精品解析：山西省太原市第五中学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

太原五中2024—2025学年度第一学期 数学阶段知识落实 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列关于的方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且，特别要注意的条件，根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：A、当时，该方程不是关于的一元二次方程，故A选项不符合题意； B、由已知方程得到，该等式不成立，且不含有未知数，不是一元二次方程，故B选项不符合题意； C、该方程不是整式方程，故C选项不符合题意； D、该方程符合一元二次方程的定义，故D选项符合题意； 故选：D． 2. 关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ）. A. 频率等于概率 B. 当实验次数很大时，频率稳定在概率附近 C. 当实验次数很大时，概率稳定在频率附近 D. 实验得到的频率与概率不可能相等 【答案】B 【解析】 【详解】A、当实验次数很大时，频率稳定在一个常数附近，可作为概率的估计值，不一定与概率相等，故A错误； B、正确； C、当实验次数很大时，随机事件发生的概率是一个固定值，不会改变，故C错误； D、可以相同，如“抛硬币实验”，抛两次，其中一次正面向上，可得到正面向上的频率为0.5，与概率相同． 故选：B． 3. 以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（　　） A. 2，3，6，9 B. 1，2，3，4 C. 2，1，，4 D. ，，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据比例线段的定义，计算每组中的最小数与最大数的积与另外两个数的积，若它们的积相等，则四条线段成比例，否则不成比例． 【详解】解：A、由于，所以2，3，6，9成比例，该选项不符合题意； B、由于，所以1，2，3，4不成比例，该选项符合题意； C、由于，所以2，1，，4成比例，该选项不符合题意； D、由于，所以，，，成比例，该选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 （即），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 4. 布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得两次都摸到白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： 则共有9种等可能的结果，两次都摸到白球的有4种情况， ∴两次都摸到白球的概率为． 故选A． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 5. 如图，直线、、分别与直线、交于点、、、、、．已知直线，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到即可得到结论． 【详解】解：直线，，， ， 故选：A． 6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理求出BD的长，根据矩形的性质求出OD的长，最后根据三角形中位线定理得出EF的长即可． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=OD=OB， ∵，， ∴AC= ∴BD=10cm， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 7. 为宣传“扫黑除恶”专项行动，社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边，已知图案的长为2米，宽为1米，图案面积占整幅宣传版面面积的90%，若设白边的宽为x米，则根据题意可列出方程（ ） A. 90%×（2+x）（1+x）=2×1 B. 90%×（2+2x）（1+2x）=2×1 C. 90%×（2﹣2x）（1﹣2x）=2×1 D. （2+2x）（1+2x）=2×1×90% 【答案】B 【解析】 【分析】设白边的宽为x米，则整幅宣传版面的长为（2+2x）米、宽为（1+2x）米，然后根据矩形的面积公式列出方程即可. 【详解】设白边的宽为x米，则整幅宣传版面的长为（2+2x）米、宽为（1+2x）米， 根据题意得：90%（2+2x）（1+2x）=2×1． 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的面积问题，需要注意的是图案加上四周的白边才构成了宣传版面. 8. 如图，将线段绕它的中点逆时针旋转得到线段的对应点分别是点，，依次连接．则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. 对于任意，四边形都是矩形 C. D. 当时，四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得到，推出四边形是矩形，根据矩形的性质得到，推出四边形是正方形，于是得到结论． 【详解】解：∵将线段绕它的中点逆时针旋转得到线段， ， ∴四边形是矩形， ， ∵不清楚旋转角度，故不能证明， 时，， ∴四边形是正方形， 故A，B，Ｄ正确， 故选：C． 9. 用配方法解一元二次方程x2﹣8x﹣11=0时，下列变形正确的是（　　） A. （x﹣4）2=5 B. （x+4）2=5 C. （x﹣4）2=27 D. （x+4）2=27 【答案】C 【解析】 【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解：x2﹣8x=11， x2﹣8x+16=27， 所以（x﹣4）2=27， 故选C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 10. 如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，P为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形，， ∵是的垂直平分线， ∴P为的中点， ∴为的平分线，即， ∴， ∴由折叠的性质得到， 在中，． 故选：D． 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如果，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用比例的基本性质进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 12. 经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，则恰好有一人直行，另一人左拐的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出树状图即可得解. 【详解】画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中恰好有一人直行，另一人左拐的结果数为2， 所以恰好有一人直行，另一人左拐的概率=． 故答案为. 【点睛】本题考点：画树状图求概率. 13. 如图，点E、F分别是正方形内部、外部一点，四边形与四边形均为菱形、则的度数等于______． 【答案】##度 【解析】 【分析】利用正方形和性质证明是等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，四边形与四边形均为菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形和菱形性质，等边三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 14. 为积极响应国家提出的“大众创业，万众创新”号召，某市加大了对“双创”工作的支持力度，据悉，2022年该市此项拨款为亿元，2024年的拨款达到亿元，这两年该市对“双创”工作专项拨款的平均增长率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该市对“双创”工作专项拨款的年平均增长率为x，则2023年该市此项拨款为亿元，则2024年该市此项拨款为亿元，据此列出方程即可． 【详解】解：设该市对“双创”工作专项拨款的年平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴该市对“双创”工作专项拨款的年平均增长率为， 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，，点是边上一个动点（不与点，重合），将沿翻折到，再将沿翻折得到．当点恰好落在正方形的边所在的直线上时，线段的长度为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论，当点落在边上时，证明是等腰直角三角形，设，利用勾股定理列式计算求解；当点落在的延长线上，证明，利用含30度的直角三角形的性质和勾股定理求解即可. 【详解】解：①当点落在边上时， ∵四边形是正方形， ∴，， 根据折叠可知， 在与中，， ∴， ∴，∴． ∴是等腰直角三角形， 设，则，， ∴，解得． ②当点落在的延长线上时， ∴， ∴， 综上可知，或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共55分） 16. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法． （1）先把字母都移动左边，再添项配方，最后直接开平方解方程即可； （2）利用提公因式法分解因式后，再解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得，． 17. 小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下： 　　　　　　　　　　　　（第一步） 　　　　　　　　　（第二步） 　　　　　　　　　　　（第三步） 　　　　　　　　　　　 （第四步） （1）小明解答过程是从第　 　步开始出错的，其错误原因是　 　； （2）请写出此题正确的解答过程． 【答案】（1）一；不符合等式性质； （2）， ， ， ， 所以，． 【解析】 【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可； （2）先把方程两边加上，再把方程两边加上，利用完全平方公式得到，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】解：（1）小明解答过程是从第一步开始出错的，因为把方程两边都加上时，方程右边为．故答案为一；不符合等式性质； （1）略 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成的形式计算是解题的关键． 18. 如图，在中，、、分别是、、上的点，且，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据，得到，再证明，得到，进而求出，然后证明四边形是平行四边形，即可求出的长． 【详解】解：， ， ， ，， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 19. 太原是一座具有4700多年历史、2500年建城史的历史古都，系有“锦绣太原城”的美誉，在“我可爱的家乡”主题班会中，主持人准备了“晋祠园林”、“崇山大佛”、“龙山石窟”、“凌霄双塔”这四处景点的照片各一张，并将它们背面朝上放置（照片背面完全相同），甲同学从中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的照片中随机抽取一张，若要根据抽取的照片作相关景点介绍，求甲、乙两人中恰好有一人介绍“晋祠园林”的概率．（提示：可用照片序号列表或画树状图） 【答案】. 【解析】 【分析】根据题意画树状图，然后根据概率公式求解即可. 【详解】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中甲、乙两人中恰好有一人介绍“晋祠园林”的情况有6种， 故甲、乙两人中恰好有一人介绍“晋祠园林”的概率为=． 【点睛】本题考查用列表法或画树状图求概率.解此题的关键在于根据题意准确列出表格或画出树状图. 20. 如图，已知菱形的对角线相交于点，点是菱形外一点，且，连接．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， 即， ∴四边形为矩形， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定、矩形的判定及性质和菱形的性质．根据平行四边形的判定定理得四边形为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形是矩形，则该矩形的对角线相等，即． 【详解】 略 21. 某灯具制造厂新研发出一种节能护眼台灯，该台灯的成本价为元/盏．试销一段时间后，发现按元/盏的价格销售，每周可售出盏；当每盏台灯售价在元至元之间时，每盏售价每上涨元，每周的销售量将减少盏． （1）若每盏台灯销售价为元，求这周的销售利润； （2）如果要实现每周的销售利润元的目标，求每盏台灯的销售价格． 【答案】（1）这周的销售利润为元 （2）每盏台灯销售价为元 【解析】 【分析】（1）根据题意，得出当每盏台灯销售价为元，每盏台灯的利润为元，每周的销售量为盏，再根据每盏台灯的利润乘以每周的销售量等于每周的利润，计算即可得出结果； （2）设每盏台灯销售价为元，则每盏台灯的利润为元，每周的销售量为盏，根据每盏台灯的利润乘以每周的销售量等于每周的利润，得出，解出并结合题意，即可得出符合题意的结果． 【小问1详解】 解：∵当每盏台灯销售价为元， ∴每盏台灯的利润为元，每周的销售量为盏， ∴这周的销售利润为：（元）， 答：这周的销售利润为元； 【小问2详解】 解：设每盏台灯销售价为元，则每盏台灯的利润为元，每周的销售量为盏， ∴可得：， 即， 解得：，， ∵每盏台灯销售价在元至元之间， ∴， 答：每盏台灯销售价为元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在理解题意，正确列出方程． 22. 阅读下面的例题，回答问题： 例：解方程： 令，原方程化成 解得（不合题意，舍去） 原方程的解是． 请模仿上面的方法解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则原方程化为，解方程得到，则，据此求解即可． 【详解】解：令，则原方程化为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 解得． 23. 综合与实践 问题情境： 数学活动课上，老师要求同学们以矩形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在矩形中，点O为对角线的中点，连接．点E在边上，且，线段的延长线交于点F． 猜想证明： （1）“笃学”小组发现，请你证明这一结论； 操作探究： （2）“勤思”小组将图1中的绕B点顺时针旋转（设点O，E的对应点分别为）在认真分析旋转到不同位置时的情形后，提出如下问题，请你解答： ①如图2，当点落在的延长线上时，连接判断四边形的形状，并说明理由； ②若，当线段所在直线与所在直线垂直时，直接写出两点间的距离． 【答案】 （1）证明：如图， ∵四边形 是矩形； ∴， ∴． ∵点O为的中点， ∴ ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． （2）①四边形为菱形， 理由如下∶ ∵旋转得到， ∴，． ∵四边形为矩形； ∴． ∴， ∴， ； ∴． ∴． ∴． 由 (1) 得 ， ∴， ∴四边形是菱形． ②或 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质得和，结合直角三角形的性质可证明，有．结合即可； (2) ①由旋转得，结合矩形的性质可证，有．由 (1) 得 ，则，即可判定四边形是菱形； (3)在中求得，结合中点可得，当线段所在直线与所在直线垂直时，可以看作将绕点B旋转．将、和绕点B顺时针旋转得到、和，过点作于点N，则，可得，可求得，即可得，求得，利用勾股定理即可；将、和绕点B逆时针旋转得到、和，过点作于点H，则，得，则，可求得，利用勾股定理即可． 【详解】（1）略 (2) ①略 (3)在中， ∵， ∴， ∵点O为的中点， ∴， 当线段所在直线与所在直线垂直时，可以看作将绕点B旋转， 如图，将、和绕点B顺时针旋转得到、和，过点作于点N， 则， ∴， ， ∵， ∴， ， ， 如图，将、和绕点B逆时针旋转得到、和，过点作于点H， 则， ， ， ， ∴， ∴， 故两点间的距离为或 ． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等三角形的判定和性、菱形的判定、旋转的性质、勾股定理和解直角三角形，解题的关键是熟悉旋转的性质和解直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原五中2024—2025学年度第一学期 数学阶段知识落实 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列关于的方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ）. A. 频率等于概率 B. 当实验次数很大时，频率稳定在概率附近 C. 当实验次数很大时，概率稳定在频率附近 D. 实验得到的频率与概率不可能相等 3. 以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（　　） A. 2，3，6，9 B. 1，2，3，4 C. 2，1，，4 D. ，，， 4. 布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，直线、、分别与直线、交于点、、、、、．已知直线，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 为宣传“扫黑除恶”专项行动，社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边，已知图案的长为2米，宽为1米，图案面积占整幅宣传版面面积的90%，若设白边的宽为x米，则根据题意可列出方程（ ） A. 90%×（2+x）（1+x）=2×1 B. 90%×（2+2x）（1+2x）=2×1 C. 90%×（2﹣2x）（1﹣2x）=2×1 D. （2+2x）（1+2x）=2×1×90% 8. 如图，将线段绕它的中点逆时针旋转得到线段的对应点分别是点，，依次连接．则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. 对于任意，四边形都是矩形 C. D. 当时，四边形是正方形 9. 用配方法解一元二次方程x2﹣8x﹣11=0时，下列变形正确的是（　　） A. （x﹣4）2=5 B. （x+4）2=5 C. （x﹣4）2=27 D. （x+4）2=27 10. 如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如果，那么_____． 12. 经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，则恰好有一人直行，另一人左拐的概率为_____． 13. 如图，点E、F分别是正方形内部、外部一点，四边形与四边形均为菱形、则的度数等于______． 14. 为积极响应国家提出的“大众创业，万众创新”号召，某市加大了对“双创”工作的支持力度，据悉，2022年该市此项拨款为亿元，2024年的拨款达到亿元，这两年该市对“双创”工作专项拨款的平均增长率为______． 15. 如图，在正方形中，，点是边上一个动点（不与点，重合），将沿翻折到，再将沿翻折得到．当点恰好落在正方形的边所在的直线上时，线段的长度为______． 三、解答题（本大题共8小题，共55分） 16. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） 17. 小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下： 　　　　　　　　　　　　（第一步） 　　　　　　　　　（第二步） 　　　　　　　　　　　（第三步） 　　　　　　　　　　　 （第四步） （1）小明解答过程是从第　 　步开始出错的，其错误原因是　 　； （2）请写出此题正确的解答过程． 18. 如图，在中，、、分别是、、上的点，且，，，，求的长． 19. 太原是一座具有4700多年历史、2500年建城史的历史古都，系有“锦绣太原城”的美誉，在“我可爱的家乡”主题班会中，主持人准备了“晋祠园林”、“崇山大佛”、“龙山石窟”、“凌霄双塔”这四处景点的照片各一张，并将它们背面朝上放置（照片背面完全相同），甲同学从中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的照片中随机抽取一张，若要根据抽取的照片作相关景点介绍，求甲、乙两人中恰好有一人介绍“晋祠园林”的概率．（提示：可用照片序号列表或画树状图） 20. 如图，已知菱形的对角线相交于点，点是菱形外一点，且，连接．求证：． 21. 某灯具制造厂新研发出一种节能护眼台灯，该台灯的成本价为元/盏．试销一段时间后，发现按元/盏的价格销售，每周可售出盏；当每盏台灯售价在元至元之间时，每盏售价每上涨元，每周的销售量将减少盏． （1）若每盏台灯销售价为元，求这周的销售利润； （2）如果要实现每周的销售利润元的目标，求每盏台灯的销售价格． 22. 阅读下面的例题，回答问题： 例：解方程： 令，原方程化成 解得（不合题意，舍去） 原方程的解是． 请模仿上面的方法解方程： 23. 综合与实践 问题情境： 数学活动课上，老师要求同学们以矩形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在矩形中，点O为对角线的中点，连接．点E在边上，且，线段的延长线交于点F． 猜想证明： （1）“笃学”小组发现，请你证明这一结论； 操作探究： （2）“勤思”小组将图1中的绕B点顺时针旋转（设点O，E的对应点分别为）在认真分析旋转到不同位置时的情形后，提出如下问题，请你解答： ①如图2，当点落在的延长线上时，连接判断四边形的形状，并说明理由； ②若，当线段所在直线与所在直线垂直时，直接写出两点间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $