专题3.3 圆的基本性质全章培优测试卷（必考点分类集训）-2024-2025学年九年级数学上册必考点分类集训系列（浙教版）

第3章 圆的基本性质全章培优测试卷 【浙教版】 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，压轴题均有★标记。 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，以C为圆心，BC为半径作⊙C，则点A与⊙C的位置关系是（　　） A．点A在⊙C内 B．点A在⊙C上 C．点A在⊙C外 D．无法确定 2．（3分）下列语句中正确的有（　　） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； ④半圆是弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（3分）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（3分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接C′C，若C′C∥AB，∠B′AC的度数为（　　） A．40° B．35° C．30° D．25° 5．（3分）如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（　　） A．8 B．10 C．11 D．12 6．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝6，CE＝4，则AE的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 7．（3分）⊙O半径为5，弦AB∥CD，AB＝6，CD＝8，则AB与CD间的距离为（　　） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠ACE＝20°，则∠BDE的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 9．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半径为5，则弧CD的长为（　　） A．π B．π C．π D．π 10．（3分）如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①；②HC＝BF：③MF＝FC：④，其中成立的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是 　 　． 12．（3分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，则该圆锥的母线长l为6cm，扇形的圆心角θ＝　 　°． 13．（3分）“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度CD为1寸，锯长AB为10寸，则圆材的半径为 　 　寸． 14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，0），点B（0，1）．将线段BA绕点B旋转180°得到线段BC，则点C的坐标为 　 　． 15．（3分）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BD，EC交于点G，已知半径为，则EG的长为 　 　． 16．（3分）如图，在半圆O中，C是半圆上的一个点，将沿弦AC折叠交直径AB于点D，点E是的中点，连接OE，若OE的最小值为，则AB＝　 　． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）如图，已知AB是⊙O的直径，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M、N，且AM＝BN．求证：． 18．（6分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，6），在给出的平面直角坐标系中： （1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB1C1；并直接写出B1、C1的坐标； （2）计算点B旋转到点B1位置时，经过的路径弧BB1的长度． 19．（6分）已知P为⊙O外一点，用直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）如图①，在⊙O上求作一个点M，使∠PMO＝90°； （2）如图②，在⊙O上求作一个点N，使∠PNO＝60°． 20．（8分）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦． （1）如图1，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．求证：四边形ADOE是正方形； （2）如图2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分别交⊙O于D，C两点，连接CD．求证：AB，CD是⊙O的等垂弦． 21．（8分）在△ABC中，AC＝CB，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，连接AD、CD． （1）把△ACD逆时针旋转得到了△CBE，如图1，旋转中心是点 　 　，旋转角是 　 　； （2）在（1）的条件下，延长AD交BE于F，求证：AF⊥BE； （3）在图1中，若∠CAD＝30°，把△ACD绕C点旋转得到△ECB，如图2，若旋转一周，当旋转角是多少度时，DE∥AC，直接写出结果． 22．（8分）已知△ABC内接于⊙O． （1）若∠BAC＝45°，，求⊙O的半径； （2）若BD、CE分别是△ABC的高，∠BAC＝60°，． ①求证：B、C、D、E四点在同一个圆上； ②求DE的长． 23．（10分）如图1，AB是⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为的中点，连结CD，CA，AD． （1）求证：OC平分∠ACD． （2）如图2，延长AC，DB相交于点E． ①求证：OC∥BE． ②若，BD＝6，求⊙O的半径． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 圆的基本性质全章培优测试卷 【浙教版】 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，压轴题均有★标记。 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，以C为圆心，BC为半径作⊙C，则点A与⊙C的位置关系是（　　） A．点A在⊙C内 B．点A在⊙C上 C．点A在⊙C外 D．无法确定 【分析】利用勾股定理求得BC边的长，然后通过比较AC与半径BC的长即可得到结论． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10， ∴BC8， ∵AC＝6＜BC， ∴点A在⊙C内， 故选：A． 2．（3分）下列语句中正确的有（　　） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； ④半圆是弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对①进行判断；根据垂径定理的推论对②进行判断；根据对称轴为直线对③进行判断；根据半圆的定义对④进行判断． 【解答】解：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以①不正确； 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以②不正确； 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以③不正确； 半圆是弧，所以④正确． 故选：A． 3．（3分）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据不在同一直线上的三点确定一个圆即可得到结论． 【解答】解：根据经过不在同一直线上的三点确定一个圆得，经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为6个， 故选：D． 4．（3分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接C′C，若C′C∥AB，∠B′AC的度数为（　　） A．40° B．35° C．30° D．25° 【分析】根据旋转的性质，推出△ACC′为等腰三角形，等边对等角，求出∠ACC′，平行线的性质得到∠CAB＝∠ACC′，再用∠CAB﹣∠BAB′，求解即可． 【解答】解：由旋转的性质可知：∠BAB′＝∠CAC′＝40°，AC＝AC′， ∴， ∵C′C∥AB， ∴∠CAB＝∠ACC′＝70°， ∴∠B′AC＝∠CAB﹣∠BAB′＝30°； 故选：C． 5．（3分）如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（　　） A．8 B．10 C．11 D．12 【分析】作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE＝∠BAF，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE＝BF＝6，再利用勾股定理，继而求得答案． 【解答】解：作直径CF，连接BF，如图， 则∠FBC＝90°， ∵∠BAC+∠EAD＝180°， 而∠BAC+∠BAF＝180°， ∴∠DAE＝∠BAF， ∴， ∴DE＝BF＝6， ∴BC8． 解法二：如图，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥DE于N． ∵AM⊥BC，AN⊥DE， ∴CM＝MB，DN＝NE＝3， ∵AC＝AB＝AD＝AE， ∴∠BAC＝2∠MAC，∠EAD＝2∠DAN， ∵∠BAC+∠EAD＝180°， ∴2∠CAM+2∠DAN＝180°， ∴∠CAM+∠DAN＝90°， ∵∠ACM+∠CAM＝90°， ∴∠ACM＝∠DAN， ∵∠AMC＝∠AND＝90°， ∴△AMC≌△DNA（AAS）， ∴AM＝DN＝3， ∴CM4， ∴BC＝2CM＝8． 故选：A． 6．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝6，CE＝4，则AE的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【分析】连接AC，根据圆内接四边形对角互补得到∠ABE＝∠ADC，根据得到∠ABD＝∠ACD结合角平分线得到∠ABE＝∠ABD，即可得到：∠ADC＝∠ACD，从而得到AC＝AD，结合勾股定理即可得到答案； 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵∠ABE+∠ABC＝180°， ∴∠ABE＝∠ADC， ∵， ∴∠ABD＝∠ACD， ∵BA平分∠DBE， ∴∠ABE＝∠ABD， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴AC＝AD， ∵AE⊥CB，AD＝6，CE＝4， ∴AC＝6 ∴， 故选：D． 7．（3分）⊙O半径为5，弦AB∥CD，AB＝6，CD＝8，则AB与CD间的距离为（　　） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 【分析】过O点作OE⊥AB，E为垂足，交CD与F，连OA，OC，由AB∥CD，得到OF⊥CD，根据垂径定理得AE＝3，CF＝4，再在Rt△OAE中和在Rt△OCF中分别利用勾股定理求出OE，OF，然后讨论：当圆O点在AB、CD之间，AB与CD之间的距离＝OE+OF；当圆O点不在AB、CD之间，AB与CD之间的距离＝OE﹣OF． 【解答】解：过O点作OE⊥AB，E为垂足，交CD与F，连OA，OC，如图， ∵AB∥CD， ∴OF⊥CD， ∴AE＝BE，CF＝DF， 而AB＝6，CD＝8， ∴AE＝3，CF＝4， 在Rt△OAE中，OA＝5，OE4； 在Rt△OCF中，OC＝5，OF3； 当圆O点在AB、CD之间，AB与CD之间的距离＝OE+OF＝7； 当圆O点不在AB、CD之间，AB与CD之间的距离＝OE﹣OF＝1； 所以AB与CD之间的距离为7或1． 故选：C． 8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠ACE＝20°，则∠BDE的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【分析】连接AD，根据圆周角定理及其推论，可分别求出∠ADB＝90°，∠ADE＝∠ACE＝20°，即可求∠BDE的度数． 【解答】解：连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ACE＝20°， ∴∠ADE＝∠ACE＝20°， ∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝110°， 故选：C． 9．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半径为5，则弧CD的长为（　　） A．π B．π C．π D．π 【分析】根据圆周角的性质，计算出弧DC所对的圆心角度数，按照公式求出弧长即可． 【解答】解：如图，连接OA、OD、OC， ∵∠B＝58°，∠ACD＝40°． ∴∠AOC＝2∠B＝116°，∠AOD＝2∠ACD＝80°， ∴∠DOC＝36°， ∴弧CD的长为π． 故选：C． 10．（3分）如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①；②HC＝BF：③MF＝FC：④，其中成立的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可． 【解答】解：∵F为的中点， ∴，故①正确， ∴∠FCM＝∠FAC， ∵∠ACF＝∠ACM+∠MCF，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC， ∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM， ∴FC＞FM，故③错误， ∵AB⊥CD，FH⊥AC， ∴∠AEM＝∠CGF＝90°， ∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°， ∴∠CFH＝∠BAF， ∴， ∴HC＝BF，故②正确， ∵∠AGF＝90°， ∴∠CAF+∠AFH＝90°， ∴的度数的度数＝180°， ∴的度数的度数＝180°， ∴，故④正确， 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是 　90°　． 【分析】根据旋转角的概念找到∠BOB′是旋转角，从图形中可求出其度数． 【解答】解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知∠BOB′是旋转角，且∠BOB′＝90°， 故答案为90°． 12．（3分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，则该圆锥的母线长l为6cm，扇形的圆心角θ＝　120　°． 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π•2，然后解关于θ的方程即可． 【解答】解：根据题意得2π•2， 解得θ＝120． 故答案为120． 13．（3分）“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度CD为1寸，锯长AB为10寸，则圆材的半径为 　13　寸． 【分析】设圆材的圆心为O，延长CD，交⊙O于点E，连接OA，由题意知CE过点O，且OC⊥AB，AD＝BD＝5，设圆形木材半径为r，可知OD＝（r﹣1）寸，OA＝r寸，根据OA2＝OD2+AD2列方程求解可得． 【解答】解：设圆材的圆心为O，延长CD，交⊙O于点E，连接OA，如图所示： 由题意知：CE过点O，且OC⊥AB， 则AD＝BD＝AB＝5， 设圆形木材半径为r寸， 则OD＝（r﹣1）寸，OA＝r寸， ∵OA2＝OD2+AD2， ∴r2＝（r﹣1）2+52， 解得：r＝13， ∴⊙O的半径为13寸， 故答案为：13． 14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，0），点B（0，1）．将线段BA绕点B旋转180°得到线段BC，则点C的坐标为 　（2，2）　． 【分析】设C（m，n）．利用中点坐标公式构建方程组求解即可． 【解答】解：设C（m，n）． ∵线段BA绕点B旋转180°得到线段BC， ∴AB＝BC， ∵点A（﹣2，0），点B（0，1）， ∴0，1， ∴m＝2，n＝2， ∴C（2，2）． 15．（3分）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BD，EC交于点G，已知半径为，则EG的长为 　2　． 【分析】连接BO、GO，则三角形EOG为直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【解答】解：如图，连接BE、GO， ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴BE经过O点，且O是BE的中点，∠EDC120°，∠EOG＝90°， ∵DE＝EC， ∴∠DEC＝30°， ∵BC＝CD， ∴， ∴∠GEO＝∠DEC＝30°， ∴OGEG， 由勾股定理得：OG2+OE2＝EG2，即（EG）2+（）2＝EG2， 解得：EG＝2． 故答案为：2． 16．（3分）如图，在半圆O中，C是半圆上的一个点，将沿弦AC折叠交直径AB于点D，点E是的中点，连接OE，若OE的最小值为，则AB＝　2　． 【分析】连接CE，OC，由三角形任意两边之差小于第三边得，当O、C、E共线时OE最小，设的弧度为x°，求出的弧度为90°，设AB＝2r，利用勾股定理求出CE，即可得出OE＝CE﹣OC，解得2r＝2． 【解答】解：连接CE，OC， 由三角形任意两边之差小于第三边得，当O、C、E共线时OE最小， 设的弧度为x°， ∴的弧度为：（180﹣x）°， ∵∠CAD＝∠CAB， ∴的弧度为：（180﹣x）°， 由折叠得，的弧度为x°， ∴的弧度为：x°﹣（180﹣x）°＝（2x﹣180）°， ∵点E为弧AD中点， ∴的弧度为：（2x﹣180）°＝（x﹣90）°， ∴的弧度为：（180﹣x）°+（x﹣90）°＝90°， 即所对圆心角为90°， 设AB＝2r， ∴⊙O半径为r， ∴CEr， ∴OE＝CE﹣OC， ∴r， ∴AB＝2r＝2． 故答案为：2． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）如图，已知AB是⊙O的直径，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M、N，且AM＝BN．求证：． 【分析】证明Rt△COM≌Rt△DON（HL），推出∠COM＝∠DON，可得结论． 【解答】证明：∵CM⊥AB，DN⊥AB， ∴∠CMO＝∠DNO＝90°， ∵OA＝OB，AM＝BN， ∴OM＝ON， 在Rt△COM和Rt△DON中， ， ∴Rt△COM≌Rt△DON（HL）， ∴∠COM＝∠DON， ∴， ∴． 18．（6分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，6），在给出的平面直角坐标系中： （1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB1C1；并直接写出B1、C1的坐标； （2）计算点B旋转到点B1位置时，经过的路径弧BB1的长度． 【分析】（1）分别作出点B、C绕点A顺时针旋转90°所得对应点，再与点A首尾顺次连接即可得； （2）利用弧长的公式求解可得． 【解答】解：（1）如图所示，△AB1C1即为所求，其中B1（1，4），C1（3，3）， （2）∵AB2，∠BAB1＝90°， ∴弧BB1的长度． 19．（6分）已知P为⊙O外一点，用直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）如图①，在⊙O上求作一个点M，使∠PMO＝90°； （2）如图②，在⊙O上求作一个点N，使∠PNO＝60°． 【分析】（1）连接OP，以OP为直径作⊙T交⊙O于点M，连接PM，OM，点M即为所求； （2）作等边三角形OPQ，作△OPQ的外接圆交⊙O于点N，连接PN，ON，点N即为所求． 【解答】解：（1）如图①中，点M即为所求； （2）如图②中，点N即为所求． 20．（8分）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦． （1）如图1，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．求证：四边形ADOE是正方形； （2）如图2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分别交⊙O于D，C两点，连接CD．求证：AB，CD是⊙O的等垂弦． 【分析】（1）根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形ADOE是矩形，根据垂径定理得出OD＝OE，即可判定矩形ADOE是正方形； （2）连接AC，由圆心角、弦的关系可得AB＝CD，由圆周角定理可得∠BAC∠BOC＝45°，∠ACD∠AOD＝45°，可证AB⊥CD，可得结论． 【解答】（1）证明：∵AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC， ∴∠A＝∠ADO＝∠AEO＝90°， ∴四边形ADOE是矩形， ∵AB，AC是⊙O的等垂弦， ∴AB＝AC， ∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴AEAC，ADAC， ∴AE＝AD， ∴矩形ADOE是正方形． （2）证明：设AB交CD于点E，连接AC， ∵OD⊥OA，OC⊥OB， ∴∠AOD＝∠BOC＝90°， ∴∠AOB＝∠COD， ∴AB＝CD， ∵∠BAC∠BOC＝45°，∠ACD∠AOD＝45°， ∴∠BEC＝∠ACD+∠BAC＝90°， ∴AB⊥CD， ∵AB＝CD，AB⊥CD， ∴AB，CD是⊙O的等垂弦． 21．（8分）在△ABC中，AC＝CB，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，连接AD、CD． （1）把△ACD逆时针旋转得到了△CBE，如图1，旋转中心是点 　C　，旋转角是 　90°　； （2）在（1）的条件下，延长AD交BE于F，求证：AF⊥BE； （3）在图1中，若∠CAD＝30°，把△ACD绕C点旋转得到△ECB，如图2，若旋转一周，当旋转角是多少度时，DE∥AC，直接写出结果． 【分析】（1）根据图形旋转的概念回答即可； （2）由旋转的性质可得∠CBE＝∠CAD，对顶角∠AMC＝∠FMB，再根据三角形内角和定理推出∠MFB＝∠ACB＝90°，结论即可得证； （3）分点D在△ABC内部和外部两种情况，结合图形，由平行线的性质即可求解． 【解答】（1）解：在图1中，点C是△ACD的旋转中心，旋转角为90°； 故答案为：C，90°． （2）证明：由△ACD逆时针旋转得到了△CBE可知，∠CBE＝∠CAD， 在△CAM中，∠ACB＝180°﹣∠CAD﹣∠AMC， 在△FMB中，∠MFB＝180°﹣∠CBE﹣∠FMB， 而∠AMC＝∠FMB， ∴∠MFB＝∠ACB＝90°， 即AF⊥BE． （3）解：如图，依题意得∠CED＝30°， 当点D在△ABC内部时， ∵DE∥AC， ∴∠ACE＝∠CED＝30°， 当点D′在△ABC外部时， ∵D′E′∥AC， ∴∠ACE′＝180°﹣∠E′＝150°， ∴△D′CE′绕点C旋转360°﹣∠ACE′＝360°﹣150°＝210°， 综上所述，当△ACD旋转角是30°或210°时，DE∥AC． 故答案为：30°或210°． 22．（8分）已知△ABC内接于⊙O． （1）若∠BAC＝45°，，求⊙O的半径； （2）若BD、CE分别是△ABC的高，∠BAC＝60°，． ①求证：B、C、D、E四点在同一个圆上； ②求DE的长． 【分析】（1）连接OB，OC，易得∠BOC＝90°，利用勾股定理列式求出OB即可； （2）①取BC中点M，连接ME、MD，易得∠BEC＝90°，∠BDC＝90°，则由直角三角形斜边上中线的性质可得MB＝ME＝MD＝MC，即点E、D、B、C在以BC为直径的圆上，问题得证；②证明△EMD是等边三角形即可． 【解答】（1）解：如图，连接OB，OC， ∵∠BAC＝45°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝90°， ∴OB2+OC2＝BC2， ∵OB＝OC， ∴2OB2＝8， ∴OB＝2或OB＝﹣2（舍去），即⊙O的半径为2； （2）①解：如图，取BC中点M，连接ME、MD， ∵BD、CE分别是△ABC的高， ∴∠BEC＝90°，∠BDC＝90°， ∴MB＝ME＝MC，MB＝MD＝MC， ∴MB＝ME＝MD＝MC， ∴B、C、D、E四点在以M为圆心BC为直径的同一个圆上； ②证明：∵∠BAC＝60°，∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝30°， 由①知BC为B、C、D、E所在圆的直径，M为圆心， ∴∠EMD＝2∠EBD＝60°， ∵ME＝MD， ∴△EMD是等边三角形， ∴． 23．（10分）如图1，AB是⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为的中点，连结CD，CA，AD． （1）求证：OC平分∠ACD． （2）如图2，延长AC，DB相交于点E． ①求证：OC∥BE． ②若，BD＝6，求⊙O的半径． 【分析】（1）由点C为的中点，得，所以AC＝DC，由垂径定理得OC⊥AD，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明OC平分∠ACD； （2）由AB是⊙O的直径，得∠ADB＝90°，由OC⊥AD，BE⊥AD，得OC∥BE； ②连结BC，则∠ACB＝90°，由OC＝OA，∠OAC＝∠OCA，由平行线的性质得∠OCA＝∠E，则∠OAC＝∠E，所以EB＝AB，而BC⊥AE，则CA＝CE＝4，所以AE＝8，设⊙O的半径为r，则EB＝AB＝2r，DE＝6+2r，由勾股定理得（2r）2﹣62＝（8）2﹣（6+2r）2＝AD2，求出符合题意的r值即可． 【解答】（1）证明：∵点C为的中点， ∴， ∴AC＝DC，OC⊥AD， ∴OC平分∠ACD． （2）①证明： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴BE⊥AD， ∵OC⊥AD，BE⊥AD， ∴OC∥BE． ②解：如图2，连结BC，则∠ACB＝90°， ∵OC＝OA， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵OC∥BE， ∴∠OCA＝∠E， ∴∠OAC＝∠E， ∴EB＝AB， ∵BC⊥AE， ∴CA＝CE＝4， ∴AE＝2CE＝8， 设⊙O的半径为r，则EB＝AB＝2r， ∵BD＝6， ∴DE＝BD+EB＝6+2r， ∵AB2﹣BD2＝AE2﹣DE2＝AD2， ∴（2r）2﹣62＝（8）2﹣（6+2r）2， 整理得r2+3r﹣40＝0， 解得r1＝5，r2＝﹣8（不符合题意，舍去）， ∴⊙O的半径长为5． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$