专题 解直角三角形的五种常见类型（专项训练）数学沪科版九年级上册

专题11解直角三角形的五种常见类型 题型01已知两条直角边解直角三角形 【典例分析】 【例1-1】（21-22九年级上·山东济宁·阶段练习）（1）计算：． （2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，求∠A的正弦值，余弦值和正切值． 【例1-2】（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，于，，试求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【例1-3】（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图，在中，已知． (1)在边上求作点，连结，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，当，时，求的值． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图中，，试求出的三个三角函数值． 【变式1-2】（21-22九年级上·广东东莞·期末）在中，    (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：在延长线上求作一点D，使得是以为底的等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，则___________． 【变式1-3】（2024·天津红桥·一模）如图，在中， ，求的值． 题型02已知一条直角边和斜边解直角三角形 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）（1）计算：； （2）如图，在中，，，，求的值．    【例2-2】（2024九年级上·上海·专题练习）如图，分别求和的正弦､余弦．    【例2-3】（23-24九年级上·江苏扬州·期末）（1）用配方法求二次函数的最值； （2）根据图中已知数据求中的值．    【变式演练】 【变式2-1】（2024九年级上·上海·专题练习）如图，在中，，求的值． 【变式2-2】（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）求出图中的正弦值、余弦值和正切值． 【变式2-3】（22-23九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，，，求的值．    题型03已知一条直角边和一个锐角解直角三角形 【典例分析】 【例3-1】（22-23九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，．求的大小和的长． 【例3-2】（22-23九年级上·江苏常州·期末）（1）在中，，求和的长； （2）在中，，解这个直角三角形． 【例3-3】（23-24九年级上·山东烟台·期中）中，，，解这个直角三角形． 【变式演练】 【变式3-1】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在中，，，，解这个直角三角形． 【变式3-2】（九年级上·全国·单元测试）在中，，，，解这个直角三角形． 【变式3-3】（22-23九年级上·甘肃嘉峪关·期末）在中，，，，所对的边分别为，，，且，，解这个直角三角形． 题型04已知斜边和一个锐角解直角三角形 【典例分析】 【例4-1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，a，b，c分别为的对边，，，解这个直角三角形． 【例4-2】（22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）（1）已知，在中，，，，分别是，，的对边，，，解这个直角三角形． （2）在中，，，，求的长． 【例4-3】（23-24九年级上·江苏常州·期末）（1）在中，，，，求和的长； （2）在中，，，，解这个直角三角形． 【变式演练】 【变式4-1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，已知的对边分别为，且，解这个直角三角形． 【变式4-2】（22-23九年级上·广东河源·期末）在中，，，，解这个直角三角形． 【变式4-3】（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）已知在中，分别为所对的边，由下列条件解直角三角形． (1)已知，求． (2)已知，，求． 题型05已知非直角三角形中的边（或角或三角函数值）解直角三角形 【典例分析】 【例5-1】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图所示，在中，，，，求的长． 【例5-2】（21-22九年级上·全国·课后作业）如图，的顶点都是正方形网格的格点，求的三角函数值． 【例5-3】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，是的中线， ， ， ，求： (1)的长； (2)的值． 【变式演练】 【变式5-1】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，，，，则的长为多少？ 【变式5-2】（22-23九年级上·全国·单元测试）已知：在中，，为中点，如果，求的三角函数值． 【变式5-3】（2023九年级·全国·专题练习）如图，在中，点是的中点，，且 ，求的三角函数值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11解直角三角形的五种常见类型 题型01已知两条直角边解直角三角形 【典例分析】 【例1-1】（21-22九年级上·山东济宁·阶段练习）（1）计算：． （2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，求∠A的正弦值，余弦值和正切值． 【答案】（1）1；（2）sinA，cosA，tanA． 【分析】（1）先代入特殊角三角函数值，然后先算乘方，化简二次根式，再算乘法，最后算加减； （2）根据勾股定理求出AB，根据锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】解：（1）4cos30°+tan245°−2tan60° =1； （2）由勾股定理得，， 则sinA=，cosA=，tanA=． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦、锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦、锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切．还考查了二次根式的混合运算，特殊角三角函数值． 【例1-2】（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，于，，试求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查正弦函数及余弦函数，熟练掌握二者的定义是解题关键． （1）根据勾股定理得出，再由正弦函数求解即可； （2）根据同角的余角得出，再求余弦值即可； （3）根据正弦函数求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ， ∴， ∴； （2）解：∵于，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴． 【例1-3】（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图，在中，已知． (1)在边上求作点，连结，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，当，时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查基本作图-作垂直平分线，垂直平分线的性质、勾股定理和求正弦值． （1）作的垂直平分线，交于点D，则点D即为所求； （2）设的长为x，则，根据勾股定理求出的长，由正弦的定义即可求解． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求． （2）解：如图，连接， 由（1）可得， 设，则， 在中， ∴ 解得： 故， ∴ 【变式演练】 【变式1-1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图中，，试求出的三个三角函数值． 【答案】，， 【分析】本题考查了三角函数的定义，结合已知，先利用勾股定理求出的长，再根据，，即可求解的三个三角函数值． 【详解】解：中，， ， ，，． 【变式1-2】（21-22九年级上·广东东莞·期末）在中，    (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：在延长线上求作一点D，使得是以为底的等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，则___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作得垂直平分线与得延长线交于点，连接即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，设，根据勾股定理及线段的和差得出，，建立方程求解即可得出，然后根据正切的概念即可得出答案． 【详解】（1）如图所示    即为所求； （2）是以为底的等腰三角形 设， ， ， 即 ． 【点睛】本题考查了作垂直平分线、等腰三角形的性质、勾股定理以及求正切，熟练掌握性质定理和概念是解题的关键． 【变式1-3】（2024·天津红桥·一模）如图，在中， ，求的值． 【答案】 【分析】由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，正弦、余弦、正切．熟练掌握是解题的关键． 题型02已知一条直角边和斜边解直角三角形 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）（1）计算：； （2）如图，在中，，，，求的值．    【答案】（1）2；（2）． 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算、勾股定理、正弦的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值计算即可得出答案； （2）先由勾股定理求出的长，再由正弦的定义计算即可得出答案． 【详解】解：（1） ； （2）∵在中，，，， ∴， ∴ 【例2-2】（2024九年级上·上海·专题练习）如图，分别求和的正弦､余弦．    【答案】； 【分析】本题考查求锐角三角函数值，根据锐角三角函数的定义，进行求解即可． 【详解】：如图，    ． 【例2-3】（23-24九年级上·江苏扬州·期末）（1）用配方法求二次函数的最值； （2）根据图中已知数据求中的值．    【答案】（1）；（2），， 【分析】本题主要考查了配方法把二次函数一般式化为顶点式、三角函数值的求法．理解相关知识点是解题关键． （1）把二次函数用配方法把一般式化为顶点式，即可得到函数最值； （2）先求出，根据三角函数的定义即：为的对边比斜边，为的邻边比斜边，为的对边比邻边，可得答案． 【详解】解：（1）， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，二次函数有最小值． （2）∵，，， ∴在中， ∴，， 【变式演练】 【变式2-1】（2024九年级上·上海·专题练习）如图，在中，，求的值． 【答案】，． 【分析】本题考查了勾股定理、锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．根据锐角三角函数的定义，进行求解即可． 【详解】 解：在中，，， 则，． 【变式2-2】（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）求出图中的正弦值、余弦值和正切值． 【答案】，，． 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，利用勾股定理解出，再由正弦、余弦、正切公式代入求值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，，． 【变式2-3】（22-23九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，，，求的值．    【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，正弦的定义，掌握勾股定理的运用，正弦值的计算方法是解题的关键． 根据题意，运用勾股定理求出的值，再根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：，，， ， ． 题型03已知一条直角边和一个锐角解直角三角形 【典例分析】 【例3-1】（22-23九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，．求的大小和的长． 【答案】， 【分析】根据三角形内角和定理直接求出，利用三角函数求出的长即可． 【详解】解： ； ∵， ∴ ； 答：，． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角函数的定义，解题的关键是熟练特殊角的三角函数值． 【例3-2】（22-23九年级上·江苏常州·期末）（1）在中，，求和的长； （2）在中，，解这个直角三角形． 【答案】（1），；（2），，． 【分析】（1）利用及其正切值，即可求出和的的长； （2）利用勾股定理求出的长，再利用正弦函数的定义即可求出直角三角形的另外两个角的度数． 【详解】（1）解：∵在中，，即， ∴， ∴， ∴，； （2）解：在中，由勾股定理可知：， ∵， ∴，． 【点睛】本题主要是考查了应用锐角三角函数值解直角三角形，熟练掌握三角函数对应的各边之比以及特殊角的三角形函数值，这是解决本题的关键． 【例3-3】（23-24九年级上·山东烟台·期中）中，，，解这个直角三角形． 【答案】，， 【分析】解直角三角形就是求直角三角形中出直角以外的两锐角，三边中的未知的元素． 【详解】解：在中， ，， ， ， ∵， ∴， ． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形，已知三角形的一边与一个锐角，就可以求出另一个锐角与三角形的另外两边． 【变式演练】 【变式3-1】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在中，，，，解这个直角三角形． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由直角三角形锐角互余求出，由“正切”求出，最后再运用勾股定理求出． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴． 【变式3-2】（九年级上·全国·单元测试）在中，，，，解这个直角三角形． 【答案】，，． 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据含度角直角三角形求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，含度角的直角三角形性质，三角形的内角和定理的应用，准确计算是关键 【变式3-3】（22-23九年级上·甘肃嘉峪关·期末）在中，，，，所对的边分别为，，，且，，解这个直角三角形． 【答案】，， 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，根据可求出，再根据可求出． 【详解】解：如图所示， 中，，， ． ， ， ， ， 故，，． 【点睛】本题考查解直角三角形，掌握正弦和余弦的定义以及特殊角的三角函数值是解题的关键． 题型04已知斜边和一个锐角解直角三角形 【典例分析】 【例4-1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，a，b，c分别为的对边，，，解这个直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查解直角三角形，利用互余关系求，特殊角的三角函数值求出的值． 【详解】解：在中，，，， ∴，． 【例4-2】（22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）（1）已知，在中，，，，分别是，，的对边，，，解这个直角三角形． （2）在中，，，，求的长． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了解直角三角形；掌握锐角三角函数的概念是关键； （1）由勾股定理求得斜边c的长，再由正弦函数求得，由互余关系可求得，从而得解； （2）过A作于D，在中，解直角三角形可求得，再在中，由勾股定理可求得，则即可求解． 【详解】解：（1）由勾股定理得：， ， ， ； （2）如图，过A作于D， 在中，，， ， 由勾股定理得：； 在中，由勾股定理可得， 则． 【例4-3】（23-24九年级上·江苏常州·期末）（1）在中，，，，求和的长； （2）在中，，，，解这个直角三角形． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解直角三角形，熟知勾股定理及特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）由所给条件，画出图形，借助于特殊角的三角函数值即可解决问题． （2）由所给条件，画出图形，借助于特殊角的三角函数值即可解决问题． 【详解】解：（1）如图所示，    在中，，，， ∴，即， 则． 又∵，即， 则． （2）如图所示，    在中，，，， ∴． ∴， ∴， ∴． 【变式演练】 【变式4-1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，已知的对边分别为，且，解这个直角三角形． 【答案】，，． 【分析】本题考查了解直角三角形的条件，在直角三角形的三条边和两个锐角这五个元素中，若已知关于这些元素的两个独立条件，其中至少有一个条件是边，则此直角三角形可解． 【详解】解：在中， ， ， ， ， ． 【变式4-2】（22-23九年级上·广东河源·期末）在中，，，，解这个直角三角形． 【答案】见解析 【分析】根据含有30度角的直角三角形的性质以及勾股定理解决此题． 【详解】解：如图． 在中，，，， ． ． ． 【点睛】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理是解决本题的关键． 【变式4-3】（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）已知在中，分别为所对的边，由下列条件解直角三角形． (1)已知，求． (2)已知，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角函数的定义，熟练掌握正弦以及余弦的定义是解此题的关键． （1）由，即可得出答案； （2）由，代入数值计算即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解：，， ， ， ． 题型05已知非直角三角形中的边（或角或三角函数值）解直角三角形 【典例分析】 【例5-1】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图所示，在中，，，，求的长． 【答案】12 【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长． 【详解】过点作于． 在中， ，， ， 在中，， ． 【例5-2】（21-22九年级上·全国·课后作业）如图，的顶点都是正方形网格的格点，求的三角函数值． 【答案】，，． 【分析】利用网格构造直角三角形，再根据勾股定理、逆定理求出三角形的边长，最后根据三角函数的定义求解即可． 【详解】解：不妨设小正方形的边长为1，如图，过点C作于点F，，交的延长线于点E， 则，， ∵， 即，解得， ∴在中，， ∴，，， 故答案为：，，． 【点睛】此题考查的是求网格问题中锐角的三角函数值，掌握利用网格构造直角三角形、勾股定理、勾股定理的逆定理和三角函数的定义是解决此题的关键． 【例5-3】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，是的中线， ， ， ，求： (1)的长； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用． （1）过点作于点，根据求出求出根据求出的长即可； （2）根据是的中线，求出的长，得到的长，再根据的长可得，的度数． 【详解】（1）解：过点作于点， ， ∴， 在中， ， ∴， 在中， 即 ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ， ∴， ∵， ∴． 【变式演练】 【变式5-1】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，，，，则的长为多少？ 【答案】的长为 【分析】本题考查解直角三角形，过A作交线段延长线于，设长为，表示出，根据列方程求解即可得到答案； 【详解】解：过A作交线段延长线于，设长为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中， ∵，， ∴，， 解得：， ∴， 答：的长为． 【变式5-2】（22-23九年级上·全国·单元测试）已知：在中，，为中点，如果，求的三角函数值． 【答案】，， 【分析】如图，，为中点，可得，则，证明，设，则，可得，再利用三角函数的定义可得答案． 【详解】解：如图，，为中点，    ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ， ． 【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，求解锐角三角函数，证明，熟记三角函数的定义是解本题的关键． 【变式5-3】（2023九年级·全国·专题练习）如图，在中，点是的中点，，且 ，求的三角函数值． 【答案】 【分析】过点作的垂线交于点．在中，根据，设，则，证明是的中位线，则，在中，，，勾股定理得出，最后根据三角函数的定义，分别求得的三角函数值． 【详解】解：如图，过点作的垂线交于点． 在中， ，设，则． ， ， ∴， 又点为的中点， 点为的中点， ． ． 在中，，，， ． ， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、平行线等分线段定理及中位线的性质，掌握三角函数的定义，应用正切的定义，构造出一个与之相关的直角三角形进行求解是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$