1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）  

空间中直线、平面的平行 (强基课—梯度进阶式教学) 第2课时 课时目标 1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系． 2．能用向量法判断或证明直线、平面间的平行关系． CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 位置关系 符号表示 图示 线线平行 l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得_________ 线面平行 l∥α⇔u⊥n⇔________(l⊄α) 面面平行 α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得_________ u1＝λu2 u·n＝0 n1＝λn2 微点助解 用向量刻画空间中直线、平面的平行关系的注意点 (1)线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合． (2)直线的方向向量与平面的法向量都不是唯一的，所以运用时应以运算简便为标准． (3)线线平行、面面平行中向量仍平行，但线面平行中向量变为垂直.可简记为“同类同性，异类相反”． 基点训练 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若平面外的一条直线的方向向量与该平面的法向量平行，则这条直线与这个平面平行． (　 ) (2)两直线的方向向量垂直，则两条直线垂直． (　 ) (3)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直． (　 ) (4)两个(不重合)平面的法向量平行，则这两个平面平行，两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直． (　 ) × √ √ √ 2．[多选]若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是(　 ) A．a＝(1,0,0)，n＝(0，－2,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1) √ √ 解析：若l∥α， 则a·n＝0. A中a·n＝0， B中a·n＝1＋5＝6， C中a·n＝－1， D中a·n＝－3＋3＝0. 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 [例1]　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在棱DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为棱A1D1，BC的中点．求证：MN∥RS. 题型(一)　证明直线与直线平行 因为M∉RS， 所以MN∥RS. 又R∉MN， 所以MN∥RS. 证明线线平行的两种方法 方法技巧 基向量法 用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明 坐标法 建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示 针对训练 证明：法一：坐标法　由题意知，直线DA，DC，DP两两垂直．如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， [例2]　如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC, ∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝2，AB＝1.求证：MN∥平面BDE. 题型(二)　证明直线与平面平行 证明：因为PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，建立空间直角坐标系如图所示， 不妨设z＝1， 可得n＝(1,0,1)， 因为MN⊄平面BDE, 所以MN∥平面BDE. 利用空间向量证明线面平行一般有三种方法 (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示． (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证． (3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． 方法技巧 解：因为PA⊥底面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD， 所以PA⊥AB，PA⊥AD. 由题意可知，AB，AD，AP两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，P(0，0,2)，E(0,2,1)， 不妨令x＝1，得m＝(1，－1,2)． 因为BF∥平面ACE， [例3]　如图，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC. 题型(三)　证明平面与平面平行 证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形， 所以AB，AP，AD两两垂直，如图， 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0，2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)． 令z1＝1，则x1＝1，y1＝0， 所以n1＝(1,0,1)． 设n2＝(x2，y2，z2)是平面PBC的法向量， 令z2＝1， 则x2＝1，y2＝0， 所以n2＝(1,0,1)， 所以n1∥n2， 又平面EFG与平面PBC不重合， 所以平面EFG∥平面PBC. 证明面面平行问题的方法 (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．　　 方法技巧 3．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点．求证：平面AMN∥平面BDEF. 针对训练 取z1＝1，得x1＝2，y1＝－2，则n1＝(2，－2,1)． 设n2＝(x2，y2，z2)是平面BDEF的法向量， 取z2＝1，得y2＝－2，x2＝2，则n2＝(2，－2,1)＝n1. 又平面AMN与平面BDEF不重合， 故平面AMN∥平面BDEF. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 √ A级——综合提能 1．在空间直角坐标系中，a＝(1,2,1)为直线l的一个方向向量，n＝(2，t,4)为平面α的一个法向量，且l∥α，则t＝(　 ) A．3 B．1 C．－3 D．－1 解析：因为l∥α，所以a＝(1,2,1)与n＝(2，t,4)垂直，故a·n＝(1,2,1)·(2，t,4)＝2＋2t＋4＝0，解得t＝－3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 2．设u＝(2,0，－1)是平面α的一个法向量，a＝(1,0,2)是直线l的一个方向向量，则直线l与平面α的位置关系是(　 ) A．平行或直线在平面内 B．不能确定 C．相交但不垂直 D．垂直 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析：因为u·a＝2＋0－2＝0， 所以u⊥a， 所以直线l与平面α的位置关系是平行或直线在平面内． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 3．已知A(1,2,3)，B(－1,0,5)，C(3,0,4)，D(4,1,3)，则直线AB与CD的位置关系是(　 ) A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 又四点不共线， 所以直线AB与CD平行． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 4．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z的值是(　 ) A．－3 B．－4 C．3 D．4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：∵α∥β， ∴u1∥u2，故存在实数λ，使得u1＝λu2， 即(－3，y,2)＝λ(6，－2，z)， ∴y＋z＝1－4＝－3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 5．[多选]在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1中点，若直线EF∥平面A1BC1，则点F的位置可能是(　 ) A．线段CC1中点 B．线段BC中点 C．线段CD中点 D．线段C1D1中点 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设CC1，BC，CD，C1D1的中点分别为M，N，P，Q，不妨设棱长为2， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 设平面A1BC1的法向量n＝(x，y，z)， 令y＝1， 则n＝(1,1,1)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 又EM，EN，EQ⊄平面A1BC1， 则EM，EN，EQ都平行于平面A1BC1， 即若直线EF∥平面A1BC1， 则点F的位置可能是线段CC1中点，线段BC中点或线段C1D1中点． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 －2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：因为a∥b， 所以m＝λn， 解得λ＝－2，k＝－2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7．设平面α，β的一个法向量分别为u＝(1,2，－2)，v＝(－3，－6,6)，则α，β的位置关系为________． 解析：因为u＝(1,2，－2)，v＝(－3，－6,6)， 所以v＝(－3，－6,6)＝－3(1,2，－2)＝－3u， 所以v∥u，所以α∥β. 平行 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8．已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，则实数m的值是________． 解析：∵l∥平面ABC， －3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 ＝(x，y，－x－y)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.如图，已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明． (1)MN∥平面CC1D1D； (2)平面MNP∥平面CC1D1D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 设正方体的棱长为2， 则A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，M(1,0,1)，N(1,1,0)，P(1,2,1)． 由正方体的性质，知AD⊥平面CC1D1D， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 又MN⊄平面CC1D1D， 所以MN∥平面CC1D1D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 所以平面MNP∥平面CC1D1D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：如图所示，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 令z＝2， 则x＝2，y＝1， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 即n＝(2,1,2)． 可得F(λ，1,1)(0≤λ≤1)， 又因为B1(1,0,1)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 由B1F∥平面A1BE， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，A(2,0,0)，E(1,2,0)，F(0，2,1)，A1(2,0,2)， 设平面AEF的法向量n＝(x，y，z)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 取y＝1， 得n＝(2,1,2)， 设P(a，2，c)，0≤a≤2,0≤c≤2， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 因为A1P平行于平面AEF， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 令x＝1， 则y＝0， z＝1， ∴n＝(1,0,1)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 又AP⊄平面EFG， ∴AP∥平面EFG. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，且AB⊥BC，O为AC的中点．在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB？若存在，确定点E的位置，若不存在，请说明理由． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：连接OA1，因为AA1＝A1C， 且O为AC的中点， 所以A1O⊥AC， 又平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC， 且A1O⊂平面AA1C1C， 所以A1O⊥平面ABC. 连接OB， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 由AB＝BC， 得OB⊥AC，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意可知，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，AB⊥BC， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 由OE∥平面AA1B， 证明：法一　如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得M，N(0,2,2)，R(3,2,0)，S. 则，分别为MN，RS的方向向量， 又＝，＝， 所以＝， 所以∥， 所以∥. 法二　设＝a，＝b，＝c， 则＝＋＋＝c－a＋b，＝＋＋＝b－a＋c. 所以＝， 1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，点M在DB上，且DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2.求证：MN∥AP. 则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，P(0，0,1)，E，N，M， 所以＝(－1,0,1)，＝， 所以＝， 所以MN∥AP. 法二：基向量法　由题意得＝＋＝＋＝ ＋×(＋)＝＋＋＝＋＝(＋)＝，所以MN∥AP. 则A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(0,2,0)，D(0,0,1)，E(0，1,1)，M，N，P(0,0,2)， 所以＝(0,1,0)，＝(1,0，－1)， 设n＝(x，y，z)为平面BDE的法向量， 则 即 又＝， 所以·n＝1×＋0×1＋1×＝0，即⊥n， 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，PA＝AB＝BC＝2，AD＝4，E为棱PD的中点，＝λ(λ为常数，且0<λ<1)．若直线BF∥平面ACE，求实数λ的值． 所以＝(2,2,0)，＝(0,2,1)，＝(－2,0,2)，＝(2,2，－2)， 由得 则＝λ＝(2λ，2λ，－2λ)， 所以＝＋＝(2λ－2,2λ，2－2λ)． 设平面ACE的法向量为m＝(x，y，z)． 所以·m＝2λ－2－2λ＋4－4λ＝0， 解得λ＝. 故实数λ的值为. 即 所以＝(2,0，－2)，＝(0，－1,0)，＝(1,1，－1)，＝(0,2,0)． 设n1＝(x1，y1，z1)是平面EFG的法向量， 则n1⊥，n1⊥， 得 由n2⊥，n2⊥， 即 得 证明：如图，以点D为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，M，N，E，F. 于是＝，＝，＝，＝. 设n1＝(x1，y1，z1)是平面AMN的法向量， 则 则 解析：因为＝(－2，－2,2)，＝(1,1，－1)， 所以＝－2， 所以与平行． 故 解得 则A1(2,0,2)，B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,0,1)，M(0,2,1)，N(1，2,0)，P(0,1,0)，Q(0，1,2)，＝(0,2，－2)，＝(－2,2,0)， 则 又＝(－2,2,0)，＝(－1,2，－1)，＝(－2,1，－1)，＝(－2,1,1)， 则·n＝－2×1＋2×1＝0，·n＝－1×1＋2×1－1×1＝0，·n＝－2×1＋1×1－1×1＝－2，·n＝－2×1＋1×1＋1×1＝0， 6．已知直线a，b的方向向量分别为m＝(4，k，k－1)和n＝，若a∥b，则k＝________. 即(4，k，k－1)＝λ， 所以 ∴存在实数x，y，使a＝x＋y. ∵＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)， ∴(2，m,1)＝x(1,0，－1)＋y(0,1，－1) ∴ ∴m＝－3. 9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，PA⊥底面ABCD，PA＝2，点M为PA的中点，点N为BC的中点，AF⊥CD于F，如图建立空间直角坐标系．求出平面PCD的一个法向量并证明MN∥平面PCD. 证明：由题设知，在Rt△AFD中，AF＝FD＝，A(0,0,0)，B(1,0,0)，F，D，P(0，0,2)，M(0,0,1)，N. ＝，＝，＝. 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)， 则⇒ 令z＝，得n＝(0,4，)． 因为·n＝·(0,4，)＝0， 又MN⊄平面PCD，所以MN∥平面PCD. 证明：(1)以D为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 所以＝(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量． 由于＝(0,1，－1)， 则·＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0， 所以⊥. (2)由(1)知＝(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量， 由于＝(0,2,0)，＝(0,1，－1)， 则 即＝(2,0,0)也是平面MNP的一个法向量， B级——应用创新 11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且＝λ(0≤λ≤1)，若B1F∥平面A1BE，则λ＝(　 ) A. B. C. D. 则B(1,0,0)，E，D1(0,1,1)，C1(1,1,1)，A1(0,0,1)， 可得＝(－1,0,1)，＝， 设n＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量， 则 由＝(1,0,0)， 且＝λ， 则＝(λ－1,1,0)， 可得n·＝2(λ－1)＋1×1＋0×2＝0， 解得λ＝. 12．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P平行于平面AEF，则线段A1P长度的最小值为(　 ) A. B. C. D. 所以＝(－1,2,0)，＝(－2,2,1)， 则⇒ 则＝(a－2,2，c－2)， 所以·n＝2(a－2)＋2＋2(c－2)＝0，整理得a＋c＝3， ∴线段A1P长度||＝＝＝， 当且仅当a＝c＝时，线段A1P长度取最小值. 13．如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP＝2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD.试用向量法证明AP∥平面EFG. 证明：如图，以D为原点，以，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则P(0,0,2)，C(0,2,0)，G(1，2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，A(2,0,0)，＝(－2，0,2)，＝(0，－1,0)，＝(1,1，－1)． ∴即 ∵n·＝1×(－2)＋0×0＋1×2＝0， ∴n⊥. 所以OB＝AC＝1， 所以O(0,0,0)，A(0，－1,0)，A1(0,0，)，C1(0,2，)，B(1,0,0)， 则＝(0,1，)，＝(1,1,0)． 设平面AA1B的法向量为n＝(x，y，z)， 则有 即 令y＝1， 得x＝－1，z＝－， 所以n＝. 设E(x0，y0，z0)，＝λ(0≤λ≤1)， 由＝(－1,2，)得(x0－1，y0，z0)＝λ(－1，2，)， 所以 所以E(1－λ，2λ，λ)， 所以＝(1－λ，2λ，λ)． 得·n＝0， 即－1＋λ＋2λ－λ＝0， 解得λ＝. 所以在BC1上存在点E使得OE∥平面A1AB，且E为BC1的中点． $$