专题11 一元一次方程实际问题十大类型-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（沪科版2024）

专题11 一元一次方程实际问题十大类型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、配套问题 2 类型二、工程问题 2 类型三、销售盈亏问题 4 类型四、比赛积分问题 5 类型五、方案选择问题 6 类型六、行程问题 7 类型七、和差倍分 9 类型八、水费电费 9 类型九、日历问题 10 类型十、古代问题 12 压轴能力测评 12 一元一次方程实际应用的解题思路 一元一次方程解决实际问题的一般步骤: 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 备注： （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值． （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 类型一、配套问题 弄清实际问题中的实际意义，配比，比如一个桌面配四条腿，一件衣服配两个衣袖等。 例．用150张铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个或盒底45个，1个盒身与2个盒底配成一套罐头盒．问：用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，使得制成的盒身和盒底恰好配套？ 【变式训练1】．某家具厂有名工人，加工某种由一个桌面和四条桌腿的桌子，工人每天每人可以加工个桌面或个桌腿．怎么分配加工桌面和桌腿的人数，才能使每天生产的桌面和桌腿配套． 【变式训练2】．机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 【变式训练3】．某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒中装3块大月饼和5块小月饼．制作一块大月饼要用面粉，一块小月饼要用面粉，现在共有面粉，制做这两种月饼应各用多少面粉，才能生产最多的盒装月饼? 类型二、工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1． 基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 例．某厂家接到生产一批口罩的紧急任务，如果每小时生产盒，可按时完成，实际每小时多生产盒，结果提前小时完成任务．问此任务共生产口罩共多少盒？ 【变式训练1】．整理一批图书，若由一个人独做需要80个小时完成，假设每人的工作效率相同． (1)若限定32小时完成，一个人先做8小时，再需增加多少人帮忙才能在规定的时间内完成？ (2)计划由一部分人先做4小时，然后增加3人与他们一起做4小时，正好完成这项工作的，应该安排多少人先工作？ 【变式训练2】．学校计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服80件，且乙工厂每天加工这种校服的件数比甲工厂每天加工这种校服的件数多． (1)若甲单独加工这批校服比乙工厂单独加工这批校服多用20天，求这批校服共有多少件？ (2)在（1）的条件下，若先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，乙工厂提高加工速度后继续完成剩余部分，乙工厂的全部工作时间是甲工厂全部工作时间的3倍还少8天，若在加工过程中，甲工厂每天所需费用400元，乙工厂每天所需费用500元，学校共需支付甲乙两工厂18800元，求乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服多少件？ 【变式训练3】．为打造安全环保的某河流公园，某市设立若干河流排污治理点（每个治理点需安装相同长度的排污治理管道）．一天，甲队3名工人去完成5个治理点的管道铺设，但还有60米管道没有完成；同一天，乙队4名工人完成5个治理点的管道铺设后，仍多铺设了40米管道．已知每名甲队工人比每名乙队工人每天多铺设20米管道． (1)求每个排污治理点需铺设的管道长度； (2)已知每名甲队工人每天需支付费用500元，每名乙队工人每天需支付400元，该市某处共设立27个排污治理点，现有甲队3名工人，乙队4名工人来安装管道，方案一：全部由甲队安装；方案二：全部由乙队安装；（不到一天需按一天费用算）．请通过计算说明选择哪种方案可使总费用最少？ 类型三、销售盈亏问题 （1） (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率 (4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 “商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 例．某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标？ 【变式训练1】．某水果销售点用1000元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种 5 8 乙种 9 13 (1)这两种水果各购进多少千克？ (2)若该水果店按售价销售完这批水果，获得的利润是多少元？ 【变式训练2】．情景：试根据图中信息，解答下列问题： (1)购买根跳绳需______元，购买根跳绳需______元． (2)小红比小明多买根跳绳，付款时小红反而比小明少付元，你认为有这种可能吗？若有，请求出小红购买跳绳的根数；若没有，请说明理由． 【变式训练3】．2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受国内外广大朋友的喜爱，北京奥组委官方也推出了许多与吉祥物相关的商品，其中有型冰墩墩和型雪容融两种商品．已知购买1个型商品和1个型商品共需要220元，购买3个型商品和2个型商品共需要560元，求每个型商品的售价． 类型四、比赛积分问题 一般用胜分＋平分＋负分＝总积分，列出方程求助即可。 例．某校组织学生参加2022年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了三名学生的得分情况： 参赛学生 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 15 5 65 请结合表中所给数据，回答下列问题： (1)本次知识问答中，每答对一题加______分，每答错一题减______分； (2)若小明同学答对16题，请计算小明的得分； (3)若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，哪一个可能是小刚的得分_____（填写选项）； A．75；B．63；C．56；D．44 并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列一元一次方程解决问题） 【变式训练1】．某中学组织足球比赛，比赛规定：胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分．勇士队共参加8场比赛，在保持不败的情况下，共得13分．问此次比赛中勇士队胜了几场？ 【变式训练2】．某市中考体育测试中包含一分钟排球垫球项目，考试规则为：学生垫球一分钟，若垫球次数达到某一标准及以上，则记为满分．在一次班会中，小明得知以下信息：若每秒钟垫球若干次，则一分钟后垫球次数比满分标准多出次；若每秒钟垫球次数是原来的倍，则一分钟后垫球次数是满分标准的倍少个．求垫球满分的标准是每分钟多少个？ 【变式训练3】．2023-2024全国甲A篮球赛（CBA）共进行了52轮常规赛，最后辽宁队和新疆队进入总决赛．常规赛中，规定胜一场积2分，负一场积1分，每场比赛均分胜负，常规赛结束时，辽宁队积分为95分，求辽宁队在常规赛中负了几场． 类型五、方案选择问题 （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 例．中小学生研学旅行是由教育部门和学校有计划地组织安排，通过集体旅行、集中食宿方式开展的研究性学习和旅行体验相结合的校外教育活动．红星学校组织七年级学生参加研学旅行，便与秦城汽车租赁有限公司商议，单独租用45座A型客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用60座B型客车，可少租1辆，并且还有15个空位． (1)该校参加这次研学旅行有多少人？ (2)45座A型客车每天的租金600元，60座B型客车每天的租金700元，该校租那种车型更划算？ 【变式训练1】．某校五年级学生举行春游，若租用45座客车，则有15人没有座位，若租用同样数目的60座客车，刚刚好有一辆客车空车．已知45座客车租金220元，60座客车租金300元．问： (1)这个学校五年级一共有学生多少人？ (2)怎样租车，最经济合算？ 【变式训练2】．春节假期期间，为让返乡游子感受到“老家河南，味道中原”的魅力，某河南特色美食店优惠大酬宾，推出以下两种优惠方案： 方案一 可购买100元代金券，每张79元，每次消费时最多可使用3张，能使用尽量使用，未满100元的部分不得使用代金券 方案二 消费满300元按总价的九折优惠，不得同时使用代金券 例：某次消费120元，按照方案一使用代金券后，实际花费元． (1)若某次消费240元，按照方案一使用代金券后，实际花费________元． (2)若某次实际花费360元，则在使用优惠方案前可能消费多少元？ (3)小明一家春节假期期间去该美食店消费了元． ①若按照方案一使用代金券进行优惠，实际花费________元；若按照方案二进行优惠，实际花费________元；（用含x的代数式表示） ②选择哪种方案更省钱？ 【变式训练3】．商店售出茶壶和茶杯，茶壶每只定价元，茶杯每只定价元．该店制定了两种优惠办法，方法：买一只茶壶赠送一只茶杯；方法：按总价打九折．某顾客需购买茶壶只，茶杯若干只（不少于只），若设购买茶杯数为只，付款数分别按两种优惠办法计算． (1)计算两种不同的收费； (2)当顾客在同一商店购买多少只茶杯时，两种办法的付款数相同？ 类型六、行程问题 （1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 （2）基本类型有： 　 ①相遇问题（或相向问题） Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题： Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题： Ⅰ．基本量及关系： 顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （3） 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析. 例．已知甲、乙两地相距、B两车分别从甲、乙两地同时出发，A车速度为车速度为． (1)A、B两车同时同向而行，A车在后，经过几小时A车追上B车？ (2)A、B两车同时相向而行，经过几小时两车相距？ 【变式训练1】．小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走．下坡路每分钟走，上坡路每分钟走．则他从家里到学校需，从学校到家里需．问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？设小华家到学校的平路为x，用方程表示上述数量关系，并解出方程． 【变式训练2】．如图，数轴上A点和B点表示的数分别为和，如果两个点同时开始在数轴上运动，且A点的运动速度为3个单位/秒，B点运动速度为1个单位/秒， (1)如果A点向数轴的正方向运动，B点向数轴的负方向运动时，请问几秒钟后两点相遇？ (2)如果A、B两点同时向正方向运动，请问几秒钟后A点与B点相遇？ (3)如果A、B两点同时向正方向运动，请问当t为何值时，之间的距离等于8？ 【变式训练3】．若一数轴上存在两动点，当第一次相遇后，速度都变为原来的两倍，第二次相遇后又都能恢复到原来的速度，则称这条数轴为神奇数轴． 如图，已知一神奇数轴上有，，三点，其中，对应的数分别为，0，为55个单位长度，甲，乙分别从，两点同时出发，沿数轴正方向同向而行，甲的速度为3个单位秒，乙的速度为1个单位秒，甲到达点后以当时速度立即返回，当甲回到点时，甲、乙同时停止运动．    (1)点B对应的数为______，甲出发______秒后追上乙（第一次相遇） (2)当甲到达点B立即返回后第二次与乙相遇，求出相遇点在数轴上表示的数是多少？ (3)甲、乙同时出发多少秒后，二者相距3个单位长度？（直接写出答案） 类型七、和差倍分 例．为保证校运会的正常进行，学校共选拔了200名学生志愿者，其中男生人数是女生人数的2倍少1人．求参加志愿者的男，女生人数各是多少? 【变式训练1】．五、六年级同学去植树，五年级植树棵数占总棵数的，六年级植树棵数占总棵数的，六年级比五年级多植15棵树，两个年级一共植树多少棵？（用方程解决问题） 【变式训练2】．列式计算 (1)12个的和减去，差是多少？ (2)甲数的是15，乙数比甲数少，乙数是多少？ (3)一个数的比36的多2，这个数是多少？（列方程解答） 【变式训练3】．某厂的两个车间10月份共生产1339个零件，第一车间10月份比9月份增产，第二车间10月份比9月份减产，若9月份第一车间的产量是第二车间产量的3倍，那么9月份两个车间各生产了多少个零件？ 类型八、水费电费 例．为鼓励人们节约用水，合肥市居民使用自来水实行阶梯式计量水价，按如下标准缴费（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 a元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 2a元 (1)当时，芳芳家月份用水量为，则该月需交水费________元；月份芳芳家交了水费元，则月份用水量为________（直接写出答案）； (2)当时，亮亮家一个月用了的水，求亮亮家这个月应缴纳的水费； (3)设某用户月用水量为（），该用户这个月应缴纳水费多少元？（用含，的式子表示） 【变式训练1】．某县政府今年对居民用水实行分层收费如下表： 每户每月用水量 水费/（元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小华家今年1月份用水量是20立方米，则他家应缴费______元．（直接填写答案即可） (2)若小华家今年2月份用水量是26立方米，缴费62.6元，请求出用水量在22~30立方米之间的收费标准a元/立方米． (3)在（2）的条件下，若小华家今年8月份用水量增大，共缴费97.6元，则他家8月份用水量是多少立方米？ 【变式训练2】．为了鼓励居民节约用水，某地决定实行两级收费制，每月用水量不超过14吨（含14吨）时，每吨2元；超过14吨时，超过部分每吨元． (1)小钟家一月用水量为10吨，则应缴水费为______元． (2)小华家一月与二月用水量分别为12吨，16吨，二月比一月的水费多11元． ①求的值． ②小华家三月比二月用水量多4吨，四月比三月的水费少7元，求小华家四月的用水量． 【变式训练3】．某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每个季度煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米4元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米4.5元收费．设小丽家某季度用气量为立方米，应交煤气费为元． (1)若小丽家某季度用煤气量为60立方米，则小丽家该季度应交煤气费多少元？ (2)写出当时与之间的表达式； (3)若小丽家第一季度的煤气费为380元，那么她家第一季度所用煤气为多少立方米？ 类型九、日历问题 例．如图是年月份的月历，现用十字框任意框出个数，如： (1)十字框框出的个数与十字框中间的数有什么关系？ (2)如果十字框框出的个数之和为，那么十字框中间的数是多少？ (3)十字框框出的个数之和可以是吗？ 【变式训练1】．你对生活中常见的月历了解吗？月历中存在许多数字奥秘，你想知道吗？下表是2023年3月的月历． (1)它的横行、竖列上相邻的两数之间有什么关系？ (2)如果告诉你一竖列上连续三个数的和为72，你能知道是哪几天吗？ 【变式训练2】．若干个偶数按每行8个数排成图： (1)图中方框中的9个数的和与中间的数有什么关系？ (2)小亮所画的方框内9个数的和为360，求方框右下角的那个数？写出你的计算步骤． 【变式训练3】．如图1是一个数表，现用一个矩形在数表中图中所示的方式任意框出4个数，若任意框出的数为图2中的a，b，c，d四个数，请根据数表中的规律解决如下问题：    (1)若，则 ； ； (2)a与c的数量关系是 ； (3)当时，求的值． 类型十、古代问题 例．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出七钱，还差三钱．问合伙人数和羊价各是多少？ 【变式训练1】．我国民间流传着这样的一道题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两多7两；每人半斤少半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（注：古代1斤=16两） 【变式训练2】．我国古代重要的数学著作《孙子算经》中记载了这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四五尺，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”意思是：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺，问木头的长度是多少尺？”试计算木头的长度． 【变式训练3】．《张丘建算经》是一部数学问题集，其中有一个在数学史上非常著名的“百鸡问题”．现稍作变形如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，公鸡的数量是母鸡的3倍，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 1．粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来是祭祀祖先神灵的贡品．某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．一列火车匀速行驶，经过一条长米的隧道，从车头开始进入隧道到车尾离开隧道一共需要秒的时间；在隧道中央的顶部有一盏灯，垂直向下发光照在火车上的时间是秒，设该火车的长度为米，根据题意可列一元一次方程为（　　） A． B． C． D． 3．整理一批图书，由一个人做要小时完成，现在计划由一部分人先做小时，再增加人和他们一起做小时，完成这项工作的，假设每个人的工作效率相同，具体先安排人工作，则列方程正确的是（   ） A．B． C． D． 4．疫情期间，为满足市场需求，某厂家每天定量生产医用口罩和口罩共77万个，当该厂家生产的两种口罩当日全部售出时，则可获得利润35万元．两种口罩的成本和售价如下表所示： 成本（元/个） 售价（元/个） 医用口罩 0.8 1.2 口罩 2.5 5 设该厂家每天定量生产医用口罩x万个，根据题意可列方程得（    ） A． B． C． D． 5．足球比赛的记分为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一队打了14场比赛，负5场，共得19分，那么这个队胜了（   ） A．3场 B．4场 C．5场 D．6场 6．某商场举行促销活动，有两种优惠办法：第一种，顾客所购买商品一律按9折算；第二种，采取“满一百元送十元，并且连环赠送”的酬宾方式，即顾客消费每满100元（100元可以是现金，也可以是购物券，或二者合计）就送10元购物券，满200元就送20元购物券，依此类推……现有两位顾客甲和乙，甲顾客选择第一种优惠办法，共付费10000元；乙顾客选择第二种优惠办法，第一次就付了10000元购物，并用所得购物券继续购物．按所享受的折扣算，谁享受的折扣更优惠？（精确到十分位）（    ）． A．甲、乙折扣一样 B．甲 C．乙 D．无法比较 7．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有人，在乙处植树的有人现调人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的倍，问应调往甲、乙两处各多少人？设应调往甲处人，则所列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 8．某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度） 第一阶梯 2760度及以下部分 0.538 第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588 第三阶梯 4801度及以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（   ） A．5250度 B．5100度 C．4900度 D．4850度 9．如图是2024年7月日历，用“⊥”型方框任意覆盖其中四个方格，最大数字为a，四个数字之和为S．当时，a所表示的日期是星期（    ） A．四 B．五 C．六 D．日 10．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为客人一起分银子，若每人分7两，则还剩4两；若每人分9两，则还差8两．问客人有几人？设客人共有人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 一元一次方程实际问题十大类型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、配套问题 2 类型二、工程问题 3 类型三、销售盈亏问题 7 类型四、比赛积分问题 9 类型五、方案选择问题 12 类型六、行程问题 15 类型七、和差倍分 19 类型八、水费电费 21 类型九、日历问题 25 类型十、古代问题 28 压轴能力测评 29 一元一次方程实际应用的解题思路 一元一次方程解决实际问题的一般步骤: 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 备注： （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值． （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 类型一、配套问题 弄清实际问题中的实际意义，配比，比如一个桌面配四条腿，一件衣服配两个衣袖等。 例．用150张铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个或盒底45个，1个盒身与2个盒底配成一套罐头盒．问：用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，使得制成的盒身和盒底恰好配套？ 【答案】用90张铁皮制盒身，60张铁皮制盒底，使得制成的盒身和盒底恰好配套． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程成为解题的关键 设用x张铁皮制盒身，制盒底的铁皮数是张，利用盒底的数量是盒身数量的2倍列出方程求解即可． 【详解】解：设用x张铁皮制盒身，则制盒底的铁皮数是张， 由题意可得：，解得：， ∴． 答：用90张铁皮制盒身，60张铁皮制盒底，使得制成的盒身和盒底恰好配套． 【变式训练1】．某家具厂有名工人，加工某种由一个桌面和四条桌腿的桌子，工人每天每人可以加工个桌面或个桌腿．怎么分配加工桌面和桌腿的人数，才能使每天生产的桌面和桌腿配套． 【答案】应分配人生产桌面，人生产桌腿． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应分配人生产桌面，则人生产桌腿， 根据题意列出方程即可求解，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设应分配人生产桌面，则人生产桌腿， 由题意得，， 解得， ， 答：应分配人生产桌面，人生产桌腿． 【变式训练2】．机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 【答案】安排25名工人加工大齿轮，则安排60名工人生产小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题， 设安排x名工人加工大齿轮，则安排名工人生产小齿轮，共生产个大齿轮，个小齿轮，根据“2个大齿轮和3个小齿轮配成一套”列出方程，求解即可． 【详解】解：设安排x名工人加工大齿轮，则安排名工人生产小齿轮．根据题意，得 解得：， ∴． 答：安排25名工人加工大齿轮，则安排60名工人生产小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套． 【变式训练3】．某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒中装3块大月饼和5块小月饼．制作一块大月饼要用面粉，一块小月饼要用面粉，现在共有面粉，制做这两种月饼应各用多少面粉，才能生产最多的盒装月饼? 【答案】用面粉生产大月饼，面粉生产小月饼，才能生产最多的盒装月饼 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设用面粉生产大月饼，面粉生产小月饼，根据“每盒中装3块大月饼和5块小月饼”列方程求解即可． 【详解】解：设用面粉生产大月饼，面粉生产小月饼， 由题意得，， 解得， 则， 答：用面粉生产大月饼，面粉生产小月饼，才能生产最多的盒装月饼． 类型二、工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1． 基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 例．某厂家接到生产一批口罩的紧急任务，如果每小时生产盒，可按时完成，实际每小时多生产盒，结果提前小时完成任务．问此任务共生产口罩共多少盒？ 【答案】盒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系是解题的关键，设计划小时完成，则实际小时完成，根据前后完成的任务量相同求得，代入求解即可． 【详解】解：设计划小时完成，则实际小时完成，根据题意得： ， 解得：， （盒）， 答：此任务共生产口罩盒． 【变式训练1】．整理一批图书，若由一个人独做需要80个小时完成，假设每人的工作效率相同． (1)若限定32小时完成，一个人先做8小时，再需增加多少人帮忙才能在规定的时间内完成？ (2)计划由一部分人先做4小时，然后增加3人与他们一起做4小时，正好完成这项工作的，应该安排多少人先工作？ 【答案】(1)再需增加2人帮忙才能在规定的时间内完成 (2)应该安排6人先工作 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设再需增加x人帮忙才能在规定的时间内完成，根据各部分的工作量之和等于1，再建立方程求解即可； （2）设应该安排x人先工作，根据各部分的工作量之和等于，再建立方程求解即可； 【详解】（1）解：设再需增加x人帮忙才能在规定的时间内完成，可得： ， 解得： 答：再需增加2人帮忙才能在规定的时间内完成； （2）解：设应该安排x人先工作，可得： ， 解得：， 答：应该安排6人先工作． 【变式训练2】．学校计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服80件，且乙工厂每天加工这种校服的件数比甲工厂每天加工这种校服的件数多． (1)若甲单独加工这批校服比乙工厂单独加工这批校服多用20天，求这批校服共有多少件？ (2)在（1）的条件下，若先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，乙工厂提高加工速度后继续完成剩余部分，乙工厂的全部工作时间是甲工厂全部工作时间的3倍还少8天，若在加工过程中，甲工厂每天所需费用400元，乙工厂每天所需费用500元，学校共需支付甲乙两工厂18800元，求乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服多少件？ 【答案】(1)这批校服共有4800件 (2)乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服150件 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）首先求得乙工厂每天加工这种校服的件数，设这批校服共有件，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案； （2）首先设甲工厂全部工作时间是天，则乙工厂的全部工作时间是天， 根据题意，列方程并求解，即可确定甲工厂全部工作时间；再设乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服件，列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意得，乙工厂每天加工这种校服（件）， 设这批校服共有件， 根据题意，可得， 解得（件）． 答：这批校服共有4800件； （2）设甲工厂全部工作时间是天，则乙工厂的全部工作时间是天， 根据题意，可得， 解得（天）， ∴甲工厂全部工作时间是12天； 设乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服件， 根据题意，可得， 解得（件）． 答：乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服150件． 【变式训练3】．为打造安全环保的某河流公园，某市设立若干河流排污治理点（每个治理点需安装相同长度的排污治理管道）．一天，甲队3名工人去完成5个治理点的管道铺设，但还有60米管道没有完成；同一天，乙队4名工人完成5个治理点的管道铺设后，仍多铺设了40米管道．已知每名甲队工人比每名乙队工人每天多铺设20米管道． (1)求每个排污治理点需铺设的管道长度； (2)已知每名甲队工人每天需支付费用500元，每名乙队工人每天需支付400元，该市某处共设立27个排污治理点，现有甲队3名工人，乙队4名工人来安装管道，方案一：全部由甲队安装；方案二：全部由乙队安装；（不到一天需按一天费用算）．请通过计算说明选择哪种方案可使总费用最少？ 【答案】(1)每个排污治理点需铺设的管道长度为120米 (2)应选择方案一 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、解一元一次方程等知识点，明确题意、正确的列出一元一次方程是解答本题的关键． （1）设每个排污治理点需铺设的管道长度为x米，然后根据题意列方程解答即可； （2）先分别求出甲、乙队工人一天可铺设管道的长度，再分别按两种方案求得总费用，最后比较即可解答． 【详解】（1）解：设每个排污治理点需铺设的管道长度为米， 根据题意，得， 解这个方程，得． 所以，每个排污治理点需铺设的管道长度为120米． （2）解：每名甲队工人每天铺设管道米数：． 方案一需要天数：． 方案一需要费用：． 每名乙队工人每天铺设管道米数：． 方案二需要费用天数：． 方案二需要费用：． 因为， 所以，应选择方案一． 类型三、销售盈亏问题 （1） (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率 (4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 “商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 例．某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标？ 【答案】每件衬衫降价40元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． 设每件衬衫降价x元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标，根据题意列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：设每件衬衫降价x元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标． 根据题意，得， 解得： 答∶每件衬衫降价40元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标 【变式训练1】．某水果销售点用1000元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种 5 8 乙种 9 13 (1)这两种水果各购进多少千克？ (2)若该水果店按售价销售完这批水果，获得的利润是多少元？ 【答案】(1)甲种65千克，乙种75千克 (2)495元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，有理数的混合运算的实际应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设甲种水果购进千克，则乙种水果购进千克．根据“用1000元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克”建立方程求解即可； （2）由两种水果的利润之和等于总利润可得答案． 【详解】（1）解：设甲种水果购进千克，则乙种水果购进千克．依题意得：． ． 解得：， ∴． 答：甲种水果购进65千克，乙种水果购进75千克； （2）解：． （元）． 答：该水果店按销售价销售完这批水果，获得的利润是495元． 【变式训练2】．情景：试根据图中信息，解答下列问题： (1)购买根跳绳需______元，购买根跳绳需______元． (2)小红比小明多买根跳绳，付款时小红反而比小明少付元，你认为有这种可能吗？若有，请求出小红购买跳绳的根数；若没有，请说明理由． 【答案】(1)； (2)有这种可能，小红购买跳绳根 【分析】本题考查了一元一次方程的应用， （1）根据总钱数单价购买数量（或总钱数单价购买数量），代入数据即可得出结论； （2）设小红购买跳绳根，则小明购买了根，根据“总钱数单价购买数量（或总钱数单价购买数量），小红比小明少花元”即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； 解题的关键是：（1）根据数量关系列式计算；（2）根据数量关系列出关于的一元一次方程． 【详解】（1）解：（元）， （元）， ∴购买根跳绳需元，购买根跳绳需元， 故答案为：；； （2）有这种可能 设小红购买跳绳根，则小明购买了根， 根据题意得：， 解得：， ∴有这种可能，小红购买跳绳根． 【变式训练3】．2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受国内外广大朋友的喜爱，北京奥组委官方也推出了许多与吉祥物相关的商品，其中有型冰墩墩和型雪容融两种商品．已知购买1个型商品和1个型商品共需要220元，购买3个型商品和2个型商品共需要560元，求每个型商品的售价． 【答案】每个A型商品的售价为120元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设每个型商品的售价为元，则每个型商品的售价为元，根据购买3个型商品和2个型商品共需要560元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设每个型商品的售价为元，则每个型商品的售价为元， 依题意得：， 解得：． 答：每个型商品的售价为120元． 类型四、比赛积分问题 一般用胜分＋平分＋负分＝总积分，列出方程求助即可。 例．某校组织学生参加2022年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了三名学生的得分情况： 参赛学生 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 15 5 65 请结合表中所给数据，回答下列问题： (1)本次知识问答中，每答对一题加______分，每答错一题减______分； (2)若小明同学答对16题，请计算小明的得分； (3)若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，哪一个可能是小刚的得分_____（填写选项）； A．75；B．63；C．56；D．44 并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列一元一次方程解决问题） 【答案】(1)5，2 (2) (3)D，答对了12道题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）根据A的得分可求出每答对一题的加分，根据B或C的得分可求出每打错一题的减分； （2）按照（1）中的答题得分计算即可； （3）设小刚答对x道题，则答错道题，列方程对每个选项分析即可； 【详解】（1）解：答对一题加：分， 答错一题减：分， 故答案为：5，2； （2）小明的得分：分， （3）D，答对了12道题． 设他答对道题，则答错道题． A．若，解得，故不符合题意； B．若，解得，故不符合题意； C．若，解得，故不符合题意； D．若，解得，符合题意； 答：小刚同学答对了12道题． 【变式训练1】．某中学组织足球比赛，比赛规定：胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分．勇士队共参加8场比赛，在保持不败的情况下，共得13分．问此次比赛中勇士队胜了几场？ 【答案】胜了5场 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解． 设此次比赛中勇士队胜了场，则平了场，根据胜一场得2分，平一场得1分，共得13分，列出方程求解即可． 【详解】解：设此次比赛中勇士队胜了场，则平了场， 根据题意，得 解这个方程，得． 答：此次比赛中勇士队胜了5场． 【变式训练2】．某市中考体育测试中包含一分钟排球垫球项目，考试规则为：学生垫球一分钟，若垫球次数达到某一标准及以上，则记为满分．在一次班会中，小明得知以下信息：若每秒钟垫球若干次，则一分钟后垫球次数比满分标准多出次；若每秒钟垫球次数是原来的倍，则一分钟后垫球次数是满分标准的倍少个．求垫球满分的标准是每分钟多少个？ 【答案】个 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设每秒钟垫球次，则一分钟后垫球次数比满分标准多出次，则垫球满分要求的每分钟的标准次数为次，列方程得，解方程求出的值，再求出代数式的值即得到问题的答案．正确理解题意，找出等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每秒钟垫球次，则垫球满分的标准是每分钟次， 根据题意，得：， 解得：， ∴（个）， 答：垫球满分的标准是每分钟个． 【变式训练3】．2023-2024全国甲A篮球赛（CBA）共进行了52轮常规赛，最后辽宁队和新疆队进入总决赛．常规赛中，规定胜一场积2分，负一场积1分，每场比赛均分胜负，常规赛结束时，辽宁队积分为95分，求辽宁队在常规赛中负了几场． 【答案】9场 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据积分等于胜场积分负场积分列方程解题即可． 【详解】解：设辽宁队在常规赛中负了x场， 答：辽宁队在常规赛中负了场． 类型五、方案选择问题 （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 例．中小学生研学旅行是由教育部门和学校有计划地组织安排，通过集体旅行、集中食宿方式开展的研究性学习和旅行体验相结合的校外教育活动．红星学校组织七年级学生参加研学旅行，便与秦城汽车租赁有限公司商议，单独租用45座A型客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用60座B型客车，可少租1辆，并且还有15个空位． (1)该校参加这次研学旅行有多少人？ (2)45座A型客车每天的租金600元，60座B型客车每天的租金700元，该校租那种车型更划算？ 【答案】(1)该校参加这次研学旅行有人 (2)该校租B型客车更划算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和实数的混合运算，找准相等关系列出方程是解题的关键． （1）设该校参加这次研学旅行有人，根据题意可得，求解方程即可解题； （2）分别求出两种方案的费用，选择划算的方案即可． 【详解】（1）解：设该校参加这次研学旅行有人，依题意得： ， 该校参加这次研学旅行有人． （2）解：租A型客车需辆，租B型客车辆， A型客车每天租金：元；B型客车每天租金：元． 即：A型客车每天租金型客车每天租金， 该校租B型客车更划算． 【变式训练1】．某校五年级学生举行春游，若租用45座客车，则有15人没有座位，若租用同样数目的60座客车，刚刚好有一辆客车空车．已知45座客车租金220元，60座客车租金300元．问： (1)这个学校五年级一共有学生多少人？ (2)怎样租车，最经济合算？ 【答案】(1)240人 (2)租用4辆45座客车，1辆60座客车时，最经济合算． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）设这个学校五年级一共有学生x人，根据租用45座客车，则有15人没有座位，若租用同样数目的60座客车，刚刚好有一辆客车空车列出方程求解即可； （2）求出45座客车每人的平均租金比60座客车的每人的平均租金要低，则在保证全部坐完学生的情况下，45座客车要尽可能的多，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：设这个学校五年级一共有学生x人， 由题意得，， 解得， 答：这个学校五年级一共有学生240人； （2）解：， 所以45座客车每人的平均租金比60座客车的每人的平均租金要低， 所以在保证全部坐完学生的情况下，45座客车要尽可能的多， 辆， 当租用6辆45座客车时的租金为元， 人， 当租用4辆45座客车，1辆60座客车时的租金为元， 因为， 所以租用4辆45座客车，1辆60座客车时，最经济合算． 答：租用4辆45座客车，1辆60座客车时，最经济合算． 【变式训练2】．春节假期期间，为让返乡游子感受到“老家河南，味道中原”的魅力，某河南特色美食店优惠大酬宾，推出以下两种优惠方案： 方案一 可购买100元代金券，每张79元，每次消费时最多可使用3张，能使用尽量使用，未满100元的部分不得使用代金券 方案二 消费满300元按总价的九折优惠，不得同时使用代金券 例：某次消费120元，按照方案一使用代金券后，实际花费元． (1)若某次消费240元，按照方案一使用代金券后，实际花费________元． (2)若某次实际花费360元，则在使用优惠方案前可能消费多少元？ (3)小明一家春节假期期间去该美食店消费了元． ①若按照方案一使用代金券进行优惠，实际花费________元；若按照方案二进行优惠，实际花费________元；（用含x的代数式表示） ②选择哪种方案更省钱？ 【答案】(1)198 (2)400或423 (3)①；；②当时，按方案一更省钱；当时，一样省钱，当时，按方案二更省钱 【分析】本题考查列代数式，有理混合运算的应用，一元一次方程的应用．解题关键是理解方案一中的计算方法． （1）消费超过200元，可以用两张优惠券，剩余10元原价支付即可． （2）分两种情况讨论：用方案一或方案二，分类得出每一种情况即可，因为最多可以用三张优惠券，所以减去三个优惠券的价格，就是多出300元的部分，从而得出利用方案一计算的消费额，方案二直接打九折，那就直接除以0.9即可． （3）①按照方案一、方案二列出代数式，化简得出即可．②首先求出两种方案相等的数值，在分类讨论即可． 【详解】（1）解：某次消费240元，使用代金券后，实际花费（元； 故答案为：198； （2）解：某次实际花费360元， 如果用方案一：（元，（元， 如果用方案二：（元 故答案为：400或423； （3）解：①某次消费元，按照方案一使用代金券后，实际花费为：元， 按照方案二进行优惠，实际花费为：元， 故答案为：，； ②令， 解得， 当时，按方案一更省钱， 当时，一样省钱， 当时，按方案二更省钱． 【变式训练3】．商店售出茶壶和茶杯，茶壶每只定价元，茶杯每只定价元．该店制定了两种优惠办法，方法：买一只茶壶赠送一只茶杯；方法：按总价打九折．某顾客需购买茶壶只，茶杯若干只（不少于只），若设购买茶杯数为只，付款数分别按两种优惠办法计算． (1)计算两种不同的收费； (2)当顾客在同一商店购买多少只茶杯时，两种办法的付款数相同？ 【答案】(1)方法：，方法：； (2)当顾客在同一商店购买只茶杯时，两种办法的付款数相同． 【分析】（）分别按照方法和方法列出代数式即可； （）当时，解出方程即可； 本题考查了列代数式，一元一次方程得应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）由题意可知：方法：， 方法：； （2）当时， 解得：， 答：当顾客在同一商店购买只茶杯时，两种办法的付款数相同． 类型六、行程问题 （1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 （2）基本类型有： 　 ①相遇问题（或相向问题） Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题： Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题： Ⅰ．基本量及关系： 顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （3） 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析 例．已知甲、乙两地相距、B两车分别从甲、乙两地同时出发，A车速度为车速度为． (1)A、B两车同时同向而行，A车在后，经过几小时A车追上B车？ (2)A、B两车同时相向而行，经过几小时两车相距？ 【答案】(1)经过8小时车追上车 (2)经过1或小时两车相距 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．根据题意设出未知数，找出等量关系，列出方程是解题关键． （1）设经过小时车追上车，根据题意可列出关于的方程，解出即可； （2）设经过小时两车相距，根据题意可分类讨论当两车相遇前和当两车相遇后，分别列出关于的方程，解出即可． 【详解】（1）解：设经过小时车追上车， 依题意可列方程． 解得：， 答：经过8小时车追上车． （2）解：设经过小时两车相距． 根据题意可作分类讨论： ①当两车相遇前，可列方程：， 解得：； ②当两车相遇后，可列方程：， 解得：． 综上可知，经过1或小时两车相距． 【变式训练1】．小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走．下坡路每分钟走，上坡路每分钟走．则他从家里到学校需，从学校到家里需．问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？设小华家到学校的平路为x，用方程表示上述数量关系，并解出方程． 【答案】平路为300米，下坡路为400米 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设小华家到学校的平路为x米，则下坡路为米，根据时间=路程÷速度结合小华从学校到家里需，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设小华家到学校的平路为x米，则下坡路为米，根据题意，得 解得：， ∴（米） 答：从小华家到学校的平路为300米，下坡路为400米． 【变式训练2】．如图，数轴上A点和B点表示的数分别为和，如果两个点同时开始在数轴上运动，且A点的运动速度为3个单位/秒，B点运动速度为1个单位/秒， (1)如果A点向数轴的正方向运动，B点向数轴的负方向运动时，请问几秒钟后两点相遇？ (2)如果A、B两点同时向正方向运动，请问几秒钟后A点与B点相遇？ (3)如果A、B两点同时向正方向运动，请问当t为何值时，之间的距离等于8？ 【答案】(1)秒后两点相遇 (2)秒后两点相遇 (3)或者时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，两点之间的距离，数轴上动点问题，解题的关键是设未知数，找准等量关系，正确列出方程并求解． （1）设秒后两点相遇，根据题意列出方程求解即可； （2）设秒后两点相遇，根据题意列出方程求解即可； （3）根据题意考虑两种情况，①点在点左侧，②点在点右侧，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设秒后两点相遇， 则有， 解得：， 秒后两点相遇； （2）解：设秒后两点相遇， 则有， 解得：， 秒后两点相遇； （3）解：本题考虑两种情况： ①点在点左侧， 则有， 解得：； ②点在点右侧， 则有， 解得：； 或者时，之间的距离等于8． 【变式训练3】．若一数轴上存在两动点，当第一次相遇后，速度都变为原来的两倍，第二次相遇后又都能恢复到原来的速度，则称这条数轴为神奇数轴． 如图，已知一神奇数轴上有，，三点，其中，对应的数分别为，0，为55个单位长度，甲，乙分别从，两点同时出发，沿数轴正方向同向而行，甲的速度为3个单位秒，乙的速度为1个单位秒，甲到达点后以当时速度立即返回，当甲回到点时，甲、乙同时停止运动．    (1)点B对应的数为______，甲出发______秒后追上乙（第一次相遇） (2)当甲到达点B立即返回后第二次与乙相遇，求出相遇点在数轴上表示的数是多少？ (3)甲、乙同时出发多少秒后，二者相距3个单位长度？（直接写出答案） 【答案】(1)45，5 (2)相遇点在数轴上表示的数是25； (3)甲、乙同时出发秒或秒或秒或秒后，二者相距3个单位长度． 【分析】本题考查了数轴的动点问题，一元一次方程的应用，掌握题意正确列出代数式是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式可求点对应的数，可设甲出发秒后追上乙（即第一次相遇），根据速度差时间路程差，路程方程求解即可； （2）先求出第二次与乙相遇需要的时间，进一步可求相遇点在数轴上表示的数； （3）分第一次相遇前后相距3个单位长度，第二次相遇前后相距3个单位长度，进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：甲到达点需要秒, 点对应的数为， 设甲出发秒后追上乙（即第一次相遇）， 依题意有， 解得， 故甲出发5秒后追上乙（即第一次相遇）． 故答案为：45；5； （2）解：第一次相遇时，甲对应的数字是：， 距离点距离为：， 从第一次相遇到下一次相遇的时间是：（秒， ∵． 故相遇点在数轴上表示的数是25； （3）解：第一次相遇前后相距3个单位长度， 第一次相遇前时间是：（秒）， 第一次相遇后时间是：（秒）， 第二次相遇前后相距3个单位长度， 第二次相遇前时间是：（秒）， 第二次相遇前时间是：（秒）． 故甲、乙同时出发秒或秒或秒或秒后，二者相距3个单位长度． 类型七、和差倍分 例．为保证校运会的正常进行，学校共选拔了200名学生志愿者，其中男生人数是女生人数的2倍少1人．求参加志愿者的男，女生人数各是多少? 【答案】参加志愿者的男生有133人，女生有67人． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．设女生人数为x人，则男生人数人，学校共选拔了200名学生志愿者，据此列出方程，并解方程即可． 【详解】解：设女生人数为x人，则男生人数人，根据题意得， ， 解得， 则， 答：参加志愿者的男生有133人，女生有67人． 【变式训练1】．五、六年级同学去植树，五年级植树棵数占总棵数的，六年级植树棵数占总棵数的，六年级比五年级多植15棵树，两个年级一共植树多少棵？（用方程解决问题） 【答案】两个年级一共植树75棵． 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，理解题意是解题的关键．设五年级植树x棵，根据题意列出方程计算即可得到答案． 【详解】解：设年级总植树数为x棵， ， ，   ， ， 答：两个年级一共植树75棵． 【变式训练2】．列式计算 (1)12个的和减去，差是多少？ (2)甲数的是15，乙数比甲数少，乙数是多少？ (3)一个数的比36的多2，这个数是多少？（列方程解答） 【答案】(1) (2)18 (3)45 【分析】本题主要考查列式计算，理解题意正确列出式子是解题的关键． （1）根据题意列出式子进行计算即可； （2）根据题意列出式子进行计算即可； （3）设这个数是，根据一元一次方程进行求解即可． 【详解】（1） （2） （3）解：设这个数是． 答：这个数是45． 【变式训练3】．某厂的两个车间10月份共生产1339个零件，第一车间10月份比9月份增产，第二车间10月份比9月份减产，若9月份第一车间的产量是第二车间产量的3倍，那么9月份两个车间各生产了多少个零件？ 【答案】9月份第一车间975个零件，第二车间生产了个零件． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．设9月份第二车间的产量为个，则9月份第一车间的产量为个，根据“两个车间10月份共生产1339个零件，第一车间10月份比9月份增产，第二车间10月份比9月份减产”列方程求解即可． 【详解】解：设9月份第二车间的产量为个，则9月份第一车间的产量为个， 由题意得：， 解得：， （个）， 答：9月份第一车间975个零件，第二车间生产了个零件． 类型八、水费电费 例．为鼓励人们节约用水，合肥市居民使用自来水实行阶梯式计量水价，按如下标准缴费（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 a元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 2a元 (1)当时，芳芳家月份用水量为，则该月需交水费________元；月份芳芳家交了水费元，则月份用水量为________（直接写出答案）； (2)当时，亮亮家一个月用了的水，求亮亮家这个月应缴纳的水费； (3)设某用户月用水量为（），该用户这个月应缴纳水费多少元？（用含，的式子表示） 【答案】(1)； (2)亮亮家这个月应缴纳的水费为元 (3)该用户这个月应缴纳水费元 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算及整式的加减及一元一次方程的应用，正确理解题干所给计算公式是解题的关键． （1）根据题干所给计算公式即可求得芳芳家月份需交水费，设芳芳家月份用水量为，列一元一次方程求解即可得月份用水量； （2）根据题干所给计算公式即可求解； （3）根据所给计算公式列式计算即可． 【详解】（1）解：当，芳芳家月份用水量为时，该月需交水费为元； 设芳芳家月份用水量为， ∵，， ∴， 则由题意，得， 解得， ∴芳芳家月份用水量为． 故答案为：；　； （2）解：元， 答：亮亮家这个月应缴纳的水费为元． （3）解：户月用水量为（）， ∴该用户应缴纳的水费为元， 答：该用户这个月应缴纳水费元． 【变式训练1】．某县政府今年对居民用水实行分层收费如下表： 每户每月用水量 水费/（元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小华家今年1月份用水量是20立方米，则他家应缴费______元．（直接填写答案即可） (2)若小华家今年2月份用水量是26立方米，缴费62.6元，请求出用水量在22~30立方米之间的收费标准a元/立方米． (3)在（2）的条件下，若小华家今年8月份用水量增大，共缴费97.6元，则他家8月份用水量是多少立方米？ 【答案】(1)46 (2)用水在立方米之间的收费标准3元立方米； (3)他家8月份的月水量是35立方米． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解三级阶梯水价收费标准是重点，根据等量关系列方程求解是关键． （1）因为20立方米不超过22立方米，所以直接按2.3元计算即可； （2）因为26立方米超过22立方米且不超过30立方米，所以，根据方程即可求出的值； （3）先根据第（2）问中得出的结果计算30立方米的费用，从而确定属于第几个阶梯，再列方程解决． 【详解】（1）解：（元）． 故答案为：46； （2）解：根据题意，得， 解得． 答：用水在立方米之间的收费标准3元立方米； （3）解：设他家8月份的月水量是立方米． ， ， 可列方程：， 解得． 答：他家8月份的月水量是35立方米． 【变式训练2】．为了鼓励居民节约用水，某地决定实行两级收费制，每月用水量不超过14吨（含14吨）时，每吨2元；超过14吨时，超过部分每吨元． (1)小钟家一月用水量为10吨，则应缴水费为______元． (2)小华家一月与二月用水量分别为12吨，16吨，二月比一月的水费多11元． ①求的值． ②小华家三月比二月用水量多4吨，四月比三月的水费少7元，求小华家四月的用水量． 【答案】(1)20 (2)①a的值为；②小华家四月的用水量为18吨． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、找准等量关系等知识点，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）直接根据题意列式计算即可； （2）①根据小华家二月比一月的水费多11元，列出关于a的一元一次方程求解即可；②设小华家四月的用水量为x吨，然后根据题意列出关于x的一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴小钟家一月应缴水费（元）． 故答案为：20； （2）解：①根据题意得：，解得：． 答：a的值为； ②设小华家四月的用水量为x吨， 根据题意得：，解得：． 答：小华家四月的用水量为18吨． 【变式训练3】．某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每个季度煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米4元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米4.5元收费．设小丽家某季度用气量为立方米，应交煤气费为元． (1)若小丽家某季度用煤气量为60立方米，则小丽家该季度应交煤气费多少元？ (2)写出当时与之间的表达式； (3)若小丽家第一季度的煤气费为380元，那么她家第一季度所用煤气为多少立方米？ 【答案】(1)元 (2) (3)立方米 【分析】本题考查列关系式，一元一次方程，解决本题的关键是读懂题意，列出表达式. （1）根据题意列出算式求解即可； （2）根据题意列出关系式即可； （3）根据题意列出方程求解即可. 【详解】（1）根据题意得：小丽家该季度应交煤气费为(元)； （2）当 时, ； （3）解：设小丽家第一季度用气立方米， 因为 所以 由题意，得 解得 答：小丽家第一季度用气立方米. 类型九、日历问题 例．如图是年月份的月历，现用十字框任意框出个数，如： (1)十字框框出的个数与十字框中间的数有什么关系？ (2)如果十字框框出的个数之和为，那么十字框中间的数是多少？ (3)十字框框出的个数之和可以是吗？ 【答案】(1)十字框框出的个数的和等于十字框中间的数的倍 (2)十字框中间的数是 (3)十字框框出的个数之和可以是 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据题意列式计算，即可找出相应关系； （2）根据“十字框框出的个数之和为”列方程求解即可； （3）根据“十字框框出的个数之和是”列方程求解即可． 【详解】（1）解：， 答：十字框框出的个数的和等于十字框中间的数的倍； （2）解：设十字框中间的数是， 则依据题意有：， 解得：， 答：十字框中间的数是； （3）解：设十字框中间的数是， 则依据题意有：， 解得：， 且， 十字框框出的个数之和可以是， 答：十字框框出的个数之和可以是． 【变式训练1】．你对生活中常见的月历了解吗？月历中存在许多数字奥秘，你想知道吗？下表是2023年3月的月历． (1)它的横行、竖列上相邻的两数之间有什么关系？ (2)如果告诉你一竖列上连续三个数的和为72，你能知道是哪几天吗？ 【答案】(1)横行上相邻的两个数之差为1，竖列上相邻的两数之差为7 (2)这三天分别是17号、24号、31号 【分析】本题考查数字类规律探究，一元一次方程的应用： （1）直接观察，即可得出结果； （2）设一竖列上连续三个数的中间的一个数为x，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：月历中，横行上相邻的两个数之差为1，竖列上相邻的两数之差为7． （2）设一竖列上连续三个数的中间的一个数为x，则上面的一个数为，下面的一个数为． 依题意得，， 解得： 所以； 答：这三天分别是17号、24号、31号． 【变式训练2】．若干个偶数按每行8个数排成图： (1)图中方框中的9个数的和与中间的数有什么关系？ (2)小亮所画的方框内9个数的和为360，求方框右下角的那个数？写出你的计算步骤． 【答案】(1)方框中的9个数的和是中间的数的9倍 (2)右下角的数是58；过程见解析 【分析】此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出表格中数据的变与不变是解题关键． （1）根据已知9个数直接求出和即可，进而得出与中间的数的关系； （2）可设中间的数为x,根据（1）中规律得出这9个数的和的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）， ， 方框中的9个数的和是中间的数的9倍； （2）设中间的数为，则其它8个数分别是：，依题意有 ， 解得， ． 右下角的数是58． 【变式训练3】．如图1是一个数表，现用一个矩形在数表中图中所示的方式任意框出4个数，若任意框出的数为图2中的a，b，c，d四个数，请根据数表中的规律解决如下问题：    (1)若，则 ； ； (2)a与c的数量关系是 ； (3)当时，求的值． 【答案】(1)22，21 (2) (3)241 【分析】本题考查了代数式求值和一元一次方程的应用，解题的关键是结合图表弄清题意． （1）结合图可分别求出b和c； （2）结合图任意列举两组数字，即可发现与的关系； （3）根据已知条件列一元一次方程求解，再求代数式的值即可． 【详解】（1）解:由数表可得，若，则，， 故答案为：22，21； （2）由数表可得，a与c的数量关系是， 故答案为：； （3）将代入，得， 解得：， 则， ． 类型十、古代问题 例．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出七钱，还差三钱．问合伙人数和羊价各是多少？ 【答案】21人，150元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设合伙人数为x,根据“若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出七钱，还差三钱”， 即可得出关于x的一元一次方程求解可得合伙人数，再将其代入计算即可求出羊价． 【详解】解：设合伙人数为x, 依题意得：，解得：， 则． 答：合伙人数为21，羊价为150钱． 【变式训练1】．我国民间流传着这样的一道题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两多7两；每人半斤少半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（注：古代1斤=16两） 【答案】15人分112两银 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理清数量关系、正确列出一元一次方程成为解题的关键． 设有x人，然后根据题意列出方程求得x的值，进而求得银的两数． 【详解】解：设有x人， 由题意可得：，解得： 则银两． 答：15人分112两银． 【变式训练2】．我国古代重要的数学著作《孙子算经》中记载了这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四五尺，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”意思是：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺，问木头的长度是多少尺？”试计算木头的长度． 【答案】6.5尺 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设木头长x尺，根据“用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺”列方程即可作答． 【详解】设木头长x尺，由题意可知：， 解得 答：木头的长度是6.5尺． 【变式训练3】．《张丘建算经》是一部数学问题集，其中有一个在数学史上非常著名的“百鸡问题”．现稍作变形如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，公鸡的数量是母鸡的3倍，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 【答案】公鸡、母鸡、小鸡分别有12只、4只、84只 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题的关键． 设母鸡有x只，则公鸡有只，根据用一百文钱买一百只鸡，列出方程，求解即可． 【详解】解：设母鸡有x只，则公鸡有只，小鸡有（只）， 根据题意列方程为：． 解得， ∴，， ∴公鸡、母鸡、小鸡分别有12只、4只、84只． 1．粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来是祭祀祖先神灵的贡品．某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、找准等量关系成为解题的关键． 设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽，然后根据“粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽”列方程即可． 【详解】解：设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽， 根据题意得． 故选：B． 2．一列火车匀速行驶，经过一条长米的隧道，从车头开始进入隧道到车尾离开隧道一共需要秒的时间；在隧道中央的顶部有一盏灯，垂直向下发光照在火车上的时间是秒，设该火车的长度为米，根据题意可列一元一次方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设该火车的长度为米，根据速度是不变量（速度等于路程除以时间），即可得出关于的一元一次方程，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键． 【详解】解：设该火车的长度为米， 根据题意得：， 故选：． 3．整理一批图书，由一个人做要小时完成，现在计划由一部分人先做小时，再增加人和他们一起做小时，完成这项工作的，假设每个人的工作效率相同，具体先安排人工作，则列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，准确理解题意是解题的关键．根据题中等量关系列出方程即可． 【详解】解：设应先安排人工作， 根据题意得：一个人做要小时完成，现在计划由一部分人先做小时，工作量为，再增加人和他们一起做小时的工作量为， 故可列式， 故选：B． 4．疫情期间，为满足市场需求，某厂家每天定量生产医用口罩和口罩共77万个，当该厂家生产的两种口罩当日全部售出时，则可获得利润35万元．两种口罩的成本和售价如下表所示： 成本（元/个） 售价（元/个） 医用口罩 0.8 1.2 口罩 2.5 5 设该厂家每天定量生产医用口罩x万个，根据题意可列方程得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题，从实际问题抽象出一元一次方程是解题的关键． 若设该厂家每天定量生产医用口罩x万个，则每天定量生产口罩万个，根据当日全部售出时，则可获得利润35万元，列出方程即可． 【详解】解：若设该厂家每天定量生产医用口罩x万个，则每天定量生产口罩万个， 根据题意，得 ， 故选：C． 5．足球比赛的记分为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一队打了14场比赛，负5场，共得19分，那么这个队胜了（   ） A．3场 B．4场 C．5场 D．6场 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要掌握胜的场数平的场数负的场数总得分． 设共胜了场，本题的等量关系为：胜的场数平的场数负的场数总得分，解方程即可得出答案． 【详解】解：设共胜了场，则平了场， 由题意得：， 解得：，即这个队胜了5场． 故选：C． 6．某商场举行促销活动，有两种优惠办法：第一种，顾客所购买商品一律按9折算；第二种，采取“满一百元送十元，并且连环赠送”的酬宾方式，即顾客消费每满100元（100元可以是现金，也可以是购物券，或二者合计）就送10元购物券，满200元就送20元购物券，依此类推……现有两位顾客甲和乙，甲顾客选择第一种优惠办法，共付费10000元；乙顾客选择第二种优惠办法，第一次就付了10000元购物，并用所得购物券继续购物．按所享受的折扣算，谁享受的折扣更优惠？（精确到十分位）（    ）． A．甲、乙折扣一样 B．甲 C．乙 D．无法比较 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程与实际问题，计算第二种优惠享受的折扣是解题的关键．按照题中给出的优惠办法，计算出第二种折扣，与第一种进行比较即可． 【详解】解：甲顾客选择第一种优惠办法，享受9折优惠； 乙顾客选择第二种优惠办法，第一次付了10000元，赠送的购物券金额为， 1000元赠送的购物券金额为，100元赠送的购物券金额为，因而用10000元购买的商品的价值是（元）， ， ， 甲、乙折扣一样． 故选：． 7．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有人，在乙处植树的有人现调人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的倍，问应调往甲、乙两处各多少人？设应调往甲处人，则所列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应调往甲处人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设应调往甲处人， 由题意可得，， 故选：． 8．某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度） 第一阶梯 2760度及以下部分 0.538 第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588 第三阶梯 4801度及以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（   ） A．5250度 B．5100度 C．4900度 D．4850度 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是先判断出小聪家去年前11个月用电量超过2761度，不足4800度，设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度，根据12月份用电量为500度，电费为319元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵（元），（元）， 又∵， ∴小聪家去年前11个月用电量超过2761度，不足4800度， 设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度，根据题意得： ， 解得：， （度）， 答：小聪家去年全年用电量为4900度． 故选：C． 9．如图是2024年7月日历，用“⊥”型方框任意覆盖其中四个方格，最大数字为a，四个数字之和为S．当时，a所表示的日期是星期（    ） A．四 B．五 C．六 D．日 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的日历应用，先表示用“⊥”型方框的其他数值为，根据四个数字之和为S．当时，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵用“⊥”型方框任意覆盖其中四个方格，最大数字为a， ∴其他数值为， ∵四个数字之和为S．当时， ∴ 解得， 解得， 结合2024年7月日历， ∴a所表示的日期是星期六， 故选：C． 10．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为客人一起分银子，若每人分7两，则还剩4两；若每人分9两，则还差8两．问客人有几人？设客人共有人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据“每人7两，还剩4两；每人9两，还差8两”，结合分银子的人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】设客人共有人， 根据题意得，． 故选：A． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$