精品解析：广东省深圳市深圳实验学校高中部2024-2025学年高二上学期第一阶段考试数学试卷

深圳实验学校高中部2024-2025学年度第一学期第一阶段考试 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 命题人：冯光耀 审题人：曾嘉诚 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知点，则点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间直角坐标系的定义求解． 【详解】点关于轴对称的点的坐标为. 故选：A. 2. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将直线的一般式化为斜截式，然后根据斜率即可得到直线的一个方向向量． 【详解】由直线，得， 所以直线的斜率为， 可得直线的一个方向向量为， 因为选项ACD中的向量均与向量不共线，选项B中的向量与向量共线， 所以直线的一个方向向量为. 故选：B. 3. 正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求得，，，设，求得，即可求解. 【详解】以为原点，以，，所在的直线为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，， 可得，，， 因为点在线段上运动，设，且， 所以，可得， 又因为，所以，即. 故选：A． 4. 直线a ⊥平面，b∥，则a与b的关系为 A. a⊥b且a与b相交 B. a⊥b且a与b不相交 C. a⊥b D. a 与b不一定垂直 【答案】C 【解析】 【详解】，则存在直线有．又因为，所以，从而可得．而可能相交也可能异面，故选C 5. 已知直线的参数方程为（为参数），则直线上与点的距离等于的点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】假设所求的点坐标为，然后利用两点之间的距离公式计算可得结果. 【详解】设所求的点坐标为 则 所以 当时，所求点为 当时，所求点为 故选：C 6. ，分别为直线与上任意一点，则最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两平行线间的距离公式可求出的最小值. 【详解】由，可得两条直线相互平行， 所以最小值为平行线之间的距离，可化为， 所以，. 故选：A 7. 如图，为四面体的棱的中点，为的中点，点在线段上，且，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理得到，故. 【详解】为四面体的棱的中点，为的中点， 故，， ， 因为，所以， . 故选：A 8. 点到直线的距离最大时，直线的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程确定定点，根据时点线距离最大，求出直线的斜率，进而可得直线的斜率，进而写出直线的方程. 【详解】由直线的方程整理可得：， 可得直线恒过定点，所以， 当 时，到直线的距离最大， 可得直线的斜率为，即， 所以直线的方程为， 即． 故选：． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 设A、B、C、D是空间中四个不同的点，下列命题中正确的是（ ） A. 若AC与BD共面，则AD与BC共面 B. 若AC与BD是异面直线，则AD与BC也是异面直线 C. 若，则AD=BC D. 若，则AD⊥BC 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平面的性质可判断AB，利用空间四边形及线面垂直的判定定理可判断CD． 【详解】对于选项A，若与共面，则与共面，正确； 对于选项B，若与是异面直线，则四点不共面，则与是异面直线，正确； 如图，空间四边形中，AB＝AC，DB＝DC，则AD与BC不一定相等，故C错误； 对于D，当四点共面时显然成立， 当四点不共面时，取BC的中点M，连接AM、DM，则， ∴BC⊥平面ADM，∴BC⊥AD，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知空间四点，则下列四个结论中正确的是（ ） A. B. C. 点到直线的距离为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量的数量积的坐标运算公式，空间的距离公式和点到直线、点到平面的距离的向量运算公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于选项A: 结合题意可得， 因为，所以，故选项A正确； 对于选项B: 结合题意可得，故选项B正确； 对于选项C：结合题意可得 取,, 所以,所以点到直线的距离为 故选项C错误； 对于选项D：结合题意可得, 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离为,故选项D正确； 故选：ABD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 方程与方程可表示同一直线 B. 经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 C. 过两点，的直线都可用方程表示 D. 已知，，点在轴上，则的最小值是 【答案】CD 【解析】 【分析】根据方程的特点即可判断A；举特例当直线过原点也符合题意，即可判断B；根据两点式方程的变形进行判断C；先求出关于轴的对称点为，再结合三点共线问题求解即可判断D. 【详解】对于A，不过点， 而直线过点，故A错误； 对于B，当直线过原点时，直线方程为，也符合题意，故B错误； 对于C，方程为直线两点式方程的变形，可以表示经过任意两点，的直线，故C正确； 对于D，设关于轴的对称点为， 则， 所以当三点共线时最小， 此时，故D正确. 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】 按照直线是否经过原点分类，结合截距式方程即可得解. 【详解】当直线经过原点时，直线方程为：即，满足题意； 当直线不经过原点时，设直线方程为， 所以，解得，所以直线方程为即； 综上所述，直线方程为或. 故答案为：或. 13. 在正三棱锥中，是的中心，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由正三棱锥的性质可得平面，从而得到，，再由向量的线性运算和数量积运算即可求得. 【详解】∵在正三棱锥中，是的中心， ∴平面，平面ABC，∴，即， ∵，， ∴， ∴. 故答案为： 14. 已知：，，，，，一束光线从点出发发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）斜率的范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】先作出关于的对称点，再作关于的对称点，因为光线从点出发射到上的点经反射后，反射光线的反向延长线经过关于直线的对称点点，又因为再经反射，反射光线经过关于直线的对称点，所以只需连接交与点，连接分别交为点，则之间即为点的变动范围．再求出直线的斜率即可． 【详解】∵，∴直线方程为，直线方程为, 如图， 作关于的对称点，则， 再作关于的对称点，则, 连接交与点，则直线方程为, ∴， 连接分别交为点， 则直线方程为，直线方程为， ∴，连接， 则之间即为点 的变动范围． ∵直线方程为，直线的斜率为 ∴斜率的范围为 故答案为：. 【点睛】本题主要考查入射光线与反射光线之间的关系，入射光线与反射光线都经过物体所成的像，据此就可找到入射点的范围，解决此类问题时，关键在于求出点关于直线的对称点，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线的倾斜角为，且经过点． （1）求直线的方程； （2）求点关于直线的对称点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由倾斜角和斜率的关系求斜率，根据点斜式求直线的方程； （2）设点的坐标为，由条件列方程求即可. 【小问1详解】 设直线的斜率为， 因为直线的倾斜角为， 所以， 所以直线的方程为，即 【小问2详解】 设点的坐标为， 则，解得， 所以点的坐标为． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，. （1）求证：； （2）求的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以为基底，表达出，计算出，证明出结论； （2）在（1）基础上，表达出，平方后得到，开方后得到答案. 【小问1详解】 证明：设，则构成空间的一个基底， ， ， 所以 ， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以 . 所以. 17. 已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为. （1）求直线的方程； （2）若点满足，求动点的轨迹方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设点，根据的中点在直线上，求出点坐标，再求得关于直线对称的点，进而可求直线的方程； （2）根据题意确定点到直线的距离相等，从而得动点的轨迹为与直线平行，且距离等于点到直线的距离的直线. 【小问1详解】 由点在，设， 则的中点在直线上， 所以，解得，所以， 设点关于直线对称的点， 则有，解得，即， 显然在上，直线的斜率为， 由点斜式，整理得，即为直线的方程. 【小问2详解】 点到直线的距离的距离为， 因为点满足， 所以点到直线的距离相等， 所以动点的轨迹为与直线平行，且距离等于点到直线的距离的直线， 设轨迹方程为为， 则有,解得或4， 所以动点的轨迹方程为或. 18. 已知平面边形中，，，且.以为腰作等腰直角三角形，且，将沿直线折起，使得平面平面. （1）证明：平面； （2）若是线段上一点，且平面， ①求三棱锥的体积； ②求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）先由勾股定理证，再由面面垂直证平面，得，可得平面； （2）①连接,设,连接，利用线面平行的性质推得，确定点是线段上靠近点的三等分点，从而求得体积；②依题意建系，写出相关点和向量的坐标，利用向量夹角的坐标公式计算即得. 【小问1详解】 因，，故, 又，且，故 在直角梯形中，， 由可得； 因平面平面，，平面平面， 则平面，又平面， 则，又，因平面， 故平面. 【小问2详解】 ①如图，连接,设，连接, 因平面，且平面,平面平面， 则，故， 在四边形中，由,可得, 故，即，即点是线段上靠近点的三等分点， 故 ② 如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则, 所以，,, 设平面的法向量为， 则，可取， 因， 故,, 设平面的法向量为，则由， 可取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查空间直线、平面位置关系的判断证明和空间向量在求空间角方面的应用.解题关键在于要熟悉关于线面平行、垂直的判定和性质定理，熟练掌握利用条件建系，运用向量夹角的坐标公式计算求解空间角. 19. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，点在母线上，且，. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，且 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理与勾股定理推得，再利用线面垂直与面面垂直的判定定理与性质定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，得到直线的方向向量与平面的法向量后借助空间向量夹角公式计算即可得； （3）设，求出平面与平面的法向量后，借助空间向量夹角公式计算出相应即可得. 【小问1详解】 如图，设交于点，连接，由圆锥的性质可知底面，    因为平面，所以， 又因为是底面圆的内接正三角形，由， 可得，， 又，，所以， 即，， 所以在中，， 在中，由余弦定理： ， 所以，故， 因为底面，面，所以平面平面， 又面，平面平面，，故面， 又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 易知，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，   则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则， 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成的角的正弦值为； 【小问3详解】 ，，， 设，可得， 设平面与平面的法向量分别为，， 则有，， 令，则，，，， 即，， 设平面与平面的夹角为， 则， 整理得，即，则， 故线段上存在符合题意的点，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳实验学校高中部2024-2025学年度第一学期第一阶段考试 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 命题人：冯光耀 审题人：曾嘉诚 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知点，则点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 3. 正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 直线a ⊥平面，b∥，则a与b的关系为 A. a⊥b且a与b相交 B. a⊥b且a与b不相交 C. a⊥b D. a 与b不一定垂直 5. 已知直线的参数方程为（为参数），则直线上与点的距离等于的点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. ，分别为直线与上任意一点，则最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为四面体的棱的中点，为的中点，点在线段上，且，设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 点到直线的距离最大时，直线的方程为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 设A、B、C、D是空间中四个不同的点，下列命题中正确的是（ ） A. 若AC与BD共面，则AD与BC共面 B. 若AC与BD是异面直线，则AD与BC也是异面直线 C. 若，则AD=BC D. 若，则AD⊥BC 10. 已知空间四点，则下列四个结论中正确的是（ ） A. B. C. 点到直线的距离为 D. 点到平面的距离为 11. 下列说法正确的是（ ） A. 方程与方程可表示同一直线 B. 经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 C. 过两点，的直线都可用方程表示 D. 已知，，点在轴上，则的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为_______． 13. 在正三棱锥中，是的中心，，则______. 14. 已知：，，，，，一束光线从点出发发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）斜率的范围为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线的倾斜角为，且经过点． （1）求直线的方程； （2）求点关于直线的对称点的坐标． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，. （1）求证：； （2）求的长. 17. 已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为. （1）求直线的方程； （2）若点满足，求动点的轨迹方程. 18. 已知平面边形中，，，且.以为腰作等腰直角三角形，且，将沿直线折起，使得平面平面. （1）证明：平面； （2）若是线段上一点，且平面， ①求三棱锥的体积； ②求平面与平面夹角的余弦值. 19. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，点在母线上，且，. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $