专题3.4 二元一次方程组的应用（高效培优讲义）数学新教材沪科版七年级上册

本讲义聚焦二元一次方程组的应用，衔接方程组解法，系统梳理审题、设元、列方程组、求解、检验、作答的完整解题流程，涵盖行程、工程、数字、方案等典型题型，搭建从数学解法到实际应用的学习支架。 资料以生活情境与古代问题为载体，如《九章算术》盈不足问题、方案选择中的最优决策，培养学生用数学眼光抽象等量关系，通过对比一元与二元建模提升推理意识与模型意识。课中助力教师分层教学，课后提供变式与真题练习，帮助学生查漏补缺，强化应用能力。

专题3.4 二元一次方程组的应用 教学目标 1.掌握利用二元一次方程组解决实际问题的完整解题步骤：审题、设两个未知数、挖掘两组等量关系、列方程组、解方程组、检验解的实际意义、规范作答，统一书写格式。 2.熟悉行程、工程、配套、利润、浓度、数字、方案选择等典型应用题的数量关系，能从文字情境中找出两组独立等量关系，建立二元一次方程组模型。 3.能对比一元一次方程与二元一次方程组两种建模方式，根据题目条件灵活选择设元方法，体会设两个未知数对复杂等量关系问题的简化作用。 4.通过分析生活实际问题，深化数学建模思想，提升文字信息梳理、逻辑分析与代数运算能力，养成检验结果是否贴合现实情境的严谨解题习惯。 教学重难点 1.重点 （1）列二元一次方程组解应用题的标准解题流程； （2）从实际问题中找出两组互不重复的等量关系，正确列出二元一次方程组； （3）求解方程组并检验解是否符合实际题意。 2. 难点 （1）条件繁杂的应用题中，区分两组独立等量关系，避免等量关系混淆、重复； （2）配套、分段计费、方案决策类综合题型的数量关系梳理； （3）根据方程组的解分析实际问题最优方案，舍去不符合现实的解； （4）对比一元一次方程，理解二元方程组在多未知量问题中的建模优势，灵活选用解题模型。 知识点01 二元一次方程组解应用题 1. 列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·湖北宜昌·期末）《九章算术》中关于“盈不足术”的记载，其译文为：有几个人去买鸡，每人出9钱，余11钱；每人出6钱，差16钱．问人数和鸡价各多少？小温同学根据题意，列得方程组，则方程组中表示的是 （     ） A．买鸡的人数 B．鸡的单价 C．每个人出的钱数 D．鸡的数量 2．用一根长为的绳子围成一个长比宽多的长方形，若这个长方形的长为，宽为，则根据题意可得的方程组为________． 3．（2026·西藏林芝·二模）某市为了提升城市道路交通安全，决定深入推进“一盔一带”安全守护行动；某安全用品商店准备购进A，B两种头盔，已知：若购进个A种头盔和个B种头盔需要元；若购进个A种头盔和个B种头盔需要花费元；求每个A种头盔和B种头盔的进价． 题型01 行程问题 【典例1】两地相距千米．小丽、小明两人骑行，小丽从地出发到地，小明从地出发到地，两人同时出发，相向而行，小时后相遇，再骑行小时，小丽剩下的路程为小明剩下路程的倍，小丽、小明骑行的平均速度分别是多少？ 核心公式：路程速度时间（）。 【变式1】甲乙两人分别从相距的A、B两地同时出发，相向而行，小时相遇；若同向而行，甲9小时追上乙．则甲、乙速度(单位∶ ) 分别为（   ） A．12， 8 B．10， 10 C．14， 6 D．16， 4 【变式2】聪聪家离学校，他上学的路上，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用了，已知聪聪在上坡路上的平均速度是，在下坡路上的平均速度是．聪聪上坡、下坡各用了多长时间？ 题型02 工程问题 【典例1】某地准备修建一条长为米的道路，由甲、乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米．如果两队同时施工，需要多少天能完成这条道路的修建？请列方程组求解． 【变式1】“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建，雨天每天修建，他们连续修建了，平均每天修建，那么这几天中有几天雨天（    ） A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 【变式2】某市下水管道工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设50米，甲工程队4天铺设的管道与乙工程队6天铺设的管道长度相同．求甲、乙工程队每天各能铺设多少米管道？ 题型03 数字问题 【典例1】小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为57；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到和为75，原来两个加数分别是________． 【变式1】一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18，求这个两位数．若设十位数字为，个位数字为，则下列说法正确的是（   ） A．根据题意，列方程组得 B．根据题意，列方程组得 C．这个两位数是26 D．这个两位数是62 【变式2】幻方又称九宫图，在幻方拓展课程中，小明在如下所示的方格内填入了一些数及字母，若图中每行、每列以及对角线上的三个数字之和都相等，则________，________． y 2 5 7 8 x 6 【变式3】两个两位数的差是10，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，若这两个四位数的和是5050，求较大的两位数与较小的两位数分别是多少？ 题型04 方案问题 【典例1】端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入、两种食品盒中，种食品盒每盒装8个粽子，种食品盒每盒装10个粽子，若将200个粽子分别装入、两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装满，粽子没有剩余），则有哪几种不同的分装方式？ 【变式1】“元旦”期间，某校组织开展班级歌咏比赛，甲、乙两班共有学生102人（其中甲班人数多于乙班人数，且甲班人数不足100人）报名购买服装参加比赛．下面是某服装厂给出的服装的价格表： 购买服装的套数 每套服装的价格/元 70 60 50 如果两班分别单独购买服装，总共要付款6580元． (1)如果甲、乙两班联合起来购买服装，那么共需付多少钱？ (2)甲、乙两班各有多少名学生报名参加比赛？ (3)如果甲班有5名学生因特殊情况不能参加比赛，请你为两班设计一种省钱的购买服装的方案． 【变式2】初三体育进入专项训练，某学校打算采购一批篮球和实心球供同学们使用，调查发现购买3个篮球和4个实心球需290元；购买6个篮球和2个实心球需460元． (1)求篮球、实心球的单价各是多少元？ (2)该校计划采购篮球、实心球共200个，总费用不超过6100元，且篮球个数不少于实心球个数的，请问有几种购买方案？ 【变式3】某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元． (1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价． (2)该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将的散装免洗手消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中，两种空瓶均需装，且每瓶均装满，通过计算列出所需两种空瓶数量的购买方案． 【变式4】胜利运输队有甲、乙两种型号的货车用来运输货物，已知2辆甲型货车和3辆乙型货车一次可运输货物18吨，5辆甲型货车和6辆乙型货车一次可运输货物39吨． (1)求每辆甲型货车和每辆乙型货车一次分别能运输货物多少吨？ (2)某工厂计划租用胜利运输队货车，其中甲型货车每辆租金为800元，乙型货车每辆租金为1200元；要求一次运输完36吨货物，两种货车都要租且每辆车都要装满．设租用甲型货车辆，租用乙型货车辆． ①求的值； ②请你设计出最省钱的租车方案，并求出最低租金． 题型05 分配问题 【典例1】某车间有名工人，每人每天能生产螺栓个或螺母个，且一个螺栓配两个螺母，为使每天生产的螺栓与螺母刚好配套，则该车间应分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母？ 【变式1】盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配2个玩偶A和3个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用135米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】在长春净月潭景区的景观布置中，要制作一种特色景观灯．每张特殊材料板可制作灯身20个，或制作灯座32个，一个灯身与两个灯座配成一套完整的景观灯．现共有36张这种特殊材料板，若用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套，那么可列方程组为___________． 【变式3】某酒店客房部有三人间和双人间两种普通客房，收费标准为三人间300元/间，双人间280元/间，为了吸引游客，酒店实行团体人住五折优惠措施，一个46人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去2620元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房各多少间? 题型06 年龄问题 【典例1】甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为___岁． （1）核心规律：两人年龄差始终不变，每年两人同时增长1岁，年龄差值恒定； （2）两组固定等量：①今年两人的年龄和/差/倍数关系；②几年前/几年后的年龄倍数、和差关系； （3）时间换算：几年前年龄现年龄年数，几年后年龄现年龄年数。 【变式1】一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是________． 【变式2】10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄将是小明的2倍．小明和他妈妈现在的年龄分别是多少？ 题型07 销售问题 【典例1】为优化校园环境，某校计划购买甲、乙两种规格的盆栽．调查发现，若购买甲种盆栽3盆，乙种盆栽2盆，共需要资金1020元；若购买甲种盆栽1盆，乙种盆栽3盆，共需资金900元．甲、乙两种盆栽每盆的价格分别是多少元？ 核心公式：利润售价进价，售价标价折扣，总利润单件利润销量。 【变式1】在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的菠萝喜获丰收．去年菠萝的利润（利润=收入一支出）为12000元，今年菠萝的收入比去年增加了20%，支出比去年减少了10%，预计今年的利润比去年多11400元．小明家今年种植菠萝的收入是________元． 【变式2】某电商销售长征系列画册和红色经典故事两种图书，它们的进价和售价如表： 种类 长征系列画册 红色经典故事 进价元/套 300 x 售价元/套 y 100 该电商销售6套长征系列画册和5套红色经典故事，盈利800元；销售10套长征系列画册和15套红色经典故事，盈利1600元利润=售价-进价求表中x、y的值． 【变式3】列方程组解应用题： 在当地农业技术部门指导下，洪晓家增加种植水蜜桃的投资，使今年的水蜜桃喜获丰收．下面是洪晓爸爸、妈妈的一段对话．请你用学过的知识帮助洪晓算出他们家今年水蜜桃的销售收入．（销售收入投资净赚） 爸爸说：我算了一下，今年我们家水蜜桃的销售收入比去年增加了，不过投资也增加了； 妈妈说：没关系，你看我们家去年只净赚8000元，今年却净赚了11800元，增加投资值得！ 洪晓说：哎，我们家今年水蜜桃销售收入及今年投资多少元？ 【变式4】2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”，分别以熊猫、灯笼为原型进行设计创作，象征着运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神，某商场用6000元购进A，B两种“冰墩墩”“雪容融”纪念品套装，按标价售出后可获得毛利润3800元（毛利润=售价－进价），这两种套装的进价，标价如表所示： 价格类型 A种 B种    进价（元/套） 60 100 标价（元/套） 100 160 (1)求这两种纪念品套装各自购进的套数； (2)如果A种套装按标价的8折出售，B种套装按标价的7折出售，那么这批纪念品全部售完后，此时毛利润是多少元？ 题型08 古代问题 【典例1】《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？若设合伙人数为人，金价为钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【典例2】我国古代问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？”这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺，问：井深几尺？（列方程解决问题） 【变式1】我国民间流传这样一道数学名题： 数学原题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两缺7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两） 其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？ 设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式2】《增删算法统宗》提到：“今有布绢三十疋（yǎ），共卖价钞五百七．四疋绢价九十贯，三疋布价该五十．欲问绢布各几何？……”其大意是：今有绢与布匹，卖得贯钱，匹绢价贯，匹布价贯，问绢与布各有多少．设绢有匹，布有匹，依据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式3】我国很早就开始研究一次方程组，其中不少成果被收入数学著作《九章算术》中．《九章算术》中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如图①，从左向右的符号分别代表未知数x，y的系数和相应的常数项，因此，根据此图可以列出方程．若根据图②列出方程，则图①和图②所对应的两个方程的公共解是__________________． 【变式4】今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？选自《张丘建算经》 题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙的钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多倍；如果乙得到甲的钱，那么两人钱数相等．甲、乙两人各带了多少钱？ 题型09 几何问题 【典例1】如图，长方形中有6个形状、大小完全相同的小长方形，其余为阴影部分，根据图中所标尺寸，图中阴影部分的面积之和为（   ） A．12 B．18 C．24 D．28 【典例2】某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)如果加工竖式容器与横式容器各1个，那么共需要长方形铁片_____张，正方形铁片_____张． (2)现有长方形铁片2025张，正方形铁片1100张，如果加工成这两种容器，刚好用完全部铁片，那么加工的竖式容器、横式容器各有多少个？ 【变式1】小美在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小刚看见了，说：“我也来试一试．”结果小刚七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形，则每个小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，五个完全相同的小长方形拼成一个大长方形，则大长方形的面积为________． 【变式3】综合与实践 【主题】探究大球、小球数量与水面高度的变化关系． 【素材】如图． ①若干个体积相同的大球和体积相同的小球； ②高为的圆柱形烧杯原始水面高度是． 【实践操作】如图． 步骤一：将3个小球放入烧杯中，测得此时水面高度为； 步骤二：将步骤一的小球取出，放入2个大球，测得此时水面高度也为．（误差均忽略不计） 【实践探索】 (1)放入一个小球水面升高 ； (2)若放入大球、小球共10个，要使水面高度为，求放入大球和小球的个数． 题型10 其他问题 【典例1】声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化．科学家已测得一定温度下声音传播的速度如表．如果用v表示声音在空气中的传播速度，表示温度，则v，满足公式：（a，b为已知数）． 温度 声音传播的速度 324 0 330 20 342 (1)则______，______； (2)求当时，v的值， 【变式1】根据图中提供的信息，可知每个杯子的价格是（    ） A．51元 B．35元 C．8元 D．7元 【变式2】、、各代表一个数，已知：，，，那么_____． 【变式3】数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度随碗的数量变化的规律，小组成员从食堂取来两摞相同型号的碗进行测量，第一摞有四个碗叠放在一起的高度为，第二摞有七个碗叠放在一起的高度为． (1)请你求出一个碗的高度以及每增加一个碗增加的高度是多少厘米； (2)设一摞碗由个碗组成，高度是，则______ （用含的代数式表示）； (3)一摞碗的高度能否为，如果可以，请求出这摞碗的数量；如果不可以，请说明理由． 【变式4】列方程或方程组解下列问题． 老师准备讲授“球赛积分表问题”，为了节省课上时间，课前他将一道球赛积分表的例题抄在黑板上，值日生李明不注意擦掉了表格的一部分内容（如图）．王老师随即利用残缺的积分表给出了下面两个问题，试根据表中信息解答下列各题： (1)求这次比赛中胜1场、负1场各积多少分； (2)求这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数． 1．（2026·新疆·中考真题）我国古代数学名著《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长尺，绳子长尺，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建漳州·期中）将四个完全相同的直角三角形分别拼成如图1和如图2所示的正方形，边长分别为6和2．则一个直角三角形的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图是一个未填完的幻方，则的值为_____． 4．“网约出行”改变了人们的出行方式．某网约平台的打车出行计价规则为：打车总费用＝里程费+耗时费，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算．已知甲、乙两乘客用该平台网约打车出行，按其计价规则，其行驶里程数、平均车速及打车总费用等信息如下表： 乘客 里程数（公里） 平均速度（公里/时） 打车总费用（元） 甲 8 乙 (1)求x与y的值； (2)小明的妈妈也采用了该平台的打车出行方式，其出行的平均车速为公里/时，行驶了9公里，请你计算小明的妈妈应付车费多少元？ 5．（2026·山西阳泉·三模）4月16日至24日，2026年山西省全民阅读大会暨全民阅读活动周在晋城举办．某校举办“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动，计划给图书馆添置书籍，已知购买4本《论语》和购买5本《诗经》的费用相同，购买2本《论语》比购买3本《诗经》少8元，求《论语》和《诗经》的单价分别是多少． 6．（25-26七年级下·广东惠州·期中）为积极响应绿色低碳号召，扎实推进生态文明建设，博罗县某学校组织学生到郊外开展义务植树实践活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： 若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 7．（2026·吉林四平·二模）旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范，某手工作坊制作如图所示的“花扣”和“一字扣”两种盘扣．已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多65分钟，制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟．求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟？ 8．（25-26九年级下·吉林长春·期中）某农场因紧急任务需租用无人机一次性配送种子和化肥等货物．已知1架型无人机和2架型无人机一次可配送货物220千克，2架型无人机和3架型无人机一次可配送货物380千克．求1架型无人机和1架型无人机一次分别可配送货物多少千克． 9．（2026·山西运城·一模）山西晋剧是国家级非物质文化遗产，其戏服制作工艺精湛．某戏服工坊制作晋剧戏服时，分为“蟒袍”和“褶子”两类款式．已知制作一套“蟒袍”比制作一套“褶子”多用2米锦缎，且制作3套“蟒袍”所用的锦缎与制作5套“褶子”所用的锦缎米数相等．问制作一套“蟒袍”和一套“褶子”分别需要多少米锦缎？ 10．（25-26八年级上·陕西西安·期末）我校为奖励在数学学科活动《数算逐光，智启新程》中获奖的同学，年级组委派张老师购买一批钢笔和笔记本作为奖品．张老师到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；如果买5本笔记本和1支钢笔，需要110元． (1)求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元． (2)张老师恰好用720元购进笔记本和钢笔（两者都要购买）．请帮张老师写出有哪几种购买方案？ 1．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）某体育场的环形跑道长，甲、乙分别以一定的速度练习慢跑和自行车，如果反向而行，他们每隔相遇一次．如果同向而行，那么每隔乙就追上甲一次．则甲的速度是______． 2．一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了．”爷爷现在的年龄是________________岁． 3．某工程队承包了两项工程．第一项工程甲组做了10天、乙组做了8天完成，共获报酬12800元；第二项工程甲组做了8天、乙组做了12天完成，共获报酬13600元．甲、乙两组平均工作一天各应得报酬多少元？ 4．（25-26七年级下·北京通州·期末）列方程组解应用题： 2026年5月11日凌晨，伦敦世乒赛落下帷幕，中国女队成功卫冕考比伦杯，实现世乒赛团体七连冠，男队成功卫冕斯韦思林杯，实现世乒赛团体十二连冠，两队共同捍卫了国乒荣耀．如图，斯韦思林杯每层底座高度都相等，底座下面的垫台高与一层底座高之比为，杯身高比6层底座高多，垫台高与杯身高之和是，求这届斯韦思林杯的总高度．    5．（25-26七年级下·四川广元·期末）为推进“美育浸润行动”，某校决定采购两类美育教室设备（类含书法桌椅、笔墨纸砚、字帖碑帖等；类含画架画板、颜料画笔、美术教具等）．据了解，购买1套类设备和3套类设备共需55万元；购买2套类设备和1套类设备共需60万元． (1)、两类设备每套的价格分别为多少万元？ (2)若该学校计划恰好用200万元购进以上两种设备（两种设备均购买），请你通过计算写出全部购买方案． 6．（25-26七年级下·广西河池·期末）如图，3支塑料凳子叠放在一起的高度为，5支塑料凳子叠放在一起的高度为．求10支塑料凳子整齐地叠放在一起的高度． 7．（25-26七年级下·山东威海·期末）根据素材，解决问题： 【制作无盖长方体纸盒】 【素材1】：裁剪长方形纸板 将某种规格的长方形纸板按图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得3块小正方形纸板或2块小长方形纸板． 【素材2】：制作无盖长方体纸盒 1块小正方形纸板和4块小长方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒； 2块小正方形纸板和3块小长方形纸板可做成图4所示的无盖长方体纸盒． 【问题解决】： 若用27张长方形纸板，制作数量相同的两种无盖纸盒，恰好能够完成制作（纸板无剩余），则需要将多少张长方形纸板按图1裁剪？ 8．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）【发现问题】 某商铺计划整体翻新装修，为兼顾工期、装修劳务费与营业收益，老板对比了甲、乙两支专业装修施工队．已知两队合作施工、单独分段施工的工期与付款金额如下： 【提出问题】 ①甲、乙两队同时开工，天能够全部完工，商店需要合计支付两队劳务费元； ②若先由甲队单独施工天，剩余工程交由乙队单独施工天，也可以完成全部装修，总共需要支付劳务费元． 【分析问题】 经测算：甲队独立完成全部工程需要天，乙队独立完成全部工程需要天．商铺正常营业每日净利润为元，停工装修期间没有营业收入． 请结合以上信息，完成以下实践分析： 【解决问题】 (1)设甲队工作天商店需付费元，乙队工作天商店需付费元，请列出二元一次方程组，并求解甲、乙两队每日劳务费用； (2)分别计算单独聘请甲队、单独聘请乙队完成装修的总花费，对比判断只单独雇佣一支队伍时，哪一个成本更低，并说明理由． 9．（25-26七年级下·广东江门·期末）综合与实践 【阅读材料】 “碳足迹”是指个人或家庭在日常生活中直接或间接产生的二氧化碳排放总量．倡导低碳生活，需要从计算“碳足迹”开始．下表是部分项目的碳排放系数： 项目 用电 用水 天然气 牛肉 汽油 碳排放系数 0.55 0.20 2.00 27.00 2.30 示例：用电100千瓦时，碳排放量为． 【问题提出】 小华家4月份各项消耗量及碳排放量如下表： 项目 用电 用水 天然气 牛肉 汽油 消耗量 200 15 10 2 50 碳排放量 3 54 115 为倡导低碳生活，小华家计划5月份将总碳排放量减少． 【方案设计】 根据以上信息，设计方案如下： ①计算4月份各项碳排放量； ②计算5月份的目标碳排放量； ③根据5月份实际执行情况，计算得出相关项目的实际用量． 【问题解决】 (1)计算小华家4月份的用电碳排放量、天然气碳排放量； (2)计算小华家5月份的目标碳排放量； (3)实际执行时，小华家5月份用电减少量是天然气减少量的2倍，且这两项共减少碳排放．求5月份小华家实际的用电量和天然气用量． (4)【评价反思】在计算家庭“碳足迹”的过程中，请针对日常生活中的低碳行为提出一条减少碳排放的建议． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 二元一次方程组的应用 教学目标 1.掌握利用二元一次方程组解决实际问题的完整解题步骤：审题、设两个未知数、挖掘两组等量关系、列方程组、解方程组、检验解的实际意义、规范作答，统一书写格式。 2.熟悉行程、工程、配套、利润、浓度、数字、方案选择等典型应用题的数量关系，能从文字情境中找出两组独立等量关系，建立二元一次方程组模型。 3.能对比一元一次方程与二元一次方程组两种建模方式，根据题目条件灵活选择设元方法，体会设两个未知数对复杂等量关系问题的简化作用。 4.通过分析生活实际问题，深化数学建模思想，提升文字信息梳理、逻辑分析与代数运算能力，养成检验结果是否贴合现实情境的严谨解题习惯。 教学重难点 1.重点 （1）列二元一次方程组解应用题的标准解题流程； （2）从实际问题中找出两组互不重复的等量关系，正确列出二元一次方程组； （3）求解方程组并检验解是否符合实际题意。 2. 难点 （1）条件繁杂的应用题中，区分两组独立等量关系，避免等量关系混淆、重复； （2）配套、分段计费、方案决策类综合题型的数量关系梳理； （3）根据方程组的解分析实际问题最优方案，舍去不符合现实的解； （4）对比一元一次方程，理解二元方程组在多未知量问题中的建模优势，灵活选用解题模型。 知识点01 二元一次方程组解应用题 1. 列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·湖北宜昌·期末）《九章算术》中关于“盈不足术”的记载，其译文为：有几个人去买鸡，每人出9钱，余11钱；每人出6钱，差16钱．问人数和鸡价各多少？小温同学根据题意，列得方程组，则方程组中表示的是 （     ） A．买鸡的人数 B．鸡的单价 C．每个人出的钱数 D．鸡的数量 【答案】A 【分析】根据题意，9和6是两种情况下每人出的钱数，总出的钱数为每人出的钱数乘以对应人数，由此可判断的含义． 【详解】解：∵题干中9，6分别是两种方案下每人出的钱数， ∴方程中和表示所有人出的总钱数，总钱数每人出的钱数人数， ∴表示买鸡的人数． 2．用一根长为的绳子围成一个长比宽多的长方形，若这个长方形的长为，宽为，则根据题意可得的方程组为________． 【答案】 【分析】根据题意提取两个等量关系，一是长比宽多，二是长方形周长等于绳长，根据等量关系列二元一次方程组即可． 【详解】解：∵长比宽多， ∴， ∵绳子长度为围成的长方形的周长， ∴， ∴可得方程组为． 3．（2026·西藏林芝·二模）某市为了提升城市道路交通安全，决定深入推进“一盔一带”安全守护行动；某安全用品商店准备购进A，B两种头盔，已知：若购进个A种头盔和个B种头盔需要元；若购进个A种头盔和个B种头盔需要花费元；求每个A种头盔和B种头盔的进价． 【答案】每个A种头盔的进价是元，每个B种头盔的进价是元 【分析】设每个A种头盔的进价是元，每个B种头盔的进价是元，由题意得，进而求解即可． 【详解】解：设每个A种头盔的进价是元，每个B种头盔的进价是元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A种头盔的进价是元，每个B种头盔的进价是元． 题型01 行程问题 【典例1】两地相距千米．小丽、小明两人骑行，小丽从地出发到地，小明从地出发到地，两人同时出发，相向而行，小时后相遇，再骑行小时，小丽剩下的路程为小明剩下路程的倍，小丽、小明骑行的平均速度分别是多少？ 【答案】小丽的速度为，小明的速度为 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 设小丽的速度为，小明的速度为，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设小丽的速度为，小明的速度为， ∵两地相距千米， ∴， 再骑行小时，小丽剩下的路程为，即，小明剩下路程为，即， ∴，即， ∴， 解得，， ∴小丽的速度为，小明的速度为． 核心公式：路程速度时间（）。 【变式1】甲乙两人分别从相距的A、B两地同时出发，相向而行，小时相遇；若同向而行，甲9小时追上乙．则甲、乙速度(单位∶ ) 分别为（   ） A．12， 8 B．10， 10 C．14， 6 D．16， 4 【答案】A 【分析】设甲的速度是，乙的速度是，根据追及问题和相遇问题列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲的速度是，乙的速度是， 由题意可得：，解得：． ∴甲的速度是，乙的速度是，即A选项符合题意． 【变式2】聪聪家离学校，他上学的路上，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用了，已知聪聪在上坡路上的平均速度是，在下坡路上的平均速度是．聪聪上坡、下坡各用了多长时间？ 【答案】聪聪上坡用了，下坡用了 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设聪聪上坡用了，下坡用了，根据他跑步去学校共用了，已知聪聪在上坡路上的平均速度是，在下坡路上的平均速度是．列出方程组求解即可． 【详解】解：， 设聪聪上坡用了，下坡用了． 根据题意，得 解得 答：聪聪上坡用了，下坡用了． 题型02 工程问题 【典例1】某地准备修建一条长为米的道路，由甲、乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米．如果两队同时施工，需要多少天能完成这条道路的修建？请列方程组求解． 【答案】两队同时施工，需要天才能完成 【分析】设甲工程队施工天，乙工程队施工天，根据“两队同时施工”和“甲工程队的总工程量乙工程队的总工程量”列方程组求解即可． 【详解】解：设甲工程队施工天，乙工程队施工天， 根据题意得：， 解得． 答：两队同时施工，需要天才能完成． 【变式1】“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建，雨天每天修建，他们连续修建了，平均每天修建，那么这几天中有几天雨天（    ） A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系列出方程式解题的关键．设这几天中x天晴天，有y天雨天，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设这几天中x天晴天，有y天雨天， 根据题意得， 解得 ∴这几天中有8天雨天． 故选：C． 【变式2】某市下水管道工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设50米，甲工程队4天铺设的管道与乙工程队6天铺设的管道长度相同．求甲、乙工程队每天各能铺设多少米管道？ 【答案】甲工程队每天能铺设150米，乙工程队每天能铺设100米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设甲工程队每天能铺设米，乙工程队每天能铺设米，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设甲工程队每天能铺设米，乙工程队每天能铺设米，根据题意，得： ， 解得 答：甲工程队每天能铺设150米，乙工程队每天能铺设100米 题型03 数字问题 【典例1】小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为57；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到和为75，原来两个加数分别是________． 【答案】5和7/7或5 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．设原来两个加数中的一个加数为x，另一个加数为y，再结合两个等量关系：一个加数＋另一个加数，一个加数另一个加数可列出方程组，然后求解所得的方程组即可． 【详解】解：设原来两个加数中的一个加数为x，另一个加数为y，根据题意得： ， 解得，． 故答案为：5和7． 【变式1】一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18，求这个两位数．若设十位数字为，个位数字为，则下列说法正确的是（   ） A．根据题意，列方程组得 B．根据题意，列方程组得 C．这个两位数是26 D．这个两位数是62 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据“这个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意得：，即， 解得：， 则这个两位数是． 故选：A． 【变式2】幻方又称九宫图，在幻方拓展课程中，小明在如下所示的方格内填入了一些数及字母，若图中每行、每列以及对角线上的三个数字之和都相等，则________，________． y 2 5 7 8 x 6 【答案】 1 9 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，根据题意可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意可得：，， 解得：，． 故答案为：， 【变式3】两个两位数的差是10，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，若这两个四位数的和是5050，求较大的两位数与较小的两位数分别是多少？ 【答案】较大的两位数与较小的两位数分别30，20 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设较大的两位数为，较小的两位数为，根据题意可得等量关系：①两个两位数的差是10；②和的和是5050，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设较大的两位数为，较小的两位数为， 根据题意得：， 解得：， 答：较大的两位数与较小的两位数分别30，20． 题型04 方案问题 【典例1】端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入、两种食品盒中，种食品盒每盒装8个粽子，种食品盒每盒装10个粽子，若将200个粽子分别装入、两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装满，粽子没有剩余），则有哪几种不同的分装方式？ 【答案】共有四种不同的分装方式： ①种食品盒个，种食品盒个； ②种食品盒个，种食品盒个； ③种食品盒个，种食品盒个； ④种食品盒个，种食品盒个． 【分析】本题主要考查二元一次方程的正整数解的应用，涉及到方程思想和分类讨论思想．解题的关键在于根据题目条件列出关于两种食品盒数量的二元一次方程，然后结合正整数的条件来确定方程的解，也就是不同的分装方式．设出未知数：设用种食品盒个，种食品盒个．再根据粽子总数列出方程．变形后根据的取值范围求出方程的正整数解：通过对取值的讨论，求出满足条件的和的值，进而得到不同的分装方式． 【详解】解：设种食品盒x个，种食品盒个， 根据题意得：， ∴ 由题意知，、均为正整数， ∴或或或． 故共有四种不同的分装方式： ①种食品盒个，种食品盒个； ②种食品盒个，种食品盒个； ③种食品盒个，种食品盒个； ④种食品盒个，种食品盒个． 【变式1】“元旦”期间，某校组织开展班级歌咏比赛，甲、乙两班共有学生102人（其中甲班人数多于乙班人数，且甲班人数不足100人）报名购买服装参加比赛．下面是某服装厂给出的服装的价格表： 购买服装的套数 每套服装的价格/元 70 60 50 如果两班分别单独购买服装，总共要付款6580元． (1)如果甲、乙两班联合起来购买服装，那么共需付多少钱？ (2)甲、乙两班各有多少名学生报名参加比赛？ (3)如果甲班有5名学生因特殊情况不能参加比赛，请你为两班设计一种省钱的购买服装的方案． 【答案】(1)5100元 (2)甲班有56名学生报名参加比赛，乙班有46名学生报名参加比赛 (3)甲、乙两班联合购买101套服装 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）若甲、乙两个班级联合起来购买服装，则每套是50元，计算出总价即可； （2）设甲班有x名学生报名参加比赛，乙班有y名学生报名参加比赛，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （3）此题中主要是应注意联合购买时，仍然达不到101人，因此可以考虑买101套，计算其价钱然后与单独购买、联合购买的价钱进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意，得（元）， 所以如果甲、乙两班联合起来购买服装，那么共需付5100元． （2）解：设甲班有x名学生报名参加比赛，乙班有y名学生报名参加比赛． 由题意，得， 解得， 所以甲班有56名学生报名参加比赛，乙班有46名学生报名参加比赛． （3）解：（名），（名）， 所以甲班有51名学生参加比赛，甲、乙两班共有97名学生参加比赛． 方案一：甲、乙两班联合购买97套服装，则需要（元）． 方案二：甲、乙两班各自购买服装，则需要（元） 方案三：甲、乙两班联合购买101套服装，则需要（元）． 因为，所以最省钱的购买服装方案是甲、乙两班联合购买101套服装． 【变式2】初三体育进入专项训练，某学校打算采购一批篮球和实心球供同学们使用，调查发现购买3个篮球和4个实心球需290元；购买6个篮球和2个实心球需460元． (1)求篮球、实心球的单价各是多少元？ (2)该校计划采购篮球、实心球共200个，总费用不超过6100元，且篮球个数不少于实心球个数的，请问有几种购买方案？ 【答案】(1)篮球的单价是70元，实心球的单价是20元 (2)3种 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，涉及方程组的建立与求解、不等式的解法以及实际问题中变量的整数性约束．解题的关键在于准确建立方程组和不等式组，合理利用已知条件进行化简和求解． （1）设篮球的单价是x元，实心球的单价是y元，根据购买情况建立方程组求解单价； （2）需根据总数量、总费用限制及篮球数量与实心球数量的比值关系，确定可能的购买方案数量． 【详解】（1）解：设篮球的单价是x元，实心球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：篮球的单价是70元，实心球的单价是20元； （2）设购买m个篮球，则购买个实心球， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为40，41，42， ∴该校共有3种购买方案， 方案1：购买40个篮球，160个实心球； 方案2：购买41个篮球，159个实心球； 方案3：购买42个篮球，158个实心球． 【变式3】某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元． (1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价． (2)该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将的散装免洗手消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中，两种空瓶均需装，且每瓶均装满，通过计算列出所需两种空瓶数量的购买方案． 【答案】(1)甲种免洗手消毒液的单价为18元，乙种免洗手消毒液的单价为25元． (2)见详解 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，根据“购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）设购买a个最大容量的空瓶， b个最大容量的空瓶，根据要分装的免洗手消毒液共，即可得出关于a、b的二元一次方程，结合a、b均为正整数，即可得到各购买方案． 【详解】（1）解：设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元． 依题意得： 解得： 答：甲种免洗手消毒液的单价为18元，乙种免洗手消毒液的单价25元． （2）解：设购买a个最大容量300ml的空瓶， b个最大容量的空瓶． 依题意得： ∴ 又∵a、b均为正整数 ∴ ∴共有3种购买方案 方案1：购买15个最大容量的空瓶，3个最大容量的空瓶． 方案2：购买10个最大容量的空瓶，6个最大容量的空瓶． 方案3：购买5个最大容量的空瓶，9个最大容量的空瓶． 【变式4】胜利运输队有甲、乙两种型号的货车用来运输货物，已知2辆甲型货车和3辆乙型货车一次可运输货物18吨，5辆甲型货车和6辆乙型货车一次可运输货物39吨． (1)求每辆甲型货车和每辆乙型货车一次分别能运输货物多少吨？ (2)某工厂计划租用胜利运输队货车，其中甲型货车每辆租金为800元，乙型货车每辆租金为1200元；要求一次运输完36吨货物，两种货车都要租且每辆车都要装满．设租用甲型货车辆，租用乙型货车辆． ①求的值； ②请你设计出最省钱的租车方案，并求出最低租金． 【答案】(1)每辆甲型货车一次能运输货物3吨，每辆乙型货车一次能运输货物4吨 (2)①x的值为4或8；②最省钱的租车方案是租用8辆甲型货车，3辆乙型货车；最低租金为10000元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程组． （1）设每辆甲型货车一次能运输货物x吨，每辆乙型货车一次能运输货物y吨，根据2辆甲型货车和3辆乙型货车一次可运输货物18吨，5辆甲型货车和6辆乙型货车一次可运输货物39吨，列出方程组，解方程组即可； （2）①根据一次运输完36吨货物，列出方程，求方程的正整数解即可； ②分别求出两种方案的租金，然后比较得出答案即可． 【详解】（1）解：设每辆甲型货车一次能运输货物x吨，每辆乙型货车一次能运输货物y吨，根据题意得： ， 解得：， 答：每辆甲型货车一次能运输货物3吨，每辆乙型货车一次能运输货物4吨； （2）解：①根据题意得：， ∵x、y为正整数， ∴或， 即x的值为4或8． ②根据解析①可知，方案一：租用4辆甲型货车，6辆乙型货车，需要的费用为： （元）； 方案二：租用8辆甲型货车，3辆乙型货车，需要的费用为： （元）； ∵， ∴最省钱的租车方案是租用8辆甲型货车，3辆乙型货车；最低租金为10000元． 题型05 分配问题 【典例1】某车间有名工人，每人每天能生产螺栓个或螺母个，且一个螺栓配两个螺母，为使每天生产的螺栓与螺母刚好配套，则该车间应分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母？ 【答案】21名工人生产螺栓，28名工人生产螺母 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程组．设应安排x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母， 根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设应安排x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母， 根据题意，得， 解得：， 答：应安排21名工人生产螺栓，28名工人生产螺母． 【变式1】盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配2个玩偶A和3个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用135米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据题意可知：生产玩偶A的布的米数+生产玩偶B的布的米数=总的布的米数，一个盲盒搭配2个玩偶A和3个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，然后即可列出相应的二元一次方程组． 【详解】解：设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B， 依题意，得：． 故选：B． 【变式2】在长春净月潭景区的景观布置中，要制作一种特色景观灯．每张特殊材料板可制作灯身20个，或制作灯座32个，一个灯身与两个灯座配成一套完整的景观灯．现共有36张这种特殊材料板，若用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套，那么可列方程组为___________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套，根据题意可知，灯身的个数灯座的个数；制作灯身的特殊材料板张数制作灯座的特殊材料板张数，列方程组求解即可． 【详解】解：用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套， 根据题意：即． 故答案为：． 【变式3】某酒店客房部有三人间和双人间两种普通客房，收费标准为三人间300元/间，双人间280元/间，为了吸引游客，酒店实行团体人住五折优惠措施，一个46人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去2620元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房各多少间? 【答案】该旅游团住了三人间普通客房10间，双人间普通客房8间 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；理解题意，设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间，根据题意列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间， 依题意，得， 解这个方程组，得， 答：该旅游团住了三人间普通客房10间，双人间普通客房8间． 题型06 年龄问题 【典例1】甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为___岁． 【答案】28 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，根据我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半可得方程，根据当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁可得方程，据此建立方程组求解即可． 【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁， 由题意得，， 解得， ∴今年甲的年龄为28岁， 故答案为：28． （1）核心规律：两人年龄差始终不变，每年两人同时增长1岁，年龄差值恒定； （2）两组固定等量：①今年两人的年龄和/差/倍数关系；②几年前/几年后的年龄倍数、和差关系； （3）时间换算：几年前年龄现年龄年数，几年后年龄现年龄年数。 【变式1】一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是________． 【答案】10岁和6岁 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，根据对话中的信息，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁， 依题意，得， 解得； 所以妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁． 故答案为：10岁和6岁． 【变式2】10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄将是小明的2倍．小明和他妈妈现在的年龄分别是多少？ 【答案】小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁 【分析】根据题意，设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，列二元一次方程组，解方程求解即可 【详解】设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意， 得 解得 答：小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 题型07 销售问题 【典例1】为优化校园环境，某校计划购买甲、乙两种规格的盆栽．调查发现，若购买甲种盆栽3盆，乙种盆栽2盆，共需要资金1020元；若购买甲种盆栽1盆，乙种盆栽3盆，共需资金900元．甲、乙两种盆栽每盆的价格分别是多少元？ 【答案】甲、乙两种盆栽每盆的价格分别是180元、240元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确掌握相关知识内容是解题的关键．设甲种盆栽每盆的价格是元，乙种盆栽每盆的价格是元，根据购买甲种盆栽3盆，乙种盆栽2盆，共需要资金1020元；购买甲种盆栽1盆，乙种盆栽3盆，共需资金900元，列出方程组进行求解即可； 【详解】解：设甲种盆栽每盆的价格是元，乙种盆栽每盆的价格是元． 由题意，得：， 解得， 答：甲、乙两种盆栽每盆的价格分别是元、240元． 核心公式：利润售价进价，售价标价折扣，总利润单件利润销量。 【变式1】在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的菠萝喜获丰收．去年菠萝的利润（利润=收入一支出）为12000元，今年菠萝的收入比去年增加了20%，支出比去年减少了10%，预计今年的利润比去年多11400元．小明家今年种植菠萝的收入是________元． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小明家去年种植菠萝的收入为元，支出是元，利用利润=收入-支出，结合小明家去年及今年种植菠萝的利润，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再将其代入中即可求出小明家今年种植菠萝的收入． 【详解】解：设小明家去年种植菠萝的收入为元，支出是元， 依题意得：， 解得：， ∴ 故答案为： 【变式2】某电商销售长征系列画册和红色经典故事两种图书，它们的进价和售价如表： 种类 长征系列画册 红色经典故事 进价元/套 300 x 售价元/套 y 100 该电商销售6套长征系列画册和5套红色经典故事，盈利800元；销售10套长征系列画册和15套红色经典故事，盈利1600元利润=售价-进价求表中x、y的值． 【答案】x的值为60，y的值为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“该电商销售6套长征系列画册和5套红色经典故事，盈利800元；销售10套长征系列画册和15套红色经典故事，盈利1600元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得： 答：x的值为60，y的值为 【变式3】列方程组解应用题： 在当地农业技术部门指导下，洪晓家增加种植水蜜桃的投资，使今年的水蜜桃喜获丰收．下面是洪晓爸爸、妈妈的一段对话．请你用学过的知识帮助洪晓算出他们家今年水蜜桃的销售收入．（销售收入投资净赚） 爸爸说：我算了一下，今年我们家水蜜桃的销售收入比去年增加了，不过投资也增加了； 妈妈说：没关系，你看我们家去年只净赚8000元，今年却净赚了11800元，增加投资值得！ 洪晓说：哎，我们家今年水蜜桃销售收入及今年投资多少元？ 【答案】今年收入为16200元，投资4400元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设去年的销售为x元，去年的投资为y元，再结合今年水蜜桃的销售收入比去年增加了，投资也增加了以及去年只净赚8000元，今年却净赚了11800元等条件列出方程组，再解得，然后列式计算出今年水蜜桃销售收入及今年投资的钱数，即可作答． 【详解】解：设去年的销售为x元，去年的投资为y元， 由题意得， 解得， ∴今年收入（元），投资（元）． 【变式4】2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”，分别以熊猫、灯笼为原型进行设计创作，象征着运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神，某商场用6000元购进A，B两种“冰墩墩”“雪容融”纪念品套装，按标价售出后可获得毛利润3800元（毛利润=售价－进价），这两种套装的进价，标价如表所示： 价格类型 A种 B种    进价（元/套） 60 100 标价（元/套） 100 160 (1)求这两种纪念品套装各自购进的套数； (2)如果A种套装按标价的8折出售，B种套装按标价的7折出售，那么这批纪念品全部售完后，此时毛利润是多少元？ 【答案】(1)A种纪念品套装购进50套，B种纪念品套装购进30套 (2)这批纪念品全部售完后，此时毛利润是1360元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设A种纪念品套装购进x套，B种纪念品套装购进y套，由题意可得方程组为，然后求解即可； （2）根据（1）及题意可直接进行求解． 【详解】（1）解：设A种纪念品套装购进x套，B种纪念品套装购进y套，由题意得： ， 解得：； 答：A种纪念品套装购进50套，B种纪念品套装购进30套． （2）解：由题意得： （元）； 答：这批纪念品全部售完后，此时毛利润是1360元． 题型08 古代问题 【典例1】《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？若设合伙人数为人，金价为钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“总出钱数金价剩余钱数”列方程组即可判断． 【详解】设合伙人数为人，金价为钱， ∵每人出钱，会剩余钱，即所有人出的总钱数比金价多， ∴ ， 又∵每人出钱，会剩余钱，即所有人出的总钱数比金价多， ∴ ， 因此可得方程组． 【典例2】我国古代问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？”这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺，问：井深几尺？（列方程解决问题） 【答案】井深8尺 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，仔细阅读题目从中找出等量关系建立方程是解题的关键． 设绳长是x尺，井深是y尺，再根据题意把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺列方程组即可． 【详解】解：设绳长是x尺，井深是y尺， 由题意得：， 解得：， 答：井深是8尺． 【变式1】我国民间流传这样一道数学名题： 数学原题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两缺7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两） 其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？ 设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“每人7两还缺7两，每人半斤多半斤”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设有个人，共分两银子， 根据题意，得． 故选：A． 【变式2】《增删算法统宗》提到：“今有布绢三十疋（yǎ），共卖价钞五百七．四疋绢价九十贯，三疋布价该五十．欲问绢布各几何？……”其大意是：今有绢与布匹，卖得贯钱，匹绢价贯，匹布价贯，问绢与布各有多少．设绢有匹，布有匹，依据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组与实际问题，关键是审明题意，找到恰当的等量关系列方程；根据题目中绢布总匹数和总售价的两个等量关系，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：B． 【变式3】我国很早就开始研究一次方程组，其中不少成果被收入数学著作《九章算术》中．《九章算术》中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如图①，从左向右的符号分别代表未知数x，y的系数和相应的常数项，因此，根据此图可以列出方程．若根据图②列出方程，则图①和图②所对应的两个方程的公共解是__________________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组，掌握根据条件列出二元一次方程组并用适当的方法求解是解题的关键． 本题根据算筹图中符号与未知数系数、常数项的对应规则，得到图②对应的二元一次方程，进而组成二元一次方程组，即可解决求两个方程公共解的问题． 【详解】解：由图②可以列出方程， 联立得到 解得： 故答案为： 【变式4】今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？选自《张丘建算经》 题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙的钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多倍；如果乙得到甲的钱，那么两人钱数相等．甲、乙两人各带了多少钱？ 【答案】甲带了钱，乙带了钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设甲带的钱数为，乙带的钱数为，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”列出方程组，求解即可． 【详解】解：设甲带的钱数为，乙带的钱数为， 根据题意，得， 解方程组，得， 所以，甲带了钱，乙带了钱． 题型09 几何问题 【典例1】如图，长方形中有6个形状、大小完全相同的小长方形，其余为阴影部分，根据图中所标尺寸，图中阴影部分的面积之和为（   ） A．12 B．18 C．24 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 设小长方形的长为x，宽为y，根据图形中给定的长度，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用阴影部分的面积和大长方形的面积个小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 依题意得：， 解得：， 则图中阴影部分的面积之和为． 故选：B． 【典例2】某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)如果加工竖式容器与横式容器各1个，那么共需要长方形铁片_____张，正方形铁片_____张． (2)现有长方形铁片2025张，正方形铁片1100张，如果加工成这两种容器，刚好用完全部铁片，那么加工的竖式容器、横式容器各有多少个？ 【答案】(1)， (2)加工的竖式容器150个，横式容器475个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）观察图形，找出加工1个竖式铁容器与横式铁容器所需长方形及正方形铁皮张数，将其相加即可得出结论； （2）设可加工的竖式容器个，横式容器个，根据加工这两种铁容器正好将两种铁皮用完，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）（张），（张）． 故答案为：7；3． （2）设加工的竖式容器个，横式容器个， 根据题意，得 解得： 答：加工的竖式容器150个，横式容器475个． 【变式1】小美在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小刚看见了，说：“我也来试一试．”结果小刚七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形，则每个小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及长方形的面积，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每个小长方形的长为，宽为，根据小美和小刚拼的图形，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值，再根据长方形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ∴小长方形的面积为， 故选：C． 【变式2】如图，五个完全相同的小长方形拼成一个大长方形，则大长方形的面积为________． 【答案】750 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，关键是求出大长方形的长，然后运用长方形的面积公式进行解答即可．设小长方形的长是，宽是，再建立方程组，进而求出大长方形的长和宽以及面积． 【详解】解：设小长方形的长是，宽是． 由题意得， 解得， 所以大长方形的长是． 答：大长方形的面积是． 故答案为： 【变式3】综合与实践 【主题】探究大球、小球数量与水面高度的变化关系． 【素材】如图． ①若干个体积相同的大球和体积相同的小球； ②高为的圆柱形烧杯原始水面高度是． 【实践操作】如图． 步骤一：将3个小球放入烧杯中，测得此时水面高度为； 步骤二：将步骤一的小球取出，放入2个大球，测得此时水面高度也为．（误差均忽略不计） 【实践探索】 (1)放入一个小球水面升高 ； (2)若放入大球、小球共10个，要使水面高度为，求放入大球和小球的个数． 【答案】(1)2 (2)放入4个大球，6个小球 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题时要能读懂题意，找到相等关系是关键． （1）根据“3个小球使水面上升”列式计算； （2）设放入x个大球，y个小球，根据放入大球、小球共10个，使水面上升到，进而可列方程组求解． 【详解】（1）解：由题意，根据图中数据可得，． 故答案为：2； （2）解：由步骤二可知，放入一个大球水面升高， 设放入x个大球，y个小球， 根据题意，得， 解得， 答：放入4个大球，6个小球． 题型10 其他问题 【典例1】声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化．科学家已测得一定温度下声音传播的速度如表．如果用v表示声音在空气中的传播速度，表示温度，则v，满足公式：（a，b为已知数）． 温度 声音传播的速度 324 0 330 20 342 (1)则______，______； (2)求当时，v的值， 【答案】(1)， (2)当时，v的值为 【分析】（1）根据表格将，，代入后，联立两式，解二元一次方程组即可； （2）结合（1）的结论得出，再将代入上式求值即可． 【详解】（1）解：将代入中，即， 将代入中，即， 联立， 解得：； （2）解：由（1）知：， 将代入上式，可得， ∴当时，v的值为． 【变式1】根据图中提供的信息，可知每个杯子的价格是（    ） A．51元 B．35元 C．8元 D．7元 【答案】C 【分析】设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．设一盒杯子x元，一个暖瓶y元，根据图示可得：一个杯子+一个暖瓶元，3个杯子个暖瓶元，列方程组求解． 【详解】解：设一盒杯子x元，一个暖瓶y元， 由题意得， ， 解得：， ∴一个杯子为8元． 【变式2】、、各代表一个数，已知：，，，那么_____． 【答案】17 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据条件可得，将代入中，得到，与联立，解方程组求出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由可得， 代入可得：， ∵， ∴两式相减可得：，即， ∴， 代入可得：， 故答案为：． 【变式3】数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度随碗的数量变化的规律，小组成员从食堂取来两摞相同型号的碗进行测量，第一摞有四个碗叠放在一起的高度为，第二摞有七个碗叠放在一起的高度为． (1)请你求出一个碗的高度以及每增加一个碗增加的高度是多少厘米； (2)设一摞碗由个碗组成，高度是，则______ （用含的代数式表示）； (3)一摞碗的高度能否为，如果可以，请求出这摞碗的数量；如果不可以，请说明理由． 【答案】(1)一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米 (2) (3)一摞碗的高度不能为，理由见解答 【分析】（1）设一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米，根据“第一摞有四个碗叠放在一起的高度为，第二摞有七个碗叠放在一起的高度为”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用高度一个碗的高度每增加一个碗增加的高度碗的数量，即可用含的代数式表示出； （3）假设一摞碗的高度能为，根据一摞碗的高度为，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，结合为正整数，可得出假设不成立，即一摞碗的高度不能为． 【详解】（1）解：设一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米， 根据题意得：， 解得：． 答：一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米； （2）解：根据题意得：； （3）解：一摞碗的高度不能为，理由如下： 假设一摞碗的高度能为，根据题意得：， 解得：， 为正整数， 不符合题意，舍去， 假设不成立，即一摞碗的高度不能为． 【变式4】列方程或方程组解下列问题． 老师准备讲授“球赛积分表问题”，为了节省课上时间，课前他将一道球赛积分表的例题抄在黑板上，值日生李明不注意擦掉了表格的一部分内容（如图）．王老师随即利用残缺的积分表给出了下面两个问题，试根据表中信息解答下列各题： (1)求这次比赛中胜1场、负1场各积多少分； (2)求这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数． 【答案】(1)胜1场积分2分，负1场积分1分 (2)这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，7场． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）理解题意，先设这次比赛中胜1场积分分，负1场积分分，再结合表格前进队，光明队的比赛积分情况，列出方程组，再解得，即可作答． （2）理解题意，先设这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，场，再结合表格雄鹰队的比赛积分情况，列出方程组，再解得，即可作答． 【详解】（1）解：设这次比赛中胜1场积分分，负1场积分分， 则根据前进队，光明队的比赛积分情况，得， 解得， 即这次比赛中胜1场积分2分，负1场积分1分， （2）解：设这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，场， 依题意，得， 解得， ∴这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，7场． 1．（2026·新疆·中考真题）我国古代数学名著《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长尺，绳子长尺，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设木长尺，绳长尺， 用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺， 绳长木长剩余绳长，即 将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺， 对折后绳长木长剩余木长，对折后绳长为，即； 综上可得方程组 2．（25-26七年级下·福建漳州·期中）将四个完全相同的直角三角形分别拼成如图1和如图2所示的正方形，边长分别为6和2．则一个直角三角形的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据题意和图形，可以先设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，然后根据图1和图2可以列出相应的方程组，从而可以求得直角三角形的两条直角边的长． 【详解】解：设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b， ∴， 解得， ∴直角三角形的面积为：． 3．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图是一个未填完的幻方，则的值为_____． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．根据“每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，”列出方程组，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：5 4．“网约出行”改变了人们的出行方式．某网约平台的打车出行计价规则为：打车总费用＝里程费+耗时费，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算．已知甲、乙两乘客用该平台网约打车出行，按其计价规则，其行驶里程数、平均车速及打车总费用等信息如下表： 乘客 里程数（公里） 平均速度（公里/时） 打车总费用（元） 甲 8 乙 (1)求x与y的值； (2)小明的妈妈也采用了该平台的打车出行方式，其出行的平均车速为公里/时，行驶了9公里，请你计算小明的妈妈应付车费多少元？ 【答案】(1)x的值为2，y的值为 (2)小明的妈妈应付车费元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数四则混合运算，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）根据甲、乙的打车总费用，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用打车总费用=里程费+耗时费，即可求出结论． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：x的值为2，y的值为； （2）（元）． 答：小明的妈妈应付车费元． 5．（2026·山西阳泉·三模）4月16日至24日，2026年山西省全民阅读大会暨全民阅读活动周在晋城举办．某校举办“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动，计划给图书馆添置书籍，已知购买4本《论语》和购买5本《诗经》的费用相同，购买2本《论语》比购买3本《诗经》少8元，求《论语》和《诗经》的单价分别是多少． 【答案】《论语》的单价为20元，《诗经》的单价为16元 【分析】设《论语》的单价为元，《诗经》的单价为元，根据“购买4本《论语》和购买5本《诗经》的费用相同，购买2本《论语》比购买3本《诗经》少8元”列二元一次方程组求解． 【详解】解：设《论语》的单价为元，《诗经》的单价为元． 根据题意，得 解得 答：《论语》的单价为20元，《诗经》的单价为16元． 6．（25-26七年级下·广东惠州·期中）为积极响应绿色低碳号召，扎实推进生态文明建设，博罗县某学校组织学生到郊外开展义务植树实践活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： 若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 【答案】应选用A种食品3包，B种食品2包 【详解】解：设应选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意得：， 解得：， 答：应选用A种食品3包，B种食品2包． 7．（2026·吉林四平·二模）旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范，某手工作坊制作如图所示的“花扣”和“一字扣”两种盘扣．已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多65分钟，制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟．求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟？ 【答案】制作一对“花扣”需80分钟，制作一对“一字扣”需15分钟 【分析】设制作一对“花扣”需分钟，制作一对“一字扣”需分钟，根据制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多65分钟，制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟建立方程组求解即可． 【详解】解：设制作一对“花扣”需分钟，制作一对“一字扣”需分钟， 由题意，得， 解得， 答：制作一对“花扣”需80分钟，制作一对“一字扣”需15分钟． 8．（25-26九年级下·吉林长春·期中）某农场因紧急任务需租用无人机一次性配送种子和化肥等货物．已知1架型无人机和2架型无人机一次可配送货物220千克，2架型无人机和3架型无人机一次可配送货物380千克．求1架型无人机和1架型无人机一次分别可配送货物多少千克． 【答案】1架型无人机一次可配送货物100千克，1架型无人机一次可配送货物60千克 【分析】设1架型无人机一次可配送货物千克，1架型无人机一次可配送货物千克，根据题意，得，解方程组即可； 【详解】解：设1架型无人机一次可配送货物千克，1架型无人机一次可配送货物千克，根据题意，得 解得 答：1架型无人机一次可配送货物100千克，1架型无人机一次可配送货物60千克． 9．（2026·山西运城·一模）山西晋剧是国家级非物质文化遗产，其戏服制作工艺精湛．某戏服工坊制作晋剧戏服时，分为“蟒袍”和“褶子”两类款式．已知制作一套“蟒袍”比制作一套“褶子”多用2米锦缎，且制作3套“蟒袍”所用的锦缎与制作5套“褶子”所用的锦缎米数相等．问制作一套“蟒袍”和一套“褶子”分别需要多少米锦缎？ 【答案】制作一套“蟒袍”需要5米锦缎，制作一套“褶子”需要3米锦缎 【分析】根据制作一套“蟒袍”比制作一套“褶子”多用2米锦缎，且制作3套“蟒袍”所用的锦缎与制作5套“褶子”所用的锦缎米数相等列方程组求解即可． 【详解】解：设制作一套“褶子”需要米锦缎，制作一套“蟒袍”需要米锦缎． 由题意可得， 解得， 答：制作一套“蟒袍”需要5米锦缎，制作一套“褶子”需要3米锦缎． 10．（25-26八年级上·陕西西安·期末）我校为奖励在数学学科活动《数算逐光，智启新程》中获奖的同学，年级组委派张老师购买一批钢笔和笔记本作为奖品．张老师到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；如果买5本笔记本和1支钢笔，需要110元． (1)求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元． (2)张老师恰好用720元购进笔记本和钢笔（两者都要购买）．请帮张老师写出有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每本笔记本的售价为18元，每支钢笔的售价为20元； (2)共有3种购买方案：方案1：购买10本笔记本，27支钢笔；方案2：购买20本笔记本，18支钢笔；方案3：购买30本笔记本，9支钢笔 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每本笔记本的售价为x元，每支钢笔的售价为y元，根据“买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；买5本笔记本和1支钢笔，需要110元”，可列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m本笔记本，n支钢笔，利用总价单价数量，可列出关于m、n的二元一次方程，结合m、n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设每本笔记本的售价为x元，每支钢笔的售价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：每本笔记本的售价为18元，每支钢笔的售价为20元； （2）解：设购买m本笔记本，n支钢笔， 根据题意得：， ∴， 又∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购买方案： 方案1：购买10本笔记本，27支钢笔； 方案2：购买20本笔记本，18支钢笔； 方案3：购买30本笔记本，9支钢笔． 1．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）某体育场的环形跑道长，甲、乙分别以一定的速度练习慢跑和自行车，如果反向而行，他们每隔相遇一次．如果同向而行，那么每隔乙就追上甲一次．则甲的速度是______． 【答案】 【分析】本题存在两个等量关系，反向而行时，甲和乙的路程和等于环形跑道长，同向而行时，乙的路程比甲多，根据等量关系列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲的速度是，乙的速度是， 根据题意得： 解得：， 所以甲的速度为． 2．一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了．”爷爷现在的年龄是________________岁． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设爷爷现在的年龄为岁，小红现在的年龄为岁，根据年龄差不变和题意列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设爷爷现在的年龄是岁，小红现在的年龄是岁． 依题意得： 解得 故爷爷现在的年龄是65岁． 故答案为：． 3．某工程队承包了两项工程．第一项工程甲组做了10天、乙组做了8天完成，共获报酬12800元；第二项工程甲组做了8天、乙组做了12天完成，共获报酬13600元．甲、乙两组平均工作一天各应得报酬多少元？ 【答案】甲组平均工作一天应得报酬800元，乙组平均工作一天应得报酬600元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据“两项工程的工作天数”，“对应总报酬”，梳理出两个等量关系是解题关键． 设甲组每天得报酬元，乙组每天得报酬元，根据“两项工程的工作天数”和“对应总报酬”，设未知数并列二元一次方程组求解． 【详解】解：设甲组每天得报酬元，乙组每天得报酬元． 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均工作一天应得报酬800元，乙组平均工作一天应得报酬600元． 4．（25-26七年级下·北京通州·期末）列方程组解应用题： 2026年5月11日凌晨，伦敦世乒赛落下帷幕，中国女队成功卫冕考比伦杯，实现世乒赛团体七连冠，男队成功卫冕斯韦思林杯，实现世乒赛团体十二连冠，两队共同捍卫了国乒荣耀．如图，斯韦思林杯每层底座高度都相等，底座下面的垫台高与一层底座高之比为，杯身高比6层底座高多，垫台高与杯身高之和是，求这届斯韦思林杯的总高度．    【答案】 【分析】设垫台高为，则一层底座高为，则6层底座高为，杯身高为，根据题意列出方程组并解方程组得到的值，即可求出斯韦思林杯的总高度． 【详解】解：设垫台高为，则每层底座高为，则6层底座高为，杯身高为， 根据题意可得， 解得， 则这届斯韦思林杯的总高度为． 5．（25-26七年级下·四川广元·期末）为推进“美育浸润行动”，某校决定采购两类美育教室设备（类含书法桌椅、笔墨纸砚、字帖碑帖等；类含画架画板、颜料画笔、美术教具等）．据了解，购买1套类设备和3套类设备共需55万元；购买2套类设备和1套类设备共需60万元． (1)、两类设备每套的价格分别为多少万元？ (2)若该学校计划恰好用200万元购进以上两种设备（两种设备均购买），请你通过计算写出全部购买方案． 【答案】(1)类设备每套的价格为25万元，类设备每套的价格为10万元 (2)方案1：购买类设备2套，类设备15套；方案2：购买类设备4套，类设备10套；方案3：购买类设备6套，类设备5套 【分析】（1）设A类设备每套的价格为万元，B类设备每套的价格为万元，根据题意列出方程组解方程组，即可求解． （2）设购买A类设备套，B类设备套，其中，均为正整数，根据题意列出二元一次方程，根据为正整数得出的值，即可求解． 【详解】（1）解：设A类设备每套的价格为万元，B类设备每套的价格为万元． 根据题意，得         解得 答：A类设备每套的价格为25万元，B类设备每套的价格为10万元． （2）解：设购买A类设备套，B类设备套，其中，均为正整数． 根据题意，得，         解得．             ，均为正整数， 为正偶数，且， 为正偶数，且． 当时，； 当时，； 当时，． 答：方案1：购买A类设备2套，B类设备15套；方案2：购买A类设备4套，B类设备10套；方案3：购买A类设备6套，B类设备5套． 6．（25-26七年级下·广西河池·期末）如图，3支塑料凳子叠放在一起的高度为，5支塑料凳子叠放在一起的高度为．求10支塑料凳子整齐地叠放在一起的高度． 【答案】支塑料凳子整齐地叠放在一起的高度为 【分析】设1支塑料凳子的高度为 ，每叠放1支塑料凳子高度增加 ，根据题干图求出x、y的值，再计算10支塑料凳子整齐地叠放在一起的高度即可． 【详解】解：设1支塑料凳子的高度为 ，每叠放1支塑料凳子高度增加 ， 依题意得， 解得， ， 答：支塑料凳子整齐地叠放在一起的高度为． 7．（25-26七年级下·山东威海·期末）根据素材，解决问题： 【制作无盖长方体纸盒】 【素材1】：裁剪长方形纸板 将某种规格的长方形纸板按图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得3块小正方形纸板或2块小长方形纸板． 【素材2】：制作无盖长方体纸盒 1块小正方形纸板和4块小长方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒； 2块小正方形纸板和3块小长方形纸板可做成图4所示的无盖长方体纸盒． 【问题解决】： 若用27张长方形纸板，制作数量相同的两种无盖纸盒，恰好能够完成制作（纸板无剩余），则需要将多少张长方形纸板按图1裁剪？ 【答案】6张 【分析】设需要图1长方形纸板张，图2长方形纸板张，则有小正方形纸板张，小长方形纸板张；再设可制作图3和图4规格的纸盒各个，则需小长方形纸板张，需小正方形纸板张，根据题意列方程组求解即可得到本题答案． 【详解】解：设需要图1长方形纸板张，图2长方形纸板张，则有小正方形纸板张，小长方形纸板张． 再设可制作图3和图4规格的纸盒各个，则需小长方形纸板张，需小正方形纸板张， 由题意得， 解得， 需要将6张长方形纸板按图1裁剪． 8．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）【发现问题】 某商铺计划整体翻新装修，为兼顾工期、装修劳务费与营业收益，老板对比了甲、乙两支专业装修施工队．已知两队合作施工、单独分段施工的工期与付款金额如下： 【提出问题】 ①甲、乙两队同时开工，天能够全部完工，商店需要合计支付两队劳务费元； ②若先由甲队单独施工天，剩余工程交由乙队单独施工天，也可以完成全部装修，总共需要支付劳务费元． 【分析问题】 经测算：甲队独立完成全部工程需要天，乙队独立完成全部工程需要天．商铺正常营业每日净利润为元，停工装修期间没有营业收入． 请结合以上信息，完成以下实践分析： 【解决问题】 (1)设甲队工作天商店需付费元，乙队工作天商店需付费元，请列出二元一次方程组，并求解甲、乙两队每日劳务费用； (2)分别计算单独聘请甲队、单独聘请乙队完成装修的总花费，对比判断只单独雇佣一支队伍时，哪一个成本更低，并说明理由． 【答案】(1)甲、乙两队每日劳务费用分别为元，元 (2)单独聘请甲队完成装修的总花费更低， 理由：单独聘请甲队完成装修的总花费（元）， 单独聘请乙队完成装修的总花费（元）， ，                        单独聘请甲队完成装修的总花费更低 【分析】（1）根据两队同时施工天的总劳务费和甲单独施工天、乙单独施工天的总劳务费，列出二元一次方程组，解方程组即可得到两队每日劳务费用； （2）分别用“每日劳务费+每日净利润”乘以各自的独立工期，算出单独聘请甲、乙两队的总花费，再比较两个总花费的大小，即可判断哪个成本更低． 【详解】（1）解：由题意列方程组为： ， 解得 ， 答：甲、乙两队每日劳务费用分别为元，元． （2）略 9．（25-26七年级下·广东江门·期末）综合与实践 【阅读材料】 “碳足迹”是指个人或家庭在日常生活中直接或间接产生的二氧化碳排放总量．倡导低碳生活，需要从计算“碳足迹”开始．下表是部分项目的碳排放系数： 项目 用电 用水 天然气 牛肉 汽油 碳排放系数 0.55 0.20 2.00 27.00 2.30 示例：用电100千瓦时，碳排放量为． 【问题提出】 小华家4月份各项消耗量及碳排放量如下表： 项目 用电 用水 天然气 牛肉 汽油 消耗量 200 15 10 2 50 碳排放量 3 54 115 为倡导低碳生活，小华家计划5月份将总碳排放量减少． 【方案设计】 根据以上信息，设计方案如下： ①计算4月份各项碳排放量； ②计算5月份的目标碳排放量； ③根据5月份实际执行情况，计算得出相关项目的实际用量． 【问题解决】 (1)计算小华家4月份的用电碳排放量、天然气碳排放量； (2)计算小华家5月份的目标碳排放量； (3)实际执行时，小华家5月份用电减少量是天然气减少量的2倍，且这两项共减少碳排放．求5月份小华家实际的用电量和天然气用量． (4)【评价反思】在计算家庭“碳足迹”的过程中，请针对日常生活中的低碳行为提出一条减少碳排放的建议． 【答案】(1)用电碳排放量为，天然气碳排放量为 (2)5月份目标碳排放量为 (3)5月份天然气实际用量是5立方米，用电实际用量是 (4)出行尽量选择公共交通工具，减少私家车使用，以降低汽油消耗，从而减少碳排放等 【分析】（1）根据题意计算即可解答； （2）根据题意计算即可解答； （3）设5月份天然气减少量为立方米，则用电减少量为 ，根据题意列二元一次方程组即可解答； （4）根据题意提出合理建议即可． 【详解】（1）解：用电碳排放量： 天然气碳排放量： ； （2）解：4月份总碳排放量： 5月份目标碳排放量： （3）解：设5月份天然气减少量为立方米，则用电减少量为 ． 依题意得：， 解得． 所以5月份天然气实际用量：（立方米） 5月份用电实际用量：（） 答：5月份天然气实际用量是5立方米，用电实际用量是． （4）解：出行尽量选择公共交通工具，减少私家车使用，以降低汽油消耗，从而减少碳排放等． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $