专题3.2 轴对称图形全章培优测试卷（必考点分类集训）-2024-2025学年八年级数学上册必考点分类集训系列（苏科版）

第2章 轴对称图形全章培优测试卷 【苏科版】 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，压轴题均有★标记。 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三边的中垂线的交点 3．（3分）下列图形中，对称轴条数最多的是（　　） A．正方形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰梯形 4．（3分）等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（　　） A．50° B．65°或50° C．65° D．80° 5．（3分）已知：如图△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，在直线BA上找一点D，使△ACD或△BCD为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 6．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝52°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（　　） A．115° B．116° C．117° D．118° 7．（3分）如图，在△ABC中，D是BC上的一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF＝3，则AC的长是（　　） A．3． B．4 C．5 D．6 8．（3分）如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，若AB+AC＝8，则△ADE的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 9．（3分★★★）如图1是长方形纸带，∠DEF＝25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿GF折叠成图3，则图3中的∠CFE的度数是（　　） A．100 B．105 C．110 D．120 10．（3分★★★★）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）如图，这是小明在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是 　 　． 12．（3分）如图，如果将其中1个白色方格涂上阴影，使整个阴影部分成为一个轴对称图形，一共有 　 　种不同的涂法． 13．（3分）如图，在锐角△ABC中，∠A＝75°，DE和DF分别垂直平分边AB、AC，则∠DBC的度数为 　 　°． 14．（3分）如图，△ABC中，BF是高，延长CB至点D，使BD＝BA，连接AD，过点D作DE⊥AB交AB的延长线于点E，当AF＝BE，∠CAD＝96°时，∠C＝　 　． 15．（3分★★★）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为　 　°． 16．（3分★★★★）如图Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝15°，BC＝8，若点D在线段BC上且满足，以AD为边构造等腰三角形使∠DAE＝150°，则点E到边BC的距离是 　 　． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分成12cm和15cm的两部分，求三角形各边的长． 18．（6分）已知图①、图②都是轴对称图形．仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）在图①中，作出该图形的对称轴l； （2）在图②中，作出点P的对称点P'． 19．（6分）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N． （1）若AB＝12cm，求△MCN的周长； （2）若∠ACB＝120°，求∠MCN的度数． 20．（8分）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CEBC．点D是边AC的中点，连接ED并延长交AB于F． （1）求∠EFB的度数； （2）求证：DE＝2DF． 21．（8分）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 22．（8分★★★）如图1，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）． （1）当运动时间为t秒时，BQ的长为 　 　厘米，BP的长为 　 　厘米．（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形； （3）如图2，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会发生变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请直接写出它的度数． 23．（10分★★★）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是∠ABC的平分线，BE是AC边上的高，垂足为E，设∠BAC＝α． （1）探究与发现 ①如图1，若α＝30°，则∠C的度数为 　 　，∠DBE的度数为 　 　； ②如图2，若α＝80°，则∠DBE的度数为 　 　； ③试探究∠BDC与α的数量关系，并说明理由． （2）拓展与思考 如图3，∠BDC的平分线DF交BC于点F．当DF∥AB时，求∠DBE的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 轴对称图形全章培优测试卷 【苏科版】 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，压轴题均有★标记。 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：D． 2．（3分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三边的中垂线的交点 【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置． 【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点． 故选：B． 3．（3分）下列图形中，对称轴条数最多的是（　　） A．正方形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰梯形 【分析】根据轴对称的性质进行解答即可． 【解答】解：∵正方形有4条对称轴，等边三角形有3条对称轴，等腰三角形有1条对称轴，等腰梯形有1条对称轴， ∴对称轴条数最多的是正方形． 故选：A． 4．（3分）等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（　　） A．50° B．65°或50° C．65° D．80° 【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：这个等腰三角形的一个底角为：（180﹣50）÷2＝65°， 故选：C． 5．（3分）已知：如图△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，在直线BA上找一点D，使△ACD或△BCD为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【分析】分△ACD或△BCD为等腰三角形两种情况画出图形即可判断． 【解答】解：如图：当BC＝BD时，△BCD是等腰三角形； ∵∠CBA＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BC＝BD＝CD； 当BC＝BD1时，△BCD是等腰三角形； 当AC＝AD2＝AD3，CA＝CD4，当CD5＝D5A时，△ACD都是等腰三角形； 综上，符合条件的点D的个数有6个． 故选：B． 6．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝52°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（　　） A．115° B．116° C．117° D．118° 【分析】根据三角形的内角和得到∠BMN+∠BNM＝128°，根据线段的垂直平分线的性质得到AM＝PM，PN＝CN，由等腰三角形的性质得到∠MAP＝∠MPA，∠CPN＝∠PCN，由“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”得∠BMN＝∠MAP+∠MPA，∠BNM＝∠CPN+∠PCN，可得∠MPA∠BMN，∠CPN∠BNM，推出∠MPA+∠CPN∠BMN∠BNM128°＝64°，从而由平角定义得到结论． 【解答】解：∵∠ABC＝52°， ∴∠BMN+∠BNM＝128°． ∵M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上， ∴AM＝PM，PN＝CN． ∴∠MAP＝∠MPA，∠CPN＝∠PCN． ∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA，∠BNM＝∠CPN+∠PCN， ∴∠MPA∠BMN，∠CPN∠BNM． ∴∠MPA+∠CPN（∠BMN+∠BNM）128°＝64°． ∴∠APC＝180°﹣64°＝116°． 故选：B． 7．（3分）如图，在△ABC中，D是BC上的一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF＝3，则AC的长是（　　） A．3． B．4 C．5 D．6 【分析】连接AF．由AB＝AD，F是BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD．再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得EFAC，即AC＝2EF＝4． 【解答】解：如图，连接AF． ∵AB＝AD，F是BD的中点， ∴AF⊥BD． 在Rt△ACF中， ∵∠AFC＝90°，E是AC的中点，EF＝3， ∴AC＝2EF＝6． 故选：D． 8．（3分）如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，若AB+AC＝8，则△ADE的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】根据角平分线的定义得到∠ABF＝∠FBC，∠ACF＝∠FCB，平行线的性质得到∠BFD＝∠FBC，∠CFE＝∠FCB，等量代换得到∠ABF＝∠BFD，∠ACF＝∠CFE，根据等腰三角形的判定定理得到BD＝FD，CE＝FE，即可得到结论． 【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F， ∴∠ABF＝∠FBC，∠ACF＝∠FCB， ∵DE∥BC， ∴∠BFD＝∠FBC，∠CFE＝∠FCB， ∴∠ABF＝∠BFD，∠ACF＝∠CFE， ∴BD＝FD，CE＝FE， ∵AB+AC＝8， ∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AD+DF+EF+AE＝AD+BD+CE+AE＝AB+AC＝8． 故选：B． 9．（3分）如图1是长方形纸带，∠DEF＝25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿GF折叠成图3，则图3中的∠CFE的度数是（　　） A．100 B．105 C．110 D．120 【分析】由矩形的性质可知AD∥BC，由此可得出∠BFE＝∠DEF＝25°，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE度数． 【解答】解：∵四边形ABCD为长方形， ∴AD∥BC， ∴∠BFE＝∠DEF＝25°． 由翻折的性质可知： 图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°， 图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°． 故选：B． 10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用角平分线的定义得到∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，则∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB），再根据三角形内角和定理得到180°﹣∠BOC（180°﹣∠A），则可对①进行判断；根据平行线的性质得到∠AEF＝∠EBC，然后利用OB平分∠EBC得到∠EBO∠EBC，则可对②进行判断；利用互余和∠OCB＝∠OCD可对③进行判断；根据角平分线的性质得到O点到AE的距离等于m，然后利用三角形面积公式可对④进行判断． 【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）， ∵∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴180°﹣∠BOC（180°﹣∠A）， ∴∠BOC＝90°∠A，所以①正确； ∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠EBC， 而OB平分∠EBC， ∴∠EBO∠EBC， ∴∠EBO∠AEF，所以②正确； ∵OD⊥AC于D， ∴∠ODC＝90°， ∴∠DOC+∠OCD＝90°， ∵OC平分∠BCD， ∴∠OCB＝∠OCD， ∴∠DOC+∠OCB＝90°，所以③正确； ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴O点到BA和BC的距离相等，O点到BC和AC的距离相等， ∴O点到AB的距离等于OD的长，即O点到AE的距离等于m， ∴S△AEFAE•mAF•mm（AE+AF）mn，所以④正确． 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）如图，这是小明在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是 　20：15　． 【分析】根据镜面对称的性质解答即可． 【解答】解：此刻的实际时间应该是20：15， 故答案为：20：15． 12．（3分）如图，如果将其中1个白色方格涂上阴影，使整个阴影部分成为一个轴对称图形，一共有 　4　种不同的涂法． 【分析】利用网格根据轴对称的性质即可解决问题． 【解答】解：如图所示： 一共有4种不同的涂法． 故答案为：4． 13．（3分）如图，在锐角△ABC中，∠A＝75°，DE和DF分别垂直平分边AB、AC，则∠DBC的度数为 　15　°． 【分析】连接DA、DC，根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝105°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，DA＝DC，根据三角形内角和定理计算，得到答案． 【解答】解：连接DA、DC， ∵∠BAC＝75°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣75°＝105°， ∵DE和DF分别垂直平分边AB、AC， ∴DA＝DB，DA＝DC， ∴DB＝DC，∠DBA＝∠DAB，∠DAC＝∠DCA， ∴∠DBA+∠DCA＝∠DAB+∠DAC＝75°， ∴∠DBC＝∠DCB（105°﹣75°）＝15°， 故答案为：15． 14．（3分）如图，△ABC中，BF是高，延长CB至点D，使BD＝BA，连接AD，过点D作DE⊥AB交AB的延长线于点E，当AF＝BE，∠CAD＝96°时，∠C＝　52°　． 【分析】根据已知条件得到∠E＝∠AFB＝90°，利用HL推出Rt△BED≌Rt△AFB，根据全等三角形的性质得到∠DBE＝∠BAF，AB＝BD，等量代换得到∠CBA＝∠CAB，根据三角形的外角的性质得到∠CAB＝2∠BAD，根据已知条件即可得到结论． 【解答】解：∵BF是高，DE⊥AB， ∴∠E＝∠AFB＝90°， 在Rt△BED与△Rt△AFB中， ， ∴Rt△BED≌Rt△AFB（HL）， ∴∠DBE＝∠BAF， ∵∠DBE＝∠ABC， ∴∠CBA＝∠CAB， ∵AB＝BD， ∴∠BDA＝∠BAD， ∵∠CBA＝∠BDA+∠BAD， ∴∠CBA＝2∠BAD， ∴∠CAB＝2∠BAD， ∴∠CAB∠CAD， ∵∠CAD＝96°， ∴∠CAB＝64°， ∴∠C＝180°﹣2∠CAB＝52°． 故答案为：52°． 15．（3分）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为　72　°． 【分析】设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA＝2x，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题． 【解答】解：设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA＝2x， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝2x， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴5x＝180°， ∴x＝36°， ∴∠ABC＝72° 故答案为72 16．（3分）如图Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝15°，BC＝8，若点D在线段BC上且满足，以AD为边构造等腰三角形使∠DAE＝150°，则点E到边BC的距离是 　或　． 【分析】分两种情况：①如图：作C关于AB的对称点 G，连接 EG，作 EF⊥GB于F，证明△AGE≌△ACD，可得EFGE；②作 C 关于AB的对称点M，连接AM、BM，作 EN⊥NB，证明△ACE≌△AMD，可得ENEC． 【解答】解：∵，BC＝8， ∴CD＝3，BD＝5， ∵∠B＝90°，∠C＝15°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝75°， 分两种情况：①如图： 作C关于AB的对称点 G， 连接 BG，AG， 则 BG＝BC＝8，AG＝AC， 连接 EG，作 EF⊥GB于F， 则 EF即为点E到BC 的距离， ∴△ACG 为等腰三角形且∠CAG＝2∠BAC＝150°， ∵∠DAE＝150°， ∴∠DAE﹣∠DAG＝∠CAG﹣∠DAG，即∠EAG＝∠DAC． ∵AE＝AD，∠EAG＝∠DAC，AG＝AC， ∴△AGE≌△ACD， ∴GE＝CD＝3，∠ACD＝∠AGE＝15°， ∴∠EGF＝2∠AGE＝30°， ∴EFGE； ②如图，作 C 关于AB的对称点M，连接AM、BM， 则BM＝BC＝8，AM＝AC， 作 EN⊥NB，EN即为所求， 同理可证△ACE≌△AMD， ∴∠ACE＝∠AMD＝15°，CE＝DM＝BM+BD＝13． ∠ECN＝30°， ∴ENEC． 综所述，点已到边 BC 的距离为或， 故答案为：或， 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分成12cm和15cm的两部分，求三角形各边的长． 【分析】由在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成12cm和15cm两部分，可得|AB﹣BC|＝15﹣12＝3（cm），AB+BC+AC＝2AB+BC＝12+15＝27cm，然后分别从AB＞BC与AB＜BC去分析求解即可求得答案． 【解答】解：如图，∵AB＝AC，BD是AC边上的中线， 即AD＝CD， ∴|（AB+AD）﹣（BC+CD）|＝|AB﹣BC|＝15﹣12＝3（cm），AB+BC+AC＝2AB+BC＝12+15＝27cm， 若AB＞BC，则AB﹣BC＝3cm， 又∵2AB+BC＝27cm， 联立方程组并求解得：AB＝10cm，BC＝7cm， 10cm、10cm、7cm三边能够组成三角形； 若AB＜BC，则BC﹣AB＝3cm， 又∵2AB+BC＝27cm， 联立方程组并求解得：AB＝8cm，BC＝11cm， 8cm、8cm、11cm三边能够组成三角形； ∴三角形的各边长为10cm、10cm、7cm或8cm、8cm、11cm． 18．（6分）已知图①、图②都是轴对称图形．仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）在图①中，作出该图形的对称轴l； （2）在图②中，作出点P的对称点P'． 【分析】（1）连接两组对应点，进而交点连接即可； （2）延长对应边，进而交点连接即可． 【解答】解： （1）如图①： （2）如图②． 19．（6分）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N． （1）若AB＝12cm，求△MCN的周长； （2）若∠ACB＝120°，求∠MCN的度数． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出AM＝CM，BN＝CN，再求出△MCN的周长＝AB，再代入求出答案即可； （2）根据三角形内角和定理求出∠A+∠B＝180°﹣∠ACB＝60°，根据等腰三角形的性质得出∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，求出∠ACM+∠BCN＝∠A+∠B＝60°，再求出答案即可． 【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N， ∴AM＝CM，BN＝CN， ∵AB＝12cm， ∴△MCN的周长是CM+MN+CN ＝AM+MN+BN ＝AB ＝12； （2）∵∠ACB＝120°， ∴∠A+∠B＝180°﹣∠ACB＝60°， ∵AM＝CM，BN＝CN， ∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN， ∴∠ACM+∠BCN＝∠A+∠B＝60°， ∵∠ACB＝120°， ∴∠MCN＝∠ACB﹣（∠ACM+∠BCN）＝120°﹣60°＝60°． 20．（8分）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CEBC．点D是边AC的中点，连接ED并延长交AB于F． （1）求∠EFB的度数； （2）求证：DE＝2DF． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，求出CD＝CE，根据三角形外角性质和等腰三角形的性质求出∠E＝30°，求出∠BFE即可； （2）连接BD，求出BD＝DE，根据含30°角的直角三角形的性质得出BD＝2DF，即可得出答案． 【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°， ∵D为AC的中点， ∴AD＝CDAC， ∵CEBC， ∴CD＝CE， ∵∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°， ∴∠E＝∠CDE＝30°， ∵∠B＝60°， ∴∠EFB＝180°﹣60°﹣30°＝90°； （2）证明：连接BD， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝60°， ∵D为AC的中点， ∴∠DBC＝∠ABD∠ABC＝30°， ∵∠E＝30°， ∴∠DBC＝∠E， ∴DE＝BD， ∵∠BFE＝90°，∠ABD＝30°， ∴BD＝2DF， 即DE＝2DF． 21．（8分）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证； （2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状； （3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可． 【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC， ∴OC＝DC， ∵∠OCD＝60°， ∴△OCD是等边三角形． 解： （2）△AOD是直角三角形． 理由如下： ∵△OCD是等边三角形， ∴∠ODC＝60°， ∵△BOC≌△ADC，α＝150°， ∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°， ∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°， ∴△AOD是直角三角形． （3）∵△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝∠ODC＝60°． ∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α， ∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α， ∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°， ∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°． ①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°， ∴α＝125°． ②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°， ∴α＝140°． ③当∠ADO＝∠OAD时， α﹣60°＝50°， ∴α＝110°． 综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 22．（8分）如图1，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）． （1）当运动时间为t秒时，BQ的长为 　t　厘米，BP的长为 　（6﹣t）　厘米．（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形； （3）如图2，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会发生变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请直接写出它的度数． 【分析】（1）根据题意、结合图形解答； （2）分∠PQB＝90°、∠BPQ＝90°两种情况，根据直角三角形的性质列式计算即可； （3）证明△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质、等边三角形的内角是60°解答即可． 【解答】解：（1）由题意得，BQ＝t，BP＝6﹣t， 故答案为：t；（6﹣t）； （2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝5﹣t， ①当∠PQB＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BPQ＝30°， ∴PB＝2BQ，得6﹣t＝2t， 解得，t＝2， ②当∠BPQ＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BQP＝30°， ∴BQ＝2BP，得t＝2（6﹣t）， 解得，t＝4， ∴当第2秒或第4秒时，△PBQ为直角三角形； （3）∠CMQ不变，理由如下： 在△ABQ与△CAP中， ， ∴△ABQ≌△CAP（SAS）， ∴∠BAQ＝∠ACP， ∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°， ∴∠CMQ不会变化． 23．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是∠ABC的平分线，BE是AC边上的高，垂足为E，设∠BAC＝α． （1）探究与发现 ①如图1，若α＝30°，则∠C的度数为 　75°　，∠DBE的度数为 　22.5°　； ②如图2，若α＝80°，则∠DBE的度数为 　15°　； ③试探究∠BDC与α的数量关系，并说明理由． （2）拓展与思考 如图3，∠BDC的平分线DF交BC于点F．当DF∥AB时，求∠DBE的度数． 【分析】（1）①利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝75°，从而利用角平分线的定义可得∠ABD＝37.5°，进而利用三角形外角的性质可得∠BDE＝67.5°，然后根据垂直定义可得∠BED＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答； ②利用①的思路，即可解答； ③利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝90°α，再利用角平分线的定义可得∠ABD＝45°α，然后利用三角形外角性质进行计算即可解答； （2）利用（1）的结论可得：∠ABD＝45°α，∠BDC＝45°α，再利用角平分线的定义可得∠BDF＝22.5°α，然后利用平行线的性质可得∠ABD＝∠BDF，从而列出关于α的方程，进行计算可得α＝36°，进而可得∠BDC＝72°，最后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答． 【解答】解：（1）①∵∠BAC＝30°， ∴∠ABC＝∠C（180°﹣30°）＝75°， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD∠ABC＝37.5°， ∴∠BDE＝∠A+∠ABD＝67.5°， ∵BE⊥AC， ∴∠BED＝90°， ∴∠DBE＝90°﹣∠BDE＝12.5°， ∴∠C的度数为75°，∠DBE的度数为12.5°， 故答案为：75°，22.5°； ②∵∠BAC＝80°， ∴∠ABC＝∠C（180°﹣80°）＝50°， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠CBD∠ABC＝25°， ∴∠ADB＝∠C+∠CBD＝75°， ∵BE⊥AC， ∴∠BED＝90°， ∴∠DBE＝90°﹣∠ADB＝15°， ∴∠DBE的度数为15°， 故答案为：15°； ③∠BDC与α的数量关系为：∠BDC＝45°α， 理由：∵∠BAC＝α°， ∴∠ABC＝∠C（180°﹣α）＝90°α， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD∠ABC＝45°α， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝45°α， ∴∠BDC与α的数量关系为：∠BDC＝45°α； （2）由（1）可得：∠ABD＝45°α，∠BDC＝45°α， ∵DF平分∠BDC， ∴∠BDF∠BDC＝22.5°α， ∵AB∥DF， ∴∠ABD＝∠BDF， ∴45°α＝22.5°α， ∴α＝36°， ∴∠BDC＝45°α＝72°， ∵BE⊥AC， ∴∠BED＝90°， ∴∠DBE＝90°﹣∠BDC＝18°， ∴∠DBE的度数为18°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$