精品解析：贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县榕江实验高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

榕江实验中学2024-2025学年高二第一次月考 数学 姓名：__________斑级：__________总分：__________ 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间向量，，且与垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，利用空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值. 【详解】因为空间向量，，且与垂直， 则，解得. 故选：A. 2. 设点，，，若，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的起点坐标和终点坐标可得的坐标后即得的坐标，从而可求的坐标. 【详解】设点B的坐标为，则， ∵，∴，解得， 故选：C． 3. 如图，在长方体中，下列各式运算结果为的有（ ） ①; ②;③; ④;⑤;⑥． A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的加法的三角形法则或平行四边形法则，并结合长方体的棱的关系，逐一进行运算化简，然后判断． 【详解】①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． 所以①②③④⑤⑥都正确， 故选：. 4. 与向量共线的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标表示可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，因为，则、不共线，A不满足条件； 对于B选项，因为，则、不共线，B不满足条件； 对于C选项，因为，则、不共线，C不满足条件； 对于D选项，因为，则、共线，D满足条件. 故选：D. 5. 如图，在直三棱柱中，，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先以为原点，，，分别为，，轴建系，设，再利用向量法求解即可. 【详解】以为原点，，，分别为，，轴建系，如图所示： 设，则，，，， 所以，. 设直线与直线夹角为， 则. 故选：A 6. 已知平面内两向量，，若为平面的法向量且，则，的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出的坐标，再根据法向量的定义可得，即可得到方程组，解得即可. 【详解】解：. 由为平面的法向量，得，即，解得. 故选：A 7. 如图，已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且分所成的定比为，现用基向量、、表示向量，设，则、、的值分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】推导出，由题意可得，利用空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式，即可得解. 【详解】因为为的中点， 则， 由题意可得，则， 所以，，则， 故，，. 故选：D. 8. 如图，点P为矩形所在平面外一点，平面，Q为的中点，，，，则点P到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，从而得到点P到平面的距离. 【详解】因为平面，平面， 所以， 四边形为矩形，故两两垂直， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，，Q为的中点， 所以， 设平面的法向量为， 则， 令得，，故， 故点P到平面的距离为. 故选：B 二､多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分） 9. 在正方体中，设，，，构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量线性运算法则，结合题意，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】根据向量的线性运算法则，根据正方体性质，结合图象，分析可得： 对于A：，由图象可得三个向量不共面，所以，，不共面，故A正确； 对于B：，由图象可得三个向量共面，所以，，共面，故B错误； 对于C：由图象可得三个向量不共面，所以，，不共面，故C正确； 对于D：，由图象可得共面，所以，，共面，故D错误. 故选：AC 10. 直线的方向向量为，两个平面、的法向量分别为、，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则直线平面 B. 若，则直线平面 C. 若，则直线与平面所成角的大小为 D. 若，则平面、所成夹角的大小为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用空间向量法逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A，若，则或，A错； 对于B，若，则，B对； 对于C，若，则直线与平面所成角的大小为，C对； 对于D，若，则平面、所成夹角的大小为，D对. 故选：BCD. 11. 如图，在正方体中，、、分别为、、的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 向量与向量的夹角是 【答案】BC 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算以及空间向量法可判断各选项的正误. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则、、、、、、、、、、. 对于A选项，，，则，故A选项错误； 对于B选项，设平面的法向量为，，， 由，可得，取，可得，， ，，平面，平面，故B选项正确； 对于C选项，，，，故C选项正确； 对于D选项，，，， 所以，向量与向量的夹角是，故D选项错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 三､填空题：（本大题共3小题，每小题5分.共15分） 12. 已知空间直角坐标系中，点，，若，，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】利用向量的坐标表示可得，再利用向量的共线和向量的模的应用求解即可. 【详解】因为点，，所以， 又因为，所以， 因为，所以，解得， 所以或. 13. 在△ABC中，．若向量与平面ABC垂直，且 ，则的坐标为________________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意结合空间向量的坐标运算求解. 【详解】根据题意可得：， 设， ∵与平面ABC垂直，则，可得， 又∵，则 解得或， 当时，则； 当时，则； ∴的坐标为或． 故答案为：或. 14. 已知空间向量满足，，，，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的运算性质求解. 【详解】∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 四､解答题：（本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 如图所示，建立适当的空间直角坐标系并将所有点坐标写出来. 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】设，，，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，可写出各点的坐标. 【详解】设，，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、、、、 、. 16. 已知，，.求平面的一个法向量； 【答案】平面的一个法向量为(答案不唯一)； 【解析】 【分析】由向量的坐标表示求、，法一：设为面的一个法向量，列方程组即可求；法二：叉乘法，求法向量的各个坐标值，进而确定一个法向量. 【详解】由，，，知：，， 设为面的一个法向量， 法一：常规法 ，得，不妨令，则， ∴平面ABC的一个法向量为； 解法二：叉乘法 ， ， ， 只要跟成倍数都是平面的法向量. 17. 已知，. （1）若，求的值； （2）若，求实数k的值； （3）若，求实数k的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算及向量夹角公式即得； （2）根据空间向量的线性运算的坐标表示可得，，然后根据向量平行的坐标关系即得； （3）根据向量垂直的坐标表示即得. 【小问1详解】 由已知可得，， 所以； 【小问2详解】 因为，， 又， 存在实数m使得， ，，， 解得； 【小问3详解】 因为， 所以， 即， 解得. 18. 如图，在多面体中，平面，点到平面的距离为，是正三角形，，． （1）证明：． （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）如图，取的中点，连接，． ， ，且， 就是点到平面的距离，即平面 平面， ， 又，四边形是平行四边形， 是正三角形， ， ． （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，证出，从而得出四边形是平行四边形，进而得出，证出即可得出. （2）以为轴的正方向，为轴，为建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用线面角的空间向量法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得平面， 以为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为，， ，， 则由得，令，得． 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值． 19. 如图，四棱锥的底面是菱形， ，底面，，是的中点，为上一点，且平面. （1）求； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）（2）. 【解析】 【分析】（1）首先根据线面平行的性质定理，作辅助线，连结，交于，连结，得，再结合比例关系求得；（2）如图，建立空间直角坐标系，分别求平面平面与平面的法向量，利用向量公式，即可求得二面角的余弦值，再转化为正弦值. 【详解】（1）连结，交于，连结， 因为平面，平面，平面平面， 所以. 由，得，又， 所以，即， 因为平面，平面， 所以， 从而，故. （2）以为原点，，所在的直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，. 设平面的一个法向量为， 由 即取，则. 设平面的一个法向量为， 由即取，则 所以 所以，故平面与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榕江实验中学2024-2025学年高二第一次月考 数学 姓名：__________斑级：__________总分：__________ 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间向量，，且与垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 设点，，，若，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，在长方体中，下列各式运算结果为的有（ ） ①; ②;③; ④;⑤;⑥． A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 4. 与向量共线的向量是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在直三棱柱中，，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面内两向量，，若为平面的法向量且，则，的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且分所成的定比为，现用基向量、、表示向量，设，则、、的值分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 如图，点P为矩形所在平面外一点，平面，Q为的中点，，，，则点P到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分） 9. 在正方体中，设，，，构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 直线的方向向量为，两个平面、的法向量分别为、，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则直线平面 B. 若，则直线平面 C. 若，则直线与平面所成角的大小为 D. 若，则平面、所成夹角的大小为 11. 如图，在正方体中，、、分别为、、的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 向量与向量的夹角是 三､填空题：（本大题共3小题，每小题5分.共15分） 12. 已知空间直角坐标系中，点，，若，，则__________. 13. 在△ABC中，．若向量与平面ABC垂直，且 ，则的坐标为________________． 14. 已知空间向量满足，，，，则的值为________. 四､解答题：（本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 如图所示，建立适当的空间直角坐标系并将所有点坐标写出来. 16. 已知，，.求平面的一个法向量； 17. 已知，. （1）若，求的值； （2）若，求实数k的值； （3）若，求实数k的值. 18. 如图，在多面体中，平面，点到平面的距离为，是正三角形，，． （1）证明：． （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，四棱锥的底面是菱形， ，底面，，是的中点，为上一点，且平面. （1）求； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $