专题01 解直角三角形（专项训练）数学沪科版九年级上册

专题1 解直角三角形 目录 A题型建模・专项突破 题型一、特殊三角函数值的运用 1 题型二、解直角三角形的应用：纯几何 3 题型三、解直角三角形的应用：仰俯角 6 题型四、解直角三角形的应用：方位角 8 题型五、解直角三角形的应用：坡度坡角 10 题型六、解直角三角形的应用：其他类型 10 B 综合攻坚・能力跃升 12 题型一、特殊三角函数值的运用 1．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1) (2) 2．（2025·上海·模拟预测）计算：； 3．（11-12九年级上·河北·期末）计算下列各式： (1)； (2)． 4．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1)； (2)． 5．（22-23八年级上·全国·期中）若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 题型二、解直角三角形的应用：纯几何 7．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，中，，，，则 ． 8．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，在中，已知，，，求的面积． 9．（22-23九年级上·湖南张家界·期末）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 10．（22-23八年级下·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 11．（13-14九年级上·北京顺义·期末）在中，，求的长． 12．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 题型三、解直角三角形的应用：仰俯角 13．（24-25九年级下·广东清远·阶段练习）麦积山位于甘肃省天水市麦积区，是小陇山中的一座孤峰，因山形酷似麦垛而得名．麦积山石窟始建于年，存有座洞窟、身泥塑石雕、余平方米壁画，以其精美的泥塑艺术闻名世界，被誉为东方雕塑艺术陈列馆．某学习小组把测量本城市麦积山（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表： 课题 测量麦积山最高点离地面的高度 示意图 说明 如图，麦积山的最高点到地面的高度为，在测点用仪器测得点的仰角为，前进一段距离到达测点，再用该仪器测得点的仰角为，且点均在同一竖直平面内，点在同一条直线上． 测量数据 的度数 的度数 的长度 仪器（）的高度 米 米 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出麦积山最高点离地面的高度．（参考数据 14．（2025·陕西·模拟预测）如图，数学活动实践课上，小浩所在的小组用无人机测量某栋教学楼的高度．测量方法如下：无人机从水平地面的中点处竖直上升26m到达点处，测得实验楼顶部的俯角为，教学楼顶部的俯角为．已知m，点在同一平面内，求教学楼的高度．（结果精确到m；参考数据：） 15．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向大楼方向继续行走米来到处，测得条幅的底部的仰角为，此时小颖距大楼底端处米．已知坡面米，山坡的坡度即且、、、、、、在同一平面内，、、在同一条直线上． (1)求点距水平面的高度？保留根号 (2)求条幅的长度？结果精确到1米参考数据： 16．（2019·河南信阳·模拟预测）小明在热气球上看到正前方横跨河流两岸的大桥，并测得B，C两点的俯角分别为，．已知大桥与地面在同一水平面上，其长度为，请求出热气球离地面的高度．(结果保留整数．参考数据：，，) 17．（2025·江西·模拟预测）如图1，滕王阁，江南三大名楼之一，位于江西省南昌市，始建于唐朝永徽四年，因初唐诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．数学实践小组要测量滕王阁的高度，如图2，小组成员甲在点A 处测得滕王阁最高点 C 的仰角，再沿正对滕王阁方向前进至 B 处测得最高点C的仰角，小组成员乙在点G处竖立标杆，点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，． (1)求滕王阁的高度；(结果精确到1m ，参考数据： (2)求乙同学与滕王阁之间的距离． 18．（2025·贵州·一模）“世界桥梁看中国，中国桥梁看贵州”．数学兴趣小组对“北盘江第一桥”主桥墩（如图①）的高度进行测量，如图②是其设计的测量示意图．已知主桥墩底端点B到参照点C的水平距离为97米，该小组从点C沿的斜坡行走80米到达坡顶平台的点D处．再沿平台行走80米到达点E处，在点E处得主桥墩顶端点A的仰角为．已知，垂足分别为B，F，点A，B，C，D，E，F均在同一平面内．（参考数据：，，，） (1)求坡顶平台到地面的距离； (2)求主桥墩的高度（结果精确到1米）． 题型四、解直角三角形的应用：方位角 19．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在同一平面内，今年国庆，小明和小红两位同学都在某景区游玩，他们决定在游客中心汇合，已知景点位于景点的正北方向，游客中心位于景点的正东方向，景点位于游客中心的西北方向6千米，景点位于点的北偏东方向且在游客中心的正北方向．（参考数据：） (1)求的长度（结果保留一位小数）； (2)小明从景点乘坐索道沿着方向前往游客中心，小红从景点乘坐观光车沿着方向前往游客中心，若小明和小红同时出发，索道和观光车均保持匀速行驶，并且索道的速度是观光车速度的倍，上下车和上下索道的时间忽略不计，在运动过程中，当小明位于小红的北偏东时，小红与游客中心的距离是多少？（结果保留一位小数） 20．（16-17九年级下·湖南长沙·阶段练习）钓鱼岛自古以来是我国的固有领土，随着我们国家综合国力的强盛，国家对钓鱼岛的巡航已常态化．2017年9月11日，中国海警2401号船在地测得钓鱼岛在北偏东方向，现该海警船继续从地出发，以30海里/小时的速度向正北方向航行2小时后到达地． (1)若，求钓鱼岛在地的北偏东多少度方向上？ (2)在（1）的基础上，求海警船与钓鱼岛的距离的长．（结果保留根号） 21．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）国庆假期，小明和小蓝怀着对革命历史的崇敬，从某红色景区入口．开启红色之旅．因参观的景点不同，两人决定各自沿不同路线参观，再到达位于入口A正东方向的景点处汇合．如图为路线平面示意图，小明从入口出发，沿北偏东方向走到达景点，参观24分钟，接着沿东南方向到达景点、小蓝从入口出发，沿北偏东方向到达景点，参观15分钟后，沿南偏西方向到达景点．（参考数据：，， (1)求入口与景点之间的距离；（结果精确到） (2)若小明步行的速度为，小蓝步行的速度为，且两人同时出发，请计算并说明小明和小蓝谁先到达景点？（结果精确到） 22．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔45海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 海里．（参考数据：，， 23．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，是某动物园入口，、、是入口附近的三个展区，小明和小华相约从入口一起去参观，但由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区汇合．如图是路线平面示意图，已知展区在起点的东北方向，小明从起点出发沿正北方向走了900米到展区，在展区参观10分钟，再沿北偏东的方向走一段路即可到达展区．小华从起点出发向正东方向走到展区，在展区参观14分钟，再沿北偏东方向走一段路即可到达展区．（参考数据：） (1)求的长度；（结果保留根号） (2)已知小明的平均速度为90米/分钟，小华的平均速度为100米/分钟，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达展区？（结果精确到0.1） 24．（2024·安徽·模拟预测）如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，米．点B在点A的北偏东，点D在点E的北偏东． (1)求步道的长度（精确到个位）； (2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？ （参考数据：，） 题型五、解直角三角形的应用：坡度坡角 25．（2024·广东·模拟预测）五一期间，王老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤的坡度为，长为米，钓竿与水平线的夹角是，其长为米，若钓竿与钓鱼线的夹角也是，求浮漂与河堤下端之间的距离？（参考数据：） 26．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，某数学兴趣小组在一次外出登山活动中，发现一棵古树竖直生长在山崖上，为了安全测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 27．（2025九年级·安徽·专题练习）如图，某人在山脚处测得山顶的仰角为，他从处沿着坡度的斜坡前进到达处，这时测得山顶的仰角为，求山高的值．（参考数据：） 28．（2025九年级·四川宜宾·专题练习）校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，， ，，） (1)求点B距水平地面的高度； (2)求广告牌的高度． 29．（2024·山西·模拟预测）2024年，元宵节迎春烟花秀在人民广场震撼上演，欢乐、祥和、喜庆、热烈的节日氛围再次拉满，欢欢和喜喜两位同学相约去人民广场看烟花，并测量烟花的燃放高度．如图，欢欢从点出发，沿坡度的山坡走了130米到达坡顶点，喜喜则沿点正东方向到达离点水平距离40米的点观看，此时烟花在与，同一水平线上的点处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点的正上方点绽放，欢欢在坡顶处看烟花绽放处的仰角为，喜喜在处测得点的仰角为（点，，，，在同一平面内）．（参考数据：，） (1)求欢欢从斜坡处走到处上升的高度； (2)烟花燃放结束后，欢欢和喜喜两位同学来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放的高度（图中DE）是否属实？ 30．（2024·安徽·模拟预测）班两个兴趣小组计划合作测量校园内一斜坡（坡度为）旁路灯的高度，分工如下： 小组甲：测量竹竿的长度，并将该竹竿竖立在地面上，测量其在地面上的影长． 小组乙：在同一时刻，测量路灯在斜坡上的影长，及路灯与斜坡底端的距离．测量示意图和测量数据如下： 小组 甲 乙 图示 测量数据 请根据以上信息计算路灯的高度．（结果保留整数，参考数据：） 题型六、解直角三角形的应用：其他类型 31．（2025九年级下·全国·专题练习）图①是一辆自行车的实物图，图②是这辆自行车的部分结构几何示意图，车架的长为60cm，且，座杆的长为，点在同一条直线上，．求： (1)车架的长； (2)车座点到车架的距离．（结果精确到1cm，参考数据：，，，，，） 32．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图所示的是某小区门口的门禁识别设备的结构示意图，摄像头可以绕连接点O进行上下旋转．摄像头部分，点O为旋转中心，，绕点O上下旋转过程中，支撑杆垂直于水平地面，不小于，（结果保留一位小数，参考数据：）． (1)当时，求摄像头处点A到支撑杆的距离； (2)当摄像头处点A旋转至最低点时，求摄像头处点B到地面的距离． 33．（2025九年级·江西·专题练习）舞狮文化源远流长，其中舞狮（如图①）是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，是传承中国传统文化的重要载体．如图②，在舞狮表演中，梅花桩AB，CD，EF均垂直于地面，且B，D，F三点在一条直线上．测得，且AB桩与EF桩的高度差为，两桩的距离BF为． (1)舞狮人从点A跳跃到点C，随后再跳跃到点E，所成的角_________． (2)求桩AB与桩CD之间的距离BD的长（结果保留根号） 34．（2025·山东泰安·模拟预测）如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备厢开启侧面示意图，具体数据如图所示（单位：）且，，，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点，，的位置，弹簧活塞杆随之伸长．已知直线，． (1)求的长度． (2)求的长度． 35．（2025·福建·模拟预测）手机支架已经很广泛的应用于生活当中，如图是手机支架，如图是手机支架的侧面示意图，人俯看手机，点为观测点，线段长度保持不变，绕点逆时针进行转动可以调整视角，在支架示意图中，水平观测点，观测点到的距离为，则观测点到直线的距离长为 ；若线段，当从铅锤位置第一次转到位置时，视线恰好经过点，则相对点上升了 ． 36．（2024·广东·模拟预测）如图1是一款笔记本电脑支架的实物图片，图2是支架侧面的示意图，AB 为固定底座，C 为可调节活动点．实验数据表明：当，时为最佳视角，已知的长度为，当视角最佳时，求可调节活动点 C到水平面的距离．（结果精确到，参考数据： 37．（2024·湖南·模拟预测）如图所示，有一天桥高为6米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（    ） A．2.59米 B．3.07米 C．3.55米 D．4.39米 38．（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 39．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，在中，，斜边上的高，则 ． 40．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平行四边形和平行四边形中，，，点，，在同一直线上，是线段的中点，连接、，若，则= 41．（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴和轴的正半轴上，顶点在第一象限，矩形的面积为21，矩形的顶点分别在矩形 的边上，矩形的面积为15，边相交于点，函数 的图象经过点，并交边于点，则 ；若，则点的坐标为 ． 42．（2025·安徽·模拟预测）如图，正方形中，点E在边上，且，点F在边上，点G在边上，． （1）若，则的长为 ； （2）若与相似，则的长为 ． 43．（2025·湖北·模拟预测）计算：． 44．（2025·浙江杭州·一模）如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． (1)填空： °， °； (2)求楼的高度（结果保留根号）； (3)求此时无人机距离地面的高度． 45．（24-25九年级上·广东清远·阶段练习）图是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．（参考数据：，，，） (1)求点到地面的高度； (2)若挖掘机能挖的最远处点到点的距离为，求的度数． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1 解直角三角形 目录 A题型建模・专项突破 题型一、特殊三角函数值的运用 1 题型二、解直角三角形的应用：纯几何 3 题型三、解直角三角形的应用：仰俯角 6 题型四、解直角三角形的应用：方位角 8 题型五、解直角三角形的应用：坡度坡角 10 题型六、解直角三角形的应用：其他类型 10 B 综合攻坚・能力跃升 12 题型一、特殊三角函数值的运用 1．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先计算乘方，零次幂，特殊三角函数值，化去绝对值，再计算加减即可； （2）先计算负整数指数幂，零次幂，特殊三角函数值，再计算乘法，最后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角三角函数值的混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 2．（2025·上海·模拟预测）计算：； 【答案】 【分析】先计算特殊三角函数，负指数幂，零指数幂，分母有理化，再计算二次根式混合运算． 【详解】解： 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，特殊角三角函数值的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，解题关键是注意运算顺序． 3．（11-12九年级上·河北·期末）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算，二次根式的乘法，熟记特殊角的三角函数值与掌握二次根式法则是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式的运算法则计算即可； （2）把特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，实数运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可； （2）先计算特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：， ， ， ． 5．（22-23八年级上·全国·期中）若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 【答案】A 【分析】由已知可得，，从而可得，进而可得的形状． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查平方的非负性，绝对值的非负性，直角三角形的判定，特殊角的三角函数值． 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 【答案】(1)是锐角三角形． (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出及的度数，进而可得出结论； （2）根据（1）中及的值求出的度数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， 是锐角三角形． （2）， 原式． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 题型二、解直角三角形的应用：纯几何 7．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 构造直角三角形，过点作于点，利用特殊角的三角函数值求出、的长，进而求出的长，通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 在中， ， ， ， ， ， 在中， ． 故答案为：． 8．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，在中，已知，，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作于点，根据得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，, ∴， ∴． 9．（22-23九年级上·湖南张家界·期末）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 10．（22-23八年级下·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果． 【详解】解：连接，如图所示   ，， ， 四边形的面积为48 故选：A． 【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 11．（13-14九年级上·北京顺义·期末）在中，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作，交的延长线于点，由平角的定义可求解，通过解直角三角形可求解，的长，即可求解的长，再利用勾股定理可求解的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ， ， ， ，， 即，， ，， ， ， ． 12．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 题型三、解直角三角形的应用：仰俯角 13．（24-25九年级下·广东清远·阶段练习）麦积山位于甘肃省天水市麦积区，是小陇山中的一座孤峰，因山形酷似麦垛而得名．麦积山石窟始建于年，存有座洞窟、身泥塑石雕、余平方米壁画，以其精美的泥塑艺术闻名世界，被誉为东方雕塑艺术陈列馆．某学习小组把测量本城市麦积山（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表： 课题 测量麦积山最高点离地面的高度 示意图 说明 如图，麦积山的最高点到地面的高度为，在测点用仪器测得点的仰角为，前进一段距离到达测点，再用该仪器测得点的仰角为，且点均在同一竖直平面内，点在同一条直线上． 测量数据 的度数 的度数 的长度 仪器（）的高度 米 米 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出麦积山最高点离地面的高度．（参考数据 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，延长，交于点，由四边形和四边形是矩形可得米，米，设米，分别解和可得米，米，进而由米得到，解方程求出的值即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，延长，交于点，则， 由题意可知，四边形和四边形均为矩形， ∴米，米， 设米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∵米， ∴， 解得， ∴米， 答：麦积山最高点离地面的高度为米． 14．（2025·陕西·模拟预测）如图，数学活动实践课上，小浩所在的小组用无人机测量某栋教学楼的高度．测量方法如下：无人机从水平地面的中点处竖直上升26m到达点处，测得实验楼顶部的俯角为，教学楼顶部的俯角为．已知m，点在同一平面内，求教学楼的高度．（结果精确到m；参考数据：） 【答案】综合楼的高度约为米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，延长交于点，延长交于点，然后求出的长，在和中，利用正切的定义求出的长，即可求出的高解答即可． 【详解】解：如图：延长交于点，延长交于点, 由题意得：，,米， 米， (米), 在中，， (米), ∵点是的中点， 米， 在中， ， (米), (米), ∴综合楼的高度约为米． 15．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向大楼方向继续行走米来到处，测得条幅的底部的仰角为，此时小颖距大楼底端处米．已知坡面米，山坡的坡度即且、、、、、、在同一平面内，、、在同一条直线上． (1)求点距水平面的高度？保留根号 (2)求条幅的长度？结果精确到1米参考数据： 【答案】(1)米 (2)米 【分析】此题是解直角三角形的应用—仰角，俯角问题，主要考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． （1）利用坡度和直接求出点距水平面的高度； （2）借助（1）得出的结论，可求出的长，在直角三角形中，可求出的长，进而可求出的长，在直角三角形中可求出的长，利用计算即可． 【详解】（1）如图，过点作于， 在中，坡面米，山坡的坡度， ， ， 米，米； 点距水平面的高度为米． （2）如图，过点作于， 由（1）知，米，则米， 米，， 米， 米， ， 米， 米， 答：条幅的长度是米． 16．（2019·河南信阳·模拟预测）小明在热气球上看到正前方横跨河流两岸的大桥，并测得B，C两点的俯角分别为，．已知大桥与地面在同一水平面上，其长度为，请求出热气球离地面的高度．(结果保留整数．参考数据：，，) 【答案】热气球离地面的高度约为 【分析】此题考查了解直角三角形中俯角与仰角的问题，通过构造直角三角形利用三角函数解题． 作交的延长线于点，设，表示出和，根据正切的概念求出的值即可． 【详解】解：过点作交的延长线于点，如图所示， 由题意，可知，， 设， 在中， ， ， 在中， ，，， ， 解得． 答：热气球离地面的高度约为． 17．（2025·江西·模拟预测）如图1，滕王阁，江南三大名楼之一，位于江西省南昌市，始建于唐朝永徽四年，因初唐诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．数学实践小组要测量滕王阁的高度，如图2，小组成员甲在点A 处测得滕王阁最高点 C 的仰角，再沿正对滕王阁方向前进至 B 处测得最高点C的仰角，小组成员乙在点G处竖立标杆，点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，． (1)求滕王阁的高度；(结果精确到1m ，参考数据： (2)求乙同学与滕王阁之间的距离． 【答案】(1)滕王阁的高度约为58 m (2)乙同学与滕王阁之间的距离约为m 【分析】本题考查解直角三角形和相似三角形的应用，解题关键是利用仰角构造直角三角形，结合三角函数的定义以及相似三角形的判定与性质来建立等式求解． （1）在中，因为，根据等腰直角三角形的性质，可得．已知，所以．在中，利用正切函数，将代入，得到关于的方程，进而求解出的长度． （2）由题意可知，且，所以可判定．根据相似三角形的性质，对应边成比例，即，将已知的，，代入，求出的长度，最后用即可得到的长度． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ． 在 中，， 解得： 答：滕王阁的高度约为58 m； （2）由题意知，，， ∴， 即 解得 ． ， 答：乙同学与滕王阁之间的距离约为m． 18．（2025·贵州·一模）“世界桥梁看中国，中国桥梁看贵州”．数学兴趣小组对“北盘江第一桥”主桥墩（如图①）的高度进行测量，如图②是其设计的测量示意图．已知主桥墩底端点B到参照点C的水平距离为97米，该小组从点C沿的斜坡行走80米到达坡顶平台的点D处．再沿平台行走80米到达点E处，在点E处得主桥墩顶端点A的仰角为．已知，垂足分别为B，F，点A，B，C，D，E，F均在同一平面内．（参考数据：，，，） (1)求坡顶平台到地面的距离； (2)求主桥墩的高度（结果精确到1米）． 【答案】(1)40米 (2)269米 【分析】（1）作，垂足为F，根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案； （2）延长交于点G，则，证明四边形为矩形，得出，米，求出的长，根据三角函数求出的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：作，垂足为F，如图所示： ∵， ∴（米），（米）， ∴坡顶平台到地面的距离为40米； （2）解：如图，延长交于点G，则， ∵， ∴四边形为矩形． ∴，米， ∴（米）， ∵， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴桥墩的高度为269米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角函数的定义． 题型四、解直角三角形的应用：方位角 19．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在同一平面内，今年国庆，小明和小红两位同学都在某景区游玩，他们决定在游客中心汇合，已知景点位于景点的正北方向，游客中心位于景点的正东方向，景点位于游客中心的西北方向6千米，景点位于点的北偏东方向且在游客中心的正北方向．（参考数据：） (1)求的长度（结果保留一位小数）； (2)小明从景点乘坐索道沿着方向前往游客中心，小红从景点乘坐观光车沿着方向前往游客中心，若小明和小红同时出发，索道和观光车均保持匀速行驶，并且索道的速度是观光车速度的倍，上下车和上下索道的时间忽略不计，在运动过程中，当小明位于小红的北偏东时，小红与游客中心的距离是多少？（结果保留一位小数） 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，则，在中， 可得，在中，可得，即可求解； （2）设，则，可得，在中，可得，从而得到，在中，可得，可求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则， 在中，， ， 由题可得，， 在中， ， 千米， 即的长度为千米． （2）解：如图，由题意，设，则， ， ， 在中，， ， 在中，， ， 即， 解得：， ∴千米， 即小红与游客中心点的距离是千米． 20．（16-17九年级下·湖南长沙·阶段练习）钓鱼岛自古以来是我国的固有领土，随着我们国家综合国力的强盛，国家对钓鱼岛的巡航已常态化．2017年9月11日，中国海警2401号船在地测得钓鱼岛在北偏东方向，现该海警船继续从地出发，以30海里/小时的速度向正北方向航行2小时后到达地． (1)若，求钓鱼岛在地的北偏东多少度方向上？ (2)在（1）的基础上，求海警船与钓鱼岛的距离的长．（结果保留根号） 【答案】(1)钓鱼岛在地的北偏东45度方向上 (2)海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，等腰三角形的判定与性质，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依据三角形外角性质，以及邻补角互补进行列式，计算化简，则，即可得到钓鱼岛B在C地的北偏东45度方向上； （2）过B作于D，设，则，运用解直角三角形即可得到海警船与钓鱼岛的距离的长为海里． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 解得， ∴， 即钓鱼岛B在C地的北偏东45度方向上． （2）解：如图所示，过B作于D， 由（1）得， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 则． 在中，， 即， 解得：， 即， ∴中，， 则， ∴（海里）， 答：海警船与钓鱼岛的距离的长为海里． 21．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）国庆假期，小明和小蓝怀着对革命历史的崇敬，从某红色景区入口．开启红色之旅．因参观的景点不同，两人决定各自沿不同路线参观，再到达位于入口A正东方向的景点处汇合．如图为路线平面示意图，小明从入口出发，沿北偏东方向走到达景点，参观24分钟，接着沿东南方向到达景点、小蓝从入口出发，沿北偏东方向到达景点，参观15分钟后，沿南偏西方向到达景点．（参考数据：，， (1)求入口与景点之间的距离；（结果精确到） (2)若小明步行的速度为，小蓝步行的速度为，且两人同时出发，请计算并说明小明和小蓝谁先到达景点？（结果精确到） 【答案】(1) (2)小蓝先到 【分析】该题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，，，如图，过点作，求出，，再根据勾股定理即可求解． （2）如图，过点作交的延长线于点，则，根据，求出，从而求出，根据（1）可得，再分别算出小明和小蓝的步行时间，比较即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，，， 如图，过点作， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，过点作交的延长线于点， 则， ∴， ∴， 解得：， ∴， 根据（1）可得， ∴小明步行时间， 小蓝步行时间， ， ∴小蓝先到． 22．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔45海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 海里．（参考数据：，， 【答案】75 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得，，，海里，进而求出，根据三角形内角和定理进一步求出，最后根据正弦的定义即可求出答案． 【详解】解：如图所示标注字母， 根据题意得，，，海里， ，， ， 在中，， （海里）， 即：此时与灯塔的距离约为75海里． 故答案为：75． 23．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，是某动物园入口，、、是入口附近的三个展区，小明和小华相约从入口一起去参观，但由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区汇合．如图是路线平面示意图，已知展区在起点的东北方向，小明从起点出发沿正北方向走了900米到展区，在展区参观10分钟，再沿北偏东的方向走一段路即可到达展区．小华从起点出发向正东方向走到展区，在展区参观14分钟，再沿北偏东方向走一段路即可到达展区．（参考数据：） (1)求的长度；（结果保留根号） (2)已知小明的平均速度为90米/分钟，小华的平均速度为100米/分钟，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达展区？（结果精确到0.1） 【答案】(1)米 (2)小华先到 【分析】本题考查解直角三角形的应用——方位角问题，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （）过点作于点，则，故有为等腰直角三角形，，从而求出，又米，然后用线段和差即可求解； （）过点作延长线于点，求出，在中，，，则，在中，，，所以，，然后求出所花时间，再比较即可． 【详解】（1）解：过点作于点，则， 由题意得：，米， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴，即， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， 答：的长度约为米； （2）解：如图，过点作延长线于点， 在中，，米， ∴米， 在中，，（米）， ∴（米）， 在中，，（米）， ∴（米），（米）， ∴米， ∴小明所花时间：（分），小华所花时间：（分）， ∵， ∴小华先到达展区． 24．（2024·安徽·模拟预测）如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，米．点B在点A的北偏东，点D在点E的北偏东． (1)求步道的长度（精确到个位）； (2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？ （参考数据：，） 【答案】(1)步道DE的长度约为283米 (2)经过点B到达点D较近，计算见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． （1）过D作于F，则四边形是矩形，从而得到米，再证得为等腰直角三角形，即可求解； （2）分别求出两种路径的总路程，即可求解． 【详解】（1）解：如图：过D作于F，则四边形是矩形， ∴米， ∵点D在点E的北偏东，即， ∴是等腰直角三角形， ∴（米）； （2）解：由（1）知是等腰直角三角形，米， ∴米， ∵点B在点A的北偏东，即， ∴， ∵米， ∴米， ∴米， ∵米， ∴经过点B到达点D路程为米， 米， ∴米， ∴米， ∴经过点E到达点D路程为米， ∵， ∴经过点B到达点D较近． 题型五、解直角三角形的应用：坡度坡角 25．（2024·广东·模拟预测）五一期间，王老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤的坡度为，长为米，钓竿与水平线的夹角是，其长为米，若钓竿与钓鱼线的夹角也是，求浮漂与河堤下端之间的距离？（参考数据：） 【答案】浮漂与河堤下端之间的距离约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，勾股定理，等边三角形的判定和性质；掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．延长交延长线于点，过点作于点，，利用三角函数的概念求出、、，判断为等边三角形，求出，计算即可． 【详解】解：如图，延长交延长线于点，过点作于点，， 则， ∵的坡比为， ∴， 设，， 在中，由勾股定理知，． 解得：（负值舍去）， ∴（米），（米）， 由题意得：米，，， ∴（米），（米）， ∵， ∴是等边三角形， ∴米， ∴（米）， 即浮漂与河堤下端之间的距离约为米． 26．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，某数学兴趣小组在一次外出登山活动中，发现一棵古树竖直生长在山崖上，为了安全测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】 【分析】过点作于点，延长交于点，在中，设，则，则，求出，设，则， 进而求解． 本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，构建直角三角形是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，延长交于点， 则中，设， 则，则， 解得：， 设，则， 则， 解得：， 则． 27．（2025九年级·安徽·专题练习）如图，某人在山脚处测得山顶的仰角为，他从处沿着坡度的斜坡前进到达处，这时测得山顶的仰角为，求山高的值．（参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．作交于点F，根据坡度角和勾股定理求出、，根据，设，则，再根据列方程求解即可． 【详解】解：如图所示，作交于点F， ∵坡度，， ∴， 设，则， 根据勾股定理可得，，即， 解得， ∴，， ∵，，， 设，则， ∴，，，，， ∵， ∴，即， 解得， ， 答：山高的值为． 28．（2025九年级·四川宜宾·专题练习）校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，， ，，） (1)求点B距水平地面的高度； (2)求广告牌的高度． 【答案】(1)6米 (2)米 【分析】本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段． （1）过点B作，垂足分别为M、N，由坡度的含义可求得，由含30度角的直角三角形的性质即可求得结果； （2）先推导出，在中可求得的长，从而可得；再由，可得，进而得的长；在中由三角函数知识可求得，根据即可求得的长． 【详解】（1）解：如图，过点作，，垂足分别为， ∴， ∵， ∴， ∴米， 即点距水平地面的高度为6米； （2）由（1）及题意，得， ∴四边形是矩形， ∴米， （米）， ∴米， ∵， ∴米， ∴米， 在中，，米， ∴（米）， ∴ （米） 答：广告牌的高约8.4米． 29．（2024·山西·模拟预测）2024年，元宵节迎春烟花秀在人民广场震撼上演，欢乐、祥和、喜庆、热烈的节日氛围再次拉满，欢欢和喜喜两位同学相约去人民广场看烟花，并测量烟花的燃放高度．如图，欢欢从点出发，沿坡度的山坡走了130米到达坡顶点，喜喜则沿点正东方向到达离点水平距离40米的点观看，此时烟花在与，同一水平线上的点处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点的正上方点绽放，欢欢在坡顶处看烟花绽放处的仰角为，喜喜在处测得点的仰角为（点，，，，在同一平面内）．（参考数据：，） (1)求欢欢从斜坡处走到处上升的高度； (2)烟花燃放结束后，欢欢和喜喜两位同学来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放的高度（图中DE）是否属实？ 【答案】(1)欢欢从斜坡走到处上升的高度为50米 (2)烟花燃放的高度属实 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用： （1）过点作，解即可； （2）过点作于点，设，分别解，进行求解即可． 【详解】（1）解：过点作于G， 由题意，得：， 设，则， ∴， ∴， ∴； 答：高度上升了50米； （2）解：作于，则四边形是矩形， 由（1）知米， 米，米，米， 又， ． ． 在中，，， ∵ ． ．     （米）． ． 答：烟花燃放的高度属实． 30．（2024·安徽·模拟预测）班两个兴趣小组计划合作测量校园内一斜坡（坡度为）旁路灯的高度，分工如下： 小组甲：测量竹竿的长度，并将该竹竿竖立在地面上，测量其在地面上的影长． 小组乙：在同一时刻，测量路灯在斜坡上的影长，及路灯与斜坡底端的距离．测量示意图和测量数据如下： 小组 甲 乙 图示 测量数据 请根据以上信息计算路灯的高度．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】路灯的高度约为 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比．过点G分别作的垂线，垂足分别为点M，N，根据坡度的概念求出、，进而求出． 【详解】解：如图，过点G分别作，的垂线，垂足分别为点M，N，则四边形是矩形，，． 斜坡坡度为， ， ∴， 在中，， ∴， ∴，． 又， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：路灯的高度约为． 题型六、解直角三角形的应用：其他类型 31．（2025九年级下·全国·专题练习）图①是一辆自行车的实物图，图②是这辆自行车的部分结构几何示意图，车架的长为60cm，且，座杆的长为，点在同一条直线上，．求： (1)车架的长； (2)车座点到车架的距离．（结果精确到1cm，参考数据：，，，，，） 【答案】(1)45cm． (2)63cm． 【分析】（1）在中，利用正切定义即可求解； （2）过点E作于点，由（1）得出的长，进而求出的长，在中，利用正弦的定义即可求解． 【详解】（1）解： ， 即， （cm）， 答：车架的长约为45cm． （2）解：过点作于点，如图． 在中， ， ，得：， 答：车座点到车架的距离约为63cm． 【点睛】本题考查了利用三角函数的实际应用，掌握三角函数定义是解题的关键． 32．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图所示的是某小区门口的门禁识别设备的结构示意图，摄像头可以绕连接点O进行上下旋转．摄像头部分，点O为旋转中心，，绕点O上下旋转过程中，支撑杆垂直于水平地面，不小于，（结果保留一位小数，参考数据：）． (1)当时，求摄像头处点A到支撑杆的距离； (2)当摄像头处点A旋转至最低点时，求摄像头处点B到地面的距离． 【答案】(1)摄像头处点A到支撑杆的距离约为 (2)摄像头处点B到地面的距离约为 【分析】（1）如图，过点A作，先求解，再利用的正弦值求解； （2）过点B作垂直于地面于点G，过点O作于点H．可得，进而求得，从而求得，再利用锐角三角函数值，可求出长度，最后求的长度． 【详解】（1）解：如图①，过点A作． ，O为的中点， ． ， ． 故摄像头处点A到支撑杆的距离约为． （2）解：如图②，过点B作垂直于地面于点G，过点O作于点H． 根据题意可知，点A旋转至最低点时，． ． ， ， ， ． ． 故摄像头处点B到地面的距离约为． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，作出适当的辅助线构建矩形与直角三角形是解本题的关键． 33．（2025九年级·江西·专题练习）舞狮文化源远流长，其中舞狮（如图①）是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，是传承中国传统文化的重要载体．如图②，在舞狮表演中，梅花桩AB，CD，EF均垂直于地面，且B，D，F三点在一条直线上．测得，且AB桩与EF桩的高度差为，两桩的距离BF为． (1)舞狮人从点A跳跃到点C，随后再跳跃到点E，所成的角_________． (2)求桩AB与桩CD之间的距离BD的长（结果保留根号） 【答案】(1) (2)桩AB与桩CD之间的距离BD的长约为 【分析】本题主要考查仰角与俯角，解直角三角形的运用，理解并掌握解直角三角形的计算是解题的关键． （1）过点作交于点，交于点，根据直角三角形的两个锐角互余，求出，再根据平角为即可求解； （2）四边形和四边形均是矩形，设，则，由三角函数算出，，根据求解即可． 【详解】（1）解：过点作交于点，交于点，如图， ∵ ∴ 又∵， ∴ 故答案为：． （2）解：∵四边形和四边形均是矩形， ． 设， ， 在中， ． 同理，在中，， ， 解得， ， 桩与桩之间的距离的长约为． 34．（2025·山东泰安·模拟预测）如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备厢开启侧面示意图，具体数据如图所示（单位：）且，，，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点，，的位置，弹簧活塞杆随之伸长．已知直线，． (1)求的长度． (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于，过点作于，解，得出，进而得出，根据图示数据即可求解； （2）设，则，，，根据勾股定理得出，解方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点A作于P，过点作于H， 则， ∵， ∴， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∴， ∴， 由旋转一定角度后得到可知：旋转角度为，即，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设，则，，， ∵， ∴， ∴， 解得，或（舍）， ∴． 35．（2025·福建·模拟预测）手机支架已经很广泛的应用于生活当中，如图是手机支架，如图是手机支架的侧面示意图，人俯看手机，点为观测点，线段长度保持不变，绕点逆时针进行转动可以调整视角，在支架示意图中，水平观测点，观测点到的距离为，则观测点到直线的距离长为 ；若线段，当从铅锤位置第一次转到位置时，视线恰好经过点，则相对点上升了 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理．过点A作于点G，则，，利用，可得，，从而得到，在中，利用勾股定理可得，从而得到；连接，过点作于点H，则点B、、D三点共线，可得，可设，，在中，利用勾股定理可得（舍去），从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点G，则，， 在中，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 如图，连接，过点作于点H，则点B、、D三点共线， 在中，，， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴可设， ∴， 在中，，， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∵， ∴． 即相对点上升了． 故答案为：32； 36．（2024·广东·模拟预测）如图1是一款笔记本电脑支架的实物图片，图2是支架侧面的示意图，AB 为固定底座，C 为可调节活动点．实验数据表明：当，时为最佳视角，已知的长度为，当视角最佳时，求可调节活动点 C到水平面的距离．（结果精确到，参考数据： 【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用．过点C作于点，分别求出，根据列方程并解方程即可． 【详解】解：如图，过点C作于点， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 答：可调节活动点 C到水平面的距离为． 37．（2024·湖南·模拟预测）如图所示，有一天桥高为6米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（    ） A．2.59米 B．3.07米 C．3.55米 D．4.39米 【答案】D 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 在中，求得米，在中，求得米，即可得到的长度． 【详解】解：在中，，， ∴米， 在中，，， ∴， ∴（米）， ∴（米） 故选：D． 38．（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，余弦，相似三角形的性质和判定， 根据余弦求出，再根据勾股定理求出，然后说明，最后根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， . 故选：B． 39．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，在中，，斜边上的高，则 ． 【答案】 【分析】先利用等角的余角相等证明，然后在中利用的余弦求的长． 【详解】解：∵为高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵，即 ∴． 故答案为：. 【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决本题的关键是证明． 40．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平行四边形和平行四边形中，，，点，，在同一直线上，是线段的中点，连接、，若，则= 【答案】 【分析】延长交于点，证明得，，证明是等腰三角形，利用三线合一得，，然后利用锐角三角函数的知识即可求解． 【详解】解：延长交于点， ，， 平行四边形和平行四边形都是菱形， ∴ ∴， ， 是线段的中点， ， ， ， ，， ∴， 四边形是菱形， ， 是等腰三角形， ，， 又， ∴， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握这些图形的性质并通过构造全等三角形将线段关系转化是解题的关键． 41．（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴和轴的正半轴上，顶点在第一象限，矩形的面积为21，矩形的顶点分别在矩形 的边上，矩形的面积为15，边相交于点，函数 的图象经过点，并交边于点，则 ；若，则点的坐标为 ． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何的综合、矩形的性质、正切的定义等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 如图，连接，先求得，再根据反比例函数k的几何意义可得；再说明，易得设，则；设 ，则，进而得到，可求得a、b的值，进而确定点H的坐标． 【详解】解：如图，连接，    则 ， ， ； ∵矩形、矩形， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 设，则 ， 同理：设 ，则， ∴，， ∴，解得：， ∴， ∴． 故答案为：6，． 42．（2025·安徽·模拟预测）如图，正方形中，点E在边上，且，点F在边上，点G在边上，． （1）若，则的长为 ； （2）若与相似，则的长为 ． 【答案】 4或5 【分析】（1）利用正方形性质推出，从而证明，得到，利用角的正切值求出的长，再利用勾股定理求出结果即可； （2）分两种情况①；②，利用相似三角形性质结合正方形性质，利用勾股定理求出最后结果 【详解】解：（1）， ． 四边形是正方形， ， ． ， ， ， ， ． 在中，， ， ， ， ， ， ， ． （2）有两种情况： ①， 即， ， 则四边形为矩形， ； ②， 则． 由（1），得， 即， ， ． 由（1），得， ， ， 即点G和点D重合． ， ． 综上，的长为4或5． 故答案为：（1）；（2）4或5． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的性质，解直角三角形的相关计算，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 43．（2025·湖北·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算负指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂和绝对值的化简，再进行加减计算． 【详解】解： ． 44．（2025·浙江杭州·一模）如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． (1)填空： °， °； (2)求楼的高度（结果保留根号）； (3)求此时无人机距离地面的高度． 【答案】(1)75；60 (2)米 (3)110米 【分析】 本题考查了仰角俯角问题、三角函数的应用、全等三角形的性质和判定、平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过点作于点，根据三角形内角和定理即可解题； （2）由题意可得米，米，在中，用特殊角的正切值即可解题； （3）过点作于点G，交于点F，证明≌，再根据可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 过点作于点， 则， ∴； 故答案为：75；60； （2） 解：由题意可得米，米， 在中，， ， 解得：米， ∴米； 答：楼的高度为米； （3） 解：过点作于点G，交于点F，则，米， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 在和中， ， ∴≌， ∴米， ∴米； 答：此时无人机距离地面的高度为110米． 45．（24-25九年级上·广东清远·阶段练习）图是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．（参考数据：，，，） (1)求点到地面的高度； (2)若挖掘机能挖的最远处点到点的距离为，求的度数． 【答案】(1)点到地面的高度约为 (2)的度数约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，延长交于点，由题意得：，，，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系求得的长； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而可知的长，利用线段的和差关系求出的长， 在中，利用锐角三角函数的定义可求出的值，从而得到的度数． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，，， 在中，，， ， ， 点到地面的高度约为； （2）解：由题意得：， 在中，，， ， ， ， 在中，，   ， 即的度数约为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $