河南省部分名校2024-2025学年高二上学期阶段性测试（一）（10月）数学试题

2024-2025学年高二年级阶段性测试（一） 数 学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．图中4条直线中斜率最小的是（ ） A． B． C． D． 2．已知向量与平行，则（ ） A． B． C．3 D．15 3．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若∥，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．将直线绕点（1，3）逆时针旋转rad后所得直线的方程为（ ） A． B． C． D． 5．已知平面均以为法向量，平面经过坐标原点，平面经过点，则平面与的距离为（ ） A．2 B． C．3 D． 6．已知直线与平行，且之间的距离与点到的距离均为1，则在轴上的截距为（ ） A． B．0 C．1 D．4 7．如图，在长方体中，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是（ ） A． B． C． D． 8．如图，在正四面体中，为棱的中点，为棱上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若直线不经过第四象限，则实数的可能取值为（ ） A． B．． D．3 D．4 10．在空间直角坐标系中，已知点，其中，若四边形为菱形，则（ ） A． B． C． D． 11．已知点和，是直线上的动点，则（ ） A．存在，使最小 B．存在，使最小 C．存在，使最大 D．存在，使最小 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，若，则________． 13．已知，平面内三点共线，则________． 14．已知正四棱柱的体积为4，侧面积为8，动点分别在线段上，则线段长度的最小值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知空间中三点，设向量． （I）若，求实数的值； （Ⅱ）若向量与共线，且，求的坐标． 16．（15分） 已知直线的方程为，直线经过点和． （I）若，求的值； （Ⅱ）若当变化时，总过定点，求． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，且为棱的中点． （1）证明：平面平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分） 如图，将一块三角形的玉石置于平面直角坐标系中，已知，点，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点的直线进行切割． （I）求直线的倾斜角的取值范围． （Ⅱ）是否存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上？ （Ⅲ）设玉石经切割后剩余部分的面积为，求的取值范围． 19．（17分） 在空间直角坐标系中，过点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为． （1）若直线：与都在平面内，求平面的方程； （Ⅱ）在三棱柱中，点与坐标原点重合，点在平面内，平面以为法向量，平面的方程为，求点的坐标； （Ⅲ）若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$大联考 2024一2025学年高二年级阶段性测试（一） 数学(A卷)答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.答案C 命题意图本题考查斜率的概念， 解析由图可知(，的斜率最小. 2.答案D 命题意图本题考查空间向量的坐标运算 解折因为a/6,所以子=音=点之所以=9，y=-6,故-y=5 3.答案B 命题意图本题考查利用空间向量研究直线和平面的位置关系。 解析因为1∥a,所以m⊥n,则m·n=0.即2+6-41=0，得t=2. 4.答案C 命题意图本题考查直线的方程和性质， 解析直线y=2x+1的斜率为2，绕点(1,3)逆时针旋转受d后所得直线与原直线互相垂直，故斜率为 -,又直线旋转时始终过点(1,3)，所以所得直线的方程为y=-宁(x-1)+3,即x+2y-7=0 5.答案A 命题意图本题考查利用空间向量计算距离。 解析由题意得O币=(3,2，-1).因为平面a,B均以n=(-2,1,2)为法向量，所以a∥B.平面α，B间的距离为 6.答案B 命题意图本题考查点到直线的距离、直线与直线的距离 解析由题意知3×0-2+c<0,所以点A不在直线m上，又因为l,m之间的距离与点A到l的距离均为1，所 以点A到直线m的距离为2，所以-2+=2，解得c=-2(正值舍去)，故直线m的方程为3x-y-2=0且 3+I 直线m经过点B(0,-2),由题意可知直线I经过线段AB的中点(0,0)，所以1在y轴上的截距为0. 7.答案D 命题意图本题考查长方体的结构特征，以及空间向量的运算. 解析由已知可得A,M=2,A,B=22,BM=6,则A,+BM=A,B2,所以AM⊥BM,所以A,产在A,上的投 1 影向量为A立，所以A,产.A,立=A,MP=2,为定值 8.答案A 命题意图本题考查利用空间向量计算异面直线所成的角 解析设正四面体0-ABc的技长为2，=a,店=b,aC=c,则M=子(d+)=之(a+c),C=不-A心 }b-c,1=5,1C1= b-c 7 6bc-2=-子所以s(a,d成= 3 11.15×27 专=一名1所以异面直线AM与CV所成角 3 的余装值为哥 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分 9.答案BC 命题意图本题考查直线的方程与性质。 解折当0-3=0即a=3时，直线：x=一写不经过第四象限，符合影意当a-3≠0时，直线4y 一x+ 3要使1不经过第四象限，则-≥0.且。≥0，解得≤a<3.综上，≤a≤3满足条件，故选C 3-a 10.答案ABD 命题意图本题考查空间向量的线性运算 解析因为四边形04BC为菱形，所以Oi+0心=0，可得m=5,p=-1,n=q-1,所以4d=（-1,-3,g+1), 又0B1AC,所以0成.A亿=-5-3+(g+1)n=0,解得 9=3,9=-3， 。或 故A,B,D正确 n=2ln=-4, 11.答案ACD 命题意图本题考查直线的方程与性质。 r-3 31, 解析对于A,设点A关于直线I对称的点为A'(x,y),则 可得A'(-5,-5),当P为直线 x+34y+3+2=0, 2Γ+ 2 A'B与l的交点时，IPA1+IPB1最小，直线A'B的方程为(-5-4)(y+2)=(-5+2)(x-4),即x-3y-10= 「x+y+2=0, 0,联立 得P(1,-3),故A正确； x-3y-10=0, 对于B,当1PA=PB1时，PA1-1PB1最小，AB的中点坐标为（子，）直线AB的斜率为-5，则AB的中 线做成古-名)利会吉》长碳 一2 对于C,IPAI-IPB1≤IAB1,当点P在线段AB的延长线上时取等号，直线AB的方程为5x+y-18=0,联立 「x+y+2=0, 得P(5,-7),满足上述条件，故C正确： 5x+y-18=0, 对于D,设Px,-2-),则1PM+1PB2=(x-3+(-x-5)2+(x-42+2=4-4+50=4x-)+49, 当x=2时，取得最小值49，此时P(3,-）故D正确。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.答案2 命题意图本题考查空间向量的夹角， 解新LC:m成.=页底-品一专解得=2 IAB1IB元5π2+12 13.答案2 命题意图本题考查直线的斜率， 解折由题意知号=写，整理得2r-3-2=0,解得a=20=一弓舍去 14.答案6 3 命题意图本题考查空间两点之间的距离的计算 [ha'=4, fa=2, 解析设正四棱柱的底面边长为a,高为h,由题意可知 解得如图所示，以D为坐标原点，DA,DC 4ah=8,h=l. DD所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0),C(0,2,0),C(0,2,1),设P(0,2,),1∈[0,1] Q2-mm0)me021.所以1o=Q-m+(a-2y+F-√5-号+m-+号当组仅当 4：号=号时，P0取得最小值写 m=- 5 D C B 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.命题意图本题考查空间向量的性质和坐标运算， 解析(1)由题意知a=(3,3,-1),b=(1,-1,3). 所以a+b=(3+k,3-k,-1+3k).…(3分) 因为(a+h)⊥a,所以(a+b)·a=9+3k+9-3k+1-3k=0,…(5分) —3 解得k=19 …(6分） (Ⅱ)a-b=(2,4,-4). (8分) 因为c与a-b共线，所以存在入∈R,使得c=A(a-b)=(2入，4入，-4入)，…(9分) 所以引cl=42+163+16=6引=4，…(11分) 可得入=±3 所以e的坐标为学号.-)戌(-子-号) 16.命题意图本题考查直线的方程与性质， 解析(I)1:(a+3)x-ay+2=0的斜率为0+3.h的斜率为- (4分) a 2a 因为14,所以×(-)-，… (6分)】 即2a2-a-3=0,解得a= 3 或a=-1. 444444444……4… (8分) (Ⅱ)将l的方程改写为a(x-y)+3x+2=0, 「x-y=0, 解得x=y=-子所以过定点(-子 (12分) 3x+2=0 所以1ac=√2++(0+)2 3 (15分) 17.命题意图本题考查四棱锥的结构特征，空间位置关系的证明以及利用空间向量计算线面角， 解析(I)如图，取AD的中点O,连接PO,BO. 因为△PAD是等边三角形，所以PO⊥AD. (2分) 设AB=a.则AC=2即Pm=2a,m=,B0= 2, 所以PB2=P02+B0,所以P0⊥B0.… (4分) 又AD∩BO=O,所以PO⊥平面ABCD, (6分) 因为POC平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD, (7分) D (0 B (Ⅱ)取BC的中点F,连接OF,由(I)可知OP,OA,OF两两互相垂直，故以O为坐标原点，建立如图所示的空 间直角坐标系， -4 同(1)设4B=a,则A(受0.0受a.0(-号a0(-受0.0r0.0,,(-0} 所以=（号0.-=0，a,0).i=(-aA …(10分) 设平面PAB的法向量为n=(x,y,), rPA·n=0 「x-3z=0 则 0可 可取n=(5,0,1).… (12分) y=0. 设直线CE与平面PAB所成的角为O, 3 则sim0=les(n,C店1=n·C2.20 InlICEI25=10, 即直线GE与平面PAB所成角的正弦值为 ***********中 (15分) 10 18.命题意图本题考查直线的方程与函数模型的应用. 解析(I)因为1A01=|AB1=5,10B1=2.所以A(1.2),B(2,0),…(2分) 由题图可知，当直线N过点0时顿斜角最小，此时a=子 当直线MN绕点P逆时针旋转时，斜率增大，当其过点A时，倾斜角最大，此时a= 2 所以α的取值范围是 42 …(5分） (I)由已知可得直线4松的斜率为号二 =-2, 若点A关于直线MN的对称点在线段AB上，则MN1AB,所以直线N的斜率：=子 ……(7分） 由(I)知直线N的倾斜角ae[子， ,所以k≥1或k不存在，矛盾， 所以不存在符合条件的直线MN.…(9分)》 (Ⅲ)当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x=1, 此时S三)S%0w=7X7X2x2=l…(I0 当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=k(x-1)+1,k∈[1，+0). 令y=0,得x=1-冬，所以点M(1-0月 (11分) 易得直线AB的方程为y=-2x+4, 「y=k(x-1)+1, 联立 (12分)》 y=-2x+4, 得N+号 则s宁8-宁-1）器- =1+R+2k (14分) —5 因为e1,+).所以+2e[3,+),所以S=1+十2(，含] …(16分） 综上心的取值范周是[1，专打 …(17分） 19.命题意图本题考查新定义问题，空间向量在立体几何中的应用. 解析(I)由题意可知l,和12都经过点(1,0,1)， 且1的方向向量为n1=(2,1,-1),l2的方向向量为n2=(-1,4,2).…(2分) 设平面a的法向量为u=(a,b,c),因为l1,2Ca, ru·n1=2a+b-c=0, 所以 可取山=(2，-1,3).…(4分) u·m3=-a+4b+2c=0. 又点(1,0,1)在平面内，所以平面的方程为2x-y+3z=5.…(6分)》 (Ⅱ)因为C(0,0,0),平面ABC的法向量为m=(1,-1,-3), 所以平面ABC的方程为x-y-3z=0. (7分) ,x-y-3z=0, ,x=3, 点A在平面ABC和平面ABB,A,内，又点A在平面Oz内，联立 3x+y-=8,解得y=0,…(10分) y=0 z=1, 即点A的坐标为(3,0,1).…(11分) ()讨论x,y,的符号，将方程Ix+y+z=2中的绝对值符号去掉，可以得到8个不同的方程，则多面体 2有8个面，根据对称性，可知2为正八面体，6个顶点分别为（±2,0,0），(0，±2,0)，(0,0，±2)，如图所示 …(13分）》 D F 该正八面体的棱长为2,2，体积为V=号×4×(2万)2- 3 (15分) 平面ABE的方程为x+y+z=2,一个法向量为m,=(1,1,1),平面BCE的方程为-x+y+z=2,一个法向量为 风=(-1.则mma)=没分 所以正八面体相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为？。… (17分) 一6