,0)，＝(0,2,0)，＝(0,1,1)，＝(1,1,0)， 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)， 则 故可设n＝(1，－1,1)， 所以点D到平面ABC的距离为＝＝. 可得n＝(0,1,1)，＝(0,1,0)， 所以直线MN与平面OCD的距离为d1＝＝＝. 设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，＝(2,0,0)，＝(0，－2,2)， 则 取y＝1， 所以平面MNR与平面OCD的距离为d2＝＝＝. 3.如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离． 设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)， 则A1(1,0,2)，A(1,0,0)，E(0，，1)，C(0，，0)．过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF＝， ∴B(1,2，0)， ∴＝(0,2，0)，＝(－1，－，1)． ∵＝(0,0,2)， 则 即 ∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1,0,1)． ∴点A1到平面ABE的距离d＝＝＝. ∵直线A1B1与平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离， ∴直线A1B1与平面ABE的距离为. A级——综合提能 1．已知A(1,2,0)，B(3,1,2)，C(2,0,4)，则点C到直线AB的距离为(　 ) A．2 B. C．2 D．2 解析：因为＝(2，－1,2)，＝(1，－2,4)， 所以在方向上的投影向量的模为＝＝4. 设点C到直线AB的距离为d， 则d＝＝＝. 2．若平面α的一个法向量为n＝(1,2,1)，＝(－1，－1,2)，A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为(　 ) A．1 B. C. D. 解析：因为＝(－1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(1,2,1)， 所以点A到平面α的距离为＝. 3．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则点C1到直线CE的距离为(　 ) A. B. C. D. 解析：建立空间直角坐标系，如图， 则C(1,1,0)，C1(1，1,1)，E， 所以＝，1＝(0,0,1)， 所以1在上的投影向量的模为＝＝， 所以点C1到直线EC的距离d＝＝＝. 4.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，F为BB1的中点，则直线FC1到平面AB1E的距离为(　 ) A. B. C. D. 则A(1,0,0)，E，B1(1,1,1)， F，C1(0,1,1)， 所以＝，＝(0,1,1)，＝， 设平面AB1E的法向量n＝(x，y，z)， 则 即取z＝2， 所以F到平面AB1E的距离d＝＝＝. 5．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝6，点E，F分别为棱BB1，AC的中点，则点C1到平面A1EF的距离为(　 ) A. B. C. D. 则F(0，0,0)，A1(0，－1,6)，E(，0,3)，C1(0，1,6)， 所以＝(0，－1，6)，＝(，0,3)，＝(0,1,6)， 所以 令z＝1， 解得x＝－，y＝6， 所以平面A1EF的一个法向量为n＝(－，6,1)， 所以点C1到平面A1EF的距离d＝＝. 6．在四棱锥S-ABCD中，＝(4，－1,0)，＝(0,3,0)，＝(－3,1，－5)，则这个四棱锥的高h为________ . 则 所以此四棱锥的高h＝＝＝5. 7．在空间直角坐标系Oxyz中，A(1,2,1)，B(2,1，m)，C(0,1,2)，若点C到直线AB的距离不小于，写出一个满足条件的m的值：__________________________________________________. 1(答案不唯一，只要1－≤m≤1＋即可) 解析：因为＝(1，－1，m－1)，＝(－1，－1,1)， 所以点C到直线AB的距离d＝＝≥， 解得1－≤m≤1＋. a 则＝(0，a，a)，＝(－a，－a,0)， ＝(0，－a,0)． 则 即 则点B到平面AB1D1的距离d＝＝＝a， 所以平面AB1D1与平面BDC1的距离为a. 又＝(－1,0,1)， ＝(1,0，－1)， 且直线CE与A′F无公共点， 又因为＝(－1,0,1)，＝(0,2，－1)， 所以在上的投影向量的模为＝＝＝. 所以点F到直线CE的距离d＝＝＝. 因此CE与A′F之间的距离为. 所以＝(0,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,2,2)． 设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)， 则 即令y＝1， ∴n＝(－1,1，－1)． 故点D到平面ACE的距离d＝＝＝. A. B. C. D. 所以＝(－1,2，－1)，＝(0,1，－2)，＝(0,2,1)， 则 所以点A到平面MNP的距离为＝＝. 12.如图，在三棱锥A-BCD中，AB＝AC＝AD＝6，AB，AC，AD两两垂直，E为AB的中点，F为AD上更靠近点D的三等分点，O为△BCD的重心，则O到直线EF的距离为(　 ) A．2 B．1 C． D． 得O(2，2,2)，＝(－3,0,4)， 取a＝＝(－1,2,2)，u＝＝(－3,0,4)＝， 则a2＝9，a·u＝， 所以点O到直线EF的距离为＝. 则EP⊥平面ABCD，以点E为原点，分别以，，为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(2,1,0)，M(1，－1,0)，C(0,1,0)，P(0,0，)， 则N，O(1,0,0)， 则＝，＝，＝(1,1,0)． 设平面DMN的法向量为n＝(x，y，z)， 则 解得 令z＝7， 则y＝－，x＝2， 所以n＝(2，－，7)， 则d＝＝＝. (2)在边BC上是否存在一点G，使点D到平面PAG的距离为，若存在，求出BG的值，若不存在，请说明理由． 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)， P(0,0,1)，E， 所以＝，＝(0,2,0)，＝(1,0，－1)， 则·＝0＋0＋0＝0，·＝＋0－＝0， 又＝(0,0,1)，＝(1，a,0)， 则 解得 又＝(0,2,0)，则点D到平面PAG的距离为＝＝， 故BG＝||＝1. $$