精品解析：浙江省杭州市拱墅区拱宸中学2024—2025学年九年级上学期10月月考数学试卷

2024学年第一学期学情调研 九年级数学试题卷 一、单选题 1. 下列函数中，是二次函数的为( ) A. y=-3x2 B. y=2x C. y=x+1 D. y=x3 2. 把抛物线向左平移个单位，所得的新抛物线的函数表达式为（    ） A. B. C. D. 3. 二次函数的图象的对称轴是( ) A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 关于函数y=x2的性质表达正确的一项是（   ） A. 无论x为任何实数，y值总为正 B. 当x值增大时，y的值也增大 C. 它的图象关于y轴对称 D. 它的图象在第一、三象限内 5. 已知二次函数的图象（）如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ） A. 有最大值2，无最小值 B. 有最大值2，有最小值1.5 C. 有最大值2，有最小值 D. 有最大值1.5，有最小值 6. 抛物线y=x2–3x+5与坐标轴的交点个数为（ ） A. 无交点 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大序排列是（　　） A B. C. D. 8. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，对称轴为直线x＝－2，图象经过(1，0)，下列结论中，正确的是( ) A. c＞0 B. 4ac－b2＞0 C. 9a＋c＞3b D. 5a＞b 9. 如图，在矩形ABCD中，AB = 2，BC = 4，点P是BC上的动点，连接PA，将PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连结CE．P从点B向点C运动过程中，CE的最小值为（） A. 1 B. C. D. 2 10. 已知抛物线（a，m，n是实数，）与直线交于，，则下面判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题 11. 二次函数的图象与y轴交于点（0，1），则b的值为________． 12. 函数是二次函数，则________． 13. 如图，若抛物线上的，Q两点关于它的对称轴 对称，则Q点的坐标为 ____ . 14. 如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象写出时，x的取值范围___________． 15. 已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________． 16. 已知二次函数，当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为，则的值为_______． 三、解答题 17. 用配方法求出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴． 18. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，顶点为． （1）求此二次函数的解析式． （2）求的面积． （3）该函数的图象经过怎样的平移得到的图象？ 19. 将二次函数图像向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度． （1）写出平移后的二次函数表达式； （2）求平移后的抛物线顶点到轴的距离； （3）在（1）的基础上，当时，直接写出的取值范围． 20. 如图，直线和抛物线都经过点 （1）求m、n的值和抛物线的解析式； （2）求不等式的解集．（直接写出答案） 21. 已知二次函数 中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 4 y 5 2 1 2 5 （1）求该二次函数的关系式． （2）当x为何值时，y有最小值？ 最小值是多少？ （3）若，两点都在该函数的图象上，当时，求m的取值范围． 22. 大学生小韩在暑假创业，销售一种进价为元/件的玩具熊，销售过程中发现，每周销售量少（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数： 如果小韩想要每周获得元的利润，那么销售单价应定为多少元？ 设小韩每周获得利润为（元），当销售单价定为多少元时，每周可获得利润最大，最大利润是多少？ 若该玩具熊的销售单价不得高于元，如果小韩想要每周获得的利润不低于元，那么他的销售单价应定为多少？ 23. 小明为了检测自己实心球的训练情况，再一次投掷的测试中，实心球经过的抛物线如图所示，其中出手点A的坐标为（0，），球在最高点B的坐标为（3，）． （1）求抛物线的解析式； （2）已知某市男子实心球的得分标准如表： 得分 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 掷远（米）  8.6 83  8 7.7  7.3  6.9  6.5  6.1  5.8  5.5  5.2  4.8  4.4  4.0 35  3.0 假设小明是春谷中学九年级的男生，求小明在实心球训练中的得分； （3）在小明练习实心球的正前方距离投掷点7米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为安全，否则视为危险），请说明理由． 24. 已知抛物线 经过点 ，请解决下列问题： （1）点，分别落在抛物线 上，且 ，分别求 和 的值． （2）当时， 求的取值范围． 若，求 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期学情调研 九年级数学试题卷 一、单选题 1. 下列函数中，是的二次函数的为( ) A. y=-3x2 B. y=2x C. y=x+1 D. y=x3 【答案】A 【解析】 【分析】根据形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析即可. 【详解】解：A：是二次函数，故A正确； B：是正比例函数，故B错误； C：是一次函数，故C错误； D：是三次函数，故D错误. 故选A. 【点睛】本题考查了二次函数的定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断. 2. 把抛物线向左平移个单位，所得的新抛物线的函数表达式为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的平移规律，即可进行解答． 【详解】解：抛物线向左平移个单位，所得的新抛物线的函数表达式为， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握二次函数的平移规律：左加右减，上加下减． 3. 二次函数的图象的对称轴是( ) A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式可直线得出抛物线的对称轴． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线． 故选：B． 【点睛】本题主要考查抛物线的顶点式，掌握抛物线顶点式方程是解题的关键，即在中其顶点坐标为，对称轴为直线． 4. 关于函数y=x2性质表达正确的一项是（   ） A. 无论x为任何实数，y值总为正 B. 当x值增大时，y的值也增大 C. 它的图象关于y轴对称 D. 它的图象在第一、三象限内 【答案】C 【解析】 【详解】函数y=3x2具有的性质是：有最小值为0，图象关于y轴对称，当x>0时，y随x的增大而增大，当y<0时，y随x的增大而减小，所以只有选项C正确，故选C. 5. 已知二次函数的图象（）如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ） A. 有最大值2，无最小值 B. 有最大值2，有最小值1.5 C. 有最大值2，有最小值 D. 有最大值1.5，有最小值 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据函数的图象顶点坐标及最低点求出该函数在所给自变量的取值范围内的最大及最小值即可． 【详解】解：由函数图象可知，此函数的顶点坐标为（1，2）， ∵此抛物线开口向下， ∴此函数有最大值，最大值为2； ∵0≤x≤3.4， ∴当x=3.4时，函数最小值为-2． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次函数的最值及二次函数的图象，解答此题时要注意应用数形结合的思想求解． 6. 抛物线y=x2–3x+5与坐标轴的交点个数为（ ） A. 无交点 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】只需要判断Δ与0的大小关系即可． 【详解】Δ=（–3）2–4×5=9–20=–11<0， ∴抛物线与x轴没有交点， 令x=0代入y=x2–3x+5， ∴y=5， 即抛物线与x轴无交点，与y轴有一个交点， 故选B． 【点睛】本题考查抛物线与x轴交点的个数，解题的关键是根据Δ与0的大小关系来判断，本题属于基础题型． 7. 已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大序排列是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据抛物线解析式得到抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴距离对称轴越远，函数值越大， ∵，，， ∴，，， ∴， 故选B 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，理解当二次函数的开口向上时，距离对称轴越远的点的函数值越大是解本题的关键． 8. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，对称轴为直线x＝－2，图象经过(1，0)，下列结论中，正确的是( ) A. c＞0 B. 4ac－b2＞0 C. 9a＋c＞3b D. 5a＞b 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意画出草图,再由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断. 【详解】解: ∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x=-2,图象经过(1,0), ∴抛物线与x轴另一交点为(-5,0), ∴抛物线与x轴有两个交点, ∴b2-4ac>0, ∴4ac－b2<0,B选项错误; 画出草图,可知抛物线与y轴交于负半轴,则c<0,A选项错误; 由图象可知,x=-3时,y<0,即9a-3b+c<0,则9a+c<3b,C选项错误; ∵ , ∴b=4a， ∵图象开口向上, ∴a>0, ∴a+b>b, ∴a+4a>b, 即5a>b,D选项正确. 故选D. 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y＝ax2＋bx＋c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置确定.根据条件画出草图,利用数形结合的思想是解题的关键. 9. 如图，在矩形ABCD中，AB = 2，BC = 4，点P是BC上的动点，连接PA，将PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连结CE．P从点B向点C运动过程中，CE的最小值为（） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】当F为BC中点，点E在DF上运动，时，CE有最小值，利用等腰直角三角形的性质求解． 【详解】解：当F为BC中点，点E在DF上运动，时，CE有最小值，如下图： ∵四边形ABCD是矩形， ∴，， ∴， ，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等知识，理解相关知识是解答关键． 10. 已知抛物线（a，m，n是实数，）与直线交于，，则下面判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】将两点坐标分别代入，从而得，再根据有理数的乘法判断符号即可． 【详解】解：抛物线与直线交于点， ， ②-①得，即， 则当或，时，； 当或时，． 故A正确，B、C、D错误， 故选A． 【点睛】此题考查了二次函数与一次函数，根据已知条件得到关于a、k、m、n的等式是解题的关键． 二、填空题 11. 二次函数的图象与y轴交于点（0，1），则b的值为________． 【答案】0 【解析】 【详解】∵二次函数y=(x−1)2+b的图象过点(0，1)， ∴(0−1)2+b=1， 解得b=0. 故答案为0. 12. 函数是二次函数，则________． 【答案】2. 【解析】 【详解】试题分析：根据二次项系数不等于0，二次函数的最高指数为2列出方程，即m+2≠0，解得m≠﹣2，∵=2，解得，=2，=﹣2，综上所述，m=2． 故答案为2． 考点：二次函数的定义． 13. 如图，若抛物线上的，Q两点关于它的对称轴 对称，则Q点的坐标为 ____ . 【答案】（﹣2，0） 【解析】 【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称， ∴P，Q两点到对称轴x=1的距离相等， ∴Q点的坐标为：（﹣2，0）． 故答案为：（﹣2，0） 14. 如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象写出时，x的取值范围___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象写出直线在二次函数图象上以及上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：从图中可看出时，x的取值范围． 故答案：． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此，要引起重视． 15. 已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________． 【答案】m≥-1 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解． 【详解】抛物线的对称轴为直线x=﹣=，开口向上， ∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大， ∴≤1， 解得：m≥﹣1． 故答案为：m≥﹣1． 16. 已知二次函数，当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为，则的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，采用数形结合的思想是解决此类题的关键． 根据题意可得二次函数的对称轴位于y轴的右侧，抛物线开口向上，从而得到当时，；时，函数值为，据此即可解题． 【详解】解：二次函数，当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为，． 二次函数的对称轴位于y轴的右侧，抛物线开口向上，如图. ∴，则， 当时，函数的最小值为， 当时，， 时，函数的最小值为， 时，函数值为， 即 解得：（因，故另一解不合题意，舍去）， 故答案为：2． 三、解答题 17. 用配方法求出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴． 【答案】抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【解析】 【分析】该题主要考查了一般式化为顶点式以及二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． 利用配方法把一般式变形为顶点式，然后根据二次函数的性质求解． 【详解】解：， 所以抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 18. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，顶点为． （1）求此二次函数的解析式． （2）求的面积． （3）该函数的图象经过怎样的平移得到的图象？ 【答案】（1） （2） （3）向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式即可； （2）先根据抛物线的顶点式写出点的坐标，再利用三角形的面积公式计算即可求解； （3）根据二次函数平移规律“左加右减，上加下减”即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的图象与轴交于，两点， ， 解得， ， 此二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：， 点的坐标为， ，， ， ； 【小问3详解】 解：该函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到的图象． 【点睛】此题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的顶点式、三角形的面积公式以及二次函数平移的规律，掌握以上知识点是解答本题的关键． 19. 将二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度． （1）写出平移后的二次函数表达式； （2）求平移后的抛物线顶点到轴的距离； （3）在（1）的基础上，当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数平移的规律“左加右减，上加下减”、抛物线的顶点坐标、点到轴的距离以及根据图象写自变量的取值范围等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次函数平移的规律“左加右减，上加下减”，即可得到平移后的二次函数表达式； （2）求出平移后的抛物线顶点，再根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值即可求解； （3）当时，即，解一元二次不等式即可求解． 【小问1详解】 解：将二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到； 【小问2详解】 解：由（1）知， 则顶点坐标为， 平移后的抛物线顶点到轴的距离为； 【小问3详解】 解：由（1）知， 抛物线开口朝上， 令，即， 解得：或， 即抛物线与轴的交点坐标为或， 当时，或． 【点睛】本题考查了二次函数平移的规律“左加右减，上加下减”、抛物线的顶点坐标、点到轴的距离以及根据图象写自变量的取值范围等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 20. 如图，直线和抛物线都经过点 （1）求m、n的值和抛物线的解析式； （2）求不等式的解集．（直接写出答案） 【答案】（1），抛物线解析式为 （2）或 【解析】 【分析】（1）先把点A坐标代入直线解析式，求出直线解析式，进而求出点B坐标，再把A、B坐标代入抛物线解析式求出抛物线解析式即可； （2）利用图象法求解即可． 【小问1详解】 解：把代入中得：， ∴， ∴一次函数解析式为， 把代入中得， ∴， 把，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当或时抛物线的函数图象在一次函数图象上方， ∴不等式的解集为或． 【点睛】本题主要考出来的待定系数法求函数解析式，二次函数与不等式之间的关系，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． 21. 已知二次函数 中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 4 y 5 2 1 2 5 （1）求该二次函数的关系式． （2）当x为何值时，y有最小值？ 最小值是多少？ （3）若，两点都在该函数的图象上，当时，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，有最小值，最小值为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数最值、二次函数的对称性，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法计算即可得出答案； （2）将二次函数解析式化为顶点式即可得出答案； （3）由（1）得出，将二次函数解析式化为顶点式即可得出抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，得出关于直线对称的点的坐标为，即可得解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴该二次函数的关系式是； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，有最小值，最小值为； 【小问3详解】 解：由（1）可得：，即， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴关于直线对称的点的坐标为， ∵，两点都在该函数的图象上，， ∴． 22. 大学生小韩在暑假创业，销售一种进价为元/件的玩具熊，销售过程中发现，每周销售量少（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数： 如果小韩想要每周获得元的利润，那么销售单价应定为多少元？ 设小韩每周获得利润为（元），当销售单价定为多少元时，每周可获得利润最大，最大利润是多少？ 若该玩具熊的销售单价不得高于元，如果小韩想要每周获得的利润不低于元，那么他的销售单价应定为多少？ 【答案】(1)销售单价应定为元或元；(2) 当售价为元/台时，最大利润为元；(3) 他的销售单价应定为元至元之间． 【解析】 【分析】（1）总利润=销量×每件的利润，设单价定为x元，w=（﹣2x+100）（x﹣20）=﹣2x2+140x﹣2000，令w=400，解出x即可；（2）将w的解析式化为顶点式求解即可；（3）画出抛物线图像，根据图像写出x的范围即可. 【详解】(1) w=（﹣2x+100）（x﹣20）=﹣2x2+140x﹣2000， 令w=400，﹣2x2+140x﹣2000=400， 解得x1=30，x2=40， 销售单价应定为30元或40元； (2)w=(x﹣20)(﹣2x+100)=﹣2x2+140x﹣2000=﹣2(x﹣35)2+450， ∴当x=35时，w取得最大值，最大值为450元； (3)画出w的图像， 令y=0，2x2+140x﹣2000=0， 解得x1=20，x2=50， 由图像不难得出：30≤x≤34， 所以销售单价应定于30元至34元之间. 【点睛】本题主要考查二次函数的应用. 23. 小明为了检测自己实心球训练情况，再一次投掷的测试中，实心球经过的抛物线如图所示，其中出手点A的坐标为（0，），球在最高点B的坐标为（3，）． （1）求抛物线的解析式； （2）已知某市男子实心球的得分标准如表： 得分 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 掷远（米）  86 8.3  8 7.7  7.3  6.9  6.5  6.1  5.8  5.5  5.2  4.8  4.4  4.0 3.5  3.0 假设小明是春谷中学九年级的男生，求小明在实心球训练中的得分； （3）在小明练习实心球的正前方距离投掷点7米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为安全，否则视为危险），请说明理由． 【答案】（1）y=（2）14分（3）有危险 【解析】 【分析】（1）根据a＞0，二次函数的自变量在对称轴左侧单调递减，可得答案； （2）根据y随x的增大而增大，可得证明的结论； （3）根据一次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）设抛物线的解析式为：y=， ∵A（0，）在此抛物线上， ∴， 解得a=， 即抛物线的解析式是：y=； （2）将y=0代入y=得，x1=﹣2，x2=8， ∵掷出的距离为正值， ∴小明掷出的距离是8米，得分是14分， 即小明在实心球训练中的得分是14分； （3）在小明练习实心球的正前方距离投掷点7米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍，该小朋友有危险． 理由：将x=7代入y=可得，y=， ∵1＜1.2， ∴身高1.2米的小朋友有危险， 即在小明练习实心球的正前方距离投掷点7米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍，该小朋友有危险． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是由题意可以列出相应的函数解析式，并且可以求出相应的函数解析式，根据题目要求巧妙的利用函数解析式解答问题． 24. 已知抛物线 经过点 ，请解决下列问题： （1）点，分别落在抛物线 上，且 ，分别求 和 的值． （2）当时， 求的取值范围． 若，求 值． 【答案】（1）； （2） 或 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合对称轴可求出的值，进而得到抛物线的解析式，最后将点代入解析式即可求解； （2）点代入抛物线中得到，结合即可求解； 根据题意，当时，；若，即时，，根据可求出的值；若，即时，，根据可求出的值． 【小问1详解】 解：对称轴， ， 又， ， ， 抛物线经过点， ； 【小问2详解】 解：当时，， ， 当时，， 当时，， ； ， 当时，， 若，即时， ， 则， 解得：，（舍去）， 若，即时， ， 则， 解得：（舍去），， 综上所述，或． 【点睛】此题考查了二次函数的对称轴、最值问题、解一元一次不等式以及解一元二次方程等知识点，掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$