精品解析：江西省九江市修水县2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

江西省九年级阶段性考试卷 北师大版·数学（一） 说明： 1．范围：上册1.1~2.4． 2．满分：120分，时间：120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 在菱形中，，菱形的周长为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 2. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 3. 用配方法解方程，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点E是矩形边上任意一点，点F，G，H分别是的中点，若，则的长为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 5 5. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 若菱形的一条对角线长为12，边的长是方程的一个根，则该菱形的周长为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 20或28 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若关于的一元二次方程有一根为，则______． 8. 用求根公式解方程，求得______． 9 如图，在正方形中，E是边上一点，且，则的度数是______． 10. 已知a，b为常数，若方程的两个根与方程的两个根相同，则_____． 11. 如图，在菱形中，，，对角线与相交于点．将边沿方向平移到，连接．当点是的中点时，四边形的面积为__________． 12. 如图，点在正方形的对角线上，，若点在正方形的边上，且，则的度数为______ ． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）（用配方法解）； （2）（用因式分解法解）． 14. 已知关于的方程． （1）当为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 15. 如图，在中，的平分线交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，且，求四边形的面积． 16. 如图，已知正方形，E为上任意一点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） （1）请在图1中完成：在边上找点F，使得直线将正方形的面积平均分成相等的两部分； （2）请在图2中完成：在边上找点G，使得． 17. 已知关于一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程两个实数根相等，请直接写出的值，并解这个方程． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 下面是张星同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：二次项系数化为1，得，（第一步） 配方，得，（第二步） 变形，得，（第三步） 开方，得，（第四步） 解得．（第五步） （1）上面张星同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______； （2）上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程． 19. 如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F． （1）求证：四边形的为矩形； （2）若，，求菱形的面积． 20. 如图，已知菱形，E、F是对角线所在直线上的两点，且，连接． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求菱形的周长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，过点C的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接． （1）求证：； （2）当D在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你理由； （3）若D为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 22. 阅读下列材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为，解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为，； 利用以上学习到的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 六、解答题（本大題共12分） 23. 【问题背景】正方形是我们熟悉的几何图形，它有着非常多的性质，已知正方形的边长是4，点是对角线上一点． و （1）如图1，求证：； 【数学思考】 （2）①如图2，，，垂足分别为、，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想； ②如图3，点是的中点，连接，，求的最小值为______； 【类比探究】 （3）如图4，已知菱形的边长为4，，对角线，相交于点，点是上的动点，点是上的动点，连接，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江西省九年级阶段性考试卷 北师大版·数学（一） 说明： 1．范围：上册1.1~2.4． 2．满分：120分，时间：120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 在菱形中，，菱形的周长为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的四边相等，得到周长为即可． 【详解】解：∵菱形，， ∴菱形的周长为：； 故选C． 2. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质好平行四边形的性质即可得出结论． 详解】解：由菱形性质可知，其对角相等，四边相等，对边平行且相等，对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角； 由平行四边形的性质可知，其对角相等，对边平行且相等，对角线互相平分； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质，熟记菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键． 3. 用配方法解方程，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 利用配方法解一元二次方程变形即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 4. 如图，点E是矩形边上任意一点，点F，G，H分别是的中点，若，则的长为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质．根据三角形中位线定理，可得，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵点G，H分别是的中点，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点F是的中点， ∴． 故选：A 5. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． 利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故选：D． 6. 若菱形的一条对角线长为12，边的长是方程的一个根，则该菱形的周长为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 20或28 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形三边关系的应用，以及因式分解法解一元二次方程，先用因式分解法解一元二次方程，得出菱形的边长，再利用三角形三边关系的应用得出菱形的适合边长，最后根据菱形的周长计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 或， 解得或， 分两种情况： 当时， ∵， ∴不能构成三角形； 当时， ∵， ∴能构成三角形， 综上所述：该菱形的边长为7， ∴菱形的周长为：， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若关于的一元二次方程有一根为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中求出m的值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一根为， ∴， ∴， 故答案为：． 8. 用求根公式解方程，求得______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根判别式，化为一般式，求出a，b，c的值是解答本题的关键． 化为一般式，求出a，b，c，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， ∴． 故答案为：13． 9. 如图，在正方形中，E是边上一点，且，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，再根据等腰三角形的性质，求得，即可求解． 【详解】解：正方形中， ∵ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了正方形的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 10. 已知a，b为常数，若方程的两个根与方程的两个根相同，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法，先求出方程的解，进而可求出的值，据此可解决问题．熟知因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：由方程得， ，． 因为方程的两个根与方程的两个根相同， 则将代入得， ， 解方程得， ，， 所以． 故答案为：． 11. 如图，在菱形中，，，对角线与相交于点．将边沿方向平移到，连接．当点是的中点时，四边形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质等知识点，先由菱形的性质得出，再由勾股定理得出，然后证出四边形为平行四边形，进而即可得解，熟练掌握平移的性质和菱形的性质是解决此题的关键． 【详解】∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∵将边沿方向平移到，连接， ∴,, ∴四边形为平行四边形， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 12. 如图，点在正方形的对角线上，，若点在正方形的边上，且，则的度数为______ ． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况：①当在上时，由正方形的性质推出是等边三角形，再根据等边三角形的性质可得到的度数；②当在上时，连接，由，得到，，推出是等边三角形，由四边形内角和求出，再代入即可；③当和重合时，由四边形是正方形，得到，求出，又，根据等边对等角可到，最后由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：①如图，当在上时， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ②如图，当在上时，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在四边形中， ， ∴； ③如图当和重合时， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数是或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，四边形内角和等于．解题的关键是分情况讨论． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）（用配方法解）； （2）（用因式分解法解）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可； （2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 14. 已知关于的方程． （1）当为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】（1） （2）,一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，一元一次方程的定义；熟练掌握定义是解答本题的关键． （1）根据二次项系数等于零，一次项系数不等于零时是一元一次方程，可得答案； （2）根据二次项系数不等于零是一元二次方程，可得答案． 【小问1详解】 解：由是一元一次方程，得 根据题意，得且． 解得． 所以当时，此方程是一元一次方程； 【小问2详解】 根据题意，得． 解得． 此时一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是． 15. 如图，在中，的平分线交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，且，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）72 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据角平分线及平行线的性质证明即可； （2）先证明四边形是正方形，再根据得到正方形的边长，最后求面积即可． 【小问1详解】 证明： ，， 四边形是平行四边形． 平分， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形． 【小问2详解】 解：，四边形是菱形， 四边形是正方形， ， ， 四边形的面积为∶． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，正方形的判定，菱形的判定，勾股定理，角平分线的定义，正方形的面积公式，解题的关键是熟记各种四边形的判定方法． 16. 如图，已知正方形，E为上任意一点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） （1）请在图1中完成：在边上找点F，使得直线将正方形的面积平均分成相等的两部分； （2）请在图2中完成：在边上找点G，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是掌握轴对称的性质，灵活运用所学知识解决问题． （1）连接交于O，连接并延长交于F，直线即为所求； （2）连接交于H，连接交于G，则即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所作； 【小问2详解】 解：如图，点即为所作， 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根相等，请直接写出的值，并解这个方程． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况以及根的判别式求解参数．熟记相关结论即可． （1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则； （2）一元二次方程有两个相等的实数根，则． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程为有两个不相等的实数根， ，即， ； 【小问2详解】 解：若该方程的两个实数根相等， 则， 当时原方程的两个实数根相等， 此时原方程为， 即， 解得：． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 下面是张星同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：二次项系数化为1，得，（第一步） 配方，得，（第二步） 变形，得，（第三步） 开方，得，（第四步） 解得．（第五步） （1）上面张星同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______； （2）上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程． 【答案】（1）转化思想，完全平方公式 （2）三，见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种常见解法：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，结合方程的特点选择合适的解法是解题的关键． （1）根据解答过程判断依据即可； （2）根据配方法判断即可． 小问1详解】 解：体现的数学思想为转化思想，依据的数学公式是完全平方公式； 故答案为：转化思想，完全平方公式； 【小问2详解】 解：第三步变形时出现错误； 解：二次项系数化为1，得，（第一步） 配方，得，（第二步） 变形，得，（第三步） 开方，得，（第四步） 解得． 19. 如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F． （1）求证：四边形的为矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识， （1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，问题随之得证； （2）根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得，从而得到，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵菱形对角线交于点O， ∴，即． ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：． 20. 如图，已知菱形，E、F是对角线所在直线上的两点，且，连接． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求菱形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质和判定，正方形的判定，勾股定理等，灵活的选择判定定理是解题的关键． （1）连接，交于点O，根据菱形的性质，再结合，说明四边形是菱形，然后根据“有一个角是直角的菱形是正方形”得出答案； （2）先根据正方形的性质求出 ，即可求出，再根据勾股定理求出，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与垂直且互相平分， ∴四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴菱形是正方形； 【小问2详解】 解：∵菱形是正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的周长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，过点C的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接． （1）求证：； （2）当D在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若D为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 【答案】（1）见解析 （2）菱形，见解析 （3）当时，四边形是正方形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得出，结合证明四边形是平行四边形即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，结合即可得出四边形是菱形； （3）当时，求出，结合菱形的性质求出，即可得解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，在中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 解：当时，四边形是正方形，理由如下： ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 22. 阅读下列材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为，解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为，； 利用以上学习到的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3），，， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程，利用换元降次求解一元高次方程． （1）设，则原方程化为，进而求解； （2）设，则原方程化为，进而求解； （3）设，则原方程化为，进而求解； 【小问1详解】 解：设，则原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为，； 【小问2详解】 设，则原方程化为， 解得， 当时，，，，； 所以原方程的解为，； 【小问3详解】 . 设，则原方程化， 解得， 当时，，， 解得：，； 当时，， 解得，； 所以原方程的解为，，0， 六、解答题（本大題共12分） 23. 【问题背景】正方形是我们熟悉的几何图形，它有着非常多的性质，已知正方形的边长是4，点是对角线上一点． و （1）如图1，求证：； 【数学思考】 （2）①如图2，，，垂足分别为、，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想； ②如图3，点是的中点，连接，，求的最小值为______； 【类比探究】 （3）如图4，已知菱形的边长为4，，对角线，相交于点，点是上的动点，点是上的动点，连接，，求的最小值． 【答案】（1）见解析（2）①，证明见解析②（3）3 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，证明，即可得证； （2）①由（1）可知：，证明四边形为矩形，得到，等量代换即可得出结论； ②根据，得到的最小值为的长，勾股定理求出的长即可； （3）作点关于的对称点，连接，过点作，得到，进而得到，推出当三点共线时，的值最小为的长，根据垂线段最短，得到当时，最小，即点与点重合，利用菱形的性质，结合含30度角的直角三角形的性质，勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， 又∵， ∴； （2）①，证明如下： 连接，由（1）知：， ∵正方形， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； ②连接， ∵， ∴， ∵正方形的边长为，为的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：； （3）作点关于的对称点，连接，过点作， 则：， ∴， ∴当三点共线时，的值最小为的长， 又∵为上的动点， ∴当时，最小，即点与点重合， ∵菱形的边长为4，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，利用轴对称解决线段最短问题，菱形的性质，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握相关性质，利用将军饮马模型和垂线段最短解决线段和最小问题，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$