精品解析：广东省梅州市兴宁市宋声学校2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题

闯关卷（三） 说明：1.考试范围：第一章~第二章第6节. 2.考试时间120分钟，满分120分. 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各数中，是无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，分别为中，，的对边，则 B. 若，，分别为中，，的对边，则 C. 若，，分别为中，，的对边，，则 D. 若，，分别为中，，的对边，，则 3. 的平方根是（ ） A. B. 2024 C. D. 4. 利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（　　） A S△EDA＝S△CEB B. S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD C. S△EDA+S△CEB＝S△CDE D. S四边形AECD＝S四边形DEBC 5. 下列整数中，与最接近数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 五根小棒，其长度（单位：）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 若，则的立方根是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在长方形中，在数轴上．若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰，则这条丝线的最小长度是（ ） A. 80cm B. 70cm C. 60cm D. 50cm 10. 如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外正方形②和，…，依次类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 写出一个小于的无理数_______． 12. 如图，以的两条直角边为边长作两个正方形，面积分别为，则斜边___________． 13. 毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式,根据该公式可以构造出如下勾股数组:(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),….分析上面勾股数组可以发现,4=1×(3+1),12=2×(5+1),24=3×(7+1),…,分析上面规律,第5个勾股数组为　 　.  14. 国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是______． 15. 如图所示，数轴的正半轴上有A，B，C三点，表示1，的对应点分别为点A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x，则的算术平方根为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16. 计算：． 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，，，为格点（每个小正方形的顶点叫格点）．判断的形状，并说明理由． 18. 学校要征收一块土地，形状如图所示，，，，，土地价格为1000元，请你计算学校征收这块地需要多少钱？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19. 用一块纸板做一个有底无盖的正方体形状的粉笔盒，已知粉笔盒的容积为216 cm³． （1）求这个粉笔盒的棱长； （2）这块纸板的面积至少为多大？ 20. 如图，点A表示的数为﹣，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位后到达点B，设点B所表示的数为n． （1）求n值； （2）求|n+1|+（n+2﹣2）的值． 21. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的算术平方根． （1）求，，的值． （2）求的算术平方根． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22. 定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点． （1）已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由． （2）已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 23. 如图所示，在中，，，．点，是的边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设出发的时间为． （1）____________． （2）当点在边的垂直平分线上时，求的值． （3）若点在边上运动，当运动时间为多少时，是以为腰的等腰三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 闯关卷（三） 说明：1.考试范围：第一章~第二章第6节. 2.考试时间120分钟，满分120分. 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，二次根式的化简，零次幂的计算，根据无理数是无限不循环小数，常见的无理数有：含有的最简式子；开不尽方的数；特殊结构的数，如（相邻两个2之间1的个数逐渐增加），由此即可求解． 【详解】解：A、是开不尽方的数，是无理数，符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、是有理数，不符合题意； 故选：A ． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，分别为中，，的对边，则 B. 若，，分别为中，，的对边，则 C. 若，，分别为中，，的对边，，则 D. 若，，分别为中，，的对边，，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的定义，根据勾股定理的定义及两直角边与斜边的数量关系即可求解． 【详解】解：A、若，，分别为中，，的对边，则或或，故原选项错误，不符合题意； B、若，，分别为中，，的对边，则或或，故原选项错误，不符合题意； C、若，，分别为中，，的对边，，则，故原选项错误，不符合题意； D、若，，分别为中，，的对边，，则，该选项正确，符合题意； 故选：D ． 3. 的平方根是（ ） A. B. 2024 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根，二次根式的性质化简，根据二次根式的性质，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：C ． 4. 利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（　　） A. S△EDA＝S△CEB B S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD C. S△EDA+S△CEB＝S△CDE D. S四边形AECD＝S四边形DEBC 【答案】B 【解析】 【分析】利用梯形面积等于3个三角形面积之和解答即可． 【详解】解：由题意可得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明依据．此类证明要转化成该图形面积的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果． 5. 下列整数中，与最接近的数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】估算无理数 的大小，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴ 接近3 故选：C 【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的意义是正确解本题的关键． 6. 五根小棒，其长度（单位：）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是注意是判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方． 根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方，每一个图判断两次即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴C正确， ，A错误， ，B错误， D错误． 故选：C． 7. 若，则的立方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据立方根的定义作答即可． 【详解】的立方根是 故选：A． 【点睛】本题主要考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键．如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根；正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0． 8. 如图，在长方形中，在数轴上．若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理等知识．解题的关键是勾股定理的灵活运用． 先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是长方形， ， ， ∵以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于表示的数为， ， ， ∴点表示的数为， 故选：D． 9. 如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰，则这条丝线的最小长度是（ ） A. 80cm B. 70cm C. 60cm D. 50cm 【答案】D 【解析】 【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形ACBD， 则从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰，这条丝线的最小长度是长方形的对角线AB的长． ∵圆柱的底面周长是30cm，高是40cm， ∴AB2=302+402=900+1600=2500， ∴AB=50（cm）． 故选D． 【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 10. 如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外正方形②和，…，依次类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（ ） A 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知第一个正方形的面积是64，则第二个正方形的面积是32，…，进而可找出规律得出第n个正方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：第一个正方形的面积是64； 设第一个等腰直角三角形的直角边长为 由勾股定理可得： ∴ 解得： ∴第二个正方形的面积是； 同理：第三个正方形的面积是； … 第n个正方形的面积是， 当时，正方形的面积为， ∴正方形⑤的面积是4，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．解题的关键是找出第n个正方形的面积． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 写出一个小于的无理数_______． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】 【分析】根据实数的大小比较及无理数的定义即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵为无理数， ∴小于的无理数可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查实数的大小比较和无理数的定义，熟练掌握实数的大小比较方法是解答本题的关键． 12. 如图，以的两条直角边为边长作两个正方形，面积分别为，则斜边___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据题意可得，结合,，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，是直角三角形，， ∴，，且， ∴， 故答案为： ． 13. 毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式,根据该公式可以构造出如下勾股数组:(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),….分析上面勾股数组可以发现,4=1×(3+1),12=2×(5+1),24=3×(7+1),…,分析上面规律,第5个勾股数组为　 　.  【答案】(11,60,61) 【解析】 【分析】观察所给数组的规律，继而可得出答案. 【详解】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…可得 第4组勾股数中间的数为4×（9+1）=40，即勾股数为（9，40，41）； 第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，即（11，60，61）， 故答案为：（11，60，61）． 【点睛】本题主要考查了勾股数，关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理． 14. 国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是______． 【答案】10km 【解析】 【分析】根据题意先求、两地的水平距离和竖直距离，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交于，如下图： 观察图形可得：（km）， （km）， 在中， （km）． 故答案为：10km． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的运用，解题关键是结合图形找到需要的数量关系，运用勾股定理求线段的长度． 15. 如图所示，数轴的正半轴上有A，B，C三点，表示1，的对应点分别为点A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x，则的算术平方根为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据点B到点A的距离为可得点C表示的数为，代入计算，即可求解． 本题考查了数轴与实数的对应关系，数轴上两点之间距离的计算，算术平方根的计算，正确地理解题意是解题的关键． 【详解】解：设点C所表示数为x， 根据题意得， ， 的算术平方根为1， 故答案为：1 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，先算乘方，绝对值，立方根，平方根，再根据实数的混合运算法则即可求解． 【详解】解： ． 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形边长均是1，，，为格点（每个小正方形的顶点叫格点）．判断的形状，并说明理由． 【答案】直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】利用勾股定理求出三边的平方，再根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状． 【详解】解：是直角三角形，理由如下： 由图可知：，，， ， 为直角三角形． 【点睛】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解本题的关键． 18. 学校要征收一块土地，形状如图所示，，，，，土地价格为1000元，请你计算学校征收这块地需要多少钱？ 【答案】学校征收这块地需要234000元． 【解析】 【分析】利用勾股定理进行综合计算即可． 【详解】如图，连接AC． 中，，，， 由勾股定理得：．． 在中，，， 由勾股定理得：，． 所以四边形的面积为：． （元）． 答：学校征收这块地需要234000元． 【点睛】本题考查了勾股定理的是实际应用，熟练掌握勾股定理，结合题意准确计算是解决本题的关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19. 用一块纸板做一个有底无盖的正方体形状的粉笔盒，已知粉笔盒的容积为216 cm³． （1）求这个粉笔盒的棱长； （2）这块纸板的面积至少为多大？ 【答案】（1）棱长6 cm；（2）这块纸板的面积至少为180 cm² 【解析】 【分析】（1）设棱长是xcm，根据正方形体积公式可得x3=216，直接开立方即可； （2）根据正方体有6个面，每一个面是正方形，正方体是有底没盖的，于是S=6×6×5=180． 【详解】(2)设正方体形状的粉笔盒的棱长是xcm，则 x3=216， x= =6， 答：这个粉笔盒的棱长是6cm； (2)S=6×6×5=180cm2． 答：这块纸板至少需要180cm2的面积． 【点睛】考查了立方根，解题的关键是掌握正方体的体积公式，以及表面积公式的计算． 20. 如图，点A表示的数为﹣，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位后到达点B，设点B所表示的数为n． （1）求n的值； （2）求|n+1|+（n+2﹣2）的值． 【答案】（1）n＝﹣+2；（2）3. 【解析】 【分析】（1）根据数轴上的点运动规律：右加左减的规律可求出n的值； （2）把n的值代入，再根据绝对值的性质、实数运算的法则计算即可得解． 【详解】（1）∵蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B， ∴点B所表示的数比点A表示的数大2， ∵点A表示﹣，点B所表示的数为n， ∴n＝﹣+2； （2）|n+1|+（n+2﹣2） ＝|﹣+2+1|+（﹣+2+2﹣2） ＝3﹣+ ＝3． 【点睛】本题考查了实数与数轴，是基础题，主要利用了数轴上点的运动规律，还利用了绝对值的性质和二次根式的运算． 21. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的算术平方根． （1）求，，的值． （2）求的算术平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根，算术平方根的计算， （1）根据立方根可得，根据算术平方根可得，根据算术平方根据可得，由此即可求解； （2）把，，的值代入，计算其算术平方根即可． 【小问1详解】 解：根据题意，， ∴， ，即， 解得，， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：根据（1）的计算可得，， ∴的算术平方根为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22. 定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点． （1）已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由． （2）已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 【答案】（1）是，见解析； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，不能漏解． （1）根据勾股定理逆定理，即可判断点、是线段的勾股分割点； （2）设，则，分两种情形：当为最长线段时，；当为最长线段时，；分别列出方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：是，理由： ，， ， 、、为边的三角形是一个直角三角形， 点、是线段的勾股分割点； 【小问2详解】 解：设，则， 当为最长线段时，依题意， 即， 解得； 当为最长线段时，依题意得， 即， 解得， 综上所述，或． 23. 如图所示，在中，，，．点，是的边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设出发的时间为． （1）____________． （2）当点在边的垂直平分线上时，求的值． （3）若点在边上运动，当运动时间为多少时，是以为腰的等腰三角形？ 【答案】（1） （2） （3）是以为腰的等腰三角形时，的值为或 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的定义和性质等知识的综合， （1）根据勾股定理可得，由此即可求解； （2）如图所示，是线段的垂直平分线，交于点，连接，根据题意可知当点在边的垂直平分线上时，即点与点重合，设，在中，运用勾股定理可得，根据行程问题可得点运动的时间和点运动的路程，由此即可求解； （3）根据等腰三角形的定义和性质，分类讨论：当时；当时，根据等腰三角形的三线合一，等面积法可求出的值，根据行程问题的数量关系即可求解． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示，是线段的垂直平分线，交于点，连接， ∴， 当点在边的垂直平分线上时，即点与点重合， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∵点从点开始沿方向运动，且速度为， ∴点运动的时间为：， ∵点从点开始沿方向运动，且速度为， ∴点运动的路程为：， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：点在边上运动，是以为腰的等腰三角形，如图所示， ①当时，； ②当时，取的中点，连接， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； ∴是以为腰的等腰三角形时，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $