精品解析：四川省广元市利州区2024--2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷

2024年秋季小练习（一） 数 学 考试时间： 120分钟 满分：150分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是(　 　) A. 2cm，3cm，5cm B. 7cm，4cm，2cm C. 3cm，4cm，8cm D. 3cm，3cm，4cm 2. 如图，为测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．则其依据是（　　） A. B. C. D. 3. 一副三角尺如图摆放，则α的大小为（　　） A. 105° B. 120° C. 135° D. 150° 4. 如图，ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=22°，则∠DEA等于（　　） A. 22° B. 158° C. 68° D. 112° 5. 根据下列条件，能作出唯一的△ABC的是（　　） A. AB=3，AC=4，∠B= B. AB=3，BC=4，AC=8 C. ∠A=，∠B=，AB=4 D. ∠C=，AB=5 6. 如图，已知，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点D在点E的左侧，已知，，，（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1440°，则原来多边形的边数可能是（　　） A. 9，10，11 B. 12，11，10 C. 8，9，10 D. 9，10 9. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，AD是边BC上的中线，则AD长的取值范围是（ ） A. 6＜AD＜8 B. 6≤AD≤8 C. 1＜AD＜7 D. 1≤AD≤7 10. 如图，中，，，为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于，以下四个结论：①；②当为中点时，；③当为等腰三角形时，；④当时，．其中正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分，答案写在答题卡上） 11. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 12. 一个三角形的三个内角度数之比为，这个三角形一定是______角三角形． 13. 三角形的三边长分别为，则x的取值范围是________． 14. 如图，已知：分别是的边和边的中点，连接．若则的面积是____________________． 15. 如图，在ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D、E，AD与BE交于点F，BF=AC，∠ABE=20°，则∠CAD的度数是___________． 16. 如图，在直角三角形中，，的角平分线、相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确的结论是______．（只填写序号） 三、解答题（答案写在答题卡上） 17. 如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，求的周长． 18. 如图，在中，． （1）作的平分线交BC于点D（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，，则的面积为_________． 19. 已知在中，、、的对边分别为a、b、c． （1）化简代数式：______． （2）若，，求的各内角度数． 20. 如图：点B、E、C、F在同一条直线上，，，，AC与DE相等吗？请说明理由． 21. 如图，点D在上，E在上，，，求证：． 22. 如图所示，在中，是的平分线交于点D，是边上的高，，，求与的度数． 23. 如图，已知在四边形中，点在上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 24. 课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示： （1）求证：△ADC≌△CEB； （2）已知DE=35cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同） 25. 综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． （1）【操作判断】在中，，，作的平分线交于点． ①操作一：在下图中，用三角尺作边上的高，垂足为点，求的度数； ②操作二：如图1，在上任取点，作，垂足为点，直接写出的度数； （2）【迁移探究】 操作三：如图2，将（1）中“在上任取点”改为“在的延长线上任取点”其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由； （3）【拓展应用】 如图3、图4在中，，，是的平分线，在直线上任取点，过点作与直线交于点，请直接写出与，之间的数量关系． 26. 如图（1），，，垂足分别为A、B，．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），若“，”改为“”，点Q的运动速度为x cm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季小练习（一） 数 学 考试时间： 120分钟 满分：150分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是(　 　) A. 2cm，3cm，5cm B. 7cm，4cm，2cm C. 3cm，4cm，8cm D. 3cm，3cm，4cm 【答案】D 【解析】 【详解】A．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误，不符合题意； B．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误，不符合题意； C．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误，不符合题意； D．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解决此题的关键是熟练运用三边关系解决相关题型． 2. 如图，为测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．则其依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：已知条件是，，， ∴， ∴． 故选：B． 3. 一副三角尺如图摆放，则α的大小为（　　） A. 105° B. 120° C. 135° D. 150° 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得∠ABC=45°，∠1=30°，∠C=90°，则可求得∠2=15°，利用三角形的外角性质即可求∠α的度数． 【详解】解：如图， 由题意得：∠ABC=45°，∠1=30°，∠C=90°， ∴∠2=∠ABC∠1=15°， ∴∠α=∠2+∠C=105°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和． 4. 如图，ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=22°，则∠DEA等于（　　） A. 22° B. 158° C. 68° D. 112° 【答案】D 【解析】 【分析】由ABC中，∠ACB=90°，∠A=22°，可求得∠B的度数，由折叠的性质可得：∠CED=∠B=68°，∠BDC=∠EDC，由三角形外角的性质，可求得∠DEA的度数． 【详解】解：ABC中，∠ACB=90°，∠A=22°， ∴∠B=90°∠A=68°， 由折叠的性质可得：∠CED=∠B=68°， ∠DEA=180°68°=112°， 故选：D． 【点睛】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用． 5. 根据下列条件，能作出唯一的△ABC的是（　　） A. AB=3，AC=4，∠B= B. AB=3，BC=4，AC=8 C. ∠A=，∠B=，AB=4 D. ∠C=，AB=5 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定及三角形三边之间的关系解决问题即可． 【详解】解：A.边边角，不能唯一确定三角形．本选项不符合题意； B.因为3+4<8，所以这三条线段不能组成三角形．本选项不符合题意； C.角边角，能唯一确定三角形．本选项符合题意； D.边角，不能确定三角形．本选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定、三角形三边之间的关系，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 6. 如图，已知，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形的外角和为，结合已知条件进行计算即可． 【详解】解：多边形的外角和等于 7. 如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点D在点E的左侧，已知，，，（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的面积及高求得底边BC的值，再利用中线的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得， ， ， 又为△ABC的中线， ， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形面积及中线的性质，根据面积及高求出底边，再利用中线的性质解决问题是解题的关键． 8. 一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1440°，则原来多边形的边数可能是（　　） A. 9，10，11 B. 12，11，10 C. 8，9，10 D. 9，10 【答案】A 【解析】 【分析】首先求得内角和为的多边形的边数，即可确定原多边形的边数． 【详解】解：设内角和为的多边形的边数是则， 解得：． ∵一个多边形截取一个角后，变成的多边形可能比原来少一边，也可能相同，也可能多一边； ∴原来多边形的边数可能是9或10或11 故选：A． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，理解分三种情况是关键． 9. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，AD是边BC上的中线，则AD长的取值范围是（ ） A. 6＜AD＜8 B. 6≤AD≤8 C. 1＜AD＜7 D. 1≤AD≤7 【答案】C 【解析】 【分析】先延长AD到E，且AD=DE，并连接CE，利用SAS易证△ADB≌△EDC，从而可得AB=CE，在△ABE中，再利用三角形三边的关系，可得AC-CE＜AE＜AC+CE，从而易求1＜AD＜7． 【详解】解：如图，延长AD至点E，使AD=DE，连接CE， ∵AD是边BC上的中线， ∴CD=BD， 在△ABD和△CED中， ， ∴△ABD≌△CED， ∴AB=CE=6， 在△ACE中，8-6<AE<6+8，即2<AE<14， ∴1＜AD＜7， 故选：C． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定及性质和三角形三边关系，掌握利用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键． 10. 如图，中，，，为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于，以下四个结论：①；②当为中点时，；③当为等腰三角形时，；④当时，．其中正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和与外角性质，分类讨论，熟练掌握是解题的关键． 根据已知得到，根据三角形的外角性质即可得到，判断①；根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形性质即可得到，判断②；根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到或，判断③；证明，可得，得到，判断④． 【详解】解：①∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 故①正确； ②∵D为中点，， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ③∵， ∴， ∴ ， ∵为等腰三角形， ∴当时， ∴ ， ∵ ， ∴； 当时， ∴， ∴ ， ∴或 故③错误； ④∵， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故④正确， 综上所述正确的有①②④． 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分，答案写在答题卡上） 11. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数． 【详解】解：多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是， 即该正多边形的边数是8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，解题的关键是掌握正多边形的各个内角相等，各个外角也相等． 12. 一个三角形的三个内角度数之比为，这个三角形一定是______角三角形． 【答案】直 【解析】 【分析】设该三角形的三个内角分别为，，，结合三角形内角定理列方程并求解，计算出三角形三个内角的度数，即可获得答案． 【详解】解：设该三角形的三个内角分别为，，， 则有 ， 解得 ， ∴，， ∴这个三角形一定是直角三角形． 故答案为：直． 【点睛】本题主要考查的三角形内角和定理的应用以及一元一次方程的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键． 13. 三角形的三边长分别为，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，求不等式组的解集，根据三角形的三边关系，列出不等式组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 14. 如图，已知：分别是的边和边的中点，连接．若则的面积是____________________． 【答案】6cm2 【解析】 【分析】由是的中点，得中线平分的面积，同理平分的面积，从而可得答案． 【详解】解：为的中点， 为的中点， 故答案为6cm2． 【点睛】本题考查的是三角形中线把三角形的面积平分，掌握此性质是解题关键． 15. 如图，在ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D、E，AD与BE交于点F，BF=AC，∠ABE=20°，则∠CAD的度数是___________． 【答案】25°##25度 【解析】 【分析】先证明DBFDAC，根据全等三角形的性质得出AD=BD，求出∠ABD=∠DAB=45°，即可得出答案． 【详解】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠BDF=∠ADC=90°，∠BEC=∠ADC=90°， ∴∠DAC+∠C=90°，∠DBF+∠C=90°， ∴∠DBF=∠DAC， 在DBF和DAC中，， ∴DBFDAC（AAS）， ∴AD=BD， ∵∠ADB=90°， ∴∠ABD=∠DAB=45°， ∵∠ABE=20°， ∴∠CAD=∠DBF=∠ABD-∠ABE=45°-20°=25°， 故答案为：25°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解此题的关键． 16. 如图，在直角三角形中，，的角平分线、相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确的结论是______．（只填写序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据角平分线的定义、三角形外角的性质与直角三角形性质可以判断①是否正确；延长交于H，通过证明，，利用全等的性质来判断③是否正确；通过证明，利用性质判断②是否正确；根据同高的两个三角形的面积比等于它们的底边长之比，直接判断④是否正确，从而得解． 【详解】解：∵的角平分线、相交于点O， ∴，， ， 故①正确； 延长交于H，如图所示： ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故②错误； ∵同高的两个三角形面积之比等于底边长之比， ∴， 故④正确； 因此正确的有：①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】此题是直角三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、同高的两个三角形面积之比等于底边长之比等知识，熟练运用这些性质进行推理是解题的关键． 三、解答题（答案写在答题卡上） 17. 如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，求的周长． 【答案】17 【解析】 【分析】首先由三角形中线的定义得到，然后求出，然后求解即可． 【详解】解：∵在中，为边上的中线， ∴， ∵的周长为20， ∴，即， ∴， ∴的周长． 18. 如图，在中，． （1）作的平分线交BC于点D（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，，则的面积为_________． 【答案】 （1）如图所示： （2）15 【解析】 【分析】（1）根据基本作图-作角平分线的方法作出图形即可． （2）过点D作DE⊥AB于E．证明DE=DC=3，再利用三角形的面积公式可得结论． 【详解】解：（1）略 （2）过点D作DE⊥AB于E． ∵，AD平分∠BAC，，， ∴DE=DC=3， ∴ 【点睛】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 19. 已知在中，、、的对边分别为a、b、c． （1）化简代数式：______． （2）若，，求的各内角度数． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】（1）根据三角形三边之间的关系，可得，，则，，将绝对值符号去掉，再化简即可； （2）把代入可得，根据三角形个的内角和为，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵a、b、c为三角形的三边， ∴，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， 综上：，，． 【点睛】本题考查了三角形三边的关系及三角形内角和定理，整式的加减运算，熟练掌握和运用三角形三边关系及三角形内角和定理是解决本题的关键． 20. 如图：点B、E、C、F在同一条直线上，，，，AC与DE相等吗？请说明理由． 【答案】 ， 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∴（AAS）， ∴． 【解析】 【分析】根据题中条件和平行线的性质证出，再根据全等三角形的性质即可求证结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 21. 如图，点D在上，E在上，，，求证：． 【答案】 证明：在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形的公共边和公共角． 根据两边及其夹角对应相等可以判断，再由全等三角形对应边相等可说明结论． 【详解】略 22. 如图所示，在中，是的平分线交于点D，是边上的高，，，求与的度数． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和，角平分线的性质，根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形的内角和即可得到结论，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键． 【详解】解：，， ， ∵是的平分线， ， ， ∵是边上的高， ． 23. 如图，已知在四边形中，点在上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明≌，即可解决问题； （2）结合（1）证明是等腰直角三角形，进而根据三角形外角性质即可解决问题． 【小问1详解】 证明：， ∴，， ， 在和中， ， ≌， ． 【小问2详解】 解：由（1）知：， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 24. 课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示： （1）求证：△ADC≌△CEB； （2）已知DE=35cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同） 【答案】 （1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠ACD＋∠DAC＝90°， ∴∠BCE＝∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）砌墙砖块的厚度a为5cm． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可． （2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答． 【详解】（1）略； （2）解：由题意得：∵一块墙砖的厚度为a， ∴AD＝4a，BE＝3a， 由（1）得：△ADC≌△CEB， ∴DC＝BE＝3a，AD＝CE＝4a， ∴DC＋CE＝BE＋AD＝7a＝35， ∴a＝5， 答：砌墙砖块的厚度a为5cm． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 25. 综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． （1）【操作判断】在中，，，作的平分线交于点． ①操作一：在下图中，用三角尺作边上的高，垂足为点，求的度数； ②操作二：如图1，在上任取点，作，垂足为点，直接写出的度数； （2）【迁移探究】 操作三：如图2，将（1）中“在上任取点”改为“在的延长线上任取点”其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由； （3）【拓展应用】 如图3、图4在中，，，是的平分线，在直线上任取点，过点作与直线交于点，请直接写出与，之间的数量关系． 【答案】（1）①；② （2）不变，理由见解析 （3）对于图3；对于图4 【解析】 【分析】（1）①由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案；②由①的求解过程，同理即可得到答案； （2）由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； （3）对于图3，由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案；对于图4，由三角形内角和得到，再由角平分线定义、三角形内角和定理及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：①如图所示： 在中，，， ， 是的平分线， ， 是的一个外角， ， 用三角尺作边上的高，垂足为点， ； ②如图所示: 是的一个外角， ， ， ； 【小问2详解】 解：不变， 理由如下： 由（1）可知，， 是的一个外角， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图所示： 在中，，， ， 是的平分线， ， 是的一个外角， ， ， ； 如图所示： 在中，，， ， 是的平分线， ， ， ， ； 综上所述，对于图3；对于图4． 【点睛】本题考查几何综合，涉及三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质、直角三角形两锐角互余等知识，数形结合是解决问题的关键． 26. 如图（1），，，垂足分别为A、B，．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），若“，”改为“”，点Q的运动速度为x cm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值． 【答案】（1）PC⊥PQ， 理由：∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠A=∠B=90°， ∵AP=BQ=2， ∴BP=7， ∴BP=AC， 在△ACP和△BPQ中， ， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）， ∴∠C=∠BPQ， ∵∠C+∠APC=90°， ∴∠APC+∠BPQ=90°， ∴∠CPQ=90°， ∴PC⊥PQ； （2）2或 【解析】 【分析】（1）根据SAS证明△ACP和△BPQ全等，进而解答即可； （2）根据全等三角形的性质得出方程解答即可． 【详解】解：（1） 略 （2）①若△ACP≌△BPQ， 则AC=BP，AP=BQ， 可得：7=9-2t，2t=xt， 解得：x=2，t=1； ②若△ACP≌△BQP， 则AC=BQ，AP=BP，可得：7=xt，2t=9-2t 解得：x＝，t=， 综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或． 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明△ACP和△BPQ全等解答，解决此题的是注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $