第4章 代数式知识归纳与题型训练（6类题型清单）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（浙教版2024）

第4章 《代数式》知识归纳与题型训练（6题型清单） 一、代数式与代数式的值 代数式：由数、表示数的字母和运算符号组成的数学表示称为代数式． 代数式值：一般地，用数值代替代数式例的字母，计算后所得的结果叫作代数式的值． 要点诠释： （1）代数式中的运算包括：加、减、乘、除、乘方和开方 （2）单独的一个数或者一个字母也称代数式 （3）代数式求值常需要用到整体思想 二、整式 单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫作单项式； 单独的一个数或一个字母也叫单项式； 单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数； 单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数； 多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫作多项式； 在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项，次数最高的项的次数就是这个多项式的次数，多项式根据其次数和项数，可以称为“几次几项式”； 整式：单项式和多项式统称为整式； 要点诠释： （1）单项式中只含有乘法运算；分数是一个完整的数，不拆开来算；单独的一个数或字母也叫单项式 （2）单项式的系数包含前面的符号，去掉字母部分，剩余的即为单项式的系数 （3）单独的数字的系数是其本身，次数为0；单独的字母的系数是1，次数为1 （4）多项式中含有“乘法——加法——减法”运算； 三、合并同类项 同类项：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类项； 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项； 合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 四、整式的加减 整式的加减：若干个整式相加减时，可以归结为去括号与合并同类项 去括号法则：括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变号；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变符号． 要点诠释： （1）去括号法则的字母表达式——：+（a+b-c）=a+b-c；-（a+b-c）=-a-b+c 去括号法则主要是去括号时的变号问题，当括号外是“—”时，去掉括号后的各项均要改变符号 （2）整式的化简求值问题：先去括号、再合并同类项，最后再将字母的值代入化简后的结果计算出答案 （3）化简求值问题中，如果说结果与一个字母无关，则最后化简的结果中含该字母的项的系数整体=0 题型一　代数式 例题： 1．（2023秋•西湖区校级期中）下面式子中符合代数式书写要求的是（　　） A．ab3 B．2 C． D．x+3克 【分析】根据代数式的书写要求即可作出判断． 【解答】解：A：ab3应写成3ab，故A错误； B：应写成，故B错误； C：书写正确，故C正确； D：x+3克应写成（x+3）克，故D错误． 故选：C． 2．（2023秋•义乌市期中）代数式3（y﹣3）的正确含义是（　　） A．3乘y减3 B．y的3倍减去3 C．y与3的差的3倍 D．3与y的积减去3 【分析】按照代数式的意义和运算顺序：先运算括号内的，再运算括号外的计算即可判断各项． 【解答】解：代数式3（y﹣3）的正确含义应是y与3的差的3倍． 故选：C． 3．（2023秋•江北区期末）某人骑自行车t（小时）走了s（km），若步行s（km），则比骑自行车多用3（小时），那么骑自行车每小时比步行多走（　　）（km）． A． B． C．s（t+s） D．5（t﹣3） 【分析】根据速度＝路程÷时间，结合题中的条件即可求解． 【解答】解：由题意得：， 故选：B． 4．（2023秋•温州期中）现计划采购一批文具用品，若笔记本单价为a元，钢笔单价为b元，则购买35本笔记本和20支钢笔共需付 　（35a+20b）　元． 【分析】分别表示出购买笔记本和钢笔的费用再相加即可． 【解答】解：由题意得：共需付：（35a+20b）元， 故答案为：（35a+20b）． 巩固训练 5．（2023秋•龙湾区校级期中）下列代数式中，书写规范的是（　　） A． B．a÷b C． D．﹣1ab 【分析】根据代数式的书写要求判断即可 【解答】解：A．应该写为，故A错误，不符合题意； B．a÷b应该写为，故B错误，不符合题意误； C．书写正确，故C正确，符合题意； D．﹣1ab应该写为﹣ab，故D错误，不符合题意． 故选：C． 6．（2023秋•仙居县校级期中）用代数式表示“a的2倍与3的和”，下列表示正确的是（　　） A．2a﹣3 B．2a+3 C．2（a﹣3） D．2（a+3） 【分析】a的2倍就是2a，与3的和就是2a+3，根据题目中的运算顺序就可以列出式子，从而得出结论． 【解答】解：a的2倍就是：2a， a的2倍与3的和就是：2a与3的和，可表示为：2a+3． 故选：B． 7．（2024•杭州一模）一个直径为6cm的圆中阴影部分面积为S，现在这个圆与正方形在同一平面内，沿同一条直线同时相向而行，圆每秒滚动3cm，正方形每秒滑动2cm，第 　4或6　秒时，圆与正方形重叠部分面积是S． 【分析】先求出圆阴影部分的垂直长度1cm，再分圆与正方形刚接触后，相交1厘米；圆与正方形将要分开时，相交1厘米，两种情况运动的距离．最后用相遇距离除以速度和，就是所求的相遇时间． 【解答】解：①＝4（秒）； ②＝6（秒） 答：第4秒或6秒时，圆与正方形重叠部分面积是S． 题型二 　代数式的求值 例题： 1．（2023秋•西湖区期中）已知2m﹣3n＝﹣2，则代数式4m﹣6n+1的值为（　　） A．﹣1 B．3 C．﹣3 D．2 【分析】将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可． 【解答】解：∵2m﹣3n＝﹣2， ∴原式＝2（2m﹣3n）+1 ＝2×（﹣2）+1 ＝﹣4+1 ＝﹣3． 故选：C． 2．（2023秋•海曙区校级期中）如果代数式4y2﹣2y+5的值是7，那么代数式2y2﹣y+1的值等于（　　） A．2 B．3 C．﹣2 D．4 【分析】根据4y2﹣2y+5的值是7得到2y2﹣y＝1，然后利用整体代入思想计算即可． 【解答】解：∵4y2﹣2y+5＝7， ∴2y2﹣y＝1， ∴2y2﹣y+1＝1+1＝2． 故选：A． 3．（2022秋•萧山区月考）如图是某一长方形闲置空地，宽为3a米，长为b米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长b米，宽a米的小路，剩余部分种草． （1）小路的面积为 　ab　平方米；种花的面积为 　πa2　平方米；（结果保留π） （2）请计算该长方形场地上种草的面积；（结果保留π） （3）当a＝2，b＝10时，请计算该长方形场地上种草的面积．（π取3.14，结果精确到1） 【分析】（1）利用长方形和扇形面积公式求解； （2）根据种草的面积是整个长方形的面积减去小路面积和扇形花圃面积即可； （3）由此利用已知数据求出种草的面积即可． 【解答】解：（1）依题意得小路的面积为ab平方米，种花的面积为平方米， 故答案为：ab，πa2； （2）该长方形场地上种草的面积为： 3a⋅b﹣ab﹣πa2＝（2ab﹣πa2）平方米， 故长方形场地上种草的面积为（2ab﹣πa2）平方米； （3）当a＝2，b＝10时，2ab﹣πa2≈2×2×10﹣3.14×2×2＝27.44≈27平方米． 答：该长方形场地上种草的面积为27平方米． 巩固训练 4．（2023秋•桐乡市期末）若a+3b﹣2＝0，则代数式1+2a+6b的值是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】由已知条件可得a+3b＝2，将原式变形后代入数值计算即可． 【解答】解：∵a+3b﹣2＝0， ∴a+3b＝2， ∴1+2a+6b ＝1+2（a+3b） ＝1+2×2 ＝5， 故选：A． 5．（2023秋•鄞州区校级月考）已知3x2﹣4x+6＝9，则＝　5　． 【分析】利用代入法，代入所求的式子即可． 【解答】解：∵3x2﹣4x+6＝9， ∴3x2﹣4x＝3， ∴当3x2﹣4x＝3时，原式＝﹣+6＝﹣+6＝5． 故答案为：5． 6．（2023秋•海曙区校级期中）如图所示是一个长方形． （1）根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示阴影部分的面积S； （2）若x＝3，求S的值． 【分析】根据图形可知：阴影部分的面积可用长方形的面积减去两个直角三角形的面积． 【解答】解：（1）由图形可知：S＝4×8﹣×4×8﹣×4（4﹣x） ＝16﹣8+2x ＝（8+2x）cm2． 另解：大三角形面积为：×4×8＝16cm2， 小直角三角形的面积为：×（8﹣4）×（4﹣x）＝（8﹣2x）cm2， ∴S＝8×4﹣16﹣（8﹣2x）＝（8+2x）cm2． （2）将x＝3代入上式，S＝8+2×3＝14cm2． 7．（2023秋•拱墅区校级期中）某校决定为体育组添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳，在查阅天猫网店后发现足球每个定价140元，跳绳每条定价30元．现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．A网店：买一个足球送一条跳绳；B网店：足球和跳绳都按定价的90%付款．已知要购买足球60个，跳绳x条（x＞60）． （1）若在A网店购买，需付款 　（6600+30x）　元（用含x的代数式表示）；若在B网店购买，需付款 　（7560+27x）　元（用含x的代数式表示）； （2）若x＝100时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？ （3）当x＝100时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 【分析】（1）由题意在A店购买可列式：60×140+（x﹣60）×30＝（6600+30x）元；在网店B购买可列式：（60×140+30x）×0.9＝（7560+27x）元； （2）将x＝100分别代入A网店，B网店的代数式计算，再比较即可求解； （3）由于A店是买一个足球送跳绳，B店是足球和跳绳都按定价的90%付款，所以可以在A店买60个足球，剩下的40条跳绳在B店购买即可． 【解答】解：（1）A店购买可列式：60×140+（x﹣60）×30＝（6600+30x）元； 在网店B购买可列式：（60×140+30x）×0.9＝（7560+27x）元； 故答案为：（6600+30x），（7560+27x）． （2）当x＝100时， 在A网店购买需付款：6600+30×100＝9600（元）， 在B网店购买需付款：7560+27×100＝10260（元）， ∵9600＜10260， ∴当x＝100时，应选择在A网店购买合算． （3）由（2）可知，当x＝100时，在A网店付款9600元，在B网店付款10260元，在A网店购买60个足球配送60个跳绳，再在B网店购买40个跳绳合计需付款： 140×60+30×40×0.9＝9480， ∵9480＜9600＜10260， ∴省钱的购买方案是：在A网店购买60个足球配送，60个跳绳，再在B网店购买40个跳绳，付款9480元． 题型三　单项式与多项式 例题： 1．（2023秋•北仑区期末）单项式﹣的系数和次数分别是（　　） A． B． C． D．﹣2，2 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【解答】解：根据单项式系数、次数的定义，单项式﹣的系数和次数分别是，3． 故选：B． 2．（2023秋•婺城区校级月考）整式0.34x2y，0，，x2﹣y，abc，中单项式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据单项式的定义对各式进行判断即可． 【解答】解：整式0，0.34x2y，abc，，x2﹣y，中， 单项式有0，0.34x2y，abc， 故选：B． 3．（2022秋•鄞州区校级期中）若多项式4x2y|m|﹣（m﹣1）y2+1是关于x，y的三次三项式，则常数m＝　﹣1　． 【分析】直接利用多项式的次数与项数确定方法分析得出答案． 【解答】解：∵多项式4x2y|m|﹣（m﹣1）y2+1是关于x，y的三次三项式， ∴2+|m|＝3，m﹣1≠0， 解得：m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 4．（2022秋•鄞州区校级期中）对多项式按如下的规则确定它们的先后次序：先看次数，次数高的多项式排在次数低的多项式前面；再看项数，项数多的多项式排在项数少的多项式前面；最后看字母的个数，字母个数多的多项式排在字母个数少的多项式前面．现有以下多项式： ①a2b2+ab+2； ②a4+a3b+a2b2+ab3+b4； ③a4+b4+a4b； ④a2+2ab+b2； ⑤a2+2a+1． （1）按如上规则排列以上5个多项式是 　③②①④⑤　（写序号）； （2）请你写出一个排列后在以上5个多项式最后面的多项式． 【分析】（1）通过确定各多项式的次数、项数及字母个数进行排序； （2）根据规定写一个含一个字母，次数为一次或次数是2的二项式即可． 【解答】解：（1）∵多项式a2b2+ab+2的次数是4，项数是3，且含有2个字母； a4+a3b+a2b2+ab3+b4的次数是4，项数是5，且含有2个字母； a4+b4+a4b的次数是5，项数是3，且含有2个字母； a2+2ab+b2的次数是2，项数是3，且含有2个字母； a2+2a+1的次数是2，项数是3，且含有1个字母， ∴按题目规则排列以上5个多项式是：③②①④⑤． 故答案为：③②①④⑤； （2）a﹣1就是符合题意的多项式之一． 巩固训练 5．（2023秋•金东区期末）下列说法中正确的是（　　） A．单项式的系数是，次数是1 B．单项式a3b没有系数，次数是4 C．单项式的系数是，次数是4 D．单项式﹣5y的系数是﹣5，次数是1 【分析】根据单项式的系数：单项式中的数字因式，次数：所有字母的指数和，进行判断即可． 【解答】解：A、单项式的系数是，次数是2．故原选项错误； B、单项式a3b的系数是1，次数是4．故原选项错误； C、单项式的系数是，次数是3．故原选项错误； D、单项式﹣5y的系数是﹣5，次数是1．故原选项正确； 故选：D． 6．（2023秋•玉环市校级期中）在下列代数式：ab，，ab2+b+1，﹣9，x3+x2﹣3中，多项式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】直接利用多项式的定义分析得出答案． 【解答】解：ab，，ab2+b+1，﹣9，x3+x2﹣3中，多项式有：，ab2+b+1，x3+x2﹣3共3个． 故选：B． 7．（2023秋•鄞州区校级期中）请写出一个只含有字母x的三次三项式 　x3+x2+x（答案不唯一）　． 【分析】根据多项式的定义进行作答即可． 【解答】解：由题意知，只含有字母x的三次三项式为：x3+x2+x， 故答案为：x3+x2+x． 8．（2023秋•东阳市月考）xy﹣x+y是 　二　次 　三　项式． 【分析】一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数． 【解答】解：﹣x的次数为1，y的次数为1，xy的次数为2， 故多项式的次数为2， 该多项式共含有3个单项式， 故多项式的项数为3， 故答案为：二；三． 题型四　同类项与合并同类项 例题： 1．（2023秋•沭阳县校级期中）在下列各组单项式中，不是同类项的是（　　） A．5x2y和﹣7x2y B．m2n和2mn2 C．﹣3和99 D．﹣abc和9abc 【分析】根据同类项的定义判断即可．定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，几个常数项也是同类项． 【解答】解：A．5x2y和﹣7x2y所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项不合题意； B．m2n和2mn2所含字母相同，但相同字母的指数不相同，故不是同类项，故本选项符合题意； C．﹣3和99是同类项，故本选项不合题意； D．﹣abc和9abc所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项不合题意． 故选：B． 2．（2023秋•宿豫区期末）请你写出一个2a2b的同类项　a2b或3a2b等（答案不唯一）　． 【分析】根据同类项的定义可知，写出的同类项只要符合只含有a，b两个未知数，并且a的指数是2，b的指数是1即可． 【解答】解：a2b或3a2b等（答案不唯一）． 故答案为：a2b或3a2b等（答案不唯一）． 3．（2023秋•西湖区校级月考）下列计算中正确的是（　　） A．2x+3y＝5xy B．6x2﹣（﹣x2）＝5x2 C．4mn﹣3mn＝1 D．﹣7ab2+4ab2＝﹣3ab2 【分析】运用合并同类项的方法对各选项进行逐一计算、辨别． 【解答】解：∵2x与3y不是同类项不能合并， ∴选项A不符合题意； ∵6x2﹣（﹣x2）＝7x2， ∴选项B不符合题意； ∵4mn﹣3mn＝mn， ∴选项C不符合题意； ∵﹣7ab2+4ab2＝﹣3ab2， ∴选项D符合题意； 故选：D． 4．（2023秋•庆元县校级月考）若多项式8x2+（m+1）xy﹣5y+xy﹣8（m是常数）中不含xy项，则m的值为　﹣2　． 【分析】根据合并同类项法则把原式合并同类项，根据题意列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：8x2+（m+1）xy﹣5y+xy﹣8 ＝8x2+（m+2）xy﹣5y﹣8 由题意得，m+2＝0， 解得，m＝﹣2 故答案为：﹣2． 5．（2022秋•西湖区校级期中）合并同类项： （1）5m+3m﹣10m； （2）2ab2﹣3ab2﹣6ab2； （3）5x+2y﹣3x﹣7y； （4）11xy﹣3x2﹣7xy+x2． 【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．据此解答即可． 【解答】解：（1）5m+3m﹣10m ＝（5+3﹣10）m ＝﹣2m； （2）2ab2﹣3ab2﹣6ab2； ＝（2﹣3﹣6）ab2 ＝﹣7ab2； （3）5x+2y﹣3x﹣7y ＝（5x﹣3x）+（2y﹣7y） ＝2x﹣5y； （4）11xy﹣3x2﹣7xy+x2 ＝（11﹣7）xy+（1﹣3）x2 ＝4xy﹣2x2． 6．（2023秋•江干区校级期中）（1）已知2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a和b的值． （2）已知关于x的四次三项式ax4﹣（a﹣12）x3﹣（b+3）x2﹣bx+11中不含x3及x2项，试写出这个多项式，并求当x＝﹣1时，这个多项式的值． 【分析】（1）先合并同类项，再根据值与x的取值无关，即含x项的系数都为0，据此求解即可； （2）根据不含x3及x2项，则﹣（a﹣12）＝0，﹣（b+3）＝0，求出a、b的值，进而得到原多项式，再代值计算即可． 【解答】解：（1）2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y﹣1 ＝（2﹣2b）x2+（a+3）x﹣6y+5， ∵2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关， ∴2﹣2b＝0，a+3＝0， ∴a＝﹣3，b＝1； （2）∵关于x的四次三项式ax4﹣（a﹣12）x3﹣（b+3）x2﹣bx+11中不含x3及x2项， ∴﹣（a﹣12）＝0，﹣（b+3）＝0， ∴a＝12，b＝﹣3， ∴原多项式为12x4+3x+11， 当x＝﹣1时，原式＝12×（﹣1）4+3×（﹣1）+11＝12×1﹣3+11＝20． 巩固训练 7．（2023秋•舟山期末）下列计算正确的是（　　） A．5m﹣2m＝3 B．6x3+4x7＝10x10 C．3a+2a＝5a2 D．8a2b﹣8ba2＝0 【分析】依据同类项的定义与合并同类项法则求解即可． 【解答】解：A、5m﹣2m＝3m，故A错误； B、6x3与4x7不是同类项，不能合并，故B错误； C、3a+2a＝5a，故C错误； D、8a2b﹣8ba2＝0，故D正确． 故选：D． 8．（2023秋•南浔区期中）如果2xn+2y3与﹣3x3y2m﹣1是同类项，那么m，n的值是（　　） A．m＝2，n＝1 B．m＝0，n＝1 C．m＝2，n＝2 D．m＝1，n＝2 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，得出关于 m，n 的方程，求得 m，n 的值． 【解答】解：∵2xn+2y3与﹣3x3y2m﹣1是同类项， ∴n+2＝3，2m﹣1＝3， ∴m＝2，n＝1， 故选：A． 9．（2023秋•苍南县期末）已知单项式5xmy3和是同类项，则m+n＝　5　． 【分析】根据同类项的概念求解．定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【解答】解：∵单项式5xmy3和是同类项， ∴m＝2，n＝3， ∴m+n＝2+3＝5， 故答案为：5． 10．（2023秋•义乌市月考）若﹣6x2yn与2xm+4y3的和是单项式，则mn的值是 　﹣6　． 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．据此可得m、n的值，再代入计算即可． 【解答】解：∵﹣6x2yn与2xm+4y3的和是单项式， 即﹣6x2yn与2xm+4y3是同类项， ∴m+4＝2，n＝3， 解得：m＝﹣2，n＝3， ∴mn＝（﹣2）×3＝﹣6． 故答案为：﹣6 11．（2023秋•瑞安市月考）计算：＝　﹣ab2　． 【分析】根据合并同类项的法则进行即可． 【解答】解：﹣ab2﹣3ab2 ＝（﹣﹣3）ab2 ＝﹣ab2． 故答案为：﹣． 12．（2023秋•西湖区校级期中）请回答下列问题： （1）若多项式mx2+4xy﹣2y2﹣x2+nxy﹣2y+6的值与x的取值无关，求（m+n）3的值； （2）若关于x、y的多项式3mx2+2nxy+32x+2xy﹣x2+y+4不含二次项，求m﹣n的值； （3）若2x|k|+2y+（k﹣1）x2y+1是关于x、y的四次三项式，求k值． 【分析】（1）先把多项式合并同类项，再令含x项的系数等于0，求出m、n的值即可； （2）先把多项式合并同类项，然后根据多项式不含二次项，得到关于m、n的一次方程，求出m、n的值，再代入计算即可． （3）根据四次三项式的概念，得关于k的方程，求解即可． 【解答】解：（1）原式＝（m﹣1）x2+（4+n）xy﹣2y2﹣2y+6． ∵原式的值与x的值无关， ∴m﹣1＝0，4+n＝0， ∴m＝1，n＝﹣4， ∴（m+n）3＝（1﹣4）3＝﹣27， （2）原式＝（3m﹣1）x2+（2n+2）xy+9x+y+4， ∵多项式不含二次项， ∴3m﹣1＝0，2n+2＝0． ∴m＝，n＝﹣1 ∴m﹣n＝+1＝． （3）由题意得：|k|+1+2＝4， ∴k＝±1． 又∵k﹣1≠0， ∴k≠1． ∴k＝﹣1． 题型五　去括号与添括号 例题： 1．（2023秋•瑞安市月考）下列各式去括号正确的是（　　） A．﹣（a﹣3b）＝﹣a﹣3b B．a+（5a﹣3b）＝a+5a﹣3b C．﹣2（x﹣y）＝﹣2x﹣2y D．﹣y+3（y﹣2x）＝﹣y+3y﹣2x 【分析】如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，由此即可判断． 【解答】解：A、﹣（a﹣3b）＝﹣a+3b，故A不符合题意； B、a+（5a﹣3b）＝a+5a﹣3b，故B符合题意； C、﹣2（x﹣y）＝﹣2x+2y，故C不符合题意； D、﹣y+3（y﹣2x）＝﹣y+3y﹣6x，故D不符合题意． 故选：B． 2．（2022秋•新昌县期末）代数式，添上一个括号后，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据添括号方法解答． 【解答】解：＝． 故选：B． 3．（2024•东阳市二模）多项式a﹣（﹣b+c）去括号的结果是 　a+b﹣c　． 【分析】根据去括号的方法进行解题即可． 【解答】解：a﹣（﹣b+c）＝a+b﹣c． 故答案为：a+b﹣c． 巩固训练 4．（2023秋•娄星区校级期中）下列去括号或添括号的变形中，正确的是（　　） A．2a﹣（3b﹣c）＝2a﹣3b﹣c B．3a+2（2b﹣1）＝3a+4b﹣1 C．a+2b﹣3c＝a+（2b﹣3c） D．m﹣n+a﹣b＝m﹣（n+a﹣b） 【分析】根据去括号法则和添括号法则进行分析即可． 【解答】解：A、2a﹣（3b﹣c）＝2a﹣3b+c，错误； B、3a+2（2b﹣1）＝3a+4b﹣2，错误； C、a+2b﹣3c＝a+（2b﹣3c），正确； D、m﹣n+a﹣b＝m﹣（n﹣a+b），错误； 故选：C． 5．（2023秋•吴兴区期中）下列各式可以写成a﹣b+c的是（　　） A．a﹣（+b）﹣（+c） B．a﹣（+b）﹣（﹣c） C．a+（﹣b）+（﹣c） D．a+（﹣b）﹣（+c） 【分析】根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简，即可求得结果． 【解答】解：根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简，得， A的结果为a﹣b﹣c， B的结果为a﹣b+c， C的结果为a﹣b﹣c， D的结果为a﹣b﹣c， 故选：B． 6．（2023春•衢江区期中）添括号：﹣x2﹣1＝﹣（ 　x2+1　）． 【分析】根据添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号，是解题的关键，即可． 【解答】解：﹣x2﹣1＝﹣（x2+1）． 故答案为：x2+1． 题型六　整式的加减与化简求值 例题： 1．（2022秋•拱墅区期末）化简（2a+b）﹣（2a﹣b）的结果是（　　） A．4a B．2b C．0 D．4a+2b 【分析】去括号后再合并即可得到答案． 【解答】解：（2a+b）﹣（2a﹣b） ＝2a+b﹣2a+b ＝2b， 故选：B． 2．（2023秋•椒江区校级期末）已知关于x，y的多项式2x+my﹣12与多项式nx﹣3y+6的差中不含有关于x，y的一次项，则m+n+mn＝　﹣7　． 【分析】先将多项式直减并合并同类项；再根据差中不含有关于x，y的一次项，求出m和n的值；最后代入式子中，即可求出结果． 【解答】解：2x+my﹣12﹣（nx﹣3y+6） ＝2x+my﹣12﹣nx+3y﹣6 ＝（2﹣n）x+（m+3）y﹣18， ∵差中不含有关于x，y的一次项， ∴2﹣n＝0；m+3＝0， 解得n＝2；m＝﹣3． 将n＝2；m＝﹣3代入， 则m+n+mn＝﹣3+2+（﹣3）×2＝﹣7， 故答案为：﹣7． 3．（2023秋•仙居县期末）若A＝x2y+2x+3，B＝﹣2x2y+4x，则2A﹣B＝（　　） A．3 B．6 C．4x2y+6 D．4x2y+3 【分析】先去括号，再合并同类项即可得到答案 【解答】解：∵A＝x2y+2x+3，B＝﹣2x2y+4x， ∴2A﹣B＝2（x2y+2x+3）﹣（﹣2x2y+4x） ＝2x2y+4x+6+2x2y﹣4x ＝（2x2y+2x2y）+（4x﹣4x）+6 ＝4x2y+6， 故选：C． 4．（2023秋•仙居县校级期中）计算： （1）3m2﹣2n2+2（m2﹣n2）； （2）2x﹣y﹣（x+5y）． 【分析】（1）根据整式的加减法，去括号，合并同类项即可解决问题； （2）根据整式的加减法，去括号，合并同类项即可解决问题． 【解答】解：（1）3m2﹣2n2+2（m2﹣n2） ＝3m2﹣2n2+2m2﹣2n2 ＝5m2﹣4n2； （2）2x﹣y﹣（x+5y） ＝2x﹣y﹣x﹣5y ＝x﹣6y． 5．（2023秋•宜城市期末）先化简，再求值：2（a2b+ab2）﹣2（a2b﹣1）﹣ab2﹣2．其中a＝1，b＝﹣3． 【分析】根据整式的加减混合运算法则把原式化简，代入计算即可． 【解答】解：原式＝2a2b+2ab2﹣2a2b+2﹣ab2﹣2 ＝ab2， 当a＝1，b＝﹣3时，原式＝1×（﹣3）2＝9． 6．（2023秋•临海市期中）先化简，再求值：5x2﹣2（3y2+6xy）+（2y2﹣5x2），其中x＝，y＝． 【分析】先去括号，再合并同类项，最后代入计算即可得． 【解答】解：原式＝5x2﹣6y2﹣12xy+2y2﹣5x2 ＝﹣4y2﹣12xy， 当x＝，y＝时， 原式＝﹣4×（﹣）2﹣12××（﹣） ＝﹣4×+2 ＝﹣1+2 ＝1． 7．（2022秋•兰溪市期中）已知A＝2x2﹣x﹣1，B＝3x2﹣2x﹣1，C＝x2﹣2x，求A﹣（B﹣C）的值，其中x＝﹣． 【分析】把A、B、C的式子代入A﹣（B﹣C）后，先去括号，合并同类项，把多项式化为最简形式后，把x＝﹣代入计算即可． 【解答】解：∵A＝2x2﹣x﹣1，B＝3x2﹣2x﹣1，C＝x2﹣2x， ∴A﹣（B﹣C） ＝2x2﹣x﹣1﹣[3x2﹣2x﹣1﹣（x2﹣2x）] ＝2x2﹣x﹣1﹣（3x2﹣2x﹣1﹣x2+2x） ＝2x2﹣x﹣1﹣3x2+2x+1+x2﹣2x ＝﹣x， 当x＝﹣时，原式＝﹣（﹣）＝． 巩固训练 8．（2023秋•嵊州市期末）如图，某长方形花园的长为（x+y）米，宽为（x﹣y）米．现根据实际需要对该花园进行整改，长方形花园的长增加（x﹣y）米，宽增加（x﹣2y）米，则整改后该花园的周长为（　　） A．（4x﹣3y）米 B．（4x﹣6y）米 C．（8x﹣3y）米 D．（8x﹣6y）米 【分析】根据整改的方案，表示出整改后的长与宽，再结合长方形的周长公式进行求解即可． 【解答】解：整改后的花园周长为： 2[（x+y+x﹣y）+（x﹣y+x﹣2y）] ＝2（2x+2x﹣3y） ＝2（4x﹣3y） ＝（8x﹣6y）米， 故选：D． 9．（2023秋•玉环市期末）长方形的长为2a+b，宽为3a﹣2b，则它的周长可表示为 　10a﹣2b　． 【分析】根据长方形的周长公式计算即可． 【解答】解：由题意得：长方形的周长为：（2a+b+3a﹣2b）×2＝10a﹣2b 故答案为：10a﹣2b． 10．（2023秋•越城区校级期末）已知A+2B＝3a2﹣4ab，B＝﹣5a2+6ab﹣7． （1）用含有a，b的代数式表示A． （2）当a＝﹣1，b＝﹣2时，求A的值． 【分析】（1）将B代入，移项，去括号，合并同类项，即可求解； （2）将a、b的值，代入计算即可求解； 【解答】解：（1）∵A+2B＝3a2﹣4ab， ∴A＝3a2﹣4ab﹣2B ＝3a2﹣4ab﹣2（﹣5a2+6ab﹣7） ＝3a2﹣4ab+10a2﹣12ab+14 ＝13a2﹣16ab+14； （2）解：当a＝﹣1，b＝﹣2时， A＝13×（﹣1）2﹣16×（﹣1）×（﹣2）+14 ＝13﹣32+14 ＝﹣5． 11．（2023秋•襄城区期末）先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣（ab2+3a2b），其中a＝，b＝． 【分析】根据整式的加减混合运算法则把原式化简，代入计算即可． 【解答】解：5（3a2b﹣ab2）﹣（ab2+3a2b） ＝15a2b﹣5ab2﹣ab2﹣3a2b ＝12a2b﹣6ab2 当a＝，b＝时， 原式＝12××﹣6××＝1﹣＝． 12．（2023秋•温岭市校级期中）先化简再求值：2（x2y+xy）﹣3（x2y﹣xy）﹣4x2y，其中x＝1，y＝﹣1． 【分析】先去括号，然后合并同类项得到原式＝﹣5x2y+5xy，然后把x、y的值代入计算即可． 【解答】解：原式＝2x2y+2xy﹣3x2y+3xy﹣4x2y ＝﹣5x2y+5xy， 当x＝1，y＝﹣1时，原式＝﹣5×1×（﹣1）+5×1×（﹣1）＝0． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 《代数式》知识归纳与题型训练（6题型清单） 一、代数式与代数式的值 代数式：由数、表示数的字母和运算符号组成的数学表示称为代数式． 代数式值：一般地，用数值代替代数式例的字母，计算后所得的结果叫作代数式的值． 要点诠释： （1）代数式中的运算包括：加、减、乘、除、乘方和开方 （2）单独的一个数或者一个字母也称代数式 （3）代数式求值常需要用到整体思想 二、整式 单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫作单项式； 单独的一个数或一个字母也叫单项式； 单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数； 单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数； 多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫作多项式； 在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项，次数最高的项的次数就是这个多项式的次数，多项式根据其次数和项数，可以称为“几次几项式”； 整式：单项式和多项式统称为整式； 要点诠释： （1）单项式中只含有乘法运算；分数是一个完整的数，不拆开来算；单独的一个数或字母也叫单项式 （2）单项式的系数包含前面的符号，去掉字母部分，剩余的即为单项式的系数 （3）单独的数字的系数是其本身，次数为0；单独的字母的系数是1，次数为1 （4）多项式中含有“乘法——加法——减法”运算； 三、合并同类项 同类项：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类项； 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项； 合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 四、整式的加减 整式的加减：若干个整式相加减时，可以归结为去括号与合并同类项 去括号法则：括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变号；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变符号． 要点诠释： （1）去括号法则的字母表达式——：+（a+b-c）=a+b-c；-（a+b-c）=-a-b+c 去括号法则主要是去括号时的变号问题，当括号外是“—”时，去掉括号后的各项均要改变符号 （2）整式的化简求值问题：先去括号、再合并同类项，最后再将字母的值代入化简后的结果计算出答案 （3）化简求值问题中，如果说结果与一个字母无关，则最后化简的结果中含该字母的项的系数整体=0 题型一　代数式 例题： 1．（2023秋•西湖区校级期中）下面式子中符合代数式书写要求的是（　　） A．ab3 B．2 C． D．x+3克 2．（2023秋•义乌市期中）代数式3（y﹣3）的正确含义是（　　） A．3乘y减3 B．y的3倍减去3 C．y与3的差的3倍 D．3与y的积减去3 3．（2023秋•江北区期末）某人骑自行车t（小时）走了s（km），若步行s（km），则比骑自行车多用3（小时），那么骑自行车每小时比步行多走（　　）（km）． A． B． C．s（t+s） D．5（t﹣3） 4．（2023秋•温州期中）现计划采购一批文具用品，若笔记本单价为a元，钢笔单价为b元，则购买35本笔记本和20支钢笔共需付 　 　元． 巩固训练 5．（2023秋•龙湾区校级期中）下列代数式中，书写规范的是（　　） A． B．a÷b C． D．﹣1ab 6．（2023秋•仙居县校级期中）用代数式表示“a的2倍与3的和”，下列表示正确的是（　　） A．2a﹣3 B．2a+3 C．2（a﹣3） D．2（a+3） 7．（2024•杭州一模）一个直径为6cm的圆中阴影部分面积为S，现在这个圆与正方形在同一平面内，沿同一条直线同时相向而行，圆每秒滚动3cm，正方形每秒滑动2cm，第 　 　秒时，圆与正方形重叠部分面积是S． 题型二 　代数式的求值 例题： 1．（2023秋•西湖区期中）已知2m﹣3n＝﹣2，则代数式4m﹣6n+1的值为（　　） A．﹣1 B．3 C．﹣3 D．2 2．（2023秋•海曙区校级期中）如果代数式4y2﹣2y+5的值是7，那么代数式2y2﹣y+1的值等于（　　） A．2 B．3 C．﹣2 D．4 3．（2022秋•萧山区月考）如图是某一长方形闲置空地，宽为3a米，长为b米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长b米，宽a米的小路，剩余部分种草． （1）小路的面积为 　 　平方米；种花的面积为 　 　平方米；（结果保留π） （2）请计算该长方形场地上种草的面积；（结果保留π） （3）当a＝2，b＝10时，请计算该长方形场地上种草的面积．（π取3.14，结果精确到1） 巩固训练 4．（2023秋•桐乡市期末）若a+3b﹣2＝0，则代数式1+2a+6b的值是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 5．（2023秋•鄞州区校级月考）已知3x2﹣4x+6＝9，则＝　 　． 6．（2023秋•海曙区校级期中）如图所示是一个长方形． （1）根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示阴影部分的面积S； （2）若x＝3，求S的值． 7．（2023秋•拱墅区校级期中）某校决定为体育组添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳，在查阅天猫网店后发现足球每个定价140元，跳绳每条定价30元．现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．A网店：买一个足球送一条跳绳；B网店：足球和跳绳都按定价的90%付款．已知要购买足球60个，跳绳x条（x＞60）． （1）若在A网店购买，需付款 　 　元（用含x的代数式表示）；若在B网店购买，需付款 　 　元（用含x的代数式表示）； （2）若x＝100时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？ （3）当x＝100时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 题型三　单项式与多项式 例题： 1．（2023秋•北仑区期末）单项式﹣的系数和次数分别是（　　） A． B． C． D．﹣2，2 2．（2023秋•婺城区校级月考）整式0.34x2y，0，，x2﹣y，abc，中单项式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2022秋•鄞州区校级期中）若多项式4x2y|m|﹣（m﹣1）y2+1是关于x，y的三次三项式，则常数m＝　 　． 4．（2022秋•鄞州区校级期中）对多项式按如下的规则确定它们的先后次序：先看次数，次数高的多项式排在次数低的多项式前面；再看项数，项数多的多项式排在项数少的多项式前面；最后看字母的个数，字母个数多的多项式排在字母个数少的多项式前面．现有以下多项式： ①a2b2+ab+2； ②a4+a3b+a2b2+ab3+b4； ③a4+b4+a4b； ④a2+2ab+b2； ⑤a2+2a+1． （1）按如上规则排列以上5个多项式是 　 　（写序号）； （2）请你写出一个排列后在以上5个多项式最后面的多项式． 巩固训练 5．（2023秋•金东区期末）下列说法中正确的是（　　） A．单项式的系数是，次数是1 B．单项式a3b没有系数，次数是4 C．单项式的系数是，次数是4 D．单项式﹣5y的系数是﹣5，次数是1 6．（2023秋•玉环市校级期中）在下列代数式：ab，，ab2+b+1，﹣9，x3+x2﹣3中，多项式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．（2023秋•鄞州区校级期中）请写出一个只含有字母x的三次三项式 　 　． 8．（2023秋•东阳市月考）xy﹣x+y是 　 　次 　 　项式． 题型四　同类项与合并同类项 例题： 1．（2023秋•沭阳县校级期中）在下列各组单项式中，不是同类项的是（　　） A．5x2y和﹣7x2y B．m2n和2mn2 C．﹣3和99 D．﹣abc和9abc 2．（2023秋•宿豫区期末）请你写出一个2a2b的同类项　 　． 3．（2023秋•西湖区校级月考）下列计算中正确的是（　　） A．2x+3y＝5xy B．6x2﹣（﹣x2）＝5x2 C．4mn﹣3mn＝1 D．﹣7ab2+4ab2＝﹣3ab2 4．（2023秋•庆元县校级月考）若多项式8x2+（m+1）xy﹣5y+xy﹣8（m是常数）中不含xy项，则m的值为　 　． 5．（2022秋•西湖区校级期中）合并同类项： （1）5m+3m﹣10m； （2）2ab2﹣3ab2﹣6ab2； （3）5x+2y﹣3x﹣7y； （4）11xy﹣3x2﹣7xy+x2． 6．（2023秋•江干区校级期中）（1）已知2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a和b的值． （2）已知关于x的四次三项式ax4﹣（a﹣12）x3﹣（b+3）x2﹣bx+11中不含x3及x2项，试写出这个多项式，并求当x＝﹣1时，这个多项式的值． 巩固训练 7．（2023秋•舟山期末）下列计算正确的是（　　） A．5m﹣2m＝3 B．6x3+4x7＝10x10 C．3a+2a＝5a2 D．8a2b﹣8ba2＝0 8．（2023秋•南浔区期中）如果2xn+2y3与﹣3x3y2m﹣1是同类项，那么m，n的值是（　　） A．m＝2，n＝1 B．m＝0，n＝1 C．m＝2，n＝2 D．m＝1，n＝2 9．（2023秋•苍南县期末）已知单项式5xmy3和是同类项，则m+n＝　 　． 10．（2023秋•义乌市月考）若﹣6x2yn与2xm+4y3的和是单项式，则mn的值是 　 　． 11．（2023秋•瑞安市月考）计算：＝　 　． 12．（2023秋•西湖区校级期中）请回答下列问题： （1）若多项式mx2+4xy﹣2y2﹣x2+nxy﹣2y+6的值与x的取值无关，求（m+n）3的值； （2）若关于x、y的多项式3mx2+2nxy+32x+2xy﹣x2+y+4不含二次项，求m﹣n的值； （3）若2x|k|+2y+（k﹣1）x2y+1是关于x、y的四次三项式，求k值． 题型五　去括号与添括号 例题： 1．（2023秋•瑞安市月考）下列各式去括号正确的是（　　） A．﹣（a﹣3b）＝﹣a﹣3b B．a+（5a﹣3b）＝a+5a﹣3b C．﹣2（x﹣y）＝﹣2x﹣2y D．﹣y+3（y﹣2x）＝﹣y+3y﹣2x 2．（2022秋•新昌县期末）代数式，添上一个括号后，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024•东阳市二模）多项式a﹣（﹣b+c）去括号的结果是 　 　． 巩固训练 4．（2023秋•娄星区校级期中）下列去括号或添括号的变形中，正确的是（　　） A．2a﹣（3b﹣c）＝2a﹣3b﹣c B．3a+2（2b﹣1）＝3a+4b﹣1 C．a+2b﹣3c＝a+（2b﹣3c） D．m﹣n+a﹣b＝m﹣（n+a﹣b） 5．（2023秋•吴兴区期中）下列各式可以写成a﹣b+c的是（　　） A．a﹣（+b）﹣（+c） B．a﹣（+b）﹣（﹣c） C．a+（﹣b）+（﹣c） D．a+（﹣b）﹣（+c） 6．（2023春•衢江区期中）添括号：﹣x2﹣1＝﹣（ 　 　）． 题型六　整式的加减与化简求值 例题： 1．（2022秋•拱墅区期末）化简（2a+b）﹣（2a﹣b）的结果是（　　） A．4a B．2b C．0 D．4a+2b 2．（2023秋•椒江区校级期末）已知关于x，y的多项式2x+my﹣12与多项式nx﹣3y+6的差中不含有关于x，y的一次项，则m+n+mn＝　 　． 3．（2023秋•仙居县期末）若A＝x2y+2x+3，B＝﹣2x2y+4x，则2A﹣B＝（　　） A．3 B．6 C．4x2y+6 D．4x2y+3 4．（2023秋•仙居县校级期中）计算： （1）3m2﹣2n2+2（m2﹣n2）； （2）2x﹣y﹣（x+5y）． 5．（2023秋•宜城市期末）先化简，再求值：2（a2b+ab2）﹣2（a2b﹣1）﹣ab2﹣2．其中a＝1，b＝﹣3． 6．（2023秋•临海市期中）先化简，再求值：5x2﹣2（3y2+6xy）+（2y2﹣5x2），其中x＝，y＝． 7．（2022秋•兰溪市期中）已知A＝2x2﹣x﹣1，B＝3x2﹣2x﹣1，C＝x2﹣2x，求A﹣（B﹣C）的值，其中x＝﹣． 巩固训练 8．（2023秋•嵊州市期末）如图，某长方形花园的长为（x+y）米，宽为（x﹣y）米．现根据实际需要对该花园进行整改，长方形花园的长增加（x﹣y）米，宽增加（x﹣2y）米，则整改后该花园的周长为（　　） A．（4x﹣3y）米 B．（4x﹣6y）米 C．（8x﹣3y）米 D．（8x﹣6y）米 9．（2023秋•玉环市期末）长方形的长为2a+b，宽为3a﹣2b，则它的周长可表示为 　 　． 10．（2023秋•越城区校级期末）已知A+2B＝3a2﹣4ab，B＝﹣5a2+6ab﹣7． （1）用含有a，b的代数式表示A． （2）当a＝﹣1，b＝﹣2时，求A的值． 11．（2023秋•襄城区期末）先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣（ab2+3a2b），其中a＝，b＝． 12．（2023秋•温岭市校级期中）先化简再求值：2（x2y+xy）﹣3（x2y﹣xy）﹣4x2y，其中x＝1，y＝﹣1． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$