精品解析：上海市大同中学2024-2025学年高二上学期10月学情调研数学试卷

（试卷）上海市大同中学 2024 学年第一学期 10 月学情调研试卷 高二数学 90 分钟 满分 100 分 班级 ______ 姓名 ______ 学号______ 一、填空题（ 3 共 36 ） 1. 若两直线a、b与平面所成的角相等，则a与b的位置关系是________． 2. 设为长方体，为直平行六面体，为正四棱柱，为正六面体，则集合A，B，C，D之间的包含关系为________． 3. 用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积为2，则____________． 4. 在图中，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有_________（填上所有正确答案的序号）． 5. 若两异面直线a，b所成的角为70°，过空间内一点P作于直线a，b所成角均为70°的直线l，则所作直线l的条数为______. 6. 正四面体的棱长为1，则点A到平面的距离为_______ 7. 如图，长方体中，，点在线段上，且为线段的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为______． 8. 如图，已知一个二面角的平面角为，它的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，则线段的长为__________. 9. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，为等边三角形，则直线与平面所成角的正弦值为______________. 10. 某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面面积达到最大. 11. 如图，在长方体中，已知，．动点P从出发，在棱上匀速运动；动点Q同时从B出发，在棱BC上匀速运动，P的运动速度是Q的两倍，各自运动到另一端点停止．它们在运动过程中，设直线PQ与平面ABCD所成的角为，则的取值范围是____________． 12. 如图所示，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，点P，Q分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为__. 二、选择（4共16） 13. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是（ ） A. 若直线与平面内的一条直线垂直，则直线与平面垂直 B. 若直线与平面内的两条平行直线垂直，则直线与平面垂直 C. 若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直 D. 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直 15. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（ ） A. 四棱锥为“阳马” B. 四面体为“鳖臑” C. 四棱锥体积的最大值为 D. 过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF 16. 设分别是四棱锥侧棱上的点.给出以下两个命题，则（ ）. ①若是平行四边形，但不是菱形，则可能是菱形； ②若不是平行四边形，则可能是平行四边形. A. ①真②真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①假②假 三、解答题（12分＋12分＋12分＋12分，共48分） 17. 已知正方体．求证： （1）面面． （2）面． 18. 如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，圆柱的表面积为，. （1）由点拉一根细绳绕圆柱侧面到达，求绳长的最小值. （2）求异面直线与AP所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） 19. 如图，在多面体中，四边形是边长为2的菱形，，四边形是正方形，平面丄平面. （1）证明：平面丄平面； （2）若点M是线段的一点，且满足丄平面，求二面角的大小 20. 已知正方体的棱长为1，P是对角面（包含边界）内一点，且. （1）求PC的长度； （2）是否存在点P，使得平面平面PCD？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由； （3）过点P作平面α与直线PC垂直，求平面α与平面ABCD所成锐二面角的最小值，并求此时平面α截正方体所得截面图形的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ （试卷）上海市大同中学 2024 学年第一学期 10 月学情调研试卷 高二数学 90 分钟 满分 100 分 班级 ______ 姓名 ______ 学号______ 一、填空题（ 3 共 36 ） 1. 若两直线a、b与平面所成的角相等，则a与b的位置关系是________． 【答案】平行、相交或异面 【解析】 【分析】根据线面角的定义可分析得出. 【详解】若，显然a、b与平面所成的角相等； 若a、b为圆锥的两条母线所在的直线，显然a、b与平面所成的角相等，此时a、b为相交直线； 若a、b为异面直线，若满足，此时a、b与平面所成的角相等，均为0， 故a与b的位置关系是平行、相交或异面. 故答案为：平行、相交或异面. 2. 设为长方体，为直平行六面体，为正四棱柱，为正六面体，则集合A，B，C，D之间的包含关系为________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断出四个集合中的元素关系，再根据集合包含关系定义判断即可. 【详解】在这4种图形中，包含元素最多的是直平行六面体，其次是长方体，再其次是正四棱柱（上下底面是正方形的长方体），最少元素的是正六面体. 故答案为: 3. 用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积为2，则____________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据斜二测画法原则可还原,利用面积公式计算即可求解. 【详解】由直观图可还原，如图： 其中，又， 因此， 所以. 故答案为： 4. 在图中，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有_________（填上所有正确答案的序号）． 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据异面直线的定义分别判断即可. 【详解】对①，连接，为中点，，又，，故直线，共面，故①错误； 对②，、、三点共面，但面，因此直线与异面，故②正确； 对③，如图，连接，为中点，，又，，故直线，共面，故③错误； 对④，、、共面，但面，与异面．故④正确. 故答案为：②④. 5. 若两异面直线a，b所成的角为70°，过空间内一点P作于直线a，b所成角均为70°的直线l，则所作直线l的条数为______. 【答案】4 【解析】 【分析】利用异面直线所成的角的概念进行分类讨论即可求解. 【详解】在空间取一点，经过点分别作，设直线确定平面，如图， 当直线满足它的射影在所成角的平分线上时，与所成的角等于与所成的角， 因为直线，所成的角为，得所成锐角等于， 当射影在所成锐角的平分线上时，与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 当的射影在所成钝角的平分线上时，与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 综上所述，过空间任意一点可作与，所成的角都是的直线有4条. 故答案为：4 6. 正四面体的棱长为1，则点A到平面的距离为_______ 【答案】## 【解析】 【分析】作出辅助线，得到即为点A到平面的距离，为等边三角形的中心，结合勾股定理求出答案. 【详解】取的中点，连接，则⊥， 过点作⊥平面，垂足为，即为点A到平面的距离， 则点在上，且为等边三角形的中心， 因为正四面体的棱长为1，则， 由勾股定理得，则， 因为，由勾股定理得， 则点A到平面的距离为. 故答案为： 7. 如图，长方体中，，点在线段上，且为线段的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出相关点及向量的坐标，求出必要参数，利用向量的夹角公式求解即可，或作合适辅助线，利用线线角定义求解也可. 【详解】． 解法一 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则， 所以，则，解得， 所以，所以，设线线角为 则， 因此异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为： 解法二 设，因为，所以，得．如图，取线段上靠近点的三等分点，靠近点的三等分点，连接，易知， 又， 所以，故为异面直线与所成的角或其补角． ， 所以，因此异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为： 8. 如图，已知一个二面角的平面角为，它的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，则线段的长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】过点作，且，在利用余弦定理可得，再在中利用勾股定理求解. 【详解】 过点作，且， 则四边形为平行四边形， ， 又， ， ， 即为二面角的平面角，即， 在中，， 即， 又，，平面， 平面， 平面, ，， 在中，， 即， 故答案为：. 9. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，为等边三角形，则直线与平面所成角的正弦值为______________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据面面垂直可得线面垂直，即可根据线面角的定义找到其平面角，结合三角形的边角关系即可求解. 【详解】取中点为，连接, 由于是等边三角形，所以 因为平面平面，其交线为,平面, 所以平面，是直线与平面所成角． 不妨设， 在等边中，，，所以， 故 故直线与平面所成角的正弦值为． 故答案为： 10. 某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面面积达到最大. 【答案】## 【解析】 【分析】遮阴影面面积达到最大即是点到的距离最大，根据正弦定理表示出点到的距离，即可找出角度取值与面积之间的关系． 【详解】如图，过点C作交AB于D，连接，由题可知 因此就是遮阳篷ABC与地面所成的角，因为，所以求遮阴影面面积最大，即是求最大，其中已知， 设，，根据正弦定理 当时遮阴影面面积最大，此时 故答案为： 11. 如图，在长方体中，已知，．动点P从出发，在棱上匀速运动；动点Q同时从B出发，在棱BC上匀速运动，P的运动速度是Q的两倍，各自运动到另一端点停止．它们在运动过程中，设直线PQ与平面ABCD所成的角为，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，设，并求出的坐标，再结合线面角的向量求法求解. 【详解】在长方体中，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，由P的运动速度是的2倍，得，即， 则，显然平面的法向量， 于是， ，因此， 显然当时，，当时，， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：用向量法求直线与平面所成的角，求出平面的法向量是关键，并注意公式求出的是线面角的正弦． 12. 如图所示，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，点P，Q分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为__. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，△PEQ周长取得最小值时，P在上，在平面上，设E关于的对称点为N，关于的对称点为M，求出MN，即可得出结论. 【详解】由题意，△PEQ周长取得最小值时，P在上， 在平面上，设E关于的对称点为N，关于的对称点为M，连接，交于点，交于点，则即为周长的最小值， 则， 由勾股定理得：. 故答案为：. 二、选择（4共16） 13. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由面面平行的性质、线面、面面平行的判定即可判断. 【详解】因为，若，则由线面平行的性质可知，故“”是“”的充分条件， 设，，显然，从而有成立，但此时不平行. 故选：A. 14. 下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是（ ） A. 若直线与平面内的一条直线垂直，则直线与平面垂直 B. 若直线与平面内的两条平行直线垂直，则直线与平面垂直 C. 若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直 D. 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直 【答案】C 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理逐项判断即可. 【详解】对于A，直线与平面内的一条直线垂直，则直线与平面的位置关系无法确定，故A错误； 对于B，若直线与平面内的两条平行直线垂直，则直线与平面的位置关系无法确定，故B错误； 对于C，若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直，故C正确； 对于D，若直线与平面内的无数条直线垂直，当这无数条直线平行时， 直线与平面的位置关系无法确定，故D错误. 故选：C. 15. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（ ） A. 四棱锥为“阳马” B. 四面体为“鳖臑” C. 四棱锥体积的最大值为 D. 过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF 【答案】C 【解析】 【分析】根据“阳马”和“鳖膈”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当时，四棱锥体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证平面，进而判断D的正误. 【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”， ∴在堑堵中，，侧棱平面， A选项，∴，又，且，则平面， ∴ 四棱锥为“阳马”，故A正确； B选项，由，即，又且， ∴平面，∴，则为直角三角形， 又由平面，得为直角三角形，由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形，∴ 四面体为“鳖膈”，故B正确； C选项，在底面有，即，当且仅当时取等号， ，最大值为，故C错误； D选项，因为，，，所以平面，故D正确； 故选：C 16. 设分别是四棱锥侧棱上的点.给出以下两个命题，则（ ）. ①若是平行四边形，但不是菱形，则可能是菱形； ②若不是平行四边形，则可能是平行四边形. A. ①真②真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①假②假 【答案】C 【解析】 【分析】对于②，可以考虑构造一个正四棱锥来说明，对于①可以考虑利用反证法证伪. 【详解】对于②，考虑一个正四棱锥，然后再他的侧棱的延长线上可以画出一个梯形， 具体做法是：取，则四棱锥为正四棱锥， 然后令， 那么 此时是梯形，但不是平行四边形， 对于①，如图，四边形为平行四边形，也为平行四边形， 若平面与平面不平行， 则四边形中必有一边与底面相交， 不妨设直线与底面相交， 则直线也与底面相交， 在平面中过做的平行线，交与，则， 因平面，平面，故平面，即平面， 而平面平面，故，而， 故相交，这与为平行四边形矛盾. 故平面平面，故， 若四边形为菱形，则，则， 故四边形为菱形，故①错误. 故选：C. 【点睛】关键点睛：空间中满足条件的几何体的存在性，可以通过常见几何体来构造，或者通过反证法结合空间中点线面的判断与性质导出矛盾. 三、解答题（12分＋12分＋12分＋12分，共48分） 17. 已知正方体．求证： （1）面面． （2）面． 【答案】（1）由正方的性质可知：且， 可得：是平行四边形， 可得：， 又平面，平面， 可得：平面， 同理可得：平面， 故平面平面. （2），且为在面内的射影，且， 由三垂线定理得：， 同理可得：， 故平面. 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得：，由线面平行的判定定理可得：平面，同理可得平面，从而根据面面平行的判定定理可得结论； （2）由三垂线定理得，同理，在根据线面垂直的判定定理可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，圆柱的表面积为，. （1）由点拉一根细绳绕圆柱侧面到达，求绳长的最小值. （2）求异面直线与AP所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将圆柱展开，即可得到矩形，因此点到达的最小值即为展开举行的对角线长度，直接求解即可. （2）由已知，延长交圆于，连接，从而得到四边形为平行四边形，根据，将异面直线与所成角转化为与所成角，然后利用余弦定理可知接求解； 【小问1详解】 将圆柱的侧面沿母线剪开，并展开在一个平面上， 求得绳长的最小值为圆柱展开图所成矩形的对角线， 即. 【小问2详解】 已知圆柱的表面积为，则圆柱的高为3， 延长交圆于，连接， 因为四边形的对角线互相平行，所以为平行四边形， 则，异面直线与所成角即与所成角. 在中，，，； ， 所以 即异面直线与所成角为. 19. 如图，在多面体中，四边形是边长为2的菱形，，四边形是正方形，平面丄平面. （1）证明：平面丄平面； （2）若点M是线段的一点，且满足丄平面，求二面角的大小 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，∴， 由四边形是正方形有， 又面面，面面，面， ∴面，面，即， 又，且面， ∴面，由面， ∴平面平面； （2）arctan 【解析】 【分析】（1）根据菱形、正方形的性质有、，结合面面垂直的性质可得面，根据线面垂直、面面垂直的判定即可证结论； （2）是、的交点，连接交于，由线面垂直的性质及射影的性质可得，进而可确定二面角的平面角，根据已知求其正切值，即可得二面角的大小. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 若是、的交点，连接交于， 由面，面，即， 由（1）知：是在面上的射影，故，连接， ∴是二面角的平面角， 由射影定理知：，，，则，. ∴，故. ∴二面角的大小为. 20. 已知正方体的棱长为1，P是对角面（包含边界）内一点，且. （1）求PC的长度； （2）是否存在点P，使得平面平面PCD？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由； （3）过点P作平面α与直线PC垂直，求平面α与平面ABCD所成锐二面角的最小值，并求此时平面α截正方体所得截面图形的面积. 【答案】（1）1 （2）不存在，理由为： 以为坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示： AI    由（1）可知，假设存在点，使得平面平面； 易知； 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，可得； 设平面的一个法向量为， 则，令，则，可得； 由平面平面可得，解得， 即可知； 又点的轨迹是在平面内以为直径的半圆，可知此时点与点重合，不合题意； 因此可得不存在点，使得平面平面； （3）， 【解析】 【分析】（1）根据依题意利用线面垂直的判定定理可得，点的轨迹是在平面内以为直径的半圆，即可求得； （2）利用空间向量求出当平面平面时点的位置与点重合，显然不合题意，可知不存在满足题意的点； （3）利用线面角的定义可得当直线与平面所成的角取到最大值时，平面与平面所成锐二面角最小，即可求得结果，做出平面截正方体所得截面图形为五边形，分别算的边长，然后即可求得面积. 【小问1详解】 连接交于点，连接，如下图所示： 易知，利用正方体性质可得， 又，平面，所以平面； 又P是对角面（包含边界）内一点，，即可得平面； 所以， 又因为，所以可得， 又，利用勾股定理可得， 由正方体的棱长为1，因此， 因此点的轨迹是在平面内以为直径的半圆； 可得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点作平面与直线垂直， 设直线与平面所成的角为， 易知和平面与平面所成锐二面角互余， 所以当取到最大值时平面与平面所成锐二面角最小， 由（2）可知，又，因此当点竖坐标取到最大值时， 即平面时满足题意， 此时，所以， 因此平面与平面所成锐二面角的最小值为 延长，交的延长线与点，交于点，如下图所示： 易知，由可得，所以； 由可知，可得， 过点作分别交于点，则； 显然由正方体性质可得平面，所以平面， 又平面，所以； 由，，平面， 所以平面，即平面即为平面， 设平面截正方体交于点，于点，连接； 所以平面截正方体所得截面图形即为五边形； 设，易知，则； 由可得，解得； 即，所以， 而，所以； 由对称性可知，，； 分别做， 则，则， 所以， 且， 则， 则梯形的面积为， 所以截面的面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $