专题12 二元一次方程（组）实际问题七大考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（沪科版2024）

专题12 二元一次方程（组）实际问题七大考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、方案问题 2 类型二、行程问题 3 类型三、工程问题 4 类型四、数字问题 5 类型五、销售利润问题 6 类型六、和差倍分 7 类型七、几何图形问题 8 压轴能力测评 9 二元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 备注： （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值． （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 类型一、方案问题 (1) 仔细阅读，弄懂题目意思.此类问题的题干一般较长，审题时需要耐心多阅读几遍，读懂题目的意思； (2)列方程组，求出关键基础量.此类问题中有些量是解题的基础，需要找出合适的等量关系，列出方程组，先求出这些基础量； (3)分类比较，确定最优方案根据题目条件分类讨论，列出所有可能的方案，再按题目的要求对每个方案进行比较，从中选择最优方案. 例．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在(2)中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【变式训练1】．为进一步美化校园，学校决定在校园内的空地处栽种部分桂花树和樱花树，通过与园林部门联系，每棵樱花树苗的价格比每棵桂花树苗的价格贵50元，购买2棵樱花树苗和2棵桂花树苗其需1000元，求樱花树苗和桂花树苗每棵分别为多少元？ 【变式训练2】．已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨? (2)某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物，请你帮该物流公司设计租车方案 【变式训练3】．列二元一次方程组解决实际问题：为拓展学生视野，某中学组织七年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ 类型二、行程问题 （1） 三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 （2） （2）基本类型有： ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系：第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度 逆流速度=静水速度－水流速度 顺水速度－逆水速度＝2×水速 Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （3） 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 例．从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度走平路，到达乙地共用55分钟；他返回时，以每小时8千米的速度通过平路，以每小时4千米的速度上山，共用1.5小时，求甲、乙两地的距离． 【变式训练1】．甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔相遇一次，已知甲比乙跑得快，甲、乙二人每分钟各跑多少圈？ 【变式训练2】．甲、乙两人在一环形场地上，从起点同时同向匀速跑步．甲的速度是乙的3倍，后两人首次相遇，此时乙还需要跑才跑完第一圈，求甲、乙两人速度及环形场地的周长．（列二元一次方程组解答） 【变式训练3】．一艘轮船在相距120千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用了6小时，逆流航行比顺流航行多用了4小时．求该轮船在静水中的速度和水流速度． 类型三、工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 例．某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲、乙两队共完成土方量103.2万立方．甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？ 【变式训练1】．穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米，乙组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 【变式训练2】．为完善吉林市城市路网结构，营造便捷通畅的城市道路系统，提升城市面貌惠及民生，年月起，吉林市各道路维修改造工程有序进行．已知甲工程队天，乙工程队天共修路米；甲工程队天，乙工程队天共修路米，求甲乙两工程队每天分别修路多少米？ 【变式训练3】．古运河是扬州的母亲河．为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：；乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在括号内补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示______，y表示_______； 乙：x表示______，y表示______． (2)求A、B两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程） 类型四、数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 例．一个三位数是它各数位上数字之和的27倍．已知百位上的数字与个位上的数字之和比十位上的数字大1．若把百位上的数字与个位上的数字交换位置，则所得的新数比原数大99．求这个三位数． 【变式训练1】．将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上的数之和相同，各条直径上的数之和也相同，就得到了幻圆．著名的同心幻圆有杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图．如图是一个简单的二阶幻圆模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数之和相等； ②外圆两直径上的四个数之和相等． 求图中两空白圆圈内的数字．    【变式训练2】．一个两位数的十位数字比个位数字大2，如果将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66，求原来的两位数是几？ 【变式训练3】．一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，若把这个两位数加上9，所得的两位数的十位数字和个位数字恰好与原来的两位数的十位数字和个位数字颠倒了，求原来的两位数. 类型五、销售利润问题 （1） (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率 (4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 例．某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元． (1)求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元？ (2)某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打8折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说服他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？ 【变式训练1】．为庆祝“六一”儿童节，某商场全部商品打折出售．打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元；打折后，买500件A商品和400件B商品用了8640元．求该商场商品打几折？ 【变式训练2】．当季是西瓜成熟的季节，西瓜也具有解暑的作用，市场上西瓜的销量也与日俱增，某西瓜种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的西瓜，对总计1000斤的麒麟瓜、黑美人西瓜这两个品种的西瓜进行打包优惠出售，打包方式及售价如下：麒麟瓜每筐8斤，售价200元；黑美人西瓜每筐18斤，售价360元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤西瓜（筐数为整数且两种西瓜至少各有一筐）． (1)若这批西瓜全部售完，共收入21400元，请问麒麟瓜共包装了多少筐，黑美人西瓜共包装了多少筐； (2)当销售总收入为22840元时，若西瓜种植大户留下y（）筐麒麟瓜送人，其余的西瓜全部售出，求y的值． 【变式训练3】．近年来，新能源汽车深受人们的喜爱．某汽车专卖店两周销售A，B两种型号的新能源汽车的情况如下表：请根据表格数据，求出每辆A型车和B型车的售价各为多少万元． 类型 时间 A型 B型 销售额 上周 1辆 3辆 73万元 本周 2辆 1辆 66万元 类型六、和差倍分 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率， 现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． （3） 寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 例．为弘扬爱国主义精神，对青少年学生进行爱国主义教育，勿忘国耻，本记使命，某校准备组织学生到抚顺平顶山惨案纪念馆参观，参观学生共计300人，学校到租车公司联系车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位． (1)求A，B两种车型各有多少个座位． (2)若最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，则两种车型的车各租用了多少辆？ 【变式训练1】．某地独特的气候资源，生产的洋芋品质好、干物质含量高且耐储存，品质、色泽、风味明显优于其他洋芋产区，因而受到国内外客商青睐，现欲将一批洋芋运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满洋芋一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满洋芋一次可运走11吨．现有洋芋31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满洋芋（两种车都租用）．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满洋芋一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． 【变式训练2】．为响应政府号召，陵水县圣女果种植户借助电商平台，在线下批发的基础上同步在电商平台“拼多多”上零售圣女果，已知线上零售40千克、线下批发圣女果80千克共获得销售额4000元；线上零售60千克和线下批发80千克圣女果的销售额相同．求线上零售和线下批发圣女果的单价分别为每千克多少元？ 【变式训练3】．北京时间2024年4月26日5时04分，神州十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小明是一个航天爱好者，计划购进甲、乙两种飞船模型收藏，已知，1件甲种飞船模型和1件乙种飞船模型的售价共计40元，2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型的售价共计95元． (1)求甲，乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ (2)若小明计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 类型七、几何图形问题 例．如图是用长方形厚纸片（厚度不计）做长方体茶叶包装盒的示意图，阴影部分是裁剪掉的部分．沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．用长，宽的长方形厚纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高等于盒底边长乘2.5，三处“接口”的宽度相等，该茶叶盒的容积是多少？ 【变式训练1】．如图，8块相同的小长方形地砖拼成了一个大长方形图案（地砖间的缝隙忽略不计），求每块小长方形的长和宽． 【变式训练2】．如图，在长为，宽为的长方形展厅划出三个形状、大小完全相同的小长方形摆放水仙花，其示意图如图所示．求小长方形的长和宽． 【变式训练3】．用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒． (1)做一个横式无盖纸盒需要______张长方形纸板和_____张正方形纸板． (2)若仓库里有300张长方形纸板和100张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做几个？ (3)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 1．班主任张老师准备将200万元钱全部用于购买A，B两种款式的笔记本作为奖品（两种款式的都要买），已知一个A款笔记本10元，一个B款笔记本15元，张老师的购买方案共有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 2．一桥长2000米，一列火车匀速行驶，从车头上桥到车尾离桥用了一分钟，完全在桥上的时间为40秒，则车长度和行驶速度分别为（   ） A．400米，20米/秒 B．200米，40米/秒 C．200米，20米/秒 D．400米，40米/秒 3．现有一段长为5000米的马路需要整修，由甲、乙两个工程小组先后接力完成，甲工程小组每天整修200米，乙工程小组每天整修250米，共用时22天．设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米，依题意可列方程组（    ） A．B．C． D． 4．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．如图1，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，图2是一个未完成的幻方，则的值为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 5．某学校为了打造“书香校园”，丰富师生的业余文化生活，计划采购，两种图书，已知采购2本种图书和3本种图书共需110元，采购1本种图书和5本种图书共需160元，则，两种图书的单价分别为（    ） A．10元、30元 B．30元、10元 C．25元、20元 D．60元、20元 6．在3月12日是植树节这天，小刚和小敏积极踊跃地参加植树活动，小刚平均每小时比小敏多植1棵树，小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵树．设小刚平均每小时植树x棵，小敏平均每小时植树y棵，那么根据题意，下列所列方程组中，正确的是（    ） A．B．C． D． 7．将 6 块形状、大小完全相同的小长方形，放入长为，宽为 的长方形中，当两块阴影部分 的面积相等时，小长方形其较短一边长的值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在的方格中做填字游戏，要求每行、每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中x，y的值分别为（    ） 2 3 A．1， B．，1 C．2， D．，1 9．甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在年龄时，甲20岁，则（    ） A．甲比乙大6岁 B．乙比甲大6岁 C．甲比乙大4岁 D．乙比甲大4岁 10．我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式流传．例如：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少两梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有x个老头，y个梨，则可列方程组（　　） A．B．C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 二元一次方程（组）实际问题七大考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、方案问题 2 类型二、行程问题 5 类型三、工程问题 7 类型四、数字问题 10 类型五、销售利润问题 12 类型六、和差倍分 15 类型七、几何图形问题 19 压轴能力测评 21 二元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 备注： （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值． （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 类型一、方案问题 (1) 仔细阅读，弄懂题目意思.此类问题的题干一般较长，审题时需要耐心多阅读几遍，读懂题目的意思； (2)列方程组，求出关键基础量.此类问题中有些量是解题的基础，需要找出合适的等量关系，列出方程组，先求出这些基础量； (3)分类比较，确定最优方案根据题目条件分类讨论，列出所有可能的方案，再按题目的要求对每个方案进行比较，从中选择最优方案. 例．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在(2)中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元 (2)方案见解析 (3)购买2辆A型汽车，购买13辆B型汽车获利最大，最大利润为94000元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，方案利润问题； （1）等量关系式：购买2辆A型汽车的费用购买3辆B型汽车的费用80万元；购买3辆A型汽车的费用购买2辆B型汽车的费用95万元；据此列出方程组，即可求解； （2）设购买A型号的汽车m辆，B型号的汽车n辆，列出方程且，，求出整数解，即可求解； （3）分别求出各个方案的利润，并进行比较，即可求解； 找出等量关系式，会求二元一次方程的整数解是解题的关键． 【详解】（1）解：设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元，由题意可得 ， 解得， 答：A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元． （2）解：设购买A型号的汽车m辆，B型号的汽车n辆，由题意可得： 且，， 解得或或， 所以该公司共有三种购买方案： 方案一：购买2辆A型汽车，购买13辆B型汽车； 方案二：购买4辆A型汽车，购买8辆B型汽车； 方案三：购买6辆A型汽车，购买3辆B型汽车； （3）解：当，时， 获得的利润为（元）； 当，时， 获得的利润为（元）； 当，时， 获得的利润为（元）； 由上可得，最大利润为94000元． 所以购买2辆A型汽车，购买13辆B型汽车获利最大，最大利润为94000元． 【变式训练1】．为进一步美化校园，学校决定在校园内的空地处栽种部分桂花树和樱花树，通过与园林部门联系，每棵樱花树苗的价格比每棵桂花树苗的价格贵50元，购买2棵樱花树苗和2棵桂花树苗其需1000元，求樱花树苗和桂花树苗每棵分别为多少元？ 【答案】每棵樱花树苗的价格为275元，每棵桂花树苗的价格为225元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每棵樱花树苗的价格为x元，每棵桂花树苗的价格为y元，根据“每棵樱花树苗的价格比每棵桂花树苗的价格贵50元，购买2棵樱花树苗和2棵桂花树苗其需1000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设每棵樱花树苗的价格为x元，每棵桂花树苗的价格为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每棵樱花树苗的价格为275元，每棵桂花树苗的价格为225元． 【变式训练2】．已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨? (2)某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物，请你帮该物流公司设计租车方案 【答案】(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨 (2)共有三种租车方案：①租A型车9辆，B型车1辆，②租A型车5辆，B型车4辆，③租A型车1辆，B型车7辆． 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组或二元一次方程来解决现实生活中的实际应用问题；解题的关键是深入把握题意，准确找出命题中隐含的数量关系，正确列出方程或方程组来分析、推理、解答． （1）根据2辆A型车和1辆B型车装满货物吨；1辆A型车和2辆B型车装满货物吨，列出方程组即可解决问题． （2）由题意得到，根据a、b均为正整数，即可求出a、b的值． 【详解】（1）解：设A型车1辆运x吨，B型车1辆运y吨，由题意得 ， 解得． 所以1辆A型车满载为3吨，1辆B型车满载为4吨． 故1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨． （2）由题意和（1）得：， ． ∵a、b均为正整数， ∴． 共有三种租车方案： ①租A型车9辆，B型车1辆， ②租A型车5辆，B型车4辆， ③租A型车1辆，B型车7辆． 【变式训练3】．列二元一次方程组解决实际问题：为拓展学生视野，某中学组织七年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ 【答案】参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用问题，根据题意找到等量关系是解题的关键．设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车． 根据题意，得， 解得， 答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车． 类型二、行程问题 （1） 三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 （2） （2）基本类型有： ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系：第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度 逆流速度=静水速度－水流速度 顺水速度－逆水速度＝2×水速 Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （3） 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 例．从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度走平路，到达乙地共用55分钟；他返回时，以每小时8千米的速度通过平路，以每小时4千米的速度上山，共用1.5小时，求甲、乙两地的距离． 【答案】甲、乙两地的距离为9千米． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解， 最后把两断路程相加即可． 【详解】解：设平路为x千米，坡路为y千米， 根据题意，得， 解得：， ∴， ∴甲、乙两地的距离为9千米． 【变式训练1】．甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔相遇一次，已知甲比乙跑得快，甲、乙二人每分钟各跑多少圈？ 【答案】甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用； 设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈，根据相遇问题和追击问题的等量关系列方程组求解即可． 【详解】解：设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈， 由题意得， 解得：， 答：甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈． 【变式训练2】．甲、乙两人在一环形场地上，从起点同时同向匀速跑步．甲的速度是乙的3倍，后两人首次相遇，此时乙还需要跑才跑完第一圈，求甲、乙两人速度及环形场地的周长．（列二元一次方程组解答） 【答案】乙的速度为，甲的速度为，环形场地的周长为． 【分析】本题考查了列二元一次方程组解环形问题的运用．设乙的速度为，则甲的速度为，环形场地的周长为米，根据环形问题的数量关系，同时、同地、同向而行首次相遇快者走的路程慢者走的路程环形周长建立方程求出其解即可． 【详解】解：设乙的速度为，则甲的速度为，环形场地的周长为， 由题意得， 解得：， 乙的速度为：， 甲的速度为：； 答：乙的速度为，甲的速度为，环形场地的周长为． 【变式训练3】．一艘轮船在相距120千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用了6小时，逆流航行比顺流航行多用了4小时．求该轮船在静水中的速度和水流速度． 【答案】该轮船在静水中的速度为，水流速度为 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用——航行问题．熟练掌握船顺水速度、逆水速度与静水中速度和水流速度的关系，列出二元一次方程组，是解题的关键． 设该轮船在静水中的速度是，水流速度是，根据路程＝速度×时间，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设该轮船在静水中的速度为，水流速度为． 依题意，得， 解得，． 答：该轮船在静水中的速度为，水流速度为． 类型三、工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 例．某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲、乙两队共完成土方量103.2万立方．甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？ 【答案】甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出结果． 【详解】解：设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方， 乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方， 根据题意，得 解得： 所以，甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方． 【变式训练1】．穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米，乙组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 【答案】(1)甲乙两个班组平均每天分别掘进5米、4.5米； (2)两组还需要190天才能完成任务 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用—工程问题，本题关键在于设出两个未知数，找出等量关系列方程组． （1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，根据题意列方程组，解方程组即可； （2）用剩余的隧道工程长度除以两组每天共掘进的长度数，即可求得结果． 【详解】（1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米， 由题意得， 解得 答：甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米； （2）按此施工进度，还需要：（天）， 答：按此施工进度，两组还需要190天完成任务． 【变式训练2】．为完善吉林市城市路网结构，营造便捷通畅的城市道路系统，提升城市面貌惠及民生，年月起，吉林市各道路维修改造工程有序进行．已知甲工程队天，乙工程队天共修路米；甲工程队天，乙工程队天共修路米，求甲乙两工程队每天分别修路多少米？ 【答案】甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米 【分析】根据题意设甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米列方程解答即可．本题考查了二元一次方程组与实际问题，审清题意列出二元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米，根据题意得， ， 解得：， 答：甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米． 【变式训练3】．古运河是扬州的母亲河．为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：；乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在括号内补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示______，y表示_______； 乙：x表示______，y表示______． (2)求A、B两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程） 【答案】(1)补全方程组见解析；A工程队用的时间，B工程队用的时间；A工程队整治河道的米数，B工程队整治河道的米数； (2)A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用． （1）此题蕴含两个基本数量关系：A工程队用的时间工程队用的时间天，A工程队整治河道的米数工程队整治河道的米数，由此进行解答即可； （2）选择其中一个方程组解答解决问题． 【详解】（1）解：甲同学：设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天，由此列出的方程组为 ； 乙同学：A工程队整治河道的米数为x，B工程队整治河道的米数为y，由此列出的方程组为 ； 故答案为：A工程队用的时间，B工程队用的时间；A工程队整治河道的米数，B工程队整治河道的米数； （2）解：选甲同学所列方程组解答如下： ， 得， 解得， 把代入①得， 所以方程组的解为， A工程队整治河道的米数为：， B工程队整治河道的米数为：； 答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 选乙同学所列方程组解答如下： 由题意可得， 解得， 答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 类型四、数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 例．一个三位数是它各数位上数字之和的27倍．已知百位上的数字与个位上的数字之和比十位上的数字大1．若把百位上的数字与个位上的数字交换位置，则所得的新数比原数大99．求这个三位数． 【答案】这个三位数为243 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设百位上的数字为x，个位上的数字为y．则十位上的数字为题意列出关于x，y的二元一次方程组求解，再行进计算即可得出结果． 【详解】解：设百位上的数字为x，个位上的数字为y．则十位上的数字为， 依题意，得：, 解得, 所以． 答：这个三位数为243． 【变式训练1】．将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上的数之和相同，各条直径上的数之和也相同，就得到了幻圆．著名的同心幻圆有杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图．如图是一个简单的二阶幻圆模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数之和相等； ②外圆两直径上的四个数之和相等． 求图中两空白圆圈内的数字．    【答案】外圆白圆圈内的数字为2，内圆白圆圈内的数字为9 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设图中两空白圆圈内左边的数为x，右边的数为y，由题意：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设外圆白圆圈内的数字为，内圆白圆圈内的数字为外圆两条直径上的四个数之和相等， ①， 内外两个圆周上的四个数之和相等， ②， 整理得：， 解得：， 外圆白圆圈内的数字为2，内圆白圆圈内的数字为9． 【变式训练2】．一个两位数的十位数字比个位数字大2，如果将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66，求原来的两位数是几？ 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据十位数字比个位数字大2得到方程，根据将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66可得方程，据此列出方程组求解即可． 【详解】解：设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y， 由题意得，， 解得， ∴原来的两位数为． 【变式训练3】．一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，若把这个两位数加上9，所得的两位数的十位数字和个位数字恰好与原来的两位数的十位数字和个位数字颠倒了，求原来的两位数. 【答案】这个两位数是为34． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设原来的两位数的个位数为x，十位数为y，根据十位上的数与个位上的数之和是7，新的两位数的个位数字，十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字，据此列方程组求解． 【详解】解：设个位数为x，十位数为y，由题意得： ， 解得：． 所以，原来的两位数是为34． 答：原来的两位数是为34． 类型五、销售利润问题 （1） (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率 (4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 例．某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元． (1)求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元？ (2)某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打8折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说服他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？ 【答案】(1)随身听和书包的单价分别为360元，92元 (2)在超市A购买省钱 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）设随身听的单价为x元，书包的单价y元，根据“随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元”列方程组，求解即可； （2）根据两家超市的优惠方式分别计算是否两家都可以选择，比较钱数少的则购买更省钱． 【详解】（1）解：设随身听的单价为x元，书包的单价为y元．由题意可得 ， 解得， 答：随身听的单价为360元，书包的单价为92元； （2）解：超市A需要：（元）； 超市B需要：先购买随身听花费360元，返券90元， 还需要（元）， 共花费（元）． 因为，所以在超市A购买省钱． 【变式训练1】．为庆祝“六一”儿童节，某商场全部商品打折出售．打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元；打折后，买500件A商品和400件B商品用了8640元．求该商场商品打几折？ 【答案】该商场商品打 9 折 【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及一元一次方程的应用．熟练掌握总价与单价和数量的关系，折后价与原价和折率的关系，是解题的关键． 设没打折时，一件A商品x元，一件B商品y元，由买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元，列出二元一次方程组，解方程组求出x，y的值；再设做活动时，商品打m折，由打折后，买500件A商品和400件B商品用了8640元，列出一元一次方程，解方程求出m的值即可． 【详解】解：设没打折时，一件A商品x元，一件B商品y元， 由题意得：， 解得：， 设做活动时，商场商品打m折， 由题意得：， 解得：． 答：做活动时，该商场商品打9折． 【变式训练2】．当季是西瓜成熟的季节，西瓜也具有解暑的作用，市场上西瓜的销量也与日俱增，某西瓜种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的西瓜，对总计1000斤的麒麟瓜、黑美人西瓜这两个品种的西瓜进行打包优惠出售，打包方式及售价如下：麒麟瓜每筐8斤，售价200元；黑美人西瓜每筐18斤，售价360元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤西瓜（筐数为整数且两种西瓜至少各有一筐）． (1)若这批西瓜全部售完，共收入21400元，请问麒麟瓜共包装了多少筐，黑美人西瓜共包装了多少筐； (2)当销售总收入为22840元时，若西瓜种植大户留下y（）筐麒麟瓜送人，其余的西瓜全部售出，求y的值． 【答案】(1)麒麟瓜共包装了35筐，黑美人西瓜共包装了40筐 (2)9 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用： （1）设麒麟瓜共包装了m筐，黑美人西瓜共包装了n筐，根据“用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤西瓜，且全部售出后共收入21400元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设麒麟瓜共包装了x筐，则黑美人西瓜共包装了筐，利用总价＝单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y，均为正整数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设麒麟瓜共包装了m筐，黑美人西瓜共包装了n筐， 根据题意得：， 解得：． 答：麒麟瓜共包装了35筐，黑美人西瓜共包装了40筐； （2）设麒麟瓜共包装了x筐，则黑美人西瓜共包装了筐， 根据题意得：， ∴． 又∵x，y，均为正整数， ∴． 答：y的值为9． 【变式训练3】．近年来，新能源汽车深受人们的喜爱．某汽车专卖店两周销售A，B两种型号的新能源汽车的情况如下表：请根据表格数据，求出每辆A型车和B型车的售价各为多少万元． 类型 时间 A型 B型 销售额 上周 1辆 3辆 73万元 本周 2辆 1辆 66万元 【答案】每辆A型车的售价为25万元，B型车的售价为16万元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：理解题意找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 设每辆型车的售价为万元，型车的售价为万元，根据表格得出关于，的二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设每辆A型车的售价为x万元，B型车的售价为y万元， 根据题意，得 解得 答：每辆A型车的售价为25万元，B型车的售价为16万元． 类型六、和差倍分 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率， 现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． （3） 寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 例．为弘扬爱国主义精神，对青少年学生进行爱国主义教育，勿忘国耻，本记使命，某校准备组织学生到抚顺平顶山惨案纪念馆参观，参观学生共计300人，学校到租车公司联系车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位． (1)求A，B两种车型各有多少个座位． (2)若最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，则两种车型的车各租用了多少辆？ 【答案】(1)每个A型车有45个座位，B型车有60个座位 (2)需租用A型车4辆，B型车2辆 【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系． （1）设该公司，两种车型各、个座位，根据题意得：，即可求解； （2）设需租A型车m辆，B型车n辆，可得，再利用正整数解的含义可得答案． 【详解】（1）解：设每个A型车有x个座位，B型车有y个座位， 依题意，得：， 解得：． 答：每个A型车有45个座位，B型车有60个座位． （2）解：设需租A型车m辆，B型车n辆， 依题意，得：， ∴． ∵m，n均为正整数， ∴． 答：需租用A型车4辆，B型车2辆． 【变式训练1】．某地独特的气候资源，生产的洋芋品质好、干物质含量高且耐储存，品质、色泽、风味明显优于其他洋芋产区，因而受到国内外客商青睐，现欲将一批洋芋运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满洋芋一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满洋芋一次可运走11吨．现有洋芋31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满洋芋（两种车都租用）．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满洋芋一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． 【答案】(1)1辆A型车载满洋芋一次可运送3吨，1辆B型车载满洋芋一次可运送4吨 (2)该物流公司共有3种租车方案，见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设1辆A型车载满洋芋一次可运送x吨，1辆B型车载满洋芋一次可运送y吨，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）根据题意得到，然后由a，b都是正整数求解即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车载满洋芋一次可运送x吨，1辆B型车载满洋芋一次可运送y吨， 依题意得：，    解得． 答：1辆A型车载满洋芋一次可运送3吨，1辆B型车载满洋芋一次可运送4吨． （2）解：∵现有洋芋31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆， ∴， ∵a，b都是正整数， ∴当时，；当时，；当时，； ∴该物流公司共有3种租车方案： 方案1：租用9辆A型车，1辆B型车 方案2：租用5辆A型车，4辆B型车； 方案3：租用1辆A型车，7辆B型车． 【变式训练2】．为响应政府号召，陵水县圣女果种植户借助电商平台，在线下批发的基础上同步在电商平台“拼多多”上零售圣女果，已知线上零售40千克、线下批发圣女果80千克共获得销售额4000元；线上零售60千克和线下批发80千克圣女果的销售额相同．求线上零售和线下批发圣女果的单价分别为每千克多少元？ 【答案】线上零售圣女果单价为每千克40元，线下批发圣女果单价为每千克30 元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设线上零售圣女果单价为每千克x元，线下批发圣女果单价为每千克y 元，根据线上零售40千克、线下批发圣女果80千克共获得销售额4000元，线上零售60千克和线下批发80千克圣女果的销售额相同，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设线上零售圣女果单价为每千克x元，线下批发圣女果单价为每千克y 元． 根据题意得： 解得： 答：线上零售圣女果单价为每千克40元，线下批发圣女果单价为每千克30 元． 【变式训练3】．北京时间2024年4月26日5时04分，神州十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小明是一个航天爱好者，计划购进甲、乙两种飞船模型收藏，已知，1件甲种飞船模型和1件乙种飞船模型的售价共计40元，2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型的售价共计95元． (1)求甲，乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ (2)若小明计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 【答案】(1)甲种飞船模型每件进价25元，乙种飞船模型每件进价15元 (2)有2种购买方案：①购进5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型；②购进2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键． （1）设甲种飞船模型每件进价x元，乙种飞船模型每件进价y元，根据1件甲种飞船模型和1件乙种飞船模型的售价共计40元，2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型的售价共计95元，建立二元一次方程组，解之即可； （2）设购进a件甲种飞船模型和b件乙种飞船模型，根据总价单价数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案． 【详解】（1）解：设甲种飞船模型每件进价x元，乙种飞船模型每件进价y元， 根据题意，得， 解得， 答：甲种飞船模型每件进价25元，乙种飞船模型每件进价15元； （2）解：设购进a件甲种飞船模型和b件乙种飞船模型， 根据题意， 得， ， ，b均为正整数， 当时，； 当时，； 有2种购买方案如下： ①购进5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型； ②购进2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型． 类型七、几何图形问题 例．如图是用长方形厚纸片（厚度不计）做长方体茶叶包装盒的示意图，阴影部分是裁剪掉的部分．沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．用长，宽的长方形厚纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高等于盒底边长乘2.5，三处“接口”的宽度相等，该茶叶盒的容积是多少？ 【答案】该茶叶盒的容积是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设长方体纸盒的底面边长为，三处“接口”的宽度为，则长方体纸盒的高为，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设长方体纸盒的底面边长为，三处“接口”的宽度为，则长方体纸盒的高为， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴该茶叶盒的容积是． 【变式训练1】．如图，8块相同的小长方形地砖拼成了一个大长方形图案（地砖间的缝隙忽略不计），求每块小长方形的长和宽． 【答案】每块地砖的长为，宽为 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．设每块地砖的长为，宽为，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设每块地砖的长为，宽为，根据题意得： ， 解得：， 答：每块地砖的长为，宽为． 【变式训练2】．如图，在长为，宽为的长方形展厅划出三个形状、大小完全相同的小长方形摆放水仙花，其示意图如图所示．求小长方形的长和宽． 【答案】长为，宽为 【分析】设小长方形的长为，宽为，由图可得，解二元一次方程组即可得到答案，读懂题意，由图中长和宽建立等式列出方程组是解决问题的关键． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得，解得， 答：小长方形的长为，宽为． 【变式训练3】．用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒． (1)做一个横式无盖纸盒需要______张长方形纸板和_____张正方形纸板． (2)若仓库里有300张长方形纸板和100张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做几个？ (3)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 【答案】(1)3，2 (2)横式纸盒做20个，竖式纸盒做60个 (3)是5的整数倍，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据长方体的六个面的特点求解即可； （2）设横式纸盒做个，横式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完300张长方形纸板和100张正方形纸板，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设横式纸盒做个，横式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于的二元一次方程组，两方程相加，可得出，结合均为正整数．即可得出是5的整数倍． 【详解】（1）解：做一个横式无盖纸盒需要3张长方形纸板和2张正方形纸板， 故答案为：3，2； （2）解：设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， 解得：． 答：横式纸盒做20个，竖式纸盒做60个； （3）解：是5的整数倍，理由如下： 设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 是5的整数倍． 1．班主任张老师准备将200万元钱全部用于购买A，B两种款式的笔记本作为奖品（两种款式的都要买），已知一个A款笔记本10元，一个B款笔记本15元，张老师的购买方案共有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，设购买x个A款笔记本，y个B款笔记本，根据题意列出二元一次方程，得出y是2的倍数，再分情况找出方案的数量即可． 【详解】解：设购买x个A款笔记本，y个B款笔记本， 依题意，得：， 解得：， ∵x，y均为正整数， ∴y是2的倍数， ∴或或或或或， ∴共有6种购买方案． 故选：A． 2．一桥长2000米，一列火车匀速行驶，从车头上桥到车尾离桥用了一分钟，完全在桥上的时间为40秒，则车长度和行驶速度分别为（   ） A．400米，20米/秒 B．200米，40米/秒 C．200米，20米/秒 D．400米，40米/秒 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设火车行驶速度为x米/秒，火车的车身为y米， 根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． 【详解】解：设火车行驶速度为x米/秒，火车的车身为y米， 根据题意，得， 解得：， ∴火车行驶速度为40米/秒， 火车的车身为400米， 故选：D． 3．现有一段长为5000米的马路需要整修，由甲、乙两个工程小组先后接力完成，甲工程小组每天整修200米，乙工程小组每天整修250米，共用时22天．设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米，依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据题意，找到两个等量关系：甲工程小组整修马路的长度乙工程小组整修马路的长度米，甲工程小组整修马路的天数乙工程小组整修马路的天数天，由此列出方程组，得到答案． 【详解】解：根据题意， 设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米， 依题意可列方程组： ， 故选：． 4．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．如图1，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，图2是一个未完成的幻方，则的值为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、数学常识，解答本题的关键是明确题意，求出，的值． 根据题意可知：第一列的数字之和等于第一行的数字之和，从而可以计算出右上角的数字；根据第一列的数字之和等于对角线的三个数字之和，即可用含的代数式表示出最中间的数字；再根据第二列的数字之和等于第一列的数字之和，对角线的三个数字之和等于第三行的数字之和，可以列出方程组，然后求解得到和，再计算出即可． 【详解】解：由题意可得： 右上角的数字为， 最中间的数字为， ， 解得， ∴， 故选：D． 5．某学校为了打造“书香校园”，丰富师生的业余文化生活，计划采购，两种图书，已知采购2本种图书和3本种图书共需110元，采购1本种图书和5本种图书共需160元，则，两种图书的单价分别为（    ） A．10元、30元 B．30元、10元 C．25元、20元 D．60元、20元 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设，两种图书的单价分别为元，元，根据题意列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设，两种图书的单价分别为元，元，根据题意得， 解得： 即，两种图书的单价分别为10元、30元， 故选：A． 6．在3月12日是植树节这天，小刚和小敏积极踊跃地参加植树活动，小刚平均每小时比小敏多植1棵树，小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵树．设小刚平均每小时植树x棵，小敏平均每小时植树y棵，那么根据题意，下列所列方程组中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设小刚平均每小时植树x棵，小敏平均每小时植树y棵， 由题意可得：， 故选：D． 7．将 6 块形状、大小完全相同的小长方形，放入长为，宽为 的长方形中，当两块阴影部分 的面积相等时，小长方形其较短一边长的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程的应用，设图中小长方形的长为x，宽为y，结合两块阴影部分 的面积相等，可得，再进一步求解即可； 【详解】解：设图中小长方形的长为x，宽为y，两块阴影部分 的面积相等， 根据题意得：，即． 故选：A． 8．如图，在的方格中做填字游戏，要求每行、每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中x，y的值分别为（    ） 2 3 A．1， B．，1 C．2， D．，1 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意等量关系，列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：依题意，得： 解得：， 故选：A． 9．甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在年龄时，甲20岁，则（    ） A．甲比乙大6岁 B．乙比甲大6岁 C．甲比乙大4岁 D．乙比甲大4岁 【答案】C 【分析】根据题中已知量和未知量之间的等量关系，设未知数，列二元一次方程组即可解决． 【详解】解：设甲现在x岁，乙现在y岁． 根据题意，得， 解得， ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了列方程组解应用题的知识点，找出题中已知量和未知之间的等量关系是解题的关键． 10．我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式流传．例如：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少两梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有x个老头，y个梨，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组在古代问题中的应用，明确题意，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据题意列出二元一次方程组，即可作答． 【详解】解：根据题意有：， 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$