专题 “化斜为直”构造直角三角形的四种方法（专项训练）数学沪科版九年级上册

专题10“化斜为直”构造直角三角形的四种方法 题型01无直角、无等角的三角形作高 【典例分析】 【例1-1】（2024·九年级上·广西）如图，在中，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图中，连接，若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于为半径画弧，分别交，于点D，E，作直线，则直线l即为所求． （2）连接，由线段垂直平分线的性质可得出，由等边对等角可得出，由三角形内角和得出，则得出为等腰直角三角形，再根据正弦的定义即可求出的长． 【详解】（1）解：如下直线l即为所求． （2）连接如下图： ∵为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了作线段的垂线平分线，线段的垂线平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及正弦的定义．掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 【例1-2】（20-21九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，．求：、． 【答案】， 【分析】过点作于点，则和均为直角三角形，又因为，所以为等腰直角三角形．在和中，分别利用特殊角的三角函数即可求得，，，的长，即可求得． 【详解】如图，过点作于点， ∵，， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：，． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数、直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形内角和，解答本题的关键是利用辅助线构造直角三角形． 【例1-3】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图1中画出的中线； (2)在图2中的边上找到一点F，使；； (3)______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）取格点P，Q，连接交于点D，连接，线段即为所求； （2）取格点P，Q，连接交于点F，连接，点F即为所求； （3）作边上的高，根据等积法求的长度，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】（1）解：如图①，线段即为所求； ∵四边形是正方形， ∴点D是的中点， ∴是的中线； （2）解：如图②，点E即为所求； ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，作交于点E， 由勾股定理可得：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用网格作三角作图，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，正切的定义，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 【变式演练】 【变式1-1】（九年级·全国·单元测试）如图，锐角中，，的面积为27．求的值． 【答案】 【分析】过点A作于点H，由三角形的面积公式求出AH的长，再由勾股定理求出BH的长，最后由锐角三角函数的定义即可解答． 【详解】如图，过点A作于点H， ∵， ∴， ∴， 又∵， 在Rt△ABH中， 根据勾股定理得， ∴． 【点睛】本题考查与高有关的面积计算，勾股定理，锐角三角函数，掌握与高有关的面积计算，勾股定理解三角形，锐角三角函数定义是解题关键． 【变式1-2】（21-22九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°． (1)利用直尺（不带刻度）和圆规作出AB的垂直平分线直线MN，交CB于点D（不写做法，保留作图痕迹）． (2)连接AD，若AC＝6，BC＝8，则tan∠DAB＝______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用尺规作出线段AB的垂直平分线MN交BC于点D即可． （2）利用线段的垂直平分线的性质，可知DA＝DB，推出∠DAB＝∠B，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，直线MN即为所求作． （2）解：∵MN垂直平分线段AB， ∴DA＝DB， ∴∠DAB＝∠B， ∴tan∠DAB＝tan∠B＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式1-3】（21-22九年级上·安徽合肥·期末）如图，在△ABC中，AB=5，AC=8，∠A=60° (1)求BC的长． (2)求sinB 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D ．可利用∠A的三角函数值求出AD、CD，在Rt△BCD中利用勾股定理求出BC ； （2）Rt△BCD中利用边角间关系可得结论． 【详解】（1）解∶过点C作CD⊥AB，垂足为D ． 在Rt△ACD中， ∵∠A=60°， AC=8， ∴∠ACD=30°， ∴AD= ， ∴， BD=AB-AD=1． ∴在Rt△BCD中，； （2）解：在Rt△BCD中， ∵由（1）知∶ CD=， BC=7， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值、勾股定理及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 题型02有直角，无三角形的图形延长某些边 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在直角梯形中，，，若，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质和勾股定理，求角的余弦值，过点B作交于点E，首先证明出四边形是矩形，然后利用勾股定理求出，进而求解即可．解题的关键正确作出辅助线． 【详解】过点B作交于点E， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【例2-2】（23-24九年级上·北京石景山·期末）如图，在四边形中，，，，，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理和通过余弦值求边长，过作于点，证明四边形是矩形，根据性质得出，由求出，最后通过勾股定理即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用及正确添加辅助线． 【详解】过作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴． 【例2-3】（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）（1）； （2）． （3）如图所示，在四边形中，，，，，，求的长．    【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值和二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）根据特殊角的三角函数值和二次根式混合运算法则进行计算即可； （3）延长，交于点E，根据四边形内角和得出，根据含角的直角三角形性质得出，，根据勾股定理求出，最后求出结果即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． （3）解：如图，延长，交于点E，    在四边形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，勾股定理，直角三角形的性质，二次根式混合运算，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键． 【变式演练】 【变式2-1】（21-22九年级上·山东威海·期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，求四边形ABCD的面积． 【答案】 【分析】延长AD和BC交于点E，在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC的长即可求得，然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解出CD，DE的长，根据求解即可． 【详解】解：如图，延长AD、BC相交于点E， ∵∠B=90°， ∴， ∴， ∴CE=BE-BC=2， ， ∴， 又∵∠CDE=∠CDA=90°， ∴在Rt△CDE中，， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，解题的关键在于能够正确作出辅助线进行求解． 【变式2-2】．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，求的长． 【答案】 【分析】如图，延长与交于点E．先解求出，进而求出，再证明，设，则，利用勾股定理得到方程，解方程求出，则． 【详解】解：如图，延长与交于点E． 在中， ，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴在中，， ∴设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴ ∴，即的长为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【变式2-3】（2024·九年级上·上海长宁）如图，在直角梯形中 ，，， ． (1)求梯形的面积； (2)连接，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定： （1）过作于，得出四边形为矩形，得到，，再根据勾股定理得出，进而可求梯形的面积； （2）连接，过点作于点，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理求出，再根据正切的定义计算即可．． 【详解】（1）解：过作于， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴梯形的面积； （2）解：如图，连接，过点作于点， 则， 在中，，， 则， ， ， ， ，即， 解得：， 由勾股定理得：， ． 题型03有三角函数值不能直接利用时作垂线 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在等腰三角形中，是锐角，且． (1)求； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角，勾股定理，锐角三角函数．熟练掌握勾股定理解直角三角形，等腰三角形性质，正弦和正切定义，是解决问题的关键． （1）过点作交于点，根据正切值得到， 设，根据勾股定理推出，即得． （2）设，得到，根据勾股定理得到， 根据，推出，即得． 【详解】（1）如图，过点作交于点， ， 设， ， ． （2）设， 则 ， ， ． 【例3-2】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：等腰三角形中，，是锐角，且． (1)求； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理及解三角形，作垂线构造直角三角形是解题关键． （1）作，设，根据求出即可求解； （2）由（1）可得，根据即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：作， ∵， ∴设 则 ∴ （2）解：由（1）得：， ∴ ∵，， ∴， 解得：（舍去） ∴ 【例3-3】（23-24九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，，，．    (1)求的长． (2)若点D在边上，且，求的值． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了正弦，正切，勾股定理．熟练掌握，是解题的关键． （1）如图1，过A作于E．在中，由，解得，由勾股定理得，．在中，由，解得，根据，计算求解即可． （2）如图2，过D作于H．由题意知，，，在中，由，设，则，由勾股定理得，，由，解得，则，，由（1）知，，则，在中，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过A作于E．    在中， ∵，，解得， 由勾股定理得，． 在中， ∵，解得， ∴． （2）解：如图2，过D作于H．    ∵，， ∴，， 在中，， 设，则， 由勾股定理得，， 又∵， 解得， ∴，， 由（1）知，， ∴， 在中，， ∴的值为． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，求的长． 【答案】． 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，过点A作，交的延长线于点H，则，先根据正弦的定义求出，进而利用勾股定理求出，则，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点H，则． ∵，， ∴． 在中，由勾股定理得． 又∵， ∴， ∴． 【变式3-2】（22-23九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，． (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点A作边上的垂线，垂足为D．利用三角函数求出，根据勾股定理求出即可； （2）根据公式直接计算可得． 【详解】（1）解：如图，过点A作边上的垂线，垂足为D． 在中，， ∴． 由勾股定理，得， ， ∴． （2）在中，． 【点睛】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟记各三角函数的计算公式是解题的关键． 【变式3-3】（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，已知中，，，求边的值． 【答案】的值为 【分析】过点A作，在中由可计算出的值，进而求出的值，再由勾股定理求出的值． 【详解】解：过点A作，垂足为点D， 在中，， ∵，， ∴， ∴， 在中， ∴， 在中， . ． 【点睛】本题考查了锐角的三角函数和勾股定理的运用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 题型04求非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知在中，，，点是边的中点，连接，求的正弦值．    【答案】 【分析】过点A作于点E，D作于点F，根据勾股定理求出长，然后根据中点和相似三角形得到和长，再利用勾股定理得到长求出的正弦值． 【详解】过点A作于点E，D作于点F，    ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点是边的中点， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，三角函数值，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【例4-2】（23-24九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，在中，，为边上一点，且，若与的面积比为∶．    (1)求证：； (2)当时，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据已知得出，，进而可得，根据两组对应边成比例，夹角相等，证明； （2）根据相似三角形的性质得出，过点作于点，进而勾股定理求得，根据正弦的定义，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，且与的面积比为． ∴， ∴， ∴在与中，，． ∴． （2）解：∵， ∴， 又∵，，． ∴． ∴， 如图所示，过点作于点，    ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求正弦，熟练掌握相似三角形的性质与判定，求正弦是解题的关键． 【例4-3】（23-24九年级上·重庆）如图，在中，，点为的中点，于点，连接，已知．    (1)若，求的长度； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先在中，利用正切的定义可得，利用勾股定理可得，从而可得，再在中，利用正切的定义求解即可得； （2）过点作于点，先求出，从而可得，再利用勾股定理可得，从而可得，然后利用勾股定理可得，最后在中，利用正弦的定义求解即可得． 【详解】（1）解：，， ， ， ∵点为的中点， ， 在中，． （2）解：如图，过点作于点，   ，， ，， ∵点为的中点， ， 在中，， ， ， ， 则在中，． 【点睛】本题考查了正切、正弦、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握正切与正弦的概念是解题关键． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24九年级上·上海长宁·期中）图，已知在中，，，点为边延长线上一点，连接．求的正切值． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，运用了三角函数概念，勾股定理和等腰三角形三线合一的性质． 【详解】解：过点A作与交点H． ∵在中，，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 【变式4-2】（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，． (1)求的值； (2)延长至点，使得，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角函数求值，等腰三角形性质． （1）根据题意过点作，利用等腰三角形性质即可求得本题答案； （2）根据题意利用即可求出本题答案． 【详解】（1）解：作，垂足为， ， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴ 【变式4-3】（23-24九年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，，E为边上的点，为等边三角形，，，求的正切值． 【答案】 【分析】过点A作交于点H，过点E作交于点F，根据题意求得，再根据题意得，进一步证得，得到，求得、和，则可求得答案． 【详解】解：过点A作交于点H，过点E作交于点F，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴，， 则， 即， 【点睛】本题考查了解直角三角形、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质，准确理解锐角三角函数的定义和作辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10“化斜为直”构造直角三角形的四种方法 题型01无直角、无等角的三角形作高 【典例分析】 【例1-1】（2024·九年级上·广西）如图，在中，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图中，连接，若，求的长． 【例1-2】（20-21九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，．求：、． 【例1-3】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图1中画出的中线； (2)在图2中的边上找到一点F，使；； (3)______． 【变式演练】 【变式1-1】（九年级·全国·单元测试）如图，锐角中，，的面积为27．求的值． 【变式1-2】（21-22九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°． (1)利用直尺（不带刻度）和圆规作出AB的垂直平分线直线MN，交CB于点D（不写做法，保留作图痕迹）． (2)连接AD，若AC＝6，BC＝8，则tan∠DAB＝______． 【变式1-3】（21-22九年级上·安徽合肥·期末）如图，在△ABC中，AB=5，AC=8，∠A=60° (1)求BC的长． (2)求sinB 题型02有直角，无三角形的图形延长某些边 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在直角梯形中，，，若，，求的值． 【例2-2】（23-24九年级上·北京石景山·期末）如图，在四边形中，，，，，求的长． 【例2-3】（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）（1）； （2）． （3）如图所示，在四边形中，，，，，，求的长．    【变式演练】 【变式2-1】（21-22九年级上·山东威海·期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，求四边形ABCD的面积． 【变式2-2】．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，求的长． 【变式2-3】（2024·九年级上·上海长宁）如图，在直角梯形中 ，，， ． (1)求梯形的面积； (2)连接，求的正切值． 题型03有三角函数值不能直接利用时作垂线 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在等腰三角形中，是锐角，且． (1)求； (2)求的长． 【例3-2】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：等腰三角形中，，是锐角，且． (1)求； (2)若，求的长． 【例3-3】（23-24九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，，，．    (1)求的长． (2)若点D在边上，且，求的值． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，求的长． 【变式3-2】（22-23九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，． (1)求的长． (2)求的值． 【变式3-3】（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，已知中，，，求边的值． 题型04求非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知在中，，，点是边的中点，连接，求的正弦值．    【例4-2】（23-24九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，在中，，为边上一点，且，若与的面积比为∶．    (1)求证：； (2)当时，求． 【例4-3】（23-24九年级上·重庆）如图，在中，，点为的中点，于点，连接，已知．    (1)若，求的长度； (2)若，求． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24九年级上·上海长宁·期中）图，已知在中，，，点为边延长线上一点，连接．求的正切值． 【变式4-2】（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，． (1)求的值； (2)延长至点，使得，求的长． 【变式4-3】（23-24九年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，，E为边上的点，为等边三角形，，，求的正切值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$